0 wydymala opracowanie pytan, Wytrzymałość materiałów


1. Modelowanie w wytrzymałości materiałów

Modelowanie jest to czynność polegająca na przejściu od obiektu rzeczywistego poprzez model fizyczny, do modelu matematycznego. Model matematyczny jest to matematyczny opis zjawisk zachodzących w modelu fizycznym, podany w formie usystematyzowanych wzorów lub równań - algorytm. Do sformułowania kryteriów niezawodności wytrzymałościowej istnieje potrzeba tworzenia modeli: -modele materiału; -model postaci (kształtu); -model obciążenia; -modele złomu.

2. Charakterystyki geometryczne przekroju poprzecznego pręta.

0x08 graphic
Momenty bezwładności przekroju względem osi y i z:

0x01 graphic

0x01 graphic

Moment dewiacji przekroju pręta w płaszczyźnie yz:

0x01 graphic

Biegunowy moment przekroju względem punktu O:

0x01 graphic

Momenty statyczne przekroju względem osi y i z:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
- współrzędne środka geometrycznego przekroju S (zwanego środkiem ciężkości).

3. Charakterystyki geometryczne przekroju poprzecznego pręta w układzie współrzędnych przesuniętym równolegle.

0x01 graphic

Sxy - układ osi centralnych

Momenty geometryczne przekroju w układzie współrzędnych Oηζ przesuniętym równolegle (twierdzenie Steinera)

0x01 graphic

4. Charakterystyki geometryczne przekroju poprzecznego pręta w układzie współrzędnych obróconym.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
5. Główne momenty bezwładności i główne osie bezwładności przekroju pręta.

↑ Osie η=1, ζ=2 będą głównymi centralnymi osiami bezwładności przekroju.

Główne centralne momenty bezwładności przekroju

0x01 graphic

Inny sposób. Jeżeli w układzie prostokątnym Syz momenty bezwładności przekroju wynoszą Iy. Iż, zaś moment dewiacji Iyz,, to główne centralne momenty bezwładności I1, I2 są wartościami własnymi tensora momentów geometrycznych

0x01 graphic

6. Ściskanie/rozciąganie pręta prostego. Warunki równowagi, warunki geometryczne i zależności fizyczne.

Warunki równowagi:

0x01 graphic

Warunki geometryczne:

0x01 graphic
,

0x01 graphic

0x01 graphic

Zależności fizyczne:

W zakresie odkształceń liniowych obowiązuje prawo Hooke'a, które możemy zapisać w następującej postaci:

0x01 graphic

E - moduł sprężystości liniowej, moduł Younga, A - pole przekroju poprzecznego ciała odkształcalnego

Przyjmując na powierzchni przekroju poprzecznego równomierny rozkład naprężeń, możemy je wyrazić wzorem:

0x01 graphic
naprężenia ściskające bądź rozciągające

Prawo sprężystości liniowej (przekształcone prawo Hooke'a) w jednoosiowym stanie naprężeń:

0x01 graphic

7. Statyczna próba rozciągania.

0x01 graphic

Wykres zależności σ(ε)podczas rozciągania próbki ze stali węglowej,

A- zakres stosowalności prawa Hooke'a (proporcjonalności); B- granica sprężystości - do osiągnięcia tego stanu, po zdjęciu obciążenia próbka wraca do poprzedniej konfiguracji; BCD- zakres odkształceń plastycznych; DK- umocnienie, niewielka zmiana odkształceń powoduje intensywny wzrost naprężeń; K- próbka osiągnęła naprężenia zrywające - wytrzymałość na rozciąganie - stała dla różnych materiałów konstrukcyjnych; L- zerwanie próbki.

Na podstawie wytrzymałości na rozciąganie określa się graniczną wartość naprężeń, jakim może być poddana pracująca konstrukcja. Te naprężenia dopuszczalne opisuje wzór:

0x01 graphic
, k - rozciąganie; n - współ. Bezpieczeństwa.

8. Ściskanie/rozciąganie pręta prostego z uwzględnieniem ścinania w płaszczyźnie przekroju.

