Rachunek Prawdopodobieństwa
Zestaw nr3.
Zadanie 3.1.
Obliczyć A i B, aby funkcja F(x) była dystrybuantą ciągłej zmiennej losowej X:
Wyznaczyć gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Wykreślić funkcje F(x) i f(x). Obliczyć prawdopodobieństwo przyjmowania przez zmienną losową X wartości z przedziału (0,
).
Rozwiązanie
Na wstępie przypomnę co to jest dystrybuanta. A mianowicie Dystrybuantą mówi nam jakie jest prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą od x:
Dystrybuanta ma następujące własności (więc badana zadana funkcja też musi je mieć):
1. 
, jak widać nasza funkcja spełnia ten warunek.
2. 
, ten warunek też jest spełniony.
3. Funkcja musi być niemalejąca.
Aby nasz funkcja była niemalejąca musi być spełniona nierówność:
na przedziale (-1,1)
Wiemy, że funkcja arcsin(x) jest rosnąca, więc B>0, w przeciwnym przypadku funkcja
byłaby malejąca i nie spełniałaby warunków.
Tworzymy układ równań:
= > 
= > 
3 Dystrybuanta jest funkcją lewostronnie ciągłą.
W naszym wypadku funkcja musi spełniać następujący warunek:
, więc
=> 
Aby 
była dystrybuantą ciągłej zmiennej losowej, to też musi być ciągła, więc:
=> 
Biorąc pod uwagę ten i poprzedni warunek otrzymujemy układ równań:
=> 
Co daje ostateczny wynik:
Kolejnym krokiem w zadaniu jest wyliczenie gęstości prawdopodobieństwa. Liczymy ją zgodnie za wzorem:
, o ile istnieje liczona różniczka.
Wiemy, że nasza funkcja jest ciągła, więc posiada ona pochodną.
Obliczeń dokonujemy na przedziałach:
1 
2 
, nie trzeba tu dodatkowych
założeń dla x ponieważ przedział dla niego jest odpowiedni.
3 
Ostatecznie otrzymujemy:
Ostatnim punktem zadania jest wyliczenie poniższego prawdopodobieństwa:
Wykres:
Wykres:
Zadanie 3.2.
By funkcja 
była gęstością prawdopodobieństwa, musi zachodzić następująca zależność:
a co za tym idzie:
.
W tym momencie zauważamy, że jeśli istnieją odpowiednie całki, to:
By 
była gęstością prawdopodobieństwa musi oczywiście zachodzić następujący warunek:
(czyli pole pod całą krzywą musi być równe 1)
a co za tym idzie:
2A=1
Wartość ta spełnia warunek bycia większym-równym od 0, czyli
Czyli otrzymujemy następujący wykres:
Dystrybuanta
Dany mamy wzór (bez względu na to, gdzie znajdujemy się na osi 0X):
mamy zatem:
- dla 
(przy założeniu istnienia odpowiednich funkcji całkowych)
- dla 
(przy założeniu istnienia odpowiednich funkcji całkowych)
Otrzymujemy zatem:
Czyli otrzymujemy następujące wykresy funkcji:
Co sumarycznie daje nam:
Zadanie 3.3.
Czas pracy [w setkach godzin] do chwili przepalenia się lampy elektronowej jest zmienną losową 
o gęstości prawdopodobieństwa:
Znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej X. Narysować funkcję f(x) i F(x). Obliczyć prawdopodobieństwo, że lampa przepali się przed upływem 100 godzin oraz prawdopodobieństwo, że lampa przepali się między 50 a 100 godziną.
Rozwiązanie:
Korzystając ze wzoru:
- Dla 
- Dla 
- Dla 
Dystrybuanta F(x) zmiennej losowej X
Wykres gęstości f(x) prawdopodobieństwa:
Wykres dystrybuanty F(x):
Zadanie 3.4.
Zmienna losowa X ma gęstość prawdopodobieństwa f(x) daną wzorem:
Wyznaczyć dystrybuantę F(x) zmiennej losowej X oraz podać wykres. Obliczyć 
.
Rozwiązanie:
Zapisujemy
Korzystając ze wzoru:
- Dla 
- Dla 
- Dla 
- Dla 
Dystrybuanta F(x) zmiennej losowej X
Dystrybuanta F(x) zmiennej losowej X - wykres:
Zadanie 3.5.
Zmienna losowa X ma dystrybuantę F(x) daną wzorem:
Wyznaczyć dystrybuantę F(x) zmiennej losowej X oraz podać wykres. Obliczyć 
.
Rozwiązanie:
Wykres F(x):
Korzystając ze wzoru:
- Dla 
- Dla 
- Dla 
- Dla 
- Dla 
Gęstość f(x):
Zadanie 3.6.
Mamy dystrybuantę zmiennej losowej X
Z zależności:
wiemy, że:
Z powyższych odczytujemy histogram funkcji rozkładu prawdopodobieństwa:
I sporządzamy odpowiedni wykres P(X<x) jako funkcji zmiennej x:
Zadanie 3.7.
Na zbiorze liczb rzeczywistych określamy funkcję gęstości w sposób następujący:
Znaleźć dystrybuantę zmiennej losowej X i narysować jej wykres.
Wiemy, że:
Wystarczy policzyć całki na wszystkich przedziałach:
1 
2 
3 
Ostateczny wynik to:
Wykres, dla powyższej funkcji