R�wnania r�
niczkowe drugiego rz
du z osobliwo
ci
regularn
w punkcie 0.

Funkcje Bessela (walcowe) - definicja i w
asno
ci.

Rozwa
my r�wnanie r�
niczkowe drugiego rz
du postaci

(*)
,

gdzie f₁ i f₂ rozk
adaj
si
w szeregi pot
gowe w pewnym otoczeniu punktu x₀=0. M�wimy wtedy,
e to r�wnanie (lub, r�wnowa
ne mu r�wnanie

)

ma osobliwo

regularn
w punkcie 0. Przyk
adem takiego r�wnania jest np. tzw. r�wnanie Bessela:

;

tutaj k jest tzw. wska
nikiem, k"0. Tutaj f₁(x)=1, f₂(x)=-k²+0x+1x².

Niech wspomnianymi szeregami pot
gowymi b
d

.

Istnieje twierdzenie,
e przy tych za
o
eniach, rozwa
ane r�wnanie ma przynaj-mniej jedno rozwi
zanie w postaci “uog�lnionego szeregu pot
gowego”, tzw. szeregu Frobeniusa -

;

szereg ten jest zbie
ny przynajmniej w obszarze wsp�lnej zbie
no
ci szereg�w na f₁ i f₂, z wyj
tkiem co najwy
ej punktu x₀ = 0.

Poszukajmy rozwi
zania r�wnania Bessela w postaci szeregu Frobeniusa. Niech

W og�lnym przypadku podstawienie do r�wnania (*) wymaga mno
enia szereg�w, a wi
c grupowania wyraz�w danego stopnia w iloczynie szereg�w. W przypadku r�wnania Bessela, wszystko si
znacznie upraszcza, poniewa
zar�wno f₁, jak i f₂ s
wielomianami. Mamy wi
c

Po podstawieniu do r�wnania otrzymujemy

Dziel
c przez x^r (x"0) i korzystaj
c z faktu,
e na to, aby szereg pot
gowy zerowa
si
dla x z pewnego s
siedztwa punktu x₀=0 potrzeba (i wystarcza), aby wszystkie jego wsp�
czynniki by
y r�wne zeru, otrzymujemy:

dla n=0:
, czyli

(**)
,

bo poszukujemy rozwi
zania, w kt�rym a₀"0;

dla n=1:
, czyli

;

wreszcie dla n"2

.

Rozwa
my przede wszystkim pierwsze z tych r�wna
, tzn. (**). Odgrywa ono rol
r�wnania charakterystycznego. Je
eli r�wnanie to ma pierwiastki rzeczywiste, to ilo

liniowo niezale
nych rozwi
za
w postaci szeregu Frobeniusa zale
y od pierwiastk�w tego r�wnania, a dok
adniej, od tego, czy s

a) dwa pierwiastki nie r�
ni
ce si
o liczb
ca
kowit
(wtedy otrzymujemy dwa liniowo niezale
ne rozwi
zania w postaci szereg�w Frobeniusa);

b) dwa pierwiastki r�
ni
ce si
o liczb
ca
kowit
, powiedzmy r (mniejszy) i r+d (wi
kszy); wtedy,

ba) albo przy wzi
ciu mniejszego pierwiastka r�wnanie na a_d jest sprzeczne, i otrzymujemy tylko rozwi
zanie otrzymane dla wi
kszego pierwiastka,

bb) albo te
, przy wzi
ciu mniejszego pierwiastka, r�wnanie na a_d ma posta
0=0, wtedy otrzymujemy dwa rozwi
zania - zale
ne od sta
ych dowolnych a₀ i a_d (rozwi
zanie otrzymane dla r+d jest wtedy liniowo zale
ne od nich i nie bierzemy go ju
wi
cej pod uwag
);

c) jeden pierwiastek podw�jny - wtedy otrzymujemy jedno rozwi
zanie w postaci szeregu Frobeniusa.

We wszystkich przypadkach, kiedy powy
sze procedury daj
nam tylko jedno rozwi
zanie (powiedzmy y₁), drugiego rozwi
zania szuka si
w postaci

,

gdzie z kolei u jest dane w postaci szeregu Frobeniusa
, gdzie r - mniejszy pierwiastek, wzgl
dnie - pierwiastek podw�jny.

Dla r�wnania Bessela

.

Rozwa
my najpierw wi
kszy pierwiastek r=k; drugie r�wnanie daje

(2k+1)a₁=0, czyli a₁=0 (2k+1>0, jako
e k jest >=0).

Nast
pnie
, tzn

.

Poniewa
2k jest tu >=0, wi
c

.

Poniewa
a₁=0, wi
c mamy a₃=a₅=...=a_2n+1=0; natomiast dla parzystych n mamy

itd., og�lnie

,

czyli

.

