15. Zasada wzajemności, odwracalność Zasada ta dotyczy tylko obwodów liniowych. Tw. o wzajemności oczkowej: Jeżeli źródło napięcia E dołączone do zacisków 1, 1' czwórnika utworzonego z oporników liniowych wytwarza w zwartej gałęzi 2, 2' prąd I2, to po przeniesieniu tego źródła do gałęzi 2, 2' w zwartej gałęzi 1, 1' popłynie prąd I1^ =I2. , analogicznie dla I2 ⇒ Zm=Zm^T, Ym=Ym^T, Tw. o wzajemności węzłowej: Jeżeli źródło prądowe J dołączone do zacisków 1, 1' czwórnika złożonego z oporników liniowych wytwarza na rozwartych zaciskach 2, 2' napięcie U2 to po przeniesieniu tego źródła do gałęzi 2, 2' na rozwartych zaciskach 1, 1' będzie występowało napięcie U1^=U2. Obwód, w którym spełniona jest zasada wzajemności nazywamy układem odwracalnym.

Elementy obwodów elektrycznych, związki u-i. Elementem obwodu elektrycznego nazywamy część obwodu niepodzielną pod względem funkcjonalnym bez utraty cech charakterystycznych, mającą wyprowadzone na zewnątrz końcówki (zaciski). Elementy obwodu dzielimy:-ze względu na liczbę końcówek na: a) elementy dwubiegunowe (dwójniki) - posiadające dwa zaciski o ustalonej kolejności np.: akumulator, ogniwo, opornik itp. b) element czterobiegunowy (czwórniki) - posiadające cztery zaciski o ustalonej kolejności. Czwórnik ma równe prądy wejściowe i wyjściowe np.: filtr, prostownik, transformator itp. c) element n-parobiegunowy-posiadający co najmniej trzy zaciski o ustalonej kolejności -ze względów energetycznych na: a) aktywne (czynne) - zdolne do wytwarzania energii elektrycznej (akumulatory, ogniwa) b) pasywne (bierne) - zdolne tylko do pobierania energii elektrycznej i zamiany jej na inne formy energii. -ze względu na charakterystykę prądowo - napięciową na: a) liniowe. b) nieliniowe. Obwód liniowy - wszystkie elementy obwodu maja liniowa charakterystykę prądowo napięciową. Obwody nieliniowe - przynajmniej jeden element obwodu ma nieliniowa charakterystykę prądowo napięciową. Podstawowymi elementami w teorii obwodów są:opory, indukcyjności i pojemności.Związki u-i:a) rezystor- i(t)=G*u(t), gdzie G=1/R konduktancja b) kondensator-i=C*(du/dt), u(t)=1/C*ჲi(ၴ)dၴ (całka od -Ⴅ do t) c) induktor- i(t)=1/L*ჲu(ၴ)dၴ (całka od -Ⴅ do t), u(t)=L*(di/dt), gdzie L indukcyjność

Składowa wymuszona i swobodna. Załóżmy ze rozpatrywany układ jest inercyjny, zawiera zatem indukcyjności i pojemności i może być w nim magazynowana energia.

Stanem wymuszonym układu nazywamy taki stan, w którym wszystkie prądy i napięcia w układzie, określone dla t € <0;∞), są wywołane działaniem włączonych w chwili t = 0 zewnętrznych pobudzeń. Przy zerowych warunkach początkowych, czyli przy zerowej energii początkowej. Rozwiązanie w stanie wymuszonym jest nazywane rozwiązaniem wymuszonym lub składową wymuszoną.

Stanem swobodnym układu nazywamy taki stan, w którym wszystkie prądy i napięcia w układzie określone dla t € <0;∞), są wywołane działaniem energii zmagazynowanej e układzie w chwili t=0. tzn. przy zerowych pobudzeniach zewnętrznych oraz przy niezerowych warunkach początkowych. Rozwiązanie w stanie swobodnym nazywamy rozwiązaniem swobodnym lub składową swobodną.