0x01 graphic

W dowolnym przekroju wewnętrznym ciała odkształcalnego oprócz składowej normalnej wystąpi również składowa styczna stanu naprężeń, której skutkiem jest ścinanie ciała odkształcalnego w płaszczyźnie przekroju. Z warunków równowagi lewej części ciała odkształcalnego wynika, że 0x01 graphic
, czyli 0x01 graphic
;

Stąd:

0x01 graphic

Naprężenia styczne są maksymalne w płaszczyźnie przekroju nachylonym pod kątem 45° w kierunku rozciągania lub ściskania.

9. Pręt ściskany/rozciągany obciążeniem ciągłym.

0x01 graphic

Warunek równowagi elementu dx: -N+N+dN+qdx=0;

Siła normalna N: 0x01 graphic

A jej różniczka 0x01 graphic

Równanie różniczkowe przemieszczeń osiowych:

0x01 graphic

Warunki brzegowe:

0x01 graphic

10. Ściskanie/rozciąganie pręta prostego. Naprężenia termiczne i montażowe.

Naprężenia termiczne powstają w wyniku ograniczenia przemieszczenia swobodnego końca pręta którego temperatura wzrosła o ∆T

0x01 graphic

Prawo rozszerzalności liniowej 0x01 graphic
czyli zmiana długości o ∆l. pręt nie zmieni długości, z uwagi na więzy. Uniemożliwia to siła ściskająca N, która powoduje naprężenia termiczne: 0x01 graphic

Naprężenia montażowe powstają w wyniku korygowania różnic wymiarowych łączonych elementów konstrukcji

0x01 graphic

W przekroju pręta pojawi się siła rozciągająca N, która powoduje naprężenia montażowe 0x01 graphic

11. Ściskanie/rozciąganie pręta prostego. Układy statycznie niewyznaczalne.

Układ prętowy statycznie niewyznaczalny - nie można wyznaczyć sił niewiadomych (reakcji więzów, sił wewnętrznych) na podstawie równań równowagi statycznej.

0x01 graphic

Procedura rozwiązywania: 1.Równania równowagi statycznej; 2.Określenie warunków geometrycznych; 3.Zalezności fizyczne.

12. Ściskanie/rozciąganie pręta prostego siłą bezwładności.

0x01 graphic

- gęstość pręta ρ; - przyspieszenie a(x) w kierunku osi pręta

-N+N+dN+Aρa(x)dx=0

0x01 graphic

0x01 graphic

13. Skręcanie pręta prostego o przekroju kołowym. Warunki równowagi, warunki geometryczne i zależności fizyczne.

Skręcanie jest to taki rodzaj obciążenia, w którym w wyniku działania zewnętrznego momentu skręcającego Ms (przyczyna) obserwujemy odkształcenie elementu konstrukcji w postaci kąta γ. Kąt ten nazywamy też kątem odkształcenia postaciowego.

0x01 graphic

gdzie: 0x01 graphic

0x01 graphic
dφ - kąt skręcenia

przy czym 0x01 graphic

W przypadku skręcenia istnieje związek pomiędzy naprężeniami a kątem skręcania (prawo Hooke'a dla ścinania):

0x01 graphic

τ - naprężenie styczne (tnące) przy skręcaniu; G - moduł sprężystości postaciowej Kirchhoffa, stała tablicowana;

W dalszej kolejności wyznaczamy 0x01 graphic
, a następnie z warunku równowagi:

0x01 graphic

Is - biegunowy moment bezwładności przekroju

14. Skręcanie pręta prostego momentem ciągłym.

0x01 graphic

-Ms+MS+dMs+m(x)dx=0

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

15. Skręcanie pręta o przekroju eliptycznym i prostokątnym.

0x01 graphic

Nie ma zastosowania hipoteza płaskich przekrojów. Przekrój wypaczony (deplanacja). Osie elipsy: 2a, 2b

Przewidujemy funkcję naprężeń Prandtla 0x01 graphic
, która spełnia równanie Poissona 0x01 graphic
.

Wyznaczamy stałą C z równania 0x01 graphic
, czyli 0x01 graphic
.

Wskaźnik sztywności 0x01 graphic

Jednostkowy kąt skręcenia 0x01 graphic

Wskaźnik przekroju eliptycznego 0x01 graphic

0x08 graphic
h>b

0x01 graphic

0x01 graphic
, współczynniki K są wartościami tablicowanymi.

