Pytania teoretyczne z ekonomii matematycznej, Fib SUM 2006/07

1.Scharakteryzować przestrzeń wektorową, jako przestrzeń towarów i cen.

Przestrzeń wektorowa l- wymiarowa

- zbiór wszystkich punktów płaszczyzny

• 
  - określa ilość towaru.

• 
  - plan działania konsumenta lub producenta lub pewien koszyk towarów.

• 
  

- ilość towaru 1 w koszyku X

- ilość towaru 2 w koszyku X

bułki

2. Podać definicję towaru oraz opisać założenia go dotyczące.

Towar jest to dobro lub usługa, rzecz lub czynność użyteczna zaspokająca czyjąś indywidualną potrzebę wyrażoną przez popyt na ten towar. Żeby to miało sens musimy te towary odróżnić.

Towary różnią się:

- cechami fizycznymi (inaczej wygląda mleko inaczej sok)

- miejscem i czasem ich dostępności

Każdy towar ma określoną jednostkę

Towary są nieskończenie podzielne (jednostki mogą być w ułamkach jeśli to ma sens)

Ilość każdego towaru może być liczbą: - dodatnią, ujemną, zerem

3. Podać definicję systemu produkcji oraz opisać występujące w definicji pojęcia.

Zał.: W przestrzeni
działa skończona liczba producentów, a każdy z nich dąży do wyboru i realizacji takiego planu produkcji, który maksymalizuje jego zysk przy danym systemie cen

Struktura działania:

• 
  - skończony zbiór producentów

• 
  - przestrzeń towarów i cen

• 
  - każdemu producentowi
  przypisujemy zbiór
  - technologicznie możliwych planów produkcyjnych (
  - technologie, z jakich może korzystać j-ty producent)

- plan
jest technologicznie możliwy do realizacji

• 
  - system cen (dany)

• 
  - zbiór tych planów produkcyjnych, które maksymalizują zysk j-tego producenta

• 
  - funkcja zysku maksymalnego

- podaż, produkcja w równowadze

4. Opisać strukturę działania systemu produkcji.

5. Podać definicję i interpretację ekonomiczną wskazanych własności zbiorów produkcji. Podać przykład zbioru (narysować) w przestrzeni
, który spełnia i takiego, który nie spełnia danej własności.

1. Zbiory
   
   są domknięte, tzn., jeżeli dla ustalonego planu produkcji
   wszystkie plany dowolnie bliskie
   .

2. Możliwość zaniechania produkcji (indywidualnej, całkowitej)
   
   , tzn., producent może nic nie robić.

3. Niemożliwość produkcji wolnej, tzn., nie można produkować czegoś z niczego,
   
   

- łatwiejszy zapis.

4. Nieodwracalność procesu produkcji całkowitej
   lub
   
   - zbiór planów przeciwnych.

Jeżeli
to
.

Dla technologicznie możliwego planu
plan przeciwny
nie jest możliwy do zrealizowania.

5. Addytywność
   (suma algebraiczna).
   Dwa plany technicznie możliwe można zrealizować wspólnie.

6. Wypukłość. Zbiory
   są wypukłe.
   

7. 
   - jest stożkiem o wierzchołku
   .

8. Swobodny dostęp do dóbr.

- ćw. III

9. 
   - zbiór zwarty (domknięty i ograniczony).

IV. Związki między własnością zbioru produkcji a zyskiem maksymalnym.

1. Jeżeli
   .

2. Jeżeli
   .

3. Jeżeli
   .

4. Jeżeli
   jest zbiorem wypukłym to zbiór planów, które maksymalizują zysk też jest wypukły.

5. Jeżeli
   jest zbiorem zwartym to
   (dla każdego systemu cen
   istnieje maksymalizacja zysku.

6. Jeżeli
   jest stożkiem o wierzchołku
   to
   dla
   .

6. Podać definicję systemu konsumpcji oraz opisać występujące w definicji pojęcia.

System konsumpcji

I. Model - formalny i struktura działania

• 
  - skończony zbiór konsumpcji.

• 
  - przestrzeń towarów i usług

• Dla każdego konsumenta wyznaczony jest zbiór
  ,
  - zbiór wszystkich możliwych do realizacji planów konsumpcji
  ,
  

- zbiór konsumpcji całkowitej

- popyt całkowity

- plan konsumpcji, koszyk towarów, popyt i-tego (1) konsumenta.

