Rok akademicki 1998.1999 |
Laboratorium z fizyki |
|||
Nr ćwiczenia:
72 |
Temat: Zjawisko Halla |
|||
Wydział: Elektronika
Kierunek: E-nika i Telekom.
Grupa: E01 |
Imię i nazwisko: Bartlomiej Bujko |
|||
Data wykonania |
Ocena |
Data zaliczenia |
Podpis |
|
|
T |
|
|
|
|
S |
|
|
|
1. Zasada pomiaru.
Do najważniejszych zjawisk związanych z transportem ładunku elektrycznego w metalach i półprzewodnikach należy zjawisko Halla. Zjawisko to przejawia się pod wpływem pola magnetycznego o induckji B w elemencie przewodzącym prąd elektryczny o gęstości j i polega na powstaniu pola elektrycznego E . Określa to zależność:
gdzie: RH - współczynnik Halla
W przypadku gdy B ⊥ j to wartość wektora E jest równa: .
Zwrot pola elektrycznego E zależy nie tylko od zwrotów wektorów indukcji magnetycznej B i gęstości prądy j , ale także od rodzaju nośników ładunku, a więc współczynnik Halla przyjmuje zarówno wartości dodatnie lub ujemne. Najczęściej, za rodzaj nośników ładunku, przyjmuje się jednak elektrony, stąd zależność na współczynnik Halla wygląda następująco:
gdzie: n - koncentracja elektronów
Wyznaczenie stałej Halla pozwala na obliczenie koncentracji n elektronów swobodnych w metalu lub elektronów półprzewodnictwa w półprzewodniku zdegenerowanym oraz ich ruchliwość μH , zwaną ruchliwością holowską:
gdzie: ρ - opór właściwy materiału próbki
σ - przewodność właściwa materiału próbki
Element, którego zasada działania jest oparta na zjawisku Halla, nosi nazwę hallotronu.
Ma on zazwyczaj postać płaskiej płytki prostopadłościennej wykonanej z materiału półprzewodnikowego o grubości małej w stosunku do pozostałych wymiarów, to jest szerokości i długości. Elektrody umieszczone na całej powierzchni przekroju krótszych boków płytki, są nazywane elektrodami wejściowymi, sterującymi lub prądowymi, gdyż przez nie płynie prąd sterujący I . Natomiast elektrody umieszczone symetrycznie w środku obu dłuższych boków płytki nazywa się elektrodami Halla, wyjściowymi lub napięciowymi, gdyż na nich wytwarza się różnica potencjałów nazywana napięciem Halla:
gdzie: V - średnia prędkość elektronów
a - odległość między elektrodami napięciowymi
Celem ćwiczenia było dokonanie pomiaru współczynnika Halla dla próbki półprzewodni-ka, wyznaczenie koncentracji i ruchliwości nośników.
2. Schemat układu pomiarowego.
3. Ocena dokładności pojedynczych pomiarów.
Parametry próbki i warunki pomiarów efektu Halla
Lp. |
Wielkość |
Wartość |
Błąd maks. |
Jednostka |
1 |
l |
0,5 |
0,1 |
mm |
2 |
a |
3 |
0,1 |
mm |
3 |
b |
2 |
0,1 |
μm |
4 |
ρ |
1,5⋅10-3 |
- |
Ωm |
5 |
B |
160 |
7,5 |
mT |
gdzie: l - długość próbki
a - szerokość próbki
b - grubość próbki
ρ - oporność właściwa
Dokładność pomiarowa przyrządów użytych w ćwiczeniu:
a) amperomierz analogowy:
b) woltomierz cyfrowy:
4. Tabele pomiarowe.
Tabela 1. Wyniki pomiarów i obliczeń.
Lp. |
I |
-UH |
UH |
UHśr |
Uhśr ⋅I |
|
mA |
mV |
mV |
mV |
mV⋅mA |
1 |
2 |
0,17 |
0,17 |
0,17 |
0,34 |
2 |
3 |
0,24 |
0,24 |
0,24 |
0,72 |
3 |
4 |
0,31 |
0,32 |
0,315 |
1,26 |
4 |
5 |
0,39 |
0,40 |
0,395 |
1,98 |
5 |
6 |
0,47 |
0,47 |
0,47 |
2,82 |
6 |
7 |
0,54 |
0,55 |
0,545 |
3,82 |
7 |
8 |
0,62 |
0,63 |
0,625 |
5,00 |
8 |
9 |
0,71 |
0,71 |
0,71 |
6,39 |
9 |
10 |
0,77 |
0,79 |
0,78 |
7,80 |
10 |
11 |
0,83 |
0,86 |
0,845 |
9,30 |
11 |
12 |
0,91 |
0,93 |
0,92 |
11,04 |
12 |
13 |
0,99 |
1,01 |
1,00 |
13,00 |
13 |
14 |
1,07 |
1,09 |
1,08 |
15,12 |
14 |
15 |
1,13 |
1,17 |
1,15 |
17,25 |
Δ |
0,08 |
0,05% Ui |
0,05% Ui |
- |
- |
Σ |
119 |
- |
- |
9,25 |
95,83 |
Tabela 2. Wyniki pomiarów i obliczeń (cz. 2).