Składowa ustalona i przejściowa

Układ (obwód, sieć) SLS prądu stałego (sinusoidalnego, okresowego) w stanie ustalonym to taki układ, w którym wszystkie pobudzenia, czyli siły elektromotoryczne i wydajności prądowe oraz wszystkie prądy i napięcia są określone dla t € (-∞;+∞) i są odpowiednio stałe (sinusoidalnie zmienne, okresowo zmienne). Założenie ze wszystkie sygnały są określone dla t € (-∞;+∞) jest równoznaczne z przyjęciem, że zjawiska nie mają początku w czasie i wszystko, co dzieje się w układzie, dzieje się tak, jakby działo się zawsze. Prądy i napięcia w układzie SLS są przy tym tego samego rodzaju, co pobudzenia. Jeśli pobudzenia są stałe (sinusoidalne, okresowe), to wszystkie prądy i napięcia tez są stałe (sinusoidalne, okresowe). Nie występuje chwila początkowa, nie istniej też problem warunków początkowych. I = i (p) + i(u) i(p) - skł. przejściowa, i(u) - skł. ustalona

Metoda potencjałów węzłowych dla prądu stałego. (zał. - każda gałąź ma postać prądową) Jeśli metodę tą stosujemy do wyznaczania roskładu napięć w dowolnej sieci o w węzłach zawierającej tylko gałęzie o postaci prądowej należy: 1. przyjąć strzałki napięć gałęziowych (w gałęziach źródłowych przeciwnie do strzałek wydajności prądowych, w gałęziach bezźródłowych dowolnie) 2. przyjąć jeden z węzłów za węzeł odniesienia i ustalić numerację poszczególnych węzłów. 3 zapisać wektor wydajności prądowych Jw. Oraz macierz przewodności węzłowych Gw 4. zapisać układ rónań węzłowych i wyznaczyć jego rozwiązanie względem napięć węzłowych: GwUw=Jw. - uk. równań Uw = Gw^-1Jw - rozwiązanie. 5. obliczyć napięcia gałęziowe.

Metoda prądów oczkowych dla prądu stałego. (zał.: każda gałąź sieci ma postać napięciową) Jeśli metodę tą stosujemy do wyznaczania rozpływu prądów w dowolnej n oczkowej sieci zawierającej tylko gałęzie o postaci napięciowej należy: 1. Przyjąć strzałki prądów gałęziowych (w gałęziach źródłowych zgodnie ze strzałkami sił elektromotorycznych, w gałęziach bezźródłowych dowolnie). 2. ustalić numerację oczek i kierunek ich obiegu (jednakowy dla wszystkich oczek) 3. zapisać wektor sił elektromotorycznych obwodowych Eo i macierz oporów obwodowych Ro. 4. zapisać układ równań obwodowych i wyznaczyć jego rozwiązanie względem prądów obwodowych. RoIo=Eo - równanie.

Io=Ro^-1Eo. 5. obliczyć prądy gałęziowe.

Pojęcie dystrybucji Diraca. ၤ(t) jest to wielkość spełniająca warunki ၤ(t)= {0, tႹ0; +Ⴅ, t=0}. Wielkość ၤ(t) można wyobrazić sobie jako impuls nieskończenie krótki i nieskończenie wielki, przy czym pole ograniczone tym impulsem (mierzone wartością całki
jest skończone i unormowane do wartości 1. Dystrybucja - zbiór funkcji uogólnionych, w którym wszystkie działania są zawsze wykonalne. Jeśli jest identyczna z funkcją to nosi nazwę dystrybucji regularnej.

Dystrybucja ၤ(t) NIE może być utożsamiona z żadną funkcją. Działania na dystrybucjach:

Właściwości dystrybucji:

1Ⴐ Mnożenie przez funkcję f(t) jest równoważne mnożeniu przez liczbę f(t_o)

2ႰWłaściwość filtrująca funkcji

3Ⴐ ၤ(t)=ၤ(-t)

4Ⴐ

Twierdzenie Thevenina (twierdzenie o zastępczym źródle napięciowym)mówi o tym, że dowolny dwójnik rezystancyjny(za wyjątkiem dwójnika będącego idealnym źródłem prądowym) możemy zastąpić równoważnym rzeczywistym źródłem napięciowym o sile elektromotorycznej ET i oporze wewnętrznym RT, przy czym: -siła elektromotoryczna ET jest równa napięciu na rozwartych zaciskach dwójnika (równa napięciu rozwarcia Ur). -opór wewnętrzny RT jest równy oporowi zastępczemu RAB dwójnika bezźródłowego otrzymanego w wyniku zastąpienia rozważanym dwójniku wszystkich niezależnych źródeł napięciowych zwarciami i wszystkich niezależnych źródeł prądowych rozwarciami.Zastępcze źródło napięciowe jest często nazywane źródłem Thevenina.

Twierdzenie Nortona (twierdzenie o zastępczym źródle prądowym)mówi o tym, że dowolny dwójnik rezystancyjny możemy zastąpić równoważnym rzeczywistym źródłem prądowym o wydajności prądowej J_N i przewodności wewnętrznej G_N, przy czym: -wydajność prądowa J_N jest równa prądowi płynącemu przez zwarte zaciski dwójnika (prądowi zwarcia I_N).

-przewodność wewnętrzna G_N jest równa przewodności zastępczej G_AB dwójnika bezźródłowego otrzymanego po zastąpieniu w równoważnym dwójniku wszystkich niezależnych źródeł napięciowych zwarciami oraz wszystkich niezależnych źródeł prądowych rozwarciami.

Parametry robocze czwórnika. 1. Immitancje wejściowe czwórnika obciążonego -pietwotna Zp=U1/I1 -wtórna Zp=U2/I2 2. Transmitancje czwórnika obciążonego -napięciowa Hu=U2/U1 -prądowa Hi=-I2/I1 -napięciowo-prądowa

Hui=-I2/U1 -prądowo-napięciowa Hiu=U2/I1.

Inne: efektywne wzmocnienie napięciowe, prądowe; wzmocnienie mocy, efektywne wzmocnienie mocy, wzmocnienie mocy dysponowanej

Zasada superpozycji. W układzie liniowym (i tylko w takim), w którym działa n pobudzeń, prąd i (napięcie u) dowolnego dwójnika jest sumą prądów (napięć) wywołanych w tym dwójniku działaniem każdego z pobudzeń z osobna

Zas. Sup. Wynika wprost z właściwości addytywności rozwiązań równań różniczkowych (lub algebraicznych) liniowych względem wymuszeń, przy założeniu istnienia i jednoznaczności tych rozwiązań. Jest to podstawowa właściwość uk. liniowych i może być uważana za właściwość definiującą klasę tych układów. Zas. Sup. Dla sieci skupionej liniowej pozostaje słuszna również dla przeliczalnej liczby składowych w ww. wzorach.

I_mj - reakcja na pobudzenie [Z_m] * [I_m] = [E_m]

[Z_m] - macierz impedancji oczkowej [I_m] - macierz prądów oczkowych (reakcji) [E_m] - macierz kolumnowa sił elektromotorycznych [E_m] = [E_m1, E_m2, ... , E_mμ']

gdzie: μ' = g - w + 1 - n_{iz ;} g - liczba gałęzi; w - liczba węzłów; n_iz - liczba źródeł prądowych

Parametry charakterystyczne ( falowe ) czwórnika.

Z_c1 - impedancja charakterystyczna wejściowa

Z_c2 - impedancja charakterystyczna wyjściowa

Γ_c1 - tamowność charakterystyczna pierwotna

Γ_c2 - tamowność charakterystyczna wtórna

definicje Z_c1 i Z_c2

U₁ = a₁₁U₂ - a₁₂I₂

I₁ = a₂₁U₂ - a₂₂I₂

Z₂ = -U₂/I₂

Z_wej = Z₁ = U₁/I₁ = (a₁₁Z₂ + a₁₂)/(a₂₁Z₂ + a₂₂)

(rys.)

U₁ = a₁₁U₂ - a₁₂I₂

I₁ = a₂₁U₂ - a₂₂I₂

Z₁ = -U₁/I₁

Z_wyj = Z₂ = (a₂₂Z₁ + a₁₂)/(a₂₁Z₁ + a₁₁)

Tamowności charakterystyczne

Γ_c1 = 0,5 ln (U₁I₁)/(-U₂I₂) = A₁ + jB₁

(rys.)

Γ_c2 = 0,5 ln (U₂'I₂')/(-U₁'I₁) = A₂ + jB₂

A₁ - tłumienność charakterystyczna pierwotna

A₂ - tłumienność charakterystyczna wtórna

B₁ - przesuwność charakterystyczna pierwotna

B₂ - przesuwność charakterystyczna wtórna

Γ_c1 = ln (√a₁₁a₂₂ - √a₁₂a₂₁)

Γ_c2 = ln (√a₁₁a₂₂ - √a₁₂a₂₁)/|A|

Γ_c1 - Γ_c2 = ln |A|

Dopasowanie na maksymalną moc czynną

Należy tak dobrać impedancję odbiornika, aby przy danej impedancji wewnętrznej źródła odbiornik pobierał największą moc czynną. Impedancja źródła Z₀=R₀+jX₀ a impedancja obciążenia: Z = R + jX.

Moc czynna pobierana przez odbiornik:

.

Jeżeli będziemy zmieniać reaktancję X, to dla dowolnej wartości R zarówno prąd, jak i moc czynna będą miały największą wartość przy X = -X₀. Przyjmując, że R jest wielkością zmienną warunek, przy którym funkcja osiągnie maksimum to: dP/dR=0. Z tego wynika: R=R₀. Inaczej: Z=Z₀*. Wtedy odbiornik pobiera moc: P_max=E²/4R₀.

Jeżeli impedancja źródła zawiera rezystancję i indukcyjność, to impedancja odbiornika powinna zawierać rezystancję i pojemność.

Moce: pozorna, bierna i odkształcenia

Moc czynna: z równości Parsevala: P=1/T ∫u(t)⋅i(t)dt (∫ od 0 do T) =∑U_kI_k*(∑od -∞ do ∞)⇒P=P₀+∑P_k= U₀I₀+∑(U_ksk+I_kskcosΨ) (∑∑od 1 do ∞)

gdzie Ψ_k oznacza przesunięcie między prądem a napięciem dla k-tej harmonicznej. Moc czynna sygnału okresowego jest to więc ∑ mocy czynnych wszystkich jego składowych. Jak wynika z tego wzoru przy przebiegach odkształconych napięć i prądów każda harmoniczna napięcia daje moc czynną z odpowiadającą jej harmoniczną prądu, natomiast harmoniczne napięcia innego rzędu aniżeli harmoniczne prądu nie wytwarzają mocy czynnej.

Moc pozorna: S=Usk⋅Isk=√(U₀²+∑U_ksk²)⋅ √(I₀²+∑I_ksk²) (∑∑od 1 do ∞)=√(∑U_ksk²)⋅ √(∑I_ksk²) (∑∑od 0 do ∞)przy założeniach: Ψo=0; Uo=Uosk; Io=Iosk

Moc bierna: Q=∑Q_k=∑(Uksk⋅Iksk⋅sinΨ)(∑∑od 1 do ∞)

Zależność: moc pozorna k-tej harmonicznej: S_k²=P_k²+Q_k²=...=U_ksk²⋅I_ksk²

Moc odkształcenia: Z zależności: S²=P²+Q²+T²⇒T²=S²-(P²+Q²)=∑∑U_isk⋅I_ksk⋅[U_isk⋅I_ksk-U_ksk⋅I_isk⋅cos(Ψ_i-Ψ_k)] (∑ i=0,∞;∑ k=0;k≠i;∞) T=0 jeśli Ψ_i=Ψ_k, np.: obwody czysto rezystancyjne pobudzane niekoniecznie sinusoidalnie lub np. (RL)||(RC)

Dyskretne widmo amplitudowe i fazowe

Widmo amplitudowe mówi nam, jakie składowe harmoniczne i o jakiej amplitudzie występują w sygnale, widmo fazowe mówi, o jaki kąt są przesunięte zespolone składowe harmoniczne. Są to widma prążkowe, które można wykreślić po rozłożeniu sygnału na sumę szeregu Fouriera

Oznaczając: F_k=|F_k|e^jϕk=A_ke^jϕk

Mówimy o widmie amplitudowym: A_k=|F_k|

i widmie fazowym: ϕ_k=argF_k.

Jeśli funkcja f (t) jest funkcją rzeczywistą (tzn. f(t)∈R), to widmo amplitudowe A(w) jest funkcją parzystą: A(-w)=A(w)

Zaś widmo fazowe ϕ(w) -funkcją nieparzystą zmiennej w: (ϕ(w)=-ϕ(w)).

Przekształcenie Laplace'a. Przekształcenie Laplace'a to przekształcenie przeprowadzające pewną funkcję f(t) (tzw. oryginał), taką że f(t)=0 dla t<0, posiadającą skończoną liczbę punktów nieciągłości, oraz ograniczoną w każdym przedziale, w funkcję zmiennej zespolonej F(p) (tzw. obraz). Przekształcenie Laplace'a stosuje się do rozwiązywania liniowych równań różniczkowych dowolnego rzędu, które sprowadza się do równania algebraicznego.

Transformatą Laplace'a dystrybucji f(t) nazywamy wynik przekształcenia całkowego Laplace'a:

,

Własności transformaty Laplace'a

liniowość - podstawową własnością przekształcenia Laplace'a jest liniowość; innymi słowy przekształcenie Laplace'a spełnia zasadę superpozycji. 2. przesunięcie w dziedzinie czasu - funkcję czasu f(t) transformowalną według Laplace'a możemy zawsze przedstawić w postaci f(t)=f(t) ·1(t) w celu uwypuklenia, że funkcja ta zanika dla chwil ujemnych. 3. różniczkowanie w dziedzinie czasu 4. przesunięcie w dziedzinie zespolonej 5. zmiana w skali czasu 5. transformata splotu funkcji 6. mnożenie funkcji f(x) przez t

Przykłady:

1.

(delta Diraca)

2.
(funkcja Heavyside'a)

Stabilność BIBO układu SLS, warunki stabilności.

Definicja stabilności BIBO (Bounded Input Bounded Output, bounded-związany): Układ LS jest stabilny w sensie BIBO, jeśli dla każdego pobudzenia ograniczonego, czyli

dla każdego t≥0, gdzie c₁, c₂ są kresami górnymi funkcji.

Warunki stabilności:

1. Układ SLS jest stabilny w sensie BIBO jego charakterystyka impulsowa ma postać

2. Układ SLS jest stabilny w sensie BIBO jego funkcja układu
spełnia warunki: st L(s) ≤ st M(s) st - stopień; M(s) jest Wielomianem Hurwitza (WH) 3. SLS jest stabilny w sensie BIBO jego funkcja układu H(s) jest funkcją analityczną w obszarze Res≥0.

Przykład: Układ SLS ma charakterystykę impulsową
. Jest to układ stabilny w sensie BIBO, gdyż
. Funkcja układu

H(s)=L{e^-t1(t)}=1/(s+1) ma biegun w punkcie s=-1.

Wielkości charakteryzujące sygnały okresowe. Sygnał sinusoidalny

. Wzór opisujący ten sygnał wygląda następująco: U = U_msin2πft, gdzie:
U_m - amplituda, f - częstotliwość wyrażona w hercach (Hz), t - czas w sekundach. Jeśli przyjąć, że w=2pf, to sygnał sinusoidalny można opisać następującym wzorem: U = U_msinwt, gdzie w jest pulsacją wyrażoną w radianach na sekundę.Falę sinus. opisują dwa parametry amplituda i częstotliwość (dotyczy to również innych sygnałów). Czasami zamiast amplitudy używa się pojęcia wartości skutecznej U_sk czy też wartości międzyszczytowej U_pp. U_sk=sqrt2*U_m, wartość międzyszczytowa jest równa podwojonej amplitudzie U_pp=2U_m. Przykład: wartość 230V napięcia o częs. 50Hz w gnieździe sieciowym. Amplituda tego napięcia wynosi 325V, a wartość międzyszczytowa 650V. Sygnał prostokątny, można go opisać dwoma parametrami, czyli amplitudą i częstotliwością, z tą różnicą, że wartość skuteczna dla fali prostokątnej jest równa jej amplitudzie. Często zamiast częstotliwości używa się pojęcia okres T, który jest równy T=1/f. Syg. Prost. składa się ze zbocza narastającego, poziomu wysokiego, zbocza opadającego i poziomu niskiego. Sygnał piłokształtny - sygnał o przebiegu liniowym, czyli takim, w którym napięcie rośnie lub opada ze stałą prędkością do określonej wartości i powtarzany jest okresowo. Wielkości charakter. amplituda i częstotliwość. Impulsy Najczęściej nie są to sygnały okresowe to znaczy nie powtarzają się w sposób regularny w czasie. Opisać je można poprzez podanie amplitudy i szerokości impulsu. W technice cyfrowej występują impulsy okresowe, wtedy do opisu takiego sygnału dodajemy częstotliwość lub okres, oraz możemy również mówić o współczynniku wypełnienia, czyli stosunku szerokości impulsu do okresu powtarzania. Impulsy dzielimy na dodatnie i ujemne.

Funkcje układu dwójnik

Y(s) - ADMITANCJA operatorowa dwójnika

- transmitancja napięciowa

- transmitancja prądowo-napięciowa (transadmitancja)

- transmitancja napięciowo-prądowa (transimpedancja)

- transmitancja prądowa

H(s) - funkcja układu

P(s) - pobudzenie

R(s) - reakcja

Przedstawienie reakcji układu SLS w postaci czasowej R(s) = H(s)*P(s) p(t) = δ(t)

charakterystyka impulsowa h(t) (reakcja impulsowa) α[p(t)] = α[δ(t)] = 1 ;

r(t) = α^-1[H(s)]

Czwórniki, opis macierzowy. Zapisujemy ukł równań oczkowych Maxwella dla 4nika, które zapisane w następującej postaci równaniami admitancyjnymi 4nika: I₁=Y₁₁U₁+Y₁₂U₂; -I₂=Y₂₁U₁+Y₂₂U₂ lub macierzowo:
gdzie wektor I jest wek prądów, U - wek napięć, Y - macierzą admitancyjną . Poszczególne wyrazy macierzy mają wymiar admitancji: Y₁₁=I₁/U₁ przy U₂=0 admitancja wej przy zwarciu na wyj; Y₁₂=I₁/U₂ przy U₁=0 adm zwrotna przy zwarciu na wej; Y₂₁=-I₂/U₁ przy U₂=0 adm przejściowa (transadmitancja) przy zwarciu na wyj; Y₂₂=-I₂/U₂ przy U₁=0 adm wyj przy zwarciu na wej;

Przekształcając równania admitancyjne względem U₁,U₂ otrzymuje się rów impedancyjne: U₁=Z₁₁I₁-Z₁₂I₂; U₂=Z₂₁I₁-Z₂₂I₂ lub macierzowo:
Z₁₁=U₁/I₁ przy I₂=0 impedancja wej przy rozwartym wyj; Z₁₂=U₁/-I₂ przy I₁=0 transmitancja napięciowo-prądowa przy rozwartym wej; Z₂₁=U₂/I₁ przy I₂=0 transmit napięciowo-prądowa przy rozwartym wyj; Z₂₂=U₂/-I₂ przy I₁=0 imped wyj przy rozwartym wej;

Przyjmując I₁ oraz U₂ jako zmienne niezależne, a U₁ oraz I₂ jako zmienne zależne mamy równania hybrydowe: U₁=h₁₁I₁+h₁₂U₂; I₂ = h₂₁I₁+h₂₂U₂ lub macierzowo:
h₁₁=U₁/I₁ przy U₂=0 imped wej przy zwarciu na wyj; h₁₂=U₁/U₂ przy I₁=0 transmit napięciowa zwrotna przy rozwarciu na wej; h₂₁=I₂/I₁ przy U₂=0 ujemne wzmocnienie prądowe przy zwarciu na wyj; h₂₂ = I₂/U₂ przy I₁=0 admitancja wyj przy rozwarciu na wej;

Przekształcając równania oczkowe otrzymujemy zależność wielkości wejścia od wyj: _(___(__ _(____(__(___ są to równania łańcuchowe 4nika: U₁=AU₂+BI₂; I₁=CU₂+DI₂ lub macierzowo:
Macierz łańcuchowa opisuje 4niki pasywne liniowe. Uwzględniając równość __2 mamy: AD-BC=1. Wynika z tego ważna własność 4nika lin pas: spośród 4 param tylko 3 są niezależne. Spełnienie tej zależności jest warunkiem odwracalności 4nika. Dla 4nika symetrycznego dodatkowo: A=D.

Odwrotne przekształcenie Laplace'a Używane, by wyznaczyć funkcję czasu f(t) na podstawie danej transformaty. Zależność definicyjna jest raczej bezużyteczna - wymaga całkowania złożonych zwykle funkcji, na nieokreślone precyzyjnie granicach całkowania. Korzysta się z pośrednich metod wyznaczania oryginału wynikających z własności przekształcenia.

Metody wyznaczania odwrotnej transformaty Laplace'a:

1. metoda residuów - dla funkcji F(s) danej jako iloraz dwu wielomianów, (st wielomianu mianownika > st wielomianu licznika), korzystamy z danych wzorów.

2. użycie tablic transformat Laplace'a - dla tych samych F(s), ale dla wysokich stopni mianownika. Przez elementarne przekształcenia doprowadzamy daną transformatę do postaci standardowej znajdującej się w tablicy transformat a

następnie czytamy z niej oryginał.

3. rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste.

4. metoda Heaviside'a.

34. Moc, wart skut syg okr, równość Parsevala.

MOC W części obw płynie ład dq w czasie dt. Dostarczona E:

dw = u*dq = u*i*dt.

Moc chwilowa - stosunek E wydzielonej do t: p(t)=dw/dt=u*i.

p>0 => E ze źródeł E do części obw, p<0 => E z części obw do źródeł.

Moc chwilowa doprowadzona do:

-rezystancji R: podst u=R*i lub i=u/R => P_R=R*i²(t)= u²(t)/R; widać, że P_R≥0 (E tracona w R).

-induktora: P_L=L*di/dt*i(t).

-kondensatora: P_C=C*du/dt*u(t).

-induktorów sprzężonych polem magn: P_M=u₁i₁+u₂i₂=i₁(L₁*di₁/dt+M*di₂/dt)+i₂(L₂*di₂/dt+M*di₁/dt).

WART SKUT SYG OKR

syg okr o okresie T: U_sk =
Dla syg opisanego szeregiem Fouriera: u(t)=U₀+
, U₀-składowa stała, U_n-amplituda n-tej harmonicznej,
-przesunięcie fazowe n-tej harm => U_sk =
, dla syg sin: U_sk=
Wart skut okr syg przemiennego = U syg stałego, który w tym samym t i obw wykonałby taką samą w.

RÓWNOŚĆ PARSEVALA

Tw: jeżeli dla dowolnej funk okr x(t) istnieje całka
, to:
=
, tzn. śr moc syg może być wyznaczona na podst funk czasu x(t) lub wartości widma amplitudowego |X_n| czyli jest sumą mocy składowych harmonicznych. Podobnie jeśli dla okr funk |R: x(t) i y(t) istnieje całka
, to:
=

Równości należy rozumieć w sensie zbieżności średnio-kwadratowej, np.
→0 dla N→∞

Szeregi Fouriera

Sygnał okresowy:

Każdy sygnał okresowy można przedstawić w formie sumy funkcji trygonometrycznych:

Jest to trygonometryczny szereg Fouriera. Współczynniki a_n i b_n są określone wzorami:

Zespolony szereg Fouriera:

Zależności między współczynnikami trygonometrycznego i zespolonego szeregu Fouriera:

Rozwinięcie sygnału okresowego w szereg Fouriera - to rozłożenie go na składowe harmoniczne o różnych pulsacjach. Sygnał okresowy o okresie T zostaje zastąpiony zbiorem sygnałów elementarnych w postaci funkcji harmonicznych o pulsacjach nω₀, n=0,1,2... Zbiór dyskretny {nω₀} - to widmo częstotliwości sygnału f(t). Zbiór {F_n} określony dla dyskretnych wartości nω₀ - to widmo zespolone.

Zespolone amplitudy
mogą być określone za pomocą modułu i fazy - stąd widmo fazowe

i widmo amplitudowe.

Charakterystyka impulsowa - reakcja impulsowa , całka splotu. p(t)= δ(t);L[p(t)]=L[δ(t)]=1; R(s)=H(s) P(s) /L^-1 ;

r(t)= L^-1[H(s)] gdzie L- oznacza transformate Laplace'a

H(s)=

h(t)=L^-1[H(s)]= e^-t 1(t)

r(t)=L^-1[H(s)

P(s)]=h(t)*p(t)=

*- splot

Obliczenie składowej ustalonej reakcji układu SLS w pobudzeniu okresowym.Składowe reakcji:

-swobodna- zalezy tylko od struktury układu

-wymuszone- zalezy od pobudzenia

T_rez=
f=

---