kinematykawyklad5, Studia, Sem 3, 01.SEMESTRIII Maja, mechanika ogólna, wykłady


0x08 graphic
wykład 5

Ruch obrotowy ciała sztywnego

0x08 graphic
Równanie toru punktu s = r φ(t) (56)

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
an

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
Ao

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
r

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
φ at

0x08 graphic
A π φ

0x08 graphic
0x08 graphic

Rys.38 Ruch obrotowy wokół stałej osi

0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
(57)

0x08 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
(a)

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

α

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
Ao

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
A

at

Rys.39 Składowe przyśpieszenia

0x08 graphic
Przykład 11

Na końcu A nierozciągliwej liny nawiniętej na bęben,

który może obracać się wokół poziomej osi, został przywiązany ciężar (rys.40). Ciężar ten zaczął opadać pionowo w dół ze stałym przyśpieszeniem liniowym o wartości ao. Należy wyznaczyć prędkość kątową i przyśpieszenie kątowe bębna w dowolnej chwili oraz prędkość i przyśpieszenie liniowe punktu leżącego na obwodzie bębna. Promień zewnętrzny bębna równy jest r.

0x08 graphic
0x08 graphic
Rozwiązanie B

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
ds

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
dφ r

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
x A

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
dx

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
Rys.40 A1

0x08 graphic
Przyśpieszenie punktu A 0x01 graphic
(b)

całkując (b) stronami otrzymamy:

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
(c)

0x08 graphic
Prędkość punktu B 0x01 graphic
(d)

Prędkość punktu A jest identyczna jak punktu B, z (c) i (d)

0x08 graphic
mamy 0x01 graphic
0x01 graphic

Korzystając ze wzorów (57) mamy:

0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x08 graphic
Przykład 12

Przyśpieszenie kątowe ε ciała poruszającego się ruchem obrotowym wyrażone jest w zależności od czasu t jako

0x01 graphic
przy czym εo i α oznaczają stałe. W chwili t = 0

prędkość kątowa ciała była równa zeru. Należy wyznaczyć prędkość kątową ciała ω jako funkcję czasu t.

Rozwiązanie

0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic
(e)

0x08 graphic
dla t = 0 ω = 0 wstawiając to do (e) otrzymujemy

0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
(f)

po podstawieniu (f) do (e) mamy, że 0x01 graphic

Przykład 13

Na rysunku 41 przedstawiono przekładnię zębatą. Dane:

ω1 = 20 rad/s, r1 = 20 cm, r2 = 10 cm. Określić wartość ω2 =?

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
Rozwiązanie A

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

ω1 ω2

VA1 VA2

0x08 graphic

Punkt A jest wspólny dla koła nr.1 i dla koła nr.2 stąd wniosek, że prędkość VA1 musi równać się prędkości VA2

a ponieważ VA1 = ω1r1 i VA2 = ω2r2 stąd ω1r1 = ω2r2

czyli: 0x01 graphic

0x08 graphic
Ruch złożony punktu

Prędkość i przyśpieszenie punktu w ruchu złożonym

układu nieruchomego

0x08 graphic
0x08 graphic
z l

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
Z ek ω

0x08 graphic
0x08 graphic
y

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0 ej

0x08 graphic
ei r

0x08 graphic
0x08 graphic
ro M

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
k rM

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0' x

0x08 graphic
0x08 graphic
s i j Y

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
X Rys.42 ei , ej , ek , i, j, k wersory

0x08 graphic
0'XYZ układ nieruchomy

0x08 graphic
0x08 graphic
0xyz układ ruchomy układ unoszenia

0x08 graphic
0x01 graphic
(g)

0x08 graphic
gdzie 0x01 graphic
; 0x01 graphic
(h)

Prędkość bezwzględna punktu M

0x08 graphic
0x01 graphic
(i)

gdzie:

0x08 graphic
0x01 graphic
jest prędkością unoszenia w ruchu postępowym

okładu ruchomego 0xyz względem układu

0x08 graphic
0x08 graphic
nieruchomego.

0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic
(j)

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
Vw = w Vuob

0x08 graphic
W równaniu (j) pierwsze trzy składniki = Vw = w,

0x08 graphic
prędkością względną, natomiast trzy ostatnie = Vuob

składową prędkości unoszenia w ruchu obrotowym.

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
Ponieważ pochodne wersorów ei, ej, ek osi układu ruchomego 0xyz,

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
obracają się względem osi l z prędkością kątową ω, to pochodne te są równe: 0x01 graphic
; 0x01 graphic
; 0x01 graphic
(k)

wstawiając (k) do (j) otrzymujemy:

0x08 graphic
0x01 graphic
(l)

Po podstawieniu (l) do (i) otrzymujemy wzór na prędkość

bezwzględną punktu M w ruchu złożonym

0x08 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic
(58)

0x08 graphic
gdzie:

0x08 graphic
0x01 graphic
(59)

Prędkość bezwzględna punktu M w ruchu złożonym jest

0x08 graphic
0x08 graphic
wypadkową prędkości unoszenia u i prędkości względnej w

Przyśpieszenie punktu w ruchu złożonym

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic
(m)

0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic
jest składową przyśpieszenia

0x08 graphic
unoszenia w ruchu postępowym układu ruchomego 0xyz

0x01 graphic
jest składową styczną przyśpieszenia

unoszenia w ruchu obrotowym układu ruchomego

Po uwzględnieniu (l)

0x01 graphic

0x01 graphic
0x08 graphic
składowa normalna przyśpieszenia unoszenia

w ruchu obrotowym układu ruchomego.

Rozwinięcie ostatniego wyrazu wzoru (m) uwzględniając (j) mamy 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic
(n)

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
aw

0x08 graphic
aw przyśpieszenie względne; 0x01 graphic

Podstawiając otrzymane wyrażenia do (m), przyśpieszenie

0x08 graphic
punktu M ma postać:

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic
(61)

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
au ac

0x08 graphic
0x01 graphic
przyśpieszenie unoszenia (62)

0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic
przyśpieszenie Coriolisa (63)

Po wstawieniu (62) i (63) do (61) otrzymujemy

0x08 graphic
0x01 graphic
(64)

0x08 graphic

Przyśpieszenie bezwzględne aM punktu M w ruchu

złożonym równa się sumie wektorowej przyśpieszeń

0x08 graphic
unoszenia au , przyśpieszenia względnego aw i

przyśpieszenia Coriolisa ac .

Przykład 14 Sześcian o boku l = 11cm obraca się wokół przekątnej ściany bocznej BCG0 z prędkością kątową

ω = 12rad/s. Punkt M porusza się po okręgu wpisanym

w ścianę czołową AB0E z prędkością względną w = 2,2m/s.

Obliczyć prędkość bezwzględną VM i przyśpieszenie bezwzględne aM gdy punkt M znajduje się w położeniu N.

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
B z

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
D C

0x08 graphic
0x08 graphic
ω

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
A

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
Mt=0 x

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
G

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
y ωx

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
E w N r 0 Rys.43

0x01 graphic
; 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
; 0x01 graphic
; 0x01 graphic

0x08 graphic
Prędkość unoszenia w ruchu postępowym V0 = 0

0x08 graphic
Prędkość unoszenia u punktu M; 0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic
Prędkość względna w punktu M

0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
Zgodnie ze wzorem (58)mamy 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
VMx i VMy j VMy k

Wartość prędkości bezwzględnej punktu M

0x01 graphic

0x08 graphic
Przyśpieszenie bezwzględne aM punktu M obliczamy korzystając ze wzorów (61), (62), (63) i (64)

0x08 graphic
Składowe przyśpieszenia punktu w ruchu unoszenia

wynoszą: a0 = 0, aut = 0 bo ε = 0

0x01 graphic

Przyśpieszenie punktu w ruchu względnym jest równe składowej normalnej w ruchu po okręgu ze stałą prędkością względną w = 2.2m/s, dlatego awt = 00x01 graphic

0x01 graphic

Przyśpieszenia Coriolisa

0x01 graphic

Wektor przyśpieszenia bezwzględnego punktu M

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
aMxi aMyj aMzk

Wartość przyśpieszenia bezwzględnego punktu M

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

31kin

32kin

33kin

34kin

35kin

36kin

37kin

38kin

πo

an

a

r1

r2

aw



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Bryla2, Studia, Sem 3, 01.SEMESTRIII Maja, mechanika ogólna, dynamika
ppa, Studia, Sem 3, 01.SEMESTRIII Maja, podstawy projektowania architekt
wlasciwosci-fizyczne-i-chemiczne-wody, Studia, Sem 3, 01.SEMESTRIII Maja, hydraulika i hydrologia
Teoria - skrót, Studia, Sem 3, 01.SEMESTRIII Maja, hydraulika i hydrologia, Hydrologia, deaktualne
woda zyciodajna substancja, Studia, Sem 3, 01.SEMESTRIII Maja, hydraulika i hydrologia
Teoria - skrót1, Studia, Sem 3, 01.SEMESTRIII Maja, hydraulika i hydrologia, Hydrologia
pyt na EGZAMIN -Budownictwo, Studia, Sem 3, 01.SEMESTRIII Maja, budownictwo ogólne, budownictwo, eg
Kolokwium wykładowe kinematyka, Studia, Sem 3, III, III Semestr, Mechanika II
Kopia Mechanika[1].wyklady, Studia, Sem 1,2 +nowe, Semestr1, 2 semestr, mechanika
Harmonogram ETI, Studia Politechnika Wydział Mechaniczny, studia, Sem III, SEMESTR III, płyny, labor
PLASKIE UKLADY SIL, Studia, Budownictwo Ladowe i Wodne, Semestr II, Mechanika ogolna
SILY WEWNETRZNE, Studia, Budownictwo Ladowe i Wodne, Semestr II, Mechanika ogolna
teczka, Studia, Sem 1,2 +nowe, Semestr1, 2 semestr, nieogarniete
18P, Politechnika Lubelska, Studia, Studia, sem VI, semestr 6, napędy elektryczne

więcej podobnych podstron