Wydział EAIiE	Jantura Jarosław Kozdęba Marek		Rok pierwszy		Grupa III		Zespół : 6
Pracownia fizyczna I	Temat: Przenikalność dielektryczna						Nr ćwiczenia : 33
Data wykonania: 5.05.99	Data oddania:	Zwrot do popr.		Data oddania:		Data zaliczenia:	Ocena:

1. Cel ćwiczenia.

Pomiar pojemności kondensatorów powietrznych i z warstwą dielektryka w celu wyznaczenia przenikalności dielektrycznej próżni ε₀ i przenikalności względnych ε_r różnych materiałów.

2. Wprowadzenie.

Kondensator jest układem przewodników oddzielonych warstwą izolatora. Przez pojemność kondensatora C rozumiemy stosunek ładunku Q do napięcia między okładkami U,

Przy pomocy prawa Gaussa wyprowadza się, że pojemność kondensatora płaskiego wynosi

gdzie S jest powierzchnią okładki, d odległością między okładkami, współczynnik ε₀ = 8,85 pF/m nosi nazwę przenikalności dielektrycznej próżni i ε_r jest względną przenikalnością dielektryczną materiału między okładkami kondensatora.

Ze wzoru
wynika, że dla wyznaczenia stałych ε₀ i ε_r należy zmierzyć pojemność kondensatorów o znanych wymiarach geometrycznych, próżniowego i wypełnionego dielektrykiem.

1) Wyznaczenie przenikalności dielektrycznej próżni ε₀

W naszym eksperymencie przybliżeniem kondensatora próżniowego jest kondensator powietrzny (rys.1). Okładkami kondensatora są kołowe płyty metalowe. Określoną odległość między płytami uzyskuje się przez umieszczenie w trzech miejscach stosu izolujących krążków. Do pomiaru pojemności kondensatora stosujemy cyfrowy miernik pojemności.

Wartości ε₀ nie możemy wyznaczyć wprost ze wzoru
z dwóch powodów. Po pierwsze krążki określające odległość d między płytami wykonane są z materiału o przenikalności dielektrycznej ε_r znacznie większej od jedności, co powoduje powiększenie całkowitej pojemności kondensatora. Kondensator nasz potraktować można jako równoległe połączenie kondensatora z dielektrykiem o przenikalności względnej ε_r i łącznej powierzchni okładek równej 3S_p (gdzie S_p jest powierzchnią jednego krążka) oraz kondensatora próżniowego, o powierzchni okładek równej S-3S_p.

Pojemność całkowita wynosi:

Z uwzględnieniem tej poprawki wartość ε₀ obliczamy jako:

Rys.1. Pole elektryczne w kondensatorze płaskim

Druga istotna poprawka wynika z istnienia tzw. pola rozproszonego. Wzór
jest w istocie wzorem przybliżonym. Jego wyprowadzenie przy użyciu prawa Gaussa opiera się na upraszczającym założeniu, że pole E ma wartość stałą we wnętrzu kondensatora i raptownie znika poza jego krawędzią. Z samych praw elektrostatyki wynika, że poza brzegami kondensatora pole nie może raptownie znikać. Niejednorodne (o zakrzywionych liniach sił) pole elektryczne poza okładkami nosi nazwę pola rozproszonego. Powoduje ono dodatkowy wzrost pojemności kondensatora, w konsekwencji wartość ε₀ wyliczona wprost ze wzoru
byłaby zawyżona.

Dla danej geometrii płyt odpowiednią poprawkę można obliczyć przez numeryczne obliczenie rozkładu pola przy brzegu kondensatora. W naszym ćwiczeniu zastosujemy doświadczalny sposób eliminacji wpływu pola rozproszonego. Efektywna „objętość” pola rozproszonego jest rzędu 2Πrd² gdyż pole to zajmuje z grubsza pas wysoki i szeroki na d wokół obwodu kołowych płyt kondensatora. Natomiast objętość pola jednorodnego wewnątrz kondensatora wynosi Πr²d. Względny udział pola rozproszonego, będący stosunkiem tych objętości wynosi 2d/r, czyli że maleje do zera w granicy d → 0.

Wykonamy zatem serię pomiarów pojemności C dla różnych wartości d, a następnie wykres iloczynu Cd w funkcji grubości d (rys.2).

