Wydział Nauk o Materiałach i Środowisku

Inżynieria Środowiska

Rok I semestr II

SPRAWOZDANIE z Ćwiczenia nr 65

Tytuł ćwiczenia: Wyznaczanie pojemności kondensatora metodą drgań relaksacyjnych.

1. Wstęp teoretyczny:

1. Wyładowanie jarzeniowe: to wyładowanie elektryczne w gazach, podczas którego gaz emituje światło. Efekt ten można otrzymać w gazach przy niskich ciśnieniach rzędu
   .

pozaukładowa jednostka miary ciśnienia równa ciśnieniu słupa rtęci o wysokości jednego milimetra w temperaturze
, przy normalnym przyspieszeniu ziemskim. Nazwa pochodzi od nazwiska fizyka Ewangelisty Torricellego.

2. Pojemność elektryczna przewodników i kondensatorów:

Pojemność elektryczna przewodnika - każdy przewodnik ma zdolność gromadzenia ładunków elektrycznych. Zdolność ta zależy od samego przewodnika jak i od otaczającego go środowiska. Do jej opisu stosujemy pojęcie pojemności elektrycznej.

Pojemnością elektryczną przewodnika nazywamy stosunek ładunku zgromadzonego na przewodniku do wywołanego przez ten ładunek potencjału.

Jednostką pojemności jest farad
;

Przewodnik ma pojemność jednego farada, gdy ładunek 1 kulomba wywołuje na nim potencjał 1 volta.

Zwykle posługujemy się jednostkami mniejszymi:

Pojemność elektryczna kondensatora - kondensator jest to dwójnik pasywny zachowawczy, zdolny do gromadzenia energii w polu elektrycznym. Przypisujemy mu tylko jedną własność, a zatem traktujemy, jako element idealny. Własnością tą jest pojemność
będąca wielkością wyrażoną stosunkiem ładunku
zgromadzonego na okładzinach kondensatora do napięcia między okładzinami:
.

Jednostką pojemności w układzie Si jest Farad, jest to pojemność takiego kondensatora, który naładowany ładunkiem jednego kulomba wykazuje różnicę potencjałów 1V między okładzinami. Pojemność kondensatora jest tym większa im większa jest stała dielektryczna dielektryka i pole powierzchni okładek i im mniejsza jest odległość między nimi.

3. Energia pola elektrycznego kondensatorów:

Energię zmagazynowaną w kondensatorze można wyrazić:

Gdzie:
ładunek;
pojemność kondensatora;
napięcie między okładzinami kondensatora

Energia ta jest równa energii pola elektrycznego występującego między okładzinami kondensatora.

4. Łączenie kondensatorów i pojemność zastępcza:

Łączenie równoległe

ale
;

ogólnie

Łączenie szeregowe

W kondensatorach połączonych szeregowo wartość bezwzględna ładunku na każdej płytce jest taka sama.

Wypadkowa różnica potencjałów:
gdzie
;

ogólnie

5. Ładowanie i rozładowanie kondensatora w układzie RC:

Zjawisko związane z gromadzeniem się ładunku nazywamy ładowaniem kondensatora, jeśli do kondensatora zostanie doprowadzone napięcie, to na jego okładzinach gromadzi się ładunek elektryczny, na jednej okładzinie ładunek dodatni a na drugiej ujemny. Energia pola elektrycznego wytwarzanego między okładzinami kondensatora wyraża się wzorem:

Ładowanie kondensatora w układzie RC

Na rys. nr 1 pokazany jest układ, w którym po zamknięciu wyłącznika „w” w chwili
, rozpocznie się ładowanie kondensatora
poprzez rezystor
. Kondensator
będzie ładowany prądem
 z baterii o napięciu
.

Rys. nr 1

Można to zapisać w postaci równań:

;

Ostatnie równanie jest równaniem różniczkowym, którego rozwiązaniem jest:

Jak widać ze wzoru kondensator
zostanie naładowany do wartości
dla
znacznie większego od
, co jest uwidocznione na rys. nr 2 w postaci krzywej ładowania kondensatora.

Rys. nr 2

Wartość stałej
wylicza się uwzględniając warunki początkowe, czyli w chwili
. Wówczas
, a więc
.

Ostatecznie otrzymuje się wzór na ładowanie kondensatora w układzie RC:

Rozładowanie kondensatora w układzie RC

Na rys. nr 3 pokazany jest najprostszy układ
.

