Zadanie 8: Granica dolna i górna ciągu liczbowego

Def. Mówimy że ciąg
jest zbieżny do g (ma granicę g) wtedy i tylko wtedy gdy

Tw. Granicą ciągu
jest liczba g w której dowolnie małym otoczeniu leżą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu (prawie wszystkie tzn. wszystkie za wyjątkiem co najwyżej skończonej ilości).

Warunek konieczny zbieżności ciągu:

Jeśli ciąg jest zbieżny to jest ograniczony.

Warunek wystarczający zbieżności ciągu:

Ciąg rosnący (malejący) i ograniczony z góry (z dołu) jest zbieżny.

Ciąg (a_n) jest rozbieżny do +∞, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od M, co zapisujemy 

Ciąg (a_n) jest rozbieżny do -∞, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od M, co zapisujemy 

Def. Liczbę
nazywamy punktem skupienia ciągu
jeżeli istnieje podciąg do niej zbieżny.

Przykład:

1. 
   =
   

Zbiór punktów skupienia: {-1,1}

2. 
   

Zbiór punktów skupienia: {
,
}

Def.

Największy z punktów skupienia ciągu (a_n) nazywamy granicą górną tego ciągu i oznaczamy
.

Najmniejszy z punktów skupienia ciągu (a_n) nazywamy granicą dolną tego ciągu i oznaczamy
.

Tw. Ciąg (a_n) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy
,

gdzie
to kres górny zbioru wszystkich granic zbieżnych podciągów ciągu
a
to kres dolny zbioru wszystkich granic zbieżnych podciągów ciągu
oraz

a=supA

i

b=infA