Przez uzyskane punkty wykresu przeprowadzimy graficznie lub analitycznie gładką krzywą i ekstrapolujemy czyli przedłużamy do wartości d = 0. Ekstrapolowana wartość iloczynu Cd - czyli współrzędną punktu przecięcia krzywej Cd = f(d) z osią pionową podstawiamy do licznika wzoru
by uzyskać poprawną wartość ε_0.

Trzecim potencjalnym źródłem błędu systematycznego przy wyznaczaniu przenikalności dielektrycznej próżni jest fakt, że zamiast kondensatora próżniowego mamy kondensator wypełniony powietrzem.

Rys.2. Metoda eliminacji wpływu pola rozproszonego

2) Pomiar przenikalności względnej dielektryków.

Wartość ε_r dielektryków stałych wyznaczyć można przez pomiar pojemności kondensatora płaskiego z okładkami oddzielonymi cienką płytą z badanego materiału. Korzystamy ze wzoru
, poprawki na pole rozproszone nie będziemy uwzględniać.

Rys.3. Kabel koncentryczny jako kondensator cylindryczny.

Obok kondensatora płaskiego przykładem obiektu o określonej pojemności jest kabel koncentryczny (rys.3). Można go traktować jako kondensator cylindryczny, którego jedną okładką jest środkowy drut, drugą - miedziany oplot. Pojemność kondensatora cylindrycznego wyraża wzór:

,

w którym R i r oznaczają promienie okładek kondensatora, l jest jego długością.

Pojemność kabla koncentrycznego, zwykle wyrażana w pF/m, jest parametrem, który może mieć znaczenie dla działania współpracujących układów elektronicznych. Jej pomiar umożliwia wyznaczenie ε_r dla stosowanego w nim dielektryka, którym zwykle jest polietylen.

3) Wyznaczenie ε₀ jako pośredni pomiar prędkości światła.

W równaniach elektrostatyki (prawo Gaussa) pojawia się stała ε₀ natomiast w równaniach magnetostatyki (prawo Ampera) stała μ₀. Można odnieść wrażenie, że scharakteryzowanie własności elektromagnetycznych próżni wymaga dwóch stałych. Tak jednak nie jest, gdyż wartość jednej z nich, konkretnie μ₀ w układzie SI, jest wynikiem konwencji definiującej jednostkę prądu.

Przypomnijmy sobie, że amper jest zdefiniowany jako wartość prądu, który płynąc przez dwa nieskończone równoległe przewody odległe o a=1 m wytwarza siłę F=2*10^-7N na odcinku l = 1 m długości przewodu. Ponieważ siła oddziaływania między przewodami dana jest wzorem

,

więc podstawiając do tego wzoru wymienione wartości F, L, a oraz I=1A otrzymujemy zarówno wartość liczbową jak również jednostkę stałej konwencjonalnej μ₀=4Π*10^-7Vs/Am. Drugą stałą ε₀ trzeba rzeczywiście doświadczalnie wyznaczyć, gdyż przyjęcie jednostki prądu wyznacza pozostałe jednostki elektryczne, takie jak jednostka ładunku (1C=1A*1s), jednostkę napięcia (z relacji 1V*1A=1W) i jednostkę pojemności (1F=1C/1V) użytą do określenia pojemności naszego kondensatora.

Stwierdzamy zatem, że nawet jeśliby magnetostatyka i elektrostatyka pozostawały niezależnymi zjawiskami fizycznymi wymagają one w próżni tylko jednej stałej doświadczalnej. Pełny układ równań elektromagnetyzmu (równania Maxwella) wiąże wartości ε₀ i μ₀ z prędkością fali elektromagnetycznej c równaniem

.

Pomiar przenikalności dielektrycznej próżni stanowi więc pośrednią metodę wyznaczania prędkości światła.

Tabela 1. Wartości względnej przenikalności dielektrycznej dla wybranych dielektryków.

MATERIAŁ	εr
powietrze	1,00054
polietylen	2,3
polichlorek winylu (PCV)	2,8
pleksiglas	2,6
szkło pyrex	4,5
porcelana elektrotechniczna	6 - 8
krzem	11,7
woda	80

3. Aparatura.

Do zestawiania kondensatora o różnej geometrii używamy dwu kołowych metalowych okładek, zestawu krążków izolujących (wykonanych z pleskiglasu) i kilku płyt wykonanych z różnych dielektryków. Kondensatorem cylindrycznym jest standardowy kabel koncentryczny. Potrzebne mechaniczne przyrządy pomiarowe to śruba mikrometryczna i przymiar milimetrowy (ewentualnie długa suwmiarka).

