WYKŁAD VI

Czujniki i elementy

kondycjonowania sygnału

• Mechanizmy zmiany sygnału nieelektrycznego na elektryczny

• Wzmacnianie i filtracja, standardowe projekty filtrów

• Szum pomiarowy i filtracja optymalna, filtr Wienera

• Korekcja dynamiczna

• Układy transmisji sygnału pomiarowego

Mechanizmy zmiany sygnału nieelektrycznego na elektryczny

Ogólnie czujniki (przetworniki wielkości nieelektrycznych na elektryczne) możemy podzielić wg zasady wytwarzania sygnału na generacyjne i parametryczne. Generacyjne wytwarzają wielkość elektryczną (napięcie, prąd, ładunek) bez dostarczania energii elektrycznej z zewnątrz (przetwarzają energię nieelektryczną na elektryczną). Parametryczne niosą informację o wielkości mierzonej poprzez parametr elektryczny czujnika zależny od wielkości pomiarowej (zmiany tego parametru łatwo konwertować do wielkości elektrycznej).

Przykład: przemieszczenie (odkształcenie) może być przetworzone na :

wielkość wyjściowa

rodzina czujników

czujnik akustyczny

Czujniki generacyjne:

napięcie	czujniki piezoelektryczne	mikrofon piezoelektryczny
napięcie (stały ładunek elektr.)		mikrofon elektretowy
napięcie indukowane	czujniki elektrodynamiczne	mikrofon dynamiczny

Czujniki parametryczne:

rezystancja	tensometry
rezystancja		mikrofon węglowy
pojemność	czujniki pojemnościowe	mikrofon pojemnościowy
indukcyjność własnej	czujniki indukcyjne
indukcyjność wzajemnej	czujniki transformatorowe

Optymalizacja przetwarzania sygnału dużo łatwiejsza po stronie elektrycznej.

Kryteria jakości systemów pomiarowych

Jakość systemu pomiarowego można rozpatrywać wg różnych kryteriów, z których najpowszechniejsze to:

• dokładność wyniku pomiaru,

• szybkość wyznaczenia wyniku pomiaru,

• wrażliwość wyniku pomiaru na oddziaływania wewnętrzne i zewnętrzne,

• inne: niezawodność działania, koszt wytworzenia i eksploatacji.

Pierwsze trzy kryteria są związane z wpływem jakości przetwarzania sygnałów pomiarowych w poszczególnych elementach systemu na ostateczny wynik pomiaru. Są funkcją parametrów sprzętu pomiarowego, więc mogą być dopasowywane do wymagań i optymalizowane przez dobór tych parametrów. Jednocześnie są ściśle definiowane matematycznie i mogą być analizowane metodami matematycznymi.

Metody poprawiania dokładności wyniku pomiaru (na etapie przetwarzania analogowego)

Dokładność wyniku pomiaru jest definiowana poprzez pojęcie błędu pomiarowego. Błędy można podzielić na dynamiczne i statyczne, a te ostatnie na systematyczne i przypadkowe. Wpływ na dokładność wyniku pomiaru mają wszystkie elementy systemu pomiarowego, jednak zazwyczaj o jakości pomiaru decyduje mała ilość najsłabszych elementów przetwarzania informacji pomiarowej. Lepsze przetwarzanie analogowe można uzyskać przez:

• dobór parametrów przetworników (pasm, tłumień, wzmocnień),

• dobór rzędu przetworników (zasady ich działania),

• korekcję (stosowanie dodatkowych elementów w torach sygnałów),

• dobór struktury systemu pomiarowego w celu uzyskania efektu wzajemnej kompensacji wpływu elementów.

Charakterystyki przetwarzania sygnału, charakterystyki idealne, błąd dynamiczny

Jakość przetwarzania sygnałów jest określana na podstawie charakterystyk przetwornika w odniesieniu do charakterystyk idealnych. Charakterystyki w dziedzinie czasu są tradycyjnie odpowiedziami na standardowe sygnały typu skok i impuls przy założeniu zerowych wartości początkowych. Do opisu jakości przetwarzania w dziedzinie częstotliwości wykorzystywane są charakterystyki amplitudowa i fazowa. Błąd dynamiczny d określa wierność odtworzenia na wyjściu przetwornika pomiarowego zmian sygnału wejściowego. Ogólniej, dla przetworników pomiarowych realizujących pewną operację dynamiczną (niekoniecznie operację odtwarzania zmian sygnału), określa różnicę między rzeczywistym y(t) a pożądanym y₀(t) sygnałem wyjściowym przetwornika dla konkretnego sygnału wejściowego. Wzorcowa charakterystyka przetwarzania i sygnał wejściowy są punktem odniesienia dla definicji błędu dynamicznego w dziedzinie czasu lub częstotliwości jako funkcji parametru t lub ω. Dla reprezentacji przetwornika liniowego modelem odpowiedzi impulsowej i transmitancji definicje przyjmują postać:

W powyższych wzorach widoczny jest wpływ na wartości błędu dynamicznego zarówno własności przetwornika jak i własności sygnału wejściowego. Z tego powodu opis dokładności przetwarzania w postaci błędu dynamicznego nie jest uniwersalny - dotyczy wybranego sygnału o specyficznych własnościach.