16. Zginanie belek. Zależności różniczkowe przy zginaniu. Twierdzenie Schwedlera

Belka - pręt obciążony siłami lub momentami zewnętrznymi, których wektory przecinają oś pręta pod kątem prostym.

Moment gnący Mg - suma algebraiczna momentów obciążeń zewnętrznych działających w płaszczyźnie przekroju belki.

Siła poprzeczna (tnąca) T - suma algebraiczna składowych sił zewnętrznych prostopadłych do osi belki, działających w płaszczyźnie przekroju belki po lewej stronie rozważanego przekroju poprzecznego belki.

Zginanie równomierne - 0x01 graphic

Zginanie równomierne (czyste) - 0x01 graphic
- belki o dużej rozpiętości.

Ścinanie pręta - 0x01 graphic
- belki o bardzo małej rozpiętości

0x08 graphic

Warunki równowagi elementu belki:

-T+qdx+(T+dT)=0

Mg+Tdx-(Mg+dMg)-qdx·

(dx/2)=0

0x01 graphic

17. Zginanie belek. Założenia czystego zginania. Naprężenia normalne w przekroju zginanym.

Założenia czystego zginania

1. Hipoteza płaskich przekrojów - zaznaczone przekroje nie zmieniają się co do kształtu, każdy przekrój poprzeczny ciała odkształcalnego pozostaje w jednej płaszczyźnie; 2. Podczas czystego zginania występuje oś obojętna. Włókna leżące powyżej tej osi są rozciągane natomiast włókna leżące poniżej tej osi są ściskane; 3. Naprężenia w belce zginanej przyjmują rozkład liniowy.

Naprężenia (normalne) przy zginaniu

0x01 graphic

Wy - wskaźnik wytrzymałości na zginanie.

Elementy zginane konstrukcji maszyn oblicza się z uwagi na spełnienie warunku naprężeń dopuszczalnych na zginanie:

0x01 graphic

18. Ugięcie belki. Równanie różniczkowe 2-go rzędu.

0x01 graphic

Rozwiązania różniczkowego równania osi ugiętej belki mają postać:

0x01 graphic

gdzie: C i D - stałe całkowania, zależne od warunków brzegowych.

19. Ugięcie belki. Równanie różniczkowe 4-go rzędu.

Równanie różniczkowe osi ugięcia belki, może zależeć również tylko od sił zewnętrznych. Jest to wówczas równanie różniczkowe czwartego rzędu o postaci:

0x01 graphic

Rozwiązanie tego równania wymaga znajomości czterech warunków brzegowych: ugięć υ(x), kątów ugięcia φ(x), oraz wyrażone poprzez ugięcia momenty gnące Mg(x), i siły tnące T(x) na końcach belki (dla x=0 i x=l).

Momenty gnące Mg(x) w funkcji ugięć υ(x) opisuje zależność:

0x01 graphic

Natomiast siły tnące T(x) w funkcji ugięć υ(x) można przedstawić jako:

0x01 graphic

20. Ugięcie belki. Metoda Clebscha.

Największą wartość ugięcia belki nazywa się strzałką ugięcia i oznaczana literą f. Strzałka ugięcia świadczy o sztywności belki. W praktyce inżynierskiej często wyznacza się dla danej konstrukcji (np. wału) wartość strzałki ugięcia a następnie porównuje się ją do wartości dopuszczalnej. W zależności od rodzaju i przeznaczenia konstrukcji przyjmuje się dopuszczalną strzałkę ugięcia fdop.

Rozwiązywanie równania osi ugięcia belek zginanych o n - przedziałach zmienności obciążenia wymaga wyznaczenia 2n stałych całkowania. Zagadnienie upraszcza się zawsze tylko do dwóch stałych całkowania po zastosowaniu metody Alfreda Clebscha:

1. Początek współrzędnej x dla wszystkich przedziałów musi być wspólny (zazwyczaj lewy koniec belki). Formułując równanie Mg(x), należy uwzględnić tylko siły zewnętrzne działające po lewej stronie przekroju; 2. Obciążenie ciągle q należy w razie potrzeby przedłużyć do końca belki, przykładając na końcowym odcinku obciążenie o zwrocie przeciwnym; 3. Moment gnący spowodowany momentem skupionym M siłą skupioną F, lub obciążeniem ciągłym q zapisuje się odpowiednio w formie:

0x01 graphic
Współrzędna a określa miejsce przyłożenia M, F, albo początek obciążenia ciągłego q na belce Całkowanie przeprowadza się względem (x-a).

