WIEiK Grupa 12	Szymon Łukasik	Zespół nr 9	Data wykonania: 16.03.2001
Nr ćwiczenia: 7	Wyznaczanie współczynnika lepkości dynamicznej cieczy	Ocena:	Podpis:

1. Wprowadzenie

Lepkość - tarcie wewnętrzne, to właściwość ciał stałych, cieczy, ciekłych kryształów, gazów lub plazmy. Wynika z oddziaływań występujących przy wzajemnym przesuwaniu się elementów tego samego ciała. Oddziaływania te charakteryzujemy wprowadzając wielkości nazywane współczynnikami lepko­ści. Miarą tych oddziaływań są siły lepkości. W naszym ćwiczeniu zajmiemy się wyznaczeniem współczynnika lepkości dynamicznej cieczy.

Rozważmy warstwę cieczy o grubości ၄l (rys. I ). Do­świadczenie wskazuje, że prze­sunięcie ze stałą prędkością, równoległą do powierzchni cieczy, cienkiej płytki, dosko­nale zwilżalnej, o polu po­wierzchni S (rozmiary liniowe płytki są większe od grubości warstwy), wymaga przyłożenia stycznej do płytki stałej siły F, która równoważy siłę lepkości F­₀. Siła lepkości istnieje mię­dzy warstewką przylegającą do płytki i warstewką następną oraz między każdą sąsiednią parą warstewek. Poszczególne warstewki cieczy przesuwają się (śli­zgają się) równolegle względem siebie, przy czym rozkład prędkości w kierun­ku osi x przedstawiono na rys. l .

Doświadczalnie stwierdzono, że dla większości cieczy (nazywanych cie­czami niutonowskimi) wartość siły oporu lepkiego jest proporcjonalna do pola powierzchni S i wartości gradientu prędkości - tzw. Prawo Newtona :

(1)

gdzie dv jest przyrostem prędkości warstewek cieczy pozostających w odległo­ści dx.

Współczynnikiem lepkości dynamicznej nazywamy współczynnik propor­cjonalności ၨ we wzorze (1). Jego wymiarem jest: N*s/m­­­² = Pas. Wzór (1) definiuje zatem współczynnik lepkości dynamicznej cieczy lub gazu, a wyżej opisane doświadczenie może być wykorzystane do opracowania metody jego pomiaru.

Siła określona wzorem (1) uwarunkowana jest dwoma czynnikami: istnie­niem sił spójności (w gazie nie występują) oraz ruchem termicznym cząste­czek, który występuje również między warstewkami cieczy o różnych prędko­ściach. Przechodzenie cząsteczek między warstewkami nie zmienia charakteru ruchu. Cząsteczki z warstwy o prędkości większej przechodzą do warstwy o prędkości mniejszej, przyspieszając ją. Średnio taka sama liczba cząsteczek przechodzi z warstwy o prędkości mniejszej do warstwy o prędkości większej, spowalniając ją. W miarę wzrostu temperatury siły spójności maleją. Wzrasta liczba przemieszczających się cząsteczek. Rezultatem tego jest zmniejszanie się siły oporu - przy ustalonym gradiencie prędkości i ustalonym S, siła lepko­ści maleje. Stąd w cieczach ze wzrostem temperatury współczynnik lepkości maleje, w przeciwieństwie do gazów, dla których obserwujemy wzrost współ­czynnika lepkości wraz z temperaturą.

Podsumowując, możemy stwierdzić, że współczynnik lepkości cieczy zależy od:

1. rodzaju cieczy, ponieważ od rodzaju cieczy zależą siły międzycząsteczkowe,

2. temperatury - maleje ze wzrostem ruchu termicznego cząsteczek.

Rozważania ograniczamy do przepływów laminarnych. W przepływach laminarnych ciecz płynie równoległymi warstwami z różnymi prędkościami, w odróżnieniu od przepływu burzliwego(turbulentnego), w którym wektor prędkości elementów cieczy zmienia się chaotycznie-cząstki poruszają się po skomplikowanych przeplatających się torach.

Charakter przepływu (laminarny czy turbulentny) zależy od wartości bezwy­miarowej wielkości Re zwanej liczbą Reynoldsa:

(2)

gdzie: ၲ jest gęstością cieczy, u - średnią (w przekroju poprzecznym) prędko­ścią strugi, ၨ - współczynnikiem lepkości, a l - charakterystycznym rozmiarem liniowym przekroju poprzecznego strugi cieczy lub ciała poruszającego się w cieczy. Poniżej krytycznej wartości liczby Reynoldsa przepływ ma charakter laminarny.

2. Metody pomiaru

Podamy dwie metody wyznaczania współczynnika lepkości dynamicznej cieczy ၨ:

1 ) metoda oparta na prawie Stokesa - uwzględnia fakt występowania tarcia wewnętrznego w przypadku ruchu ciała w nieruchomej cieczy;

2) metoda oparta na prawie Hagena-Poiseuille'a wykorzystuje fakt występo­wania tarcia wewnętrznego przy przepływie cieczy w rurkach.

Wykonamy zadanie opierające się na prawie Stokes`a

Wyznaczanie współczynnika lepkości dynamicznej ၨ na podstawie prawa Stokesa

Przyjmijmy, że w cieczy lepkiej, dla której Re«l, spada z niewielką pręd­kością v kulka. Spadająca kulka pociąga za sobą, z powodu istnienia sił mię­dzycząsteczkowych, sąsiadujące z kulką warstwy cieczy. Układ warstw cieczy ślizgających się po sobie posiada różne prędkości. Kulka razem z warstewką cieczy do niej przylegającą doznaje działania siły oporu lepkiego F­­₀. Oprócz si­ły oporu F₀ na spadającą kulkę działają: siła ciężkości G oraz siła wyporu P, dana prawem Archimedesa (rys poniżej).

