Zadanie 8: Granica dolna i górna ciągu liczbowego
Def. Mówimy że ciąg
jest zbieżny do g (ma granicę g) wtedy i tylko wtedy gdy
Tw. Granicą ciągu
jest liczba g w której dowolnie małym otoczeniu leżą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu (prawie wszystkie tzn. wszystkie za wyjątkiem co najwyżej skończonej ilości).
Warunek konieczny zbieżności ciągu:
Jeśli ciąg jest zbieżny to jest ograniczony.
Warunek wystarczający zbieżności ciągu:
Ciąg rosnący (malejący) i ograniczony z góry (z dołu) jest zbieżny.
Ciąg (an) jest rozbieżny do +∞, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od M, co zapisujemy
Ciąg (an) jest rozbieżny do -∞, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby M prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od M, co zapisujemy
Def. Liczbę
nazywamy punktem skupienia ciągu
jeżeli istnieje podciąg do niej zbieżny.
Przykład:
=
Zbiór punktów skupienia: {-1,1}
Zbiór punktów skupienia: {
,
}
Def.
Największy z punktów skupienia ciągu (an) nazywamy granicą górną tego ciągu i oznaczamy
.
Najmniejszy z punktów skupienia ciągu (an) nazywamy granicą dolną tego ciągu i oznaczamy
.
Tw. Ciąg (an) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy gdy
,
gdzie
to kres górny zbioru wszystkich granic zbieżnych podciągów ciągu
a
to kres dolny zbioru wszystkich granic zbieżnych podciągów ciągu
oraz
a=supA
i
b=infA