21. Pręt ścinany. Naprężenia styczne przy zginaniu.

0x01 graphic

Wzór Żurawskiego opisujący rozkład naprężeń stycznych wywołanych siłą poprzeczną T w przekroju belki:

0x01 graphic
, wzór ten ma również zastosowanie jeśli szerokość b zmienia się wzdłuż wysokości przekroju.

W przekroju prostokątnym rozkład naprężeń τ ma charakter paraboliczny:

0x01 graphic
. Maksymalne naprężenia styczne 0x01 graphic
występują w warstwie obojętnej dla y=0:

0x01 graphic
.

22. Pręt ścinany. Środek ścinania.

0x08 graphic
Współrzędne ky i kz określają położenie punktu K, nazywanego środkiem ścinania.

0x01 graphic

0x01 graphic

23. Trójosiowy stan naprężeń. Tensor stanu naprężeń. Naprężenia główne.

0x01 graphic

Rozważmy elementarny fragment ciała odkształcalnego. Na przeciwległych ścianach wystąpią składowe naprężeń normalnych oraz składowe naprężeń stycznych. Składowe te pozostają w stanie równowagi statycznej. Składowe stanu naprężeń:

0x01 graphic

Tensor stanu naprężeń

0x01 graphic
Naprężenia główne 0x01 graphic
są pierwiastkami równania charakterystycznego:

0x01 graphic

0x01 graphic
- naprężenia składające się z 0x01 graphic

24. Odkształcenia spowodowane naprężeniami normalnymi i stycznymi.

Odkształcenie spowodowane naprężeniami normalnymi

0x08 graphic
Odkształcenia objętościowe:

0x01 graphic

E - moduł Younga

Odkształcenie spowodowane naprężeniami stycznymi

0x08 graphic

Odkształcenia postaciowe:

0x01 graphic

E - moduł Younga

v - liczba Poissona

25. Wytężenie materiału. Naprężenia zredukowane

Wytężenie materiału to miara osiągnięcia stanu niebezpiecznego, tzn. pojawienie się lokalnego odkształcenia trwałego (tzw. Uplastycznienia) lub pęknięcia (tzw. dekohezji materiału) w dowolnym punkcie ciała. Wytężenie materiału (W) jest zależne od składowych stanu naprężenia oraz własności mechanicznych:

0x01 graphic

Naprężenia redukowane (zastępcze) 0x01 graphic
- wywołuje w jednoosiowym stanie naprężenia (np. w pręcie rozciąganym lub ściskanym), takie samo wytężenie, jak reprezentowany przez nie przypadek złożonego stanu naprężenia.

0x01 graphic

Warunek plastyczności ma postać:

0x01 graphic

Warunek zniszczenia (inicjacji pęknięcia) ma postać:

0x01 graphic

26. Wytężenie materiału. Hipoteza maksymalnych naprężeń stycznych

Hipoteza maksymalnych naprężeń stycznych - sformułowana przez Coulomba, dotyczy granicy sprężystości i granicy wytrzymałości. Zakłada ona, że miarą wytężenia jest największe naprężenia styczne.

0x01 graphic

27. Wytężenie materiału. Hipoteza energii właściwej odkształcenia postaciowego.

Hipoteza energii właściwej odkształcenia postaciowego - sformułowana przez Hubera, Misesa, Hencky'ego zakłada, że miarą wytężenia jest energia właściwa odkształcenia postaciowego.

