Równania ró
niczkowe drugiego rz
du z osobliwo
ci
regularn
w punkcie 0.

Funkcje Bessela (walcowe) - definicja i w
asno
ci.

Rozwa
my równanie ró
niczkowe drugiego rz
du postaci

(*)
,

gdzie f₁ i f₂ rozk
adaj
si
w szeregi pot
gowe w pewnym otoczeniu punktu x₀=0. Mówimy wtedy,
e to równanie (lub, równowa
ne mu równanie

)

ma osobliwo

regularn
w punkcie 0. Przyk
adem takiego równania jest np. tzw. równanie Bessela:

;

tutaj k jest tzw. wska
nikiem, k"0. Tutaj f₁(x)=1, f₂(x)=-k²+0x+1x².

Niech wspomnianymi szeregami pot
gowymi b
d

.

Istnieje twierdzenie,
e przy tych za
o
eniach, rozwa
ane równanie ma przynaj-mniej jedno rozwi
zanie w postaci “uogólnionego szeregu pot
gowego”, tzw. szeregu Frobeniusa -

;

szereg ten jest zbie
ny przynajmniej w obszarze wspólnej zbie
no
ci szeregów na f₁ i f₂, z wyj
tkiem co najwy
ej punktu x₀ = 0.

Poszukajmy rozwi
zania równania Bessela w postaci szeregu Frobeniusa. Niech

W ogólnym przypadku podstawienie do równania (*) wymaga mno
enia szeregów, a wi
c grupowania wyrazów danego stopnia w iloczynie szeregów. W przypadku równania Bessela, wszystko si
znacznie upraszcza, poniewa
zarówno f₁, jak i f₂ s
wielomianami. Mamy wi
c

Po podstawieniu do równania otrzymujemy

Dziel
c przez x^r (x"0) i korzystaj
c z faktu,
e na to, aby szereg pot
gowy zerowa
si
dla x z pewnego s
siedztwa punktu x₀=0 potrzeba (i wystarcza), aby wszystkie jego wspó
czynniki by
y równe zeru, otrzymujemy:

dla n=0:
, czyli

(**)
,

bo poszukujemy rozwi
zania, w którym a₀"0;

dla n=1:
, czyli

;

wreszcie dla n"2

.

Rozwa
my przede wszystkim pierwsze z tych równa
, tzn. (**). Odgrywa ono rol
równania charakterystycznego. Je
eli równanie to ma pierwiastki rzeczywiste, to ilo

liniowo niezale
nych rozwi
za
w postaci szeregu Frobeniusa zale
y od pierwiastków tego równania, a dok
adniej, od tego, czy s

a) dwa pierwiastki nie ró
ni
ce si
o liczb
ca
kowit
(wtedy otrzymujemy dwa liniowo niezale
ne rozwi
zania w postaci szeregów Frobeniusa);

b) dwa pierwiastki ró
ni
ce si
o liczb
ca
kowit
, powiedzmy r (mniejszy) i r+d (wi
kszy); wtedy,

ba) albo przy wzi
ciu mniejszego pierwiastka równanie na a_d jest sprzeczne, i otrzymujemy tylko rozwi
zanie otrzymane dla wi
kszego pierwiastka,

bb) albo te
, przy wzi
ciu mniejszego pierwiastka, równanie na a_d ma posta
0=0, wtedy otrzymujemy dwa rozwi
zania - zale
ne od sta
ych dowolnych a₀ i a_d (rozwi
zanie otrzymane dla r+d jest wtedy liniowo zale
ne od nich i nie bierzemy go ju
wi
cej pod uwag
);

c) jeden pierwiastek podwójny - wtedy otrzymujemy jedno rozwi
zanie w postaci szeregu Frobeniusa.

We wszystkich przypadkach, kiedy powy
sze procedury daj
nam tylko jedno rozwi
zanie (powiedzmy y₁), drugiego rozwi
zania szuka si
w postaci

,

gdzie z kolei u jest dane w postaci szeregu Frobeniusa
, gdzie r - mniejszy pierwiastek, wzgl
dnie - pierwiastek podwójny.

Dla równania Bessela

.

Rozwa
my najpierw wi
kszy pierwiastek r=k; drugie równanie daje

(2k+1)a₁=0, czyli a₁=0 (2k+1>0, jako
e k jest >=0).

Nast
pnie
, tzn

.

Poniewa
2k jest tu >=0, wi
c

.

Poniewa
a₁=0, wi
c mamy a₃=a₅=...=a_2n+1=0; natomiast dla parzystych n mamy

itd., ogólnie

,

czyli

.