Przyjmuj
c w szczeg�lno
ci
otrzymujemy funkcj
, kt�r
oznaczamy przez J_k i nazywamy funkcj
Bessela pierwszego rodzaju rz
du k:

.

(Szereg ten jest zbie
ny dla wszystkich x, co wynika z kryterium d'Alemberta.)

Analogicznie dla k " 0, 1, 2, ... otrzymujemy drugie rozwi
zanie i jest to dok
adnie

.

Tak wi
c dla k"0,1,2 otrzymujemy dwa liniowo niezale
ne rozwi
zania w postaci szeregu Frobeniusa J_k i J_-k, a rozwi
zaniem og�lnym r�wnania jest

.

Chocia
dla k=0,1,2,... szereg na J_-k(x) formalnie traci sens, mo
na mu nada
sens przyjmuj
c,
e wyrazy, dla kt�rych funkcja gamma w mianowniku d

y do niesko
czono
ci s
r�wne zeru, i wtedy otrzymujemy

Tak wi
c dla k=0,1,2,... funkcje J_k i J_-k s
liniowo zale
ne i rozwi
zanie og�lne r�wnania Bessela nie mo
e mie
takiej postaci, jak dla k nieca
kowitych.

Dla k=1,2,... drugie rozwi
zanie jest postaci

,

gdzie
. Mo
na wykaza
,
e z dok
adno
ci
do sta
ej, drugie rozwi
zanie jest postaci

gdzie

Tutaj k=1,2,3,... . Rozwi
zanie og�lne jest wi
c wtedy postaci

.

Funkcj
N_k nazywamy funkcj
Neumana rz
du k lub te
funkcj
Bessela drugiego rodzaju rz
du k. Powy
sze rozwi
zanie jest wa
ne tak
e dla k=0, je
eli zdefiniowa

dla x>0, gdzie z kolei

(zbie
ny dla wszystkich x).

Uwaga.

;

W praktyce najcz

ciej wykorzystuje si
J₀ i J₁, dlatego wypiszmy jeszcze

.

W
asno
ci funkcji Bessela

A. Miejsca zerowe funkcji Bessela.

1. Je
eli x₁ i x₂ s
miejscami zerowymi funkcji J_k(x), to w przedziale (x₁,x₂) istnieje miejsce zerowe funkcji J_k-1(x) i J_k+1(x).

2. Funkcja Bessela J₀(x) ma miejsce zerowe w ka
dym przedziale o d
ugo
ci .

3. Ka
da funkcja Bessela J_k(x), k=1,2, ... ma niesko
czenie wiele miejsc zerowych w przedziale (0,").

4. Je
eli k>1/2, to r�
nica mi
dzy dwoma kolejnymi miejscami zerowymi J_k(x) jest wi
ksza ni
.

5. Je
eli k>1/2, to r�
nica mi
dzy dwoma kolejnymi miejscami zerowymi J_k(x) d

y do , gdy x d

y do niesko
czono
ci.

6. Pierwsze dodatnie miejsce zerowe J_k(x) jest wi
ksze ni
k.

7. Funkcja Bessela J_k(x) ma tylko rzeczywiste miejsca zerowe.

B. R�
ne zwi
zki pomi
dzy J_k, J_k-1 i J_k+1.

D.:

Podobnie wykazuje si
drug
z r�wno
ci.

Z pierwszej z powy
szych r�wno
ci otrzymujemy:

;

dziel
c przez x^k mamy

i podobnie

(*)
.

St
d w miejscach zerowych

.

Mamy tak
e wz�r rekurencyjny

oraz wz�r na r�
niczkowanie

We
my pod uwag
dwa r�wnania Bessela

Ca
kami tych r�wna
, ograniczonymi w otoczeniu punktu x=0 przy za
o
eniu,
e k>-1/2, s
funkcje

Mno

c pierwsze z tych r�wna
przez -z/x a drugie przez y/x i dodaj
c stronami, otrzymujemy

,

czyli

Ca
kujemy od 0 do 1; wobec ograniczono
ci y i z w otoczeniu punktu 0, dostajemy

,

czyli

(**)

tzn.

.

Niech teraz alfa i beta b
d
dwoma r�
nymi pierwiastkami funkcji J_k(x), czyli

, gdzie n"m. R�
niczkuj
c wz�r (**) wzgl
dem  otrzymujemy

;

przyjmuj
c teraz =, dziel
c przez 2 i przejmuj
c jako = miejsce zerowe funkcji J_k(x), otrzymujemy

,

gdzie ostatnia r�wno

wynika z faktu,
e

,

co z kolei wynika ze wzoru (*).

---