Energię odkształcenia postaciowego w ogólnym stanie naprężenia określa zależność:

0x01 graphic
Dla jednoosiowego stanu naprężenia

0x01 graphic
energię tą opisuje wyrażenie:

0x01 graphic

Jeżeli wytężenia są sobie równe, to 0x01 graphic
, a wzór na naprężenie redukowane ma postać:

0x01 graphic
Dla płaskiego stanu naprężeń 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, naprężenie redukowane:

0x01 graphic

Dla często spotykanego w budowie maszyn stanu naprężeń 0x01 graphic
0x01 graphic

Redukowane określa wyrażenie: 0x01 graphic

A dla prostego ścinania: 0x01 graphic

Stąd wniosek: 0x01 graphic

28. Wytężenie materiału. Kryterium wytrzymałości.

Dla oceny wytężenia ciała stosuje się zasadę najsłabszego ogniwa. Tym samym o wytężeniu ciała decyduje ten jego punkt, w którym naprężenie redukowane jest największe. Kryterium wytrzymałości w przypadku ogólnym można zapisać tak jak dla pręta rozciąganego:

0x01 graphic

Warunek początku plastyczności: 0x01 graphic
,

Warunek zniszczenia: 0x01 graphic
,

Współczynnik bezpieczeństwa n można oszacować za pomocą wzoru:0x01 graphic
, gdzie n1 - współczynnik pewności założeń, n2 - współczynnik ważności przedmiotu, n3 - współczynnik jednorodności materiału, n4 - współczynnik zachowania wymiarów.

29. Trójosiowy stan odkształceń. Tensor stanu odkształceń. Odkształcenia główne.

Tensor stanu odkształceń:

0x01 graphic
Odkształcenia główne 0x01 graphic
są pierwiastkami równania charakterystycznego: 0x01 graphic
,

gdzie: 0x01 graphic
składa się z 0x01 graphic

30. Aksjator i dewiator stanu naprężeń i odkształceń. Niezmienniki stanu naprężeń i odkształceń.

Dla każdego 3-osiowego stanu opisanego tensorem naprężeń

0x01 graphic

Aksjator

0x01 graphic
dewiator

Aksjator - diagonalna macierz opisująca równomierny stan naprężeń ściskających (rozciągających) - tensor kulisty. Opisuje stan równomiernych naprężeń głównych.

Dewiator - macierz opisująca pozostałą część tensora stanu naprężeń

Niezmiennik aksjatora 0x01 graphic
- suma odkształceń objętościowych w kierunku osi x, y, z

Niezmiennik dewiatora:

0x01 graphic

31. Macierz sprężystości dla ogólnego stanu naprężeń, płaskiego stanu naprężeń i odkształceń.

ogólny stan naprężeń:

0x01 graphic

Płaski stan naprężeń - niezerowe składowe tensora naprężeń w płaszczyźnie xy

0x01 graphic

0x01 graphic

Płaski stan odkształceń - niezerowe składowe tensora odkształceń w płaszczyźnie xy

0x01 graphic

32. Koło Mohra dla płaskiego stanu naprężeń.

0x01 graphic

W dowolnym punkcie tarczy, która wraz z obciążeniem zewnętrznym leży w płaszczyźnie xy, występuje płaski stan naprężenia. Dla płaskiego stanu naprężeń macierz reprezentująca tensor stanu naprężeń ma postać:

0x01 graphic

33. Koło Mohra dla płaskiego stanu odkształceń.

Analogicznie jak dla płaskiego stanu naprężeń

34. Koło Mohra dla przestrzennego stanu naprężeń.

-

35. Statycznie niewyznaczalne układy prętowe. Metoda warunków brzegowych.

Rozważmy belkę o długości l i sztywności na zginanie EI:

0x01 graphic

1. Równania równowagi: 0x01 graphic
, w dwóch równaniach występują trzy niewiadome, jest to belka jednokrotnie statycznie niewyznaczalna (hiperstatyczna).

2. Warunki geometryczne

Reakcja Rb (traktowana jako wielkość hiperstatyczna) jest skutkiem podparcia belki w punkcie B, co odpowiada następującemu warunkowi geometrycznemu:

0x01 graphic
, co oznacza, że pionowe przemieszczenie w punkcie B jest równe zero.

3. Związki fizyczne

Związek fizyczny powinien uzależniać υb od sił działających na belkę oraz jej własności sprężystych. Można do jego sformułowania wykorzystać różniczkowe osi ugięcia belki.

- równanie momentu gnącego; - różniczkowe równanie osi ugięcia; - dwukrotne całkowanie równania osi ugięcia; - zapisanie warunków brzegowych i wyliczenie reakcji.

36. Statycznie niewyznaczalne układy prętowe. Metoda Clebscha.

Metodę Clebscha stosuje się dla belek statycznie niewyznaczalnych o wielu przedziałach zmienności. Przykład rozwiązania: 1. Reakcje więzów - płaski układ sił równoległych; 2. Równanie momentu gnącego w zapisie zgodnym z metodą Clebscha; 3. Różniczkowe równanie osi ugięcia w zapisie zgodnym z metodą Clebscha; 4. Dwukrotne całkowanie równania osi ugięcia w zapisie zgodnym z metodą Clebscha; 5. Określenie stałych całkowania z warunków brzegowych; 6. Korzystając z otrzymanych równań oraz równań równowagi otrzymujemy ostateczne równania momentu gnącego.

37. Statycznie niewyznaczalne układy prętowe. Metoda superpozycji.

Metoda superpozycji bazuje na liniowej zależności pomiędzy przemieszczeniami ( ugięciem w punkcie) a obciążeniem. Mając do dyspozycji ograniczoną liczbę rozwiązań dla typowych prostych przypadków zginania belek można uniknąć żmudnych i pracochłonnych obliczeń oraz szybko wyznaczyć wielkości hiperstatyczne, wykorzystując warunek wynikający z odkształceń.

0x01 graphic

1. Reakcje więzów - płaski układ sił równoległych (reakcja Rb jest reakcją hiperstatyczną); 2. Załóżmy, że omawiana belka jest podparta przegubowo tylko na końcach. Wówczas w punkcie B wystąpiłoby ugięcie; oznaczamy je jako υb'; 3. Następnie załóżmy, że omawiana belka nadal jest podparta przegubowo na końcach, a obciążona jest tylko w środku siłą równą co do wielkości hiperstatycznej Rb, wówczas w punkcie B wystąpi ugięcie υb''; 4. W układzie zasadniczym ugięcie υb w punkcie B jest równe zero (podpora), zatem wartość liczbowa reakcji Rb musi być na tyle duża, aby ugięcie υb'', wywołane działaniem reakcji Rb (na belkę nie obciążoną obciążeniem ciągłym), było równe co do wartości ugięciu υb'.

0x01 graphic

38. Energia sprężysta układów prętowych. Pręty ściskanie/rozciągane i skręcane.

Energia sprężysta (V) jest równa pracy wykonanej poprzez siły zewnętrzne działające na dane ciało. Energia ta bywa również nazywana energią potencjalną lub energią odkształcenia.

0x01 graphic

Do obliczenia pracy niezbędne jest przyjęcie założenia, że proces obciążania ciała siłami odbywa się quasi-statycznie tzn. że w każdej chwili musi być zachowana równowaga między siłami zewnętrznymi i wewnętrznymi.

0x08 graphic
Wartość tego wydłużenia określa prawo Hooke'a:

0x01 graphic

Stąd energia sprężysta elementarnego odcinka pręta:

0x01 graphic

Natomiast energia sprężysta V w skończonym odcinku pręta o długości l: 0x01 graphic

Jeżeli N oraz EA nie zależą od x, to: 0x01 graphic

Energia sprężysta pręta skręcanego, moment skręcający MS w pręcie o przekroju kołowym o długości dx wykonuje pracę na skręcenia dφ: 0x01 graphic

0x08 graphic
stąd energia sprężysta elementarnego odcinka pręta skręcanego:

0x01 graphic

Natomiast energia sprężysta V w skończonym odcinku pręta o długości l: 0x01 graphic
. Jeśli Ms oraz Is nie zależą od x, to: 0x01 graphic

39. Energia sprężysta układów prętowych. Pręty zginane i ścinane.

Moment zginający Mg w pręcie o długości dx wykonuje pracę na ugięcia dφ:

0x08 graphic
0x01 graphic

Stąd energia sprężysta elementarnego odcinka pręta zginanego:

0x01 graphic

Natomiast energia sprężysta V w skończonym odcinku pręta o długości l:

0x01 graphic

Jeśli Mg oraz I nie zależą od x, to: 0x01 graphic

Energia sprężysta pręta zginanego - siła poprzeczna (tnąca) T w pręcie o długości dx wykonuje pracę na ugięciu 0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic

β - bezwymiarowy współczynnik kształtu przekroju pręta.