Rys. nr 4

Kondensator
został naładowany do napięcia
; jeżeli do tak naładowanego kondensatora zostanie w chwili
przyłączony rezystor
(po zamknięciu wyłącznika „W”), to:

;

Jest to równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem jest:

Z powyższego wzoru widać, że naładowany kondensator, obciążony rezystorem zostanie rozładowany, a krzywa rozładowania obwodu
będzie wyglądała tak jak na rys. nr 5.

Rys. nr 5

Iloczyn
jest nazywany stałą czasową
, jeżeli
będzie podawane w omach, a
w faradach to jednostką stałej czasowej będzie sekunda. Stałą
można wyliczyć z warunków początkowych, czyli dla
to
, z czego wynika, że
.

Wzór na rozładowanie kondensatora można, więc zapisać następująco:

Zarówno układ, ładowania jak i rozładowania kondensatora dążą do równowagi, to znaczy do stanu, gdy
 jest równe
. Taki stan jest osiągany dla czasu znacznie większego od stałej czasowej
. Z doświadczenia wynika, że czas taki to
. Po tym czasie napięcie na kondensatorze osiąga swoją końcową wartość z dokładnością 1%. Jeżeli wówczas zmieni się wartość napięcia
na przeciwną to napięcie
będzie dążyć do tej nowej wartości.

Na rys. nr 6 pokazany jest przykładowy przebieg dla układu
z rys. 2 z tym, że zamiast napięcia wejściowego w postaci baterii i wyłącznika podany został sygnał prostokątny o okresie
. Można zauważyć, że przebieg na kondensatorze składa się kolejno z "krzywych ładowania i rozładowania kondensatora".

Rys. nr 6

Drgania relaksacyjne - to swoiste zjawisko, zasadniczo różne od swobodnych drgań wymuszonych zachodzących pod działaniem sił okresowo zmiennych. Siła wymuszająca drgania relaksacyjne układu jest stała a układ podlegający działaniu sił oporu, wykonuje drgania nieznikające. Drgania te nie są drganiami harmonicznymi, nie można ich opisać za pomocą sinusoidy. Wykresem tych drgań jest krzywa w postaci zębów piły rys. nr 6; należy zwrócić szczególna uwagę na własność tych drgań zwaną sprzężeniem zwrotnym - automatyczne wnoszenie poprawek w swoje zachowanie przez układ przy zmianie warunków pracy.

Rys. nr 7

Podczas pomiaru ilości drgań relaksacyjnych obserwujemy na neonówce wyładowania jarzeniowe - jest to zjawisko przepływu prądu w rozrzedzonym gazie zachodzące przy ciśnieniach rzędu
. Towarzyszą mu specyficzne zjawiska świetlne np.: poświata anodowa, zorza dodatnia, ciemnia Faradaya, poświata ujemna, ciemnia katodowa, poświata katodowa, ciemnia Astona.

Okres drgań relaksacyjnych
w obwodzie przedstawionym na rys. nr 7 wyraża się wzorem:

- równanie (1)

napięcie zapłonu neonówki;
napięcie gaśnięcia neonówki

Oznaczając przez
logarytm ilorazu różnicy napięć:

oraz uwzględniając wpływ oporności neonówki w stanie zjonizowanym na relacje miedzy czasem ładowania i rozładowania kondensatora równanie (1) można zapisać ogólnie w postaci:

- równanie (2)

Stała czasowa
w równaniu (2) jest bliska zeru w przypadku, gdy czas rozładowania (
na rys. nr 7) kondensatora jest bardzo mały w porównaniu z czasem jego ładowania (
) tj. gdy oporność neonówki w stanie zjonizowanym jest bardzo mała. W przeciwnym razie następuje częściowe doładowywanie kondensatora w trakcie jego rozładowywania się poprzez neonówkę i okres drgań relaksacyjnych zwiększa się o pewna stałą wartość
.

Równanie (2) jest liniową funkcją iloczynu
, której współczynnik nachylenia jest równy stałej
, a wyraz wolny stałej czasowej
. Wartości stałych
i
można wyznaczyć znajdując parametry prostej korelacji dopasowanej do wyznaczonego doświadczalnie wykresu funkcji
. Prosta korelacji stanowić będzie jednocześnie prostą kalibracji układu pomiarowego dla wybranej wartości
.