• 
  - relacja słabej konkurencji i-tego konsumenta. (Umożliwia porównanie dwóch możliwych do realizacji planów konsumpcji)

- koszyk
jest preferowany przez i-tego konsumenta co najwyżej tak jak
(pierwszy koszyk jest lepszy od drugiego, drugi koszyk jest nie gorszy od pierwszego).

• 
  -system cen,

• 
  - każdy konsument posiada zasoby początkowe
  

- całkowite zasoby ekonomii.

• Dla każdego konsumenta wyznaczony jest zbiór
  ograniczeń budżetowych

• 
  - zbiór planów
  najlepszych względem relacji
  w zbiorze
  

- plan konsumpcji maksymalizujący użyteczność (preferencje) w zbiorze ograniczeń budżetowych - konsumpcja w równowadze.

7.`Opisać zasadę działania systemu konsumpcji.

8. Podać definicją relacji preferencji, funkcji użyteczności oraz krzywej obojętności. Podać przykład (opis+rysunek).

Def.1.

Relację
nazywamy relację preferencji i-tego konsumenta, jeśli spełnia następujące własności:

1. 
   Jest zwrotna wtedy i tylko wtedy
   dla każdego
   .

2. 
   Jest przechodnia wtedy i tylko wtedy
   i
   
   

3. 
   Jest spójna (zupełna) wtedy i tylko wtedy
   lub
   
   .

Te trzy własności powodują, że zachowanie konsumenta jest racjonalne.

Def.2.

Funkcję
nazywamy funkcję użyteczności i-tego konsumenta wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdych
.

Relacja silnej preferencji
- koszyk drugi jest zdecydowanie lepszy niż pierwszy.

Relacja obojętności
- dwa plany są obojętne.

Przykład.1.

Porównaj plany konsumpcji uwzględniając relację preferencji, gdy preferencje reprezentuje funkcja użyteczności:
.

Zbiór planów konsumpcji, które mają taką samą użyteczność (są względem siebie obojętne) tworzą tzw. krzywą obojętności.

Przykład.2.

Narysować krzywe obojętności związane z funkcją użyteczności
>

1. Wyznaczyć zbiór planów obojętności względem
   .

• Krzywe obojętności nie mogą się przecinać,

• Możemy odczytać z wykresu, w którym kierunku wzrastają, czyli, w którym kierunku wzrasta c,

• Przez każdy punkt może przechodzić tylko jedna krzywa obojętności.

9. Podać definicję wskazanej własności relacji preferencji. Podać przykład zbioru konsumpcji i relacji preferencji (opis +rysunek) takich, aby własność zachodziła i takich by nie własność nie była spełniona. Odpowiedź uzasadnić.

10. Zdefiniować ekonomię z własnością prywatną.

11. Podać definicję stanu równowagi w modelu ekonomii z własnością prywatną.

12. Opisać zasadę działania ekonomii z własnością prywatną.

Przykładowy zestaw egzaminacyjny.

Zad.1. Scharakteryzować przestrzeń wektorową, jako przestrzeń towarów i cen.

Zad 2. Podać definicję wypukłości relacji preferencji. Podać przykład zbioru konsumpcji i relacji preferencji (opis +rysunek) takiej, która jest wypukła i takiej, która nie jest wypukła w tym zbiorze konsumpcji . Odpowiedź uzasadnić.

Zad.3. W systemie produkcji, działa producent o zbiorze produkcji:

. Wyznaczyć zbiór systemów cen maksymalizujących zysk, zbiór planów produkcji maksymalizujących zysk oraz funkcję zysku maksymalnego dla danego producenta.

Zad. 4. W ekonomii E Debreu z własnością prywatną dane są: l=2, I={1,2}, J={1,2}, p=(2,1),

,
, x^2*= (3,4), y^1*= (-1,2), e(1)=(2,4), e(2)=(2,6), . Wyznaczyć (o ile istnieje) stan równowagi.

X₁

X₂

1

2

(x₁,x₂)

+

_

_

+

_

+

_

+

Istnieje taki

+

Istnieje

_

+

_

+

_

+

+

_

+

+

+

+

+

_

Wydatki konsumenta

Majątek konsumenta

C=10

C=4

C=2

---