Wartość siły oporu F₀ zależy od wielko­ści i kształtu poruszającego się ciała, od prędkości V ciała oraz od rodzaju cieczy, w której ciało porusza się. Dla kulki o promie­niu r, jest ona określona prawem Stokesa:

(3)

Można wykazać, że po pewnym czasie ustali się ruch jednostajny kulki

Zgodnie z I zasadą dyna­miki Newtona mamy:

(4)

(5) (7)

gdzie: ၲ₁, ၲ_­2 są odpowiednio gęstością kulki i gęstością cieczy, g jest przy­spieszeniem ziemskim. Wyznaczony na podstawie wzoru (5) współczynnik lepkości jest równy:

(6)

Liczba Reynoldsa Re dla kulki o promieniu r poruszającej się w cieczy okre­ślona jest wzorem:

(7)

Prawo Stokesa jest słuszne dla Re < 0,4.

3. Wyniki pomiarów

LP	2r[mm]	S1[cm]	S2[cm]	l[cm]	t[s]	2R[cm]
1	2,41	8,7	25,3	16,6	46,6	7,8
2	2,42	8,8	25,3	16,5	46,0	7,9
3	2,40	8,8	25,2	16,4	46,6	7,8
4	2,39	8,7	25,2	16,5	45,6	7,7
5	2,40	8,7	25,3	16,6	46,2	7,9
6	2,41	8,7	25,3	16,6	45,6	7,8
7	2,40	8,7	25,2	16,5	46,6	7,9
8	2,41	8,7	25,2	16,5	46,2	7,8
9	2,41	8,7	25,2	16,5	45,0	7,8
10	2,41	8,7	25,2	16,5	46,8	7,8
średnia arytmetyczna	2,41	8,72	25,24	16,52	46,1	7,82
w jedn. podstawowych ukł. SI
	0,0024	0,087	0,25	0,17	46,1	0,078
	[m]	[m]	[m]	[m]	[s]	[m]

Na schemacie obok pokazano zasady wykonywania pomiarów

(t - czas opadania kulki na drodze l, 2r - jej średnica)

Wyznaczenie gęstości cieczy

LP	h1[cm]	h2[cm]	h3[cm]
1	44,5	14,0	39,8
2	44,6	13,9	39,8
3	44,5	13,9	39,8
4	44,6	14,0	39,8
5	44,6	13,9	39,7
6	44,6	14,0	39,8
7	44,5	14,0	39,8
8	44,5	13,9	39,9
9	44,6	14,0	39,8
10	44,5	13,9	39,7
srednie arytm:	44,55	14,0	39,79
SI:	0,45	0,14	0,40
	[m]	[m]	[m]

na podstawie wzoru:

(gdzie gęstość wody destylowanej ρ_w=9,98∗10­²[kg/m³])

Błąd przy wyznaczaniu gęstości cieczy (jako dominujące uznajemy niepewności systematyczne):

- pomiar wykonywany katetometrem o podziałce 1 mm

WYZNACZENIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI i NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH:

• niepewność ၄r

pomiar wykonywany śrubą mikrometryczną o podziałce 0,01mm- niep systematyczna: 0,000005 m

Przyjmując wsp. Studenta-Fischera dla poziomu ufrności 0,7 (1,1) całkowita niepewność pomiaru 2r wynosi:

• niepewność ၄t

pomiar wykonywany stoperem o podziałce 0,2s - niep systematyczna: 0,1 s

Przyjmując wsp. Studenta-Fischera dla poziomu ufności 0,7 (1,1) całkowita niepewność pomiaru t wynosi:

• niepewność ၄l

Wiemy że l=S₂-S₁ - korzystamy ze wzoru:

a wyliczone
i
- zasada obliczeń identyczna jak przy wyznaczaniu błędu ၄t (z niepewnością systematyczną równą połowie podziałki katetometru: 0,05 mm) - wynoszą:

• wyznaczenie prędkości poruszania się kulki i niepewności przy jej wyznaczaniu

korzystając ze wzoru na niepewność względną wielkości fizycznej będącą iloczynem potęg wielkości prostych:

czyli:

• wyznaczenie wsp. lepkości i niepewności pomiarowej

Korzystamy ze wzoru (6)

gdzie
- gęstość kulki

Niepewność obliczamy korzystając ze wzoru na niepewność maksymalną:

wartość współczynnika lepkości obliczona ze wzoru (6)

czyli wyznaczona w ćwiczeniu wartość współczynnika lepkości wynosi:

liczba Reynoldsa (wzór 7) dla uzyskanych wyników:

prawo Stokesa jest słuszne w tym przypadku.

4. Wnioski

Otrzymana doświadczalnie wartość współczynnika lepkości wynosi
.

Współczynnik lepkości dla oleju maszynowego pod ciśnieniem 1000 hPa i w temperaturze 20⁰C wynosi 0,274[N∗m^-1∗s] - wynik tablicowy mieści się w niepewności pomiarowej -najprawdopodobniej więc właśnie on wypełniał szklany cylinder w którym wykonywaliśmy pomiar.

Policzymy dodatkowo poprawkę w obliczeniach wsp. lepkości wg. Landenburga (bierze ona pod uwagę wpływ ścian cylindra o prom. R na prędkość spadającej kulki).

możliwe więc że badaną cieczą był olej parafinowy o wsp. lepkości 0,1018 [N∗m^-1∗s] dla ciśnienia 1000 hPa i w temperatury 20⁰C

4

rys.1 : Rozkład prędkości w warstwie cieczy

Rys.l. Rozkład prędkości w warstwie cieczy

---