Energia sprężysta elementarnego odcinka pręta zginanego: 0x01 graphic
. Natomiast energia sprężysta V w skończonym odcinku pręta o długości l: 0x01 graphic
. Jeśli T oraz GA nie zależą od x, to:

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

40. Energia sprężysta układów prętowych w przypadku ogólnym.

0x01 graphic

Energia sprężysta odcinka pręta o długości dx jest równa sumie prac składowych sił wewnętrznych:

0x01 graphic
Po uwzględnieniu, że przemieszczenia są funkcjami składowych sił wewnętrznych otrzymujemy zależność:

0x01 graphic

Wyrażenie na energię sprężystą V w skończonym odcinku pręta o długości l ma postać:

0x01 graphic

41. Układy Clapeyrona. Twierdzenie Castigliano.

Układ Clapeyrona - spełnia następujące warunki: 1. materiał musi być idealnie sprężysty i w każdym punkcie naprężenia muszą być mniejsze od granicy proporcjonalności; 2. działanie jednych sił nie może zmienić charakteru działania innych sił (zasada superpozycji zachowana).

Tw. Castigliano - Pochodna cząstkowa energii sprężystej całego układu względem siły uogólnionej jest równa przemieszczeniu uogólnionemu odpowiadającemu tej sile.

0x01 graphic
. Jeśli w interesującym nas punkcie analizowanego ciała nie ma rzeczywistej siły Fi odpowiadającej poszukiwanemu przemieszczeniu ui należy w tym miejscu przyłożyć siłę fikcyjną Ffik, którą po wykonaniu różniczkowania przyrównuje się do zero:0x01 graphic

42. Zasada minimum energii sprężystej Menabrei-Castigliano

Stosując metodę Castigliano, można przemieszcenia u1, … un z wykorzystaniem energii sprężystej V (X1, … Xn) jako:

0x01 graphic

Na tej podstawie można sformułować zasadę minimum energii sprężystej Menabrei-Castigliano - spośród wszystkich możliwych zbiorów wielkości X1, … , Xn zbiorem rzeczywistych wielkości hiperstatycznych jest ten,, dla którego energia sprężysta całego układu prętowego V osiąga wartość minimalną

0x01 graphic

W przypadku gdy energia sprężysta układu pochodzi głównie od zginania, zasadę minimum energii sprężystej Menabrei - Castigliano można zapisać w postaci:

0x01 graphic

43. Metoda Maxwella-Mohra. Wzór Maxwella-Mohra.

Jeśli energia sprężysta układu będzie zależeć od następujących obciążeń zewnętrznych N, MS, Mgy, Mgz, Ty, Tz, to przemieszczenie u, będzie określone następującą zależnością:

0x01 graphic
gdzie: N', Ms', Mgy', Mgz', Ty', Tz' - odpowiednie składowe sił wewnętrznych przy obciążeniu fikcyjnym wynoszącym Ffik=1.

44. Metoda Maxwella-Mohra. Uproszczone obliczanie całek - wzory Wereszczagina.

Można udowodnić, że całki występujące we wzorze Maxwella - Mohra dla typowych przypadków obciążeń łatwo obliczać przez zastąpienie ich iloczynem dwóch prostych czynników. I tak w przypadku zginania jest to iloczyn Ω pola wykresu momentów gnących Mg od obciążenia zasadniczego oraz rzędnej M'rc wykresu momentów gnących M'g od obciążenia fikcyjnego, odpowiadającej współrzędnej xc środka ciężkości C pola Ω, czyli:

0x01 graphic

45. Wyboczenie sprężyste prętów prostych. Przypadki Eulera.

Pręt obciążany zwiększającą się siłą ściskającą F, pozostanie prosty dopóki siła ta nie przekroczy wartości krytycznej Fkr. Po przekroczeniu wartości krytycznej siła ta powoduje ugięcie osi pręta zwane wyboczeniem.

0x08 graphic
Wartość siły krytycznej Fkr przy wyboczeniu sprężystym pręta można wyprowadzić z tzw. równania Eulera.

0x01 graphic

stąd: 0x01 graphic

0x01 graphic

gdzie n=1,2,3,…

0x01 graphic
- długość zredukowana.