Rys. nr 8

Zastępując kondensator dekadowy w układzie pomiarowym (rys. nr 8) kondensatorem o nieznanej pojemności
i dokonując pomiaru okresu drgań
, wartość iloczynu
odczytać można wprost z prostej kalibracyjnej lub pojemność
obliczyć ze wzoru:

2. Cel ćwiczenia: to wyznaczanie pojemności kondensatorów metodą drgań relaksacyjnych

3. Przyrządy:

• Zasilacz prądu stałego
  

• Neonówka

• Kondensator dekadowy
  

• Opornik dekadowy
  

• Stoper

• Dwa kondensatory o nieznanej pojemności
  

• Przewody

4. Przebieg ćwiczenia:

• Podłączyliśmy układ pomiarowy według schematu przedstawionego na rys. nr 8

• Po sprawdzeniu układu włączyliśmy zasilanie

• Opornik dekadowy ustawiliśmy na wartość
  

• Zmieniając wartości pojemności kondensatora dekadowego w zakresie
  zmierzyliśmy czas
  dziesięciu drgań relaksacyjnych dla każdej wartości pojemności
  (zmiana następowała, co
  ), wartości zapisaliśmy w tabeli nr 2

• Dokonaliśmy pomiaru czasu
  dziesięciu drgań relaksacyjnych w sytuacji, gdy kondensator dekadowy zastąpiliśmy przez:

• kondensator
  

• kondensator
  

• kondensatory
  i
  połączone szeregowo

• kondensatory
  i
  połączone równolegle

• Obliczyliśmy wartości iloczynów
  i okresów
  drgań badanych w pkt.
  oraz wartości okresów
  drgań badanych w pkt.
  

• Wyniki pomiarów czasów
  i okresów drgań zapisaliśmy w tabelce nr 2 oraz nr 3

• Obliczyliśmy parametry prostej regresji (
  współczynnik kierunkowy;
  wyraz wolny) na podstawie wartości
  oraz
  

• Wartości parametrów
  i
  odpowiednio przypisaliśmy odpowiadającym im wielkościom fizycznym
  i
  

• Sporządziliśmy wykres
  i wrysowaliśmy prostą kalibracji odpowiednio nanosząc punkty odpowiadające wynikom pomiarów z pkt.
  

• Wyznaczyliśmy wartości pojemności badanych kondensatorów
  i
  oraz wartość pojemności szeregowego
  i równoległego
  połączenia tych kondensatorów w oparciu o wzór
  

• Wyrachowaliśmy wartości pojemności zastępczej kondensatorów
  i
  połączonych szeregowo
  i połączonych równolegle
  

• Mając dotychczas zebrane informacje obliczyliśmy względne różnice
  i
  wyrażone w procentach pomiędzy wartościami
  i
  oraz
  i
  

• Materiał, jaki zebraliśmy pozwolił nam sformułować wnioski

5. Wyniki pomiarów / obliczenia:

Tabela nr 1

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	22,60	44.72	67,00	89,41	100,32	120,56	141,19	161,32	181,06	201,60
	2,26	4,472	6,7	8,941	10,032	12,056	14,119	16,132	18,106	20,160

dla

Sprawdzenie jednostki iloczynu RC:

,

jest to doświadczalnie ustalony okres 10 drgań relaksacyjnych kondensatora

Czyli
dla

Obliczenia do tabeli nr 1

Wartości parametrów prostej regresji (linii trendu) wyznaczyliśmy za pomocą programu na komputerze wpisując otrzymane wyniki:

- współczynnik kierunkowy prostej

- odchylenie standardowe współczynnika kierunkowego prostej

- wyraz wolny prostej

- odchylenie standardowe wyrazu wolnego prostej

a = K b=t₀

Obliczenia do tabeli nr 2

→

Tabela nr 2

C
C[µF]	0,86	5,09	0,933	4,968
tn[s]	23,13	104,81	18,68	102,42
T[s]	2,313	10,481	1,868	10,242

Obliczenie błędu bezwzględnego ΔC_x

przyjmując:

ΔT_x ≈0,2[s]

Obliczenie pojemności zastępczej kondensatorów
i
połączonych szeregowo i równolegle:

Połączenie szeregowe:

Połączenie równoległe:

Obliczenie względnej różnicy pojemności:

Tabela nr 3

[µF]	[µF]	[µF]	[%]	[µF]	[%]	[µF]	[%]	[µF]	[%]
0,86 ± 0,2676	5,09 ± 0,4601	0,933 ± 0,2438	26,13	0.7357	26,80	4,968 ± 0,4547	9,15	5,95	16,5

6. Wnioski:

• Wykazaliśmy liniowość wyrażenia
  

• Metoda drgań relaksacyjnych daje nam możliwość uzyskania przybliżonych wyników wyznaczonych pojemności kondensatorów

• Pomiar jest tym dokładniejszy, jeżeli w przeprowadzonym badaniu wielokrotnie zbadamy okresy kondensatora dekadowego o znanej pojemności

• Niedokładność pomiarowa wiąże się z błędnym pomiarem czasów poszczególnych okresów oraz systematycznym błędem czasu reakcji badającego

---