wykład 5

Ruch obrotowy ciała sztywnego

Równanie toru punktu s = r φ(t) (56)

a_n

A_o

r

φ a_t

A π φ

Rys.38 Ruch obrotowy wokół stałej osi

(57)

(a)

α

A_o

A

a_t

Rys.39 Składowe przyśpieszenia

Przykład 11

Na końcu A nierozciągliwej liny nawiniętej na bęben,

który może obracać się wokół poziomej osi, został przywiązany ciężar (rys.40). Ciężar ten zaczął opadać pionowo w dół ze stałym przyśpieszeniem liniowym o wartości a_o. Należy wyznaczyć prędkość kątową i przyśpieszenie kątowe bębna w dowolnej chwili oraz prędkość i przyśpieszenie liniowe punktu leżącego na obwodzie bębna. Promień zewnętrzny bębna równy jest r.

Rozwiązanie B

ds

dφ r

x A

dx

Rys.40 A₁

Przyśpieszenie punktu A
(b)

całkując (b) stronami otrzymamy:

(c)

Prędkość punktu B
(d)

Prędkość punktu A jest identyczna jak punktu B, z (c) i (d)

mamy

Korzystając ze wzorów (57) mamy:

,
,

Przykład 12

Przyśpieszenie kątowe ε ciała poruszającego się ruchem obrotowym wyrażone jest w zależności od czasu t jako

przy czym ε_o i α oznaczają stałe. W chwili t = 0

prędkość kątowa ciała była równa zeru. Należy wyznaczyć prędkość kątową ciała ω jako funkcję czasu t.

Rozwiązanie

(e)

dla t = 0 ω = 0 wstawiając to do (e) otrzymujemy

(f)

po podstawieniu (f) do (e) mamy, że

Przykład 13

Na rysunku 41 przedstawiono przekładnię zębatą. Dane:

ω₁ = 20 rad/s, r₁ = 20 cm, r₂ = 10 cm. Określić wartość ω₂ =?

Rozwiązanie A

ω₁ ω₂

V_A1 V_A2

Punkt A jest wspólny dla koła nr.1 i dla koła nr.2 stąd wniosek, że prędkość V_A1 musi równać się prędkości V_A2

a ponieważ V_A1 = ω₁r₁ i V_A2 = ω₂r₂ stąd ω₁r₁ = ω₂r₂

czyli:

Ruch złożony punktu

Prędkość i przyśpieszenie punktu w ruchu złożonym

• ruch bezwzględny ruch względem układu nieruchomego

• ruch względny ruch względem układu ruchomego

• ruch unoszenia ruch układu ruchomego względem

układu nieruchomego

z l

Z e_k ω

y

0 e_j

e_i r

r_o M

k r_M

0^' x

s i j Y

X Rys.42 e_i , e_j , e_k , i, j, k wersory

0'XYZ układ nieruchomy

0xyz układ ruchomy układ unoszenia

(g)

gdzie
;
(h)

Prędkość bezwzględna punktu M

(i)

gdzie:

jest prędkością unoszenia w ruchu postępowym

okładu ruchomego 0xyz względem układu

nieruchomego.

(j)

V_w = w V_uob

W równaniu (j) pierwsze trzy składniki = V_w = w, są

prędkością względną, natomiast trzy ostatnie = V_uob są

składową prędkości unoszenia w ruchu obrotowym.

Ponieważ pochodne wersorów e_i, e_j, e_k osi układu ruchomego 0xyz,

obracają się względem osi l z prędkością kątową ω, to pochodne te są równe:
;
;
(k)

wstawiając (k) do (j) otrzymujemy:

(l)

Po podstawieniu (l) do (i) otrzymujemy wzór na prędkość

bezwzględną punktu M w ruchu złożonym

(58)

gdzie:

(59)

Prędkość bezwzględna punktu M w ruchu złożonym jest

wypadkową prędkości unoszenia u i prędkości względnej w

Przyśpieszenie punktu w ruchu złożonym

(m)

jest składową przyśpieszenia

unoszenia w ruchu postępowym układu ruchomego 0xyz

jest składową styczną przyśpieszenia

unoszenia w ruchu obrotowym układu ruchomego

Po uwzględnieniu (l)

składowa normalna przyśpieszenia unoszenia

w ruchu obrotowym układu ruchomego.

Rozwinięcie ostatniego wyrazu wzoru (m) uwzględniając (j) mamy

(n)

a_w

a_w przyśpieszenie względne;

Podstawiając otrzymane wyrażenia do (m), przyśpieszenie

punktu M ma postać:

(61)

a_u a_c

przyśpieszenie unoszenia (62)

przyśpieszenie Coriolisa (63)

Po wstawieniu (62) i (63) do (61) otrzymujemy

(64)

Przyśpieszenie bezwzględne a_M punktu M w ruchu

złożonym równa się sumie wektorowej przyśpieszeń

unoszenia a_u , przyśpieszenia względnego a_w i

przyśpieszenia Coriolisa a_c .

Przykład 14 Sześcian o boku l = 11cm obraca się wokół przekątnej ściany bocznej BCG0 z prędkością kątową

ω = 12rad/s. Punkt M porusza się po okręgu wpisanym

w ścianę czołową AB0E z prędkością względną w = 2,2m/s.

Obliczyć prędkość bezwzględną V_M i przyśpieszenie bezwzględne a_M gdy punkt M znajduje się w położeniu N.

B z

D C

ω

A

M_t=0 x

G

y ω_x

E w N r 0 Rys.43

;

;
;

Prędkość unoszenia w ruchu postępowym V₀ = 0

Prędkość unoszenia u punktu M;

Prędkość względna w punktu M

Zgodnie ze wzorem (58)mamy

V_Mx i V_My j V_My k

Wartość prędkości bezwzględnej punktu M

Przyśpieszenie bezwzględne a_M punktu M obliczamy korzystając ze wzorów (61), (62), (63) i (64)

Składowe przyśpieszenia punktu w ruchu unoszenia

wynoszą: a₀ = 0, a_ut = 0 bo ε = 0

Przyśpieszenie punktu w ruchu względnym jest równe składowej normalnej w ruchu po okręgu ze stałą prędkością względną w = 2.2m/s, dlatego a_wt = 0

Przyśpieszenia Coriolisa

Wektor przyśpieszenia bezwzględnego punktu M

a_Mxi a_Myj a_Mzk

Wartość przyśpieszenia bezwzględnego punktu M

31kin

32kin

33kin

34kin

35kin

36kin

37kin

38kin

π_o

a_n

a

r₁

r₂

a_w