WYKŁAD 4

Zmienna losowa (funkcja przyporządkowująca zdarzeniom elementarnym liczby; liczbowa prezentacja wyniku doświadczenia losowego)

tj.:

- zdarzenie elementarne
- przestrzeń zdarzeń elementarnych

Podział zmiennych losowych

- skokowe (dyskretne)

- ciągłe

Opisać (scharakteryzować) rozkład zmiennej losowej

Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa (zmienne skokowe)

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa (zmienne ciągłe)

Dystrybuanta zmiennej losowej

Własności:

1. F(x) jest funkcją niemalejącą

2. 
   

Najważniejsze parametry zmiennych losowych:

- wartość oczekiwana (przeciętna) E(X) (wartość, wokół której skupiają się realizacje zmiennej losowej uzyskiwane w wyniku wielokrotnie powtarzalnego doświadczenia)

- wariancja i odchylenie standardowe D²(X) i D(X) (miara rozproszenia wartości zmiennej wokół wartości przeciętnej; im mniejsze tym wartości skupione wokół wartości przeciętnej)

Zmienne losowe skokowe

• Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa

• Dystrybuanta

Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa

przy czym:

Parametry zmiennej losowej skokowej

Najważniejsze typy rozkładów skokowych:

Rozkład zero-jedynkowy

Rozkład Bernouliego (dwumianowy)

Najważniejsze rozkłady ciągłe

• Rozkład normalny

X∼N(m, σ)

Rozkład normalny standaryzowany

N(0, 1)

- bo wykres symetryczny względem osi OY

Twierdzenie

Jeśli X∼N(m, σ) to zmienna losowa U

utworzona przekształceniem:

ma rozkład N(0, 1)

Reguła trzech sigm 3 σ

• Rozkład t-Studenta

• Rozkład
  (chi-kwadrat)

• Rozkład F-Fischera-Snedecora

Podstawy wnioskowania statystycznego

- populacja generalna,

- próba (populacja próbna).

Losowy dobór próby - próba losowa.

Wnioskowanie statystyczne - uogólnianie wyników uzyskanych w próbie losowej na całą populację generalną.

Próba prosta (losowanie indywidualne, nieograniczone, niezależne)

Próba reprezentatywna

- wybrana losowo

- odpowiednio liczna

(struktura próby jest zbliżona do struktury populacji)

Metody wnioskowania

• Estymacja parametrów populacji generalnej (szacowanie nieznanych wartości parametrów populacji)

• Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących rozkładu badanej cechy w populacji (parametrów rozkładu, kształtu rozkładu)

Estymator parametru

Ocena parametru

- ocena punktowa

- ocena przedziałowa

Estymator

1. Nieobciążony

2. Zgodny

dla dowolnego

3. Efektywny

Estymacja punktowa

Estymacja punktowa średniej m populacji i odchylenia standardowego σ populacji

Estymacja punktowa wskaźnika struktury p populacji

Estymacja przedziałowa

Przedział ufności dla średniej m populacji

Model A

Model B

Przykład 1

W losowo wybranej próbie 25 samochodów osobowych marki Toyota przeprowadzono badanie zużycia benzyny. Średnie zużycie w badanej próbie wynosiło 7,4 l/100 km, natomiast odchylenie standardowe 1,5 l/100 km. Zakładając, że zużycie paliwa ma rozkład normalny, oszacować średnie zużycie benzyny samochodów osobowych tej marki. Przyjąć współczynnik ufności 0,95.

Rozwiązanie:

Stosujemy model A:

więc:

Z prawdopodobieństwem 0,95 możemy twierdzić, że średnie zużycie benzyny samochodów osobowych tej marki jest większe niż 6,8 l/100 km ale mniejsze niż 8 l/100 km.

Przedział ufności dla wariancji σ² i odchylenia standardowego σ populacji

Przykład 2

Należy ocenić zróżnicowanie zużycia paliwa w samochodach osobowych marki Toyota. Na podstawie danych z przykładu 1 oszacować odchylenie standardowego zużycia paliwa tych samochodów. Przyjąć poziom ufności 0,95. Praca własna.

Wskazówka:

więc:

A zatem odpowiednie wartości krytyczne, dla
wynoszą

Przedział ufności dla wskaźnika struktury p populacji

Wiarygodność a dokładność w estymacji przedziałowej

Przykład 3

Spośród 5000 pracowników pewnej sieci supermarketów wylosowano 300 osób, którym zadano pytanie, czy w najbliższym czasie zamierzają opuścić dotychczasowe miejsce pracy. 30 osób odpowiedziało TAK. Na poziomie ufności 0,95 oszacować odsetek pracowników tej sieci supermarketów, którzy zamierzają opuścić miejsce pracy.

Rozwiązanie:

- odsetek osób w próbie, które zamierzają opuścić miejsce pracy

. . .

8

F(-a)

a

-a