8.Granica dolna i gorna ciagu liczbowego, Studia, Semestr VI, licencjat


Zadanie 8: Granica dolna i górna ciągu liczbowego

Def. Mówimy że ciąg0x01 graphic
jest zbieżny do g (ma granicę g) wtedy i tylko wtedy gdy

0x01 graphic

Tw. Granicą ciągu 0x01 graphic
jest liczba g w której dowolnie małym otoczeniu leżą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu (prawie wszystkie tzn. wszystkie za wyjątkiem co najwyżej skończonej ilości).

0x01 graphic

Warunek konieczny zbieżności ciągu:

Jeśli ciąg jest zbieżny to jest ograniczony.

Warunek wystarczający zbieżności ciągu:

Ciąg rosnący (malejący) i ograniczony z góry (z dołu) jest zbieżny.

Ciąg (an) jest rozbieżny do +∞, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od M, co zapisujemy 

0x01 graphic

Ciąg (an) jest rozbieżny do -∞, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od M, co zapisujemy 

0x01 graphic

Def. Liczbę 0x01 graphic
nazywamy punktem skupienia ciągu 0x01 graphic
jeżeli istnieje podciąg do niej zbieżny.

Przykład:

  1. 0x01 graphic
    =0x01 graphic

Zbiór punktów skupienia: {-1,1}

  1. 0x01 graphic

Zbiór punktów skupienia: {0x01 graphic
,0x01 graphic
}





Def.

Największy z punktów skupienia ciągu (an) nazywamy granicą górną tego ciągu i oznaczamy 0x01 graphic
.

0x01 graphic

Najmniejszy z punktów skupienia ciągu (an) nazywamy granicą dolną tego ciągu i oznaczamy 0x01 graphic
.

0x01 graphic


Tw. Ciąg (an) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy 0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
to kres górny zbioru wszystkich granic zbieżnych podciągów ciągu 0x01 graphic
a 0x01 graphic
to kres dolny zbioru wszystkich granic zbieżnych podciągów ciągu 0x01 graphic
oraz

a=supA 0x01 graphic


i


b=infA 0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
21 Definicja szeregu liczbowego Zbieżność szeregów liczbowych - kryteria zbieżności, Studia, Seme
30.Rząd macierzy. Wyznacznik macierzy i jego własności, Studia, Semestr VI, licencjat
33.Twierdzenia Cramera i Kroneckera-Capelliego, Studia, Semestr VI, licencjat, Licencjat 2012, Licen
pytanialic, Studia, Semestr VI, licencjat
32. Przekształcenie liniowe, Studia, Semestr VI, licencjat, Licencjat 2012, Licencjat po korekcie
14. Pochodna funkcji odwrotnej i złożonej, Studia, Semestr VI, licencjat, Licencjat 2012, Licencjat
26.Definicja przestrzeni metrycznej. Zbieznosc ciagow w przestrzeni metrycznej, Studia, Semestr VI,
31. Przestrzenie liniowe, Studia, Semestr VI, licencjat, Licencjat 2012, Licencjat po korekcie
17 Wzor Taylora i jego zastosowania, Studia, Semestr VI, licencjat, Licencjat 2012, Licencjat po kor
19 Twierdzenie o całkowaniu przez części, Studia, Semestr VI, licencjat, Licencjat 2012, Licencjat p
16 Twierdzenie de lÔÇÖHospitala i jego zastosowania, Studia, Semestr VI, licencjat, Licencjat 2012,
12. Definicja pochodnej funkcji jednej zmiennej w punkcie i przykład jej interpretacji, Studia, Seme
24 Kryterium Weierstrassa zbie+-no+Ťci jednostajnej szereg+-w funkcyjnych, Studia, Semestr VI, lice
25 Szeregi potęgowe i ich zbieżność Własności sumy szeregu potęgowego, Studia, Semestr VI, licencj
23 Definicja szeregu funkcyjnego Zbie+-no+Ťç punktowa i jednostajna na zbiorze, Studia, Semestr VI
35. Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite, Studia, Semestr VI, licen

więcej podobnych podstron