Jeśli wprowadzimy pojęcie naprężenia krytycznego σkr oraz smukłości pręta λ to otrzymamy wyrażenie na naprężenie krytyczne Eulera: 0x01 graphic
. Wzór jest słuszny, jeśli:

0x01 graphic
lub gdy 0x01 graphic

gdzie: σ - granica proporcjonalności; λ - smukłość graniczna określona zależnością.

46. Wyboczenie sprężysto-plastyczne prętów prostych.

W przypadku gdy 0x01 graphic
to zachodzi utrata stateczności pręta, przy której pojawiają się odkształcenia plastyczne; mówimy wówczas o wyboczeniu sprężysto plastycznym. Nadal jednak naprężenia krytyczne są mniejsze od granicy plastyczności 0x01 graphic
, stąd wniosek, że wyboczenie jest bardziej niebezpieczne niż uplastycznienie pręta. W przypadku gdy 0x01 graphic
to w celu wyznaczenia naprężenia krytycznego, należy posłużyć się zależnościami określonymi empirycznie:

Wzorem Tetmajera - Jasińskiego: 0x01 graphic
, lub wzorem Johnsona - Ostenfelda: 0x01 graphic
, gdzie: a, A, b, B - stałe materiałowe określone doświadczalnie.

Kryteria wyboczenia pręta można sformułować następująco:

0x01 graphic
czyli 0x01 graphic
lub 0x01 graphic
czyli 0x01 graphic
, gdzie: nw - współczynnik bezpieczeństwa ze względu na wyboczenie.

47. Stateczność belek zginanych.

Rozpatrzmy stateczność belki o długości l i wąskim przekroju o podstawie b i wysokości h, zamocowanej między rolkami o osiach pionowych. Belkę poddano zginaniu momentem zewnętrznym M. Po osiągnięciu przez obciążenie zewnętrzne wartości krytycznej M=Mkr, następuje utrata stateczności belki. Oś belki wygina się nie tylko w płaszczyźnie xy ale także w płaszczyźnie xz. Związane to jest z pojawieniem się momentu Mg.

0x01 graphic

Ponadto przekroje belki obracają się wokół osi x, ponieważ podlega ona skręcaniu momentem MS. Na zamocowanych końcach belki działają reakcje więzów w postaci nieznanych momentów Mo.

Moment gnący Mg jest rzutem wektora M na obróconą o kąt skręcenia oś pionową przekroju prostokątnego (która jest linią obojętną tego zginania): Mg=-Msinφ≅-Mφ

Moment krytyczny wynosi: 0x01 graphic
, jeśli przekroje końcowe belki nie mogą się obracać wokół pionowej osi y (końce belki są umieszczone między pionowymi sztywnymi ścianami), moment krytyczny wynosi:

0x01 graphic

48. Metoda elementów skończonych. Macierz funkcji kształtu pręta ściskanego/rozciąganego.

0x01 graphic

Kształtowanie prototypu konstrukcji metodą elementów skończonych (MES): 1. Odwzorowanie własności stereomechanicznych konstrukcji (geometria, własności masowo - sprężysto - tłumiące); 2. Typy elementów skończonych (sztywne elementy skończone i elementy sprężysto - tłumiące, elementy prętowe, elementy izoparametryczne 2-wymiarowe, elementy izoparametryczne 3-wymiarowe).

Element skończony - idealizacja ośrodka ciągłego w ten sposób, że wartości wnętrza wyrażone są za pomocą wartości węzłowych.

Rezultat: model strukturalny dyskretyzacja przemieszczeń i obciążeń - wartości węzłowe zróżnicowane własności materiałowe - zredukowane do węzłów elementu.

0x01 graphic
0x01 graphic
Ne(xe) qe

0x01 graphic

49. Metoda elementów skończonych. Macierz sztywności pręta ściskanego/rozciąganego.

0x01 graphic

Związek pomiędzy przemieszczeniami i siłami węzłowymi:

0x01 graphic

50. Metoda elementów skończonych. Macierz funkcji kształtu pręta w ogólnym przypadku obciążenia.

0x08 graphic

51. Metoda elementów skończonych. Macierz sztywności pręta w ogólnym przypadku obciążenia.

0x01 graphic

0x08 graphic



Wyszukiwarka