Przyjmuj
c w szczególno
ci
otrzymujemy funkcj
, któr
oznaczamy przez J_k i nazywamy funkcj
Bessela pierwszego rodzaju rz
du k:

.

(Szereg ten jest zbie
ny dla wszystkich x, co wynika z kryterium d'Alemberta.)

Analogicznie dla k " 0, 1, 2, ... otrzymujemy drugie rozwi
zanie i jest to dok
adnie

.

Tak wi
c dla k"0,1,2 otrzymujemy dwa liniowo niezale
ne rozwi
zania w postaci szeregu Frobeniusa J_k i J_-k, a rozwi
zaniem ogólnym równania jest

.

Chocia
dla k=0,1,2,... szereg na J_-k(x) formalnie traci sens, mo
na mu nada
sens przyjmuj
c,
e wyrazy, dla których funkcja gamma w mianowniku d

y do niesko
czono
ci s
równe zeru, i wtedy otrzymujemy

Tak wi
c dla k=0,1,2,... funkcje J_k i J_-k s
liniowo zale
ne i rozwi
zanie ogólne równania Bessela nie mo
e mie
takiej postaci, jak dla k nieca
kowitych.

Dla k=1,2,... drugie rozwi
zanie jest postaci

,

gdzie
. Mo
na wykaza
,
e z dok
adno
ci
do sta
ej, drugie rozwi
zanie jest postaci

gdzie

Tutaj k=1,2,3,... . Rozwi
zanie ogólne jest wi
c wtedy postaci

.

Funkcj
N_k nazywamy funkcj
Neumana rz
du k lub te
funkcj
Bessela drugiego rodzaju rz
du k. Powy
sze rozwi
zanie jest wa
ne tak
e dla k=0, je
eli zdefiniowa

dla x>0, gdzie z kolei

(zbie
ny dla wszystkich x).

Uwaga.

;

W praktyce najcz

ciej wykorzystuje si
J₀ i J₁, dlatego wypiszmy jeszcze

.

W
asno
ci funkcji Bessela

A. Miejsca zerowe funkcji Bessela.

1. Je
eli x₁ i x₂ s
miejscami zerowymi funkcji J_k(x), to w przedziale (x₁,x₂) istnieje miejsce zerowe funkcji J_k-1(x) i J_k+1(x).

2. Funkcja Bessela J₀(x) ma miejsce zerowe w ka
dym przedziale o d
ugo
ci .

3. Ka
da funkcja Bessela J_k(x), k=1,2, ... ma niesko
czenie wiele miejsc zerowych w przedziale (0,").

4. Je
eli k>1/2, to ró
nica mi
dzy dwoma kolejnymi miejscami zerowymi J_k(x) jest wi
ksza ni
.

5. Je
eli k>1/2, to ró
nica mi
dzy dwoma kolejnymi miejscami zerowymi J_k(x) d

y do , gdy x d

y do niesko
czono
ci.

6. Pierwsze dodatnie miejsce zerowe J_k(x) jest wi
ksze ni
k.

7. Funkcja Bessela J_k(x) ma tylko rzeczywiste miejsca zerowe.

B. Ró
ne zwi
zki pomi
dzy J_k, J_k-1 i J_k+1.

D.:

Podobnie wykazuje si
drug
z równo
ci.

Z pierwszej z powy
szych równo
ci otrzymujemy:

;

dziel
c przez x^k mamy

i podobnie

(*)
.

St
d w miejscach zerowych

.

Mamy tak
e wzór rekurencyjny

oraz wzór na ró
niczkowanie

We
my pod uwag
dwa równania Bessela

Ca
kami tych równa
, ograniczonymi w otoczeniu punktu x=0 przy za
o
eniu,
e k>-1/2, s
funkcje

Mno

c pierwsze z tych równa
przez -z/x a drugie przez y/x i dodaj
c stronami, otrzymujemy

,

czyli

Ca
kujemy od 0 do 1; wobec ograniczono
ci y i z w otoczeniu punktu 0, dostajemy

,

czyli

(**)

tzn.

.

Niech teraz alfa i beta b
d
dwoma ró
nymi pierwiastkami funkcji J_k(x), czyli

, gdzie n"m. Ró
niczkuj
c wzór (**) wzgl
dem  otrzymujemy

;

przyjmuj
c teraz =, dziel
c przez 2 i przejmuj
c jako = miejsce zerowe funkcji J_k(x), otrzymujemy

,

gdzie ostatnia równo

wynika z faktu,
e

,

co z kolei wynika ze wzoru (*).

---