Lp. |
I2 |
Uhśr⋅ΔI |
I⋅ΔUHśr |
I⋅ΔI |
|
mA2 |
mV⋅mA |
mA⋅mV |
mA2 |
1 |
4 |
0,01 |
0,17⋅10-3 |
0,15 |
2 |
9 |
0,02 |
0,36⋅10-3 |
0,23 |
3 |
16 |
0,02 |
0,63⋅10-3 |
0,30 |
4 |
25 |
0,03 |
0,99⋅10-3 |
0,38 |
5 |
36 |
0,04 |
1,41⋅10-3 |
0,45 |
6 |
49 |
0,04 |
1,91⋅10-3 |
0,53 |
7 |
64 |
0,05 |
2,50⋅10-3 |
0,60 |
8 |
81 |
0,05 |
3,20⋅10-3 |
0,68 |
9 |
100 |
0,06 |
3,90⋅10-3 |
0,75 |
10 |
121 |
0,06 |
4,65⋅10-3 |
0,83 |
11 |
144 |
0,07 |
5,52⋅10-3 |
0,90 |
12 |
169 |
0,08 |
6,50⋅10-3 |
0,98 |
13 |
196 |
0,08 |
7,56⋅10-3 |
1,05 |
14 |
225 |
0,09 |
8,63⋅10-3 |
1,13 |
Σ |
1239 |
0,69 |
47,9⋅10-3 |
8,93 |
Tabela 3. Wyznaczanie napięcia Halla metodą regresji liniowej. Współczynniki.
N |
∑ I |
∑ Uhśr |
∑ I⋅ UHśr |
∑ I2 |
( ∑ I )2 |
- |
mA |
mV |
mA mV |
mA2 |
mA2 |
14 |
119 |
9,25 |
95,83 |
1239 |
14169 |
5. Przykładowe obliczenia wyników pomiarów wielkości złożonej.
a) współczynnik kierunkowy prostej został wyliczony metodą regresji liniowej, wg
wzoru:
stąd:
b) napięcie Halla (teoretyczne) obliczone metodą regresji liniowej wg wzoru:
współczynnik α obliczono w podpunkcie (a), natomiast wyraz wolny β został obliczony
ze wzoru:
stąd:
Na podstawie obliczonych powyżej czynników wzór na napięcie Halla wynosi:
np.
c) stała Halla obliczona wg wzoru: :
d) koncentracja nośników wyznaczona ze wzoru: :
e) ruchliwość nośników wyznaczona ze wzoru: :
6. Rachunek błędów.
a) błąd względny pomiaru współczynnika kierunkowego prostej został obliczony wg wzoru:
stąd:
b) błąd maksymalny pomiaru stałej Halla został wyznaczony metodą różniczki logarytmicznej:
ostatecznie błąd wynosi:
c) błąd maksymalny koncentracji nośników został obliczony metodą różniczki logarytmicznej,
analogicznie jak w podpunkcie (b):
d) błąd maksymalny ruchliwości nośników wyznaczony metodą różniczki logarytmicznej:
7. Zestawienie wyników pomiarów.
a) napięcie Halla wyznaczone metodą regresji liniowej
I |
UH (teor.) |
I |
UH (teor.) |
mA |
mV |
mA |
mV |
2 |
0,17 |
9 |
0,70 |
3 |
0,24 |
10 |
0,77 |
4 |
0,32 |
11 |
0,85 |
5 |
0,40 |
12 |
0,93 |
6 |
0,47 |
13 |
1,00 |
7 |
0,55 |
14 |
1,08 |
8 |
0,62 |
15 |
1,15 |
b) stała Halla badanej próbki:
RH = ( 0,95 ± 0,11 ) ⋅10-6
c) koncentracja nośników badanej próbki:
n = ( 6,60 ± 0,79 ) ⋅1024
d) ruchliwość nośników badanej próbki:
μ H = ( 6,32 ± 0,75 ) ⋅10-4
Pozostałe wyniki znajdują się w punkcie 4 sprawozdania.
8. Uwagi i wnioski.
W przeprowadzonym ćwiczeniu pomiary efektu Halla odbywały się z dość dużą dokładnością. Wpływ na to miały: dokładny amperomierz analogowy o klasie 0,5 oraz bardzo dokładny miliwoltomierz cyfrowy. Błąd pomiarowy mógł natomiast wprowadzać fakt, że sondę holowską należało wprowadzać między bieguny magnesu odwracając ją o 180° podczas każdego pomiaru i w związku z tym jej koniec nigdy nie znajdował się idealnie na tym samym miejscu w centrum szczeliny. Ponadto zbyt czułe pokrętło regulacji prądu uniemożliwiało szybkie ustawienie ściśle żądanej wielkości, a pomiary zgodnie z zaleceniem musiały być wykonane w jak najkrótszym czasie.
Wyniki pomiarów okazały się być dokładne. Napięcie Halla wyliczone metodą regresji liniowej niewiele odbiegało od uśrednionych wartości napięć pomiarowych, w większości przypadków było niemal identyczne. Stan ten obrazuje dołączony do sprawozdania wykres zależności UH = f (I). Praktycznie wszystkie punkty pomiarowe leżą na wykreślonej na ich podstawie prostej. Obliczona wartość stałej Halla wyniosła ok. 0,95 , przy czym błąd jej wyznaczenia niewiele przekracza 10%. Koncentracja nośników badanej próbki wyniosła 6,6⋅1024 na metr sześcienny, natomiast ich ruchliwość ok. 6,3⋅10-4 .
- 7 -