Do pomiaru podatności zastosowano cyfrowy miernik MIC-4070D produkcji tajwańskiej. Działa on na zasadzie pomiaru oporności pozornej badanego kondensatora (X_c=1/(2ΠfC)) przy użyciu prądu o częstotliwości 1 kHz. Maksymalny błąd pomiaru C dla wszystkich zakresów miernika wynosi 1% wielkości mierzonej + 0,1% zakresu.

4. Wykonanie ćwiczenia.

1. Włączyć miernik LCR do sieci za pośrednictwem miniaturowego zasilacza. Powinien być zaopatrzony w krótkie przewody z „krokodylkami”, na razie nie podłączone do układu. Jeżeli wskazania miernika różnią się istotnie od zera (np. więcej niż 0,3 pF na zakresie 200 pF) wtedy przyrząd należy wyzerować.

2. Zestawić kondensator z płyt (ustawić dokładnie jedna nad drugą) i trzech pojedynczych izolacyjnych przekładek. Następnie zmierzyć pojemność C i odległość d.

Uwagi:

1. krążki przekładkowe posiadają jednakową średnicę, natomiast grubości płytek różnią się ze względu na różnice grubości płyty pleskiglasowej, z której zostały wytoczone. Należy mierzyć (śrubą mikrometryczną) indywidualne grubości d₁, d₂, d₃ dla każdego z krążków. Jako wartość d do dalszej analizy brać średnią arytmetyczną.

2. podczas pomiaru wartości C odsunąć ręce od układu, gdyż dotykanie mierzonego kondensatora powoduje zauważalny wzrost pojemności!

3. wyniki pomiarów d₁, d₂, d₃ i C oraz obliczone wartości d i Cd notować w odpowiedniej tabeli.

3. Pomiar pojemności powtórzyć dla wzrastającej liczby 2,3,4,5... przekładek w każdym z trzech słupków krążków (rys.1). Dla każdej konfiguracji mierzyć wysokości każdego słupka. Na zakończenie powtórzyć pomiar dla pojedynczych trzech przekładek.

4. Zmierzyć pojemności kondensatorów zestawionych z okładek metalowych rozdzielonych płytami wykonanymi z różnych dielektryków.

5. Zmierzyć pozostałe wymiary potrzebne dla obliczenia ε₀ i ε_r .

6. Dla odcinka kabla koncentrycznego zmierzyć jego pojemność i niezbędne wymiary geometryczne.

5. Opracowanie wyników.

1. Przenikalność dielektryczną próżni.

Wyniki pomiarów d₁, d₂, d₃, i C oraz obliczone wartości d_śr i Cd_śr pokazuje poniższa tabela:

Wyniki pomiarów:	d1 [mm]	d2 [mm]	d3 [mm]	Wartość średnia dśr [mm]	Pojemność C [pF]	Iloczyn Cdśr [pF*mm]
Pomiar dla 1 przekładki	3,26	3,29	3,12	3,223	137,40	442,886
Pomiar dla 2 przekładek	3,26	3,29	3,12	6,433	72,20	464,487
		3,22	3,23				3,18
	Pomiar dla 3 przekładek	3,26	3,29				3,12	9,663	49,80	481,234
		3,22	3,23				3,18
		3,26	3,28				3,15
	Pomiar dla 3 przekładek	3,26	3,29				3,12	12,470	39,70	495,059
		3,22	3,23				3,18
		3,26	3,28				3,15
		3,08	3,09				2,25
Powtórny pomiar dla 1 przekładki	3,08	3,17	3,16	3,137	140,90	441,956

Z wyliczonych danych d_śr i Cd_śr powstaje wykres zależności iloczynu Cd_śr od odległości okładek d_śr .

Przez uzyskane punkty wykresu przeprowadzamy gładką krzywą i ekstrapolujemy czyli przedłużamy do wartości d_śr = 0. Otrzymujemy poniższy wykres:

Wykres dany jest wzorem:

Cd = f(d) = -0,1566d² + 8,0807d + 148,4

z którego wyliczamy wartość dla d = 0 równą:

Cd = f(0) = 418,4 pF*mm = 0,4184 pF*m

Aby policzyć ε₀ potrzebne są jeszcze powierzchnie okładek kondensatora i powierzchnie:

1. okładek kondensatora:

D = 240 mm = 0,24 m - średnica,

S = Π*D²/4 = 0,0452389 m² - powierzchnia,

2. pleksiglasowych przekładek:

Zmierzone średnice:

dx1	19,97
dx2	19,96
dx3	19,94
dx4	19,97
dx5	19,98
dx6	19,93
dx7	19,96
dx8	19,96
dx9	19,94
dxśr	19,96

dx = 19,96 mm = 0,01996 m - średnica,

S_p = Π*dx²/4 = 0,000313 m² - powierzchnia,

Względna przenikalność dielektryczna dla pleksiglasu: ε_0r = 2,6

Przenikalność dielektryczną próżni liczymy za wzoru:

Błąd Δε liczymy z prawa przenoszenia błędów ze wzoru:

Potrzebne dane:

zakres = 200 pF

ε_r = 2,6

C = 140,9 pF

d = 0,00314 m

S = Π*D²/4 = 0,0452389 m²

S_p = Π*dx²/4 = 0,000313 m²

ΔC = 1%*C + 0,1%*zakres = 1,609 pF

Δd₁ = 0,001 m

Δd = 0,00001 m

ΔS = Π*Δd₁²/4 = 0,7854*10^-6 m²

ΔS_p = Π*Δd²/4 = 0,7854*10^-10 m²

Zatem przenikalność dielektryczną próżni ε₀ = 8,951 ± 0,112 pF/m.

Błąd procentowy wynosi:

Wartość obliczona ε₀ = 8,951 pF/m jest równa wartości tablicowej ε₀ = 8,85 pF/m w granicach błędu.

1. Względna przenikalność dielektryczną dla wybranych dielektryków.

Wyniki pomiarów d i C oraz obliczone wartości ε_r pokazuje poniższa tabela:

Materiał	Grubość d[mm]	Grubość d[m]	Pojemność C[nF]	Pojemność C[pF]	Względna przenikalność dielektryczna εr
Polichlorek winylu	3,1	0,0031	0,402	402	2,836
Ebonit	3,05	0,00305	0,763	763	5,296
Pleksiglas	2,92	0,00292	0,397	397	2,638
Pleksiglas 2 ?	3,93	0,00393	0,314	314	2,808

Uzyskane wyniki porównujemy z wartościami tabelarycznymi:

Materiał	Obliczone εr	Tablicowe εr
Polichlorek winylu	2,836	2,8
Ebonit	5,296	5,2
Pleksiglas	2,638	2,6
Pleksiglas 2 ?	2,808	2,6

Z tabeli wynika, że wartości obliczonej względnej przenikalności dielektrycznej są prawie identyczne z wartościami tablicowymi za wyjątkiem dielektryka oznaczonego jako pleksiglas 2 - wynika to stąd, że nie byliśmy w stanie w 100% stwierdzić czy był to rzeczywiście pleksiglas.

2. Pojemność dla kabla koncentrycznego.

Dane:

2r = 0,68 mm = 0,00068 m - średnica przewodu wewnętrznego,

2R = 4,53 mm = 0,00453 m - średnica izolatora (polietylen),

l = 114 cm = 1,14 m - długość kabla,

C = 77,8 pF - pojemność kabla,

Ze wzoru:

liczymy względną przenikalność dielektryczną polietylenu:

Wartość tabelaryczna wynosi 2,3.

3. Pomiar prędkości światła.

Dane:

ε₀ = 8,951 ± 0,112 pF/m - przenikalność dielektryczna próżni,

μ₀ = 1,2566*10^-6 Vs/Am - przenikalność magnetyczna próżni,

Prędkość światła liczymy ze wzoru:

Błąd procentowy prędkości światła równa się 0,63%

Wartość obliczona c = 2,982*10⁸ m/s jest równa wartości tablicowej c = 2,998*10⁸ m/s w granicach błędu.

Porównując względne błędy Δε₀ i Δc widać, że błąd względny Δc jest około dwa razy mniejszy.

6. Wnioski i uwagi.

• Wszystkie punkty ćwiczenia zostały wykonane zgodnie z instrukcją prowadzących zajęcia.

• Błędy pomiarów są wynikiem niedoskonałości naszych zmysłów oraz klasą używanych przyrządów.

• Otrzymana wartość ε₀ jest różna od wartości tablicowej o 0,101 pF/m co stanowi 1,14% , a wartość c jest różna od wartości tablicowej o 1,6*10⁶ co stanowi 0,53%.

Ćwiczenie 33 - Przenikalność dielektryczna

- 1 -

---