Wniosek: o jakości przetwornika decyduje przeznaczenie (spełniana funkcja) i własności przetwarzanego sygnału.

Przykłady:

Błąd dynamiczny śledzenia sinusoidalnie zmiennej wielkości mierzonej przetwornikiem pierwszego rzędu (np. czujnik temperatury) Sygnał błędu jest okresowy, zawiera składową fazową i amplitudową. Ma nieskończoną energię, ale skończoną moc. Może być analizowany w pojedynczym okresie. Parametry , błędu dynamicznego zależą od parametrów przetwornika.

Błąd dynamiczny śledzenia sygnału skoku przetwornikiem oscylacyjnym drugiego rzędu (np. belka tensometryczna) Sygnał błędu oscylacyjnie zmienia znak i zmierza do wartości 0.

W przypadku czujników pomiarowych pożądaną operacją jest śledzenie zmian sygnału pomiarowego, co w kategoriach własności przetwornika oznacza brak zniekształceń amplitudowych i fazowych. Inne przykłady:

Różniczkowanie	Uśrednianie w czasie T	Filtracja dolnoprzepustowa
		to - stałe opóźnienie grupowe

Miary skalarne dokładności w przestrzeni sygnałów

Miara błędu dynamicznego określa liczbowo wielkość błędu dynamicznego. Jest więc funkcjonałem (funkcja od funkcji) o wartościach skalarnych. Najczęściej stosowane miary błędu dynamicznego
to:

• całka kwadratu (tzw. błąd średniokwadratowy)

dla sygnałów o skończonej mocy:

dla sygnałów o skończonej energii:

Ta miara jest najpopularniejsza ze względu na łatwość obliczeń analitycznych w dziedzinie czasu i, na mocy twierdzenia Parsevala
, w dziedzinie częstotliwości.

• całka modułu
  

• maksimum modułu
  

Miary modułowe nie są powiązane w prosty sposób z dziedziną częstotliwości. Każda z miar ma specyficzne własności: błąd średniokwadratowy uwypukla duże wartości błędu dynamicznego, całka z modułu jest trudna do obliczeń analitycznych, maksimum modułu jest często niewrażliwe na zmiany błędu dynamicznego. Poszczególne miary nie są wzajemnie porównywalne. Również jedna wybrana miara nie jest porównywalna dla przetworników różnych rzędów z powodu różnej natury błędu dynamicznego (patrz przykłady poniżej).

Przykłady:

Błąd średniokwadratowy odtworzenia bez opóźnienia sygnału skoku. Idealna operacja odtwarzania ma model
.

Przetwornik I-go rzędu	Przetwornik II-go rzędu oscylacyjny
W dziedzinie czasu: W dziedzinie częstotliwości: Jedyna możliwość zmniejszenia błędu dynamicznego to zmniejszanie stałej czasowej przetwornika.	Zmniejszenie wartości błędu można uzyskać przez zwiększanie wartości parametru lub przez optymalny dobór parametru .

W przypadku występowania jednocześnie błędu dynamicznego i losowych zakłóceń, błąd średniokwadratowy umożliwia łączną analizę obydwu składowych. Wygodnie jest ją prowadzić w dziedzinie częstotliwości operując gęstością widmową mocy sygnału błędu dynamicznego i mocy sygnału zakłóceń. Ogólne wyrażenie łączące gęstości widmowe mocy sygnału
i szumu
po przejściu przez przetwornik oraz błędy (dynamiczny i losowy) w postaci błędu średniokwadratowego to:

Wielkość
, czyli moc zniekształceń (dynamicznych i losowych) odniesiona do pożądanej mocy sygnału na wyjściu, jest nazywana stosunkiem szumu do sygnału i określa jakość toru przetwarzania informacji. Jego minimalizacja wiąże się zazwyczaj z ograniczaniem pasma ze względu na odcinanie zakłóceń i rozszerzaniem pasma ze względu na przenoszenie sygnału - sprzeczne działania i potrzebne rozwiązanie kompromisowe poprzez optymalizację.

Optymalizacja elementów systemu pomiarowego

Optymalizacja systemu pomiarowego lub jego elementu pod względem dokładności polega na ekstremalizacji (minimalizacji lub maksymalizacji zależnie od sensu kryterium) miary błędu. Wynik optymalizacji zależy od przyjętego kryterium optymalizacji. Przykładem różnego wyboru kryterium optymalizacji są standardowe filtry 2-go rzędu o zadanej 3-decybelowej częstotliwości granicznej uzyskiwane poprzez dobór tłumienia ξ (o tym dalej).Przykłady:

W części dotyczącej miar błędu dynamicznego przedstawiono optymalizację przetwornika pierwszego i drugiego rzędu pod kątem niezniekształcającego przenoszenia sygnału skokowego. Problem można sformułować w nieco zmodyfikowanej formie, tj. z dopuszczeniem opóźnienia sygnału na wyjściu względem wejścia o czas t­_o. Pierwszy przykład przedstawia rozwiązanie tak postawionego zadania. Przykład drugi dotyczy cyfrowego przybliżenia operacji różniczkowania z ograniczeniem pasma przenoszenia sygnału dla ograniczenia szumów. Przedstawione dwa podejścia do optymalizacji działania filtra FIR realizującego postawione zadanie są wykorzystane w funkcjach projektowania filtrów w Matlabie (o czym w szczegółach przy temacie przetwarzania cyfrowego).

Przetwornik inercyjny jako element opóźniający	Różniczkowanie cyfrowe filtrem FIR
Błąd średniokwadratowy jest najmniejszy dla dobranej do pożądanego czasu opóźnienia stałej czasowej przetwornika. Inne miary błędu dynamicznego dają inne wartości optymalne (dla miary całka modułu Topt=0.6to, dla miary maksimum Topt=1.45to).	Dopasowanie transmitancji do wzorca w paśmie przepustowym i zaporowym można prowadzić np. według kryterium całki kwadratu (w Matlabie funkcja firls) lub maximum modułu różnicy (funkcja remez). W wyniku otrzymujemy współczynniki filtra FIR dające najlepsze przybliżenie pożądanej operacji według wybranego kryterium przy zadanej długości filtra N.

Przedstawione przykłady wykorzystują optymalizację parametryczną, minimalizującą wybrane kryterium poprzez dobór wartości zestawu współczynników - parametrów przetworników pomiarowych.

Standardowe projekty filtrów

Przykładem różnego wyboru kryterium optymalizacji są standardowe filtry dolnoprzepustowe o zadanej 3-decybelowej częstotliwości granicznej:

• filtr Butterwortha jest optymalizowany dla osiągnięcia najbardziej płaskiej charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowej w paśmie przepustowym, czyli najmniejszych zniekształceń amplitudowych przenoszonego sygnału. Docelowe kryterium to zerowanie się kolejnych pochodnych wzmocnienia amplitudowego po częstotliwości dla częstotliwości zerowej. Równoważne jest zerowanie się współczynników kwadratu modułu transmitancji przy kolejnych potęgach Ω poza maksymalną.

• filtr Bessela (Thomsona) jest optymalizowany dla osiągnięcia najbardziej liniowej charakterystyki fazowo-częstotliwościowej w paśmie przepustowym, czyli najmniejszych zniekształceń fazowych. Docelowe kryterium to zerowanie się kolejnych pochodnych (powyżej pierwszej, która nie powinna zależeć od Ω) przesunięcia fazowego po częstotliwości dla częstotliwości zerowej.

• filtr Czebyszewa jest optymalizowany dla osiągnięcia najszybszego spadku charakterystyki amplitudowo-częstotliwościowej z pasma przepustowego do pasma zaporowego przy dopuszczeniu zafalowań tej charakterystyki o zadanym poziomie w paśmie przepustowym (filtr I-go rodzaju) lub zaporowym (filtr II-go rodzaju z wielomianem Ω w liczniku).

• filtr eliptyczny (Cauera) jest optymalizowany według identycznej zasady jak filtr Czebyszewa jednak przy dopuszczeniu zafalowań charakterystyki jednocześnie w paśmie przepustowym i zaporowym (wielomiany Ω w liczniku i mianowniku).

Dla filtrów drugiego rzędu
,
, jedynym parametrem jest tłumienie ξ

Bessel Butterworth Czebyszew 3dB

W takim ujęciu wzmocnienie dla Ω=1 (równe 1/(2ξ)) nie jest normalizowane do 3dB.

W literaturze (np. Tietze) współczynniki kolejnych rzędów przy normalizacji
.

Popularne Realizacje układowe dolnopasmowych filtrów i wzmacniaczy

Bierny tłumik RC ze wzmacniaczem separującym	Filtr bierny drugiego rzędu. Problemy z elementami L,C przy niskich częstotliwościach granicznych
Aktywny filtr drugiego rzędu z wielokrotnym ujemnym sprzężeniem zwrotnym	Z pojedynczym ujemnym sprzężeniem zwrotnym

Szczegóły w np. Tietze Schenk Układy półprzewodnikowe

Szum pomiarowy i optymalna filtracja Średniokwadratowa, filtr Wienera

Zadanie optymalizacji filtracji można zdefiniować w odmienny sposób niż powyższe podejścia parametryczne (dobór parametrów dla uzyskania odpowiedniego kształtu charakterystyk). Dotąd nie mówiliśmy nic o źródle problemu filtracji - o zakłóceniach. Filtracja to wydzielanie części sygnału niosącej informację pomiarową wg zasady maksymalnej redukcji zakłóceń i jednocześnie minimalnego zniekształcania przenoszonego sygnału.

Dla rozwiązania tego problemu w sposób optymalny przy znanym opisie widmowym sygnału i zakłóceń posłużymy się kryterium średniokwadratowym błędu sygnału.

Taka charakterystyka filtra (filtr Wienera) jest optymalnym rozwiązaniem problemu filtracji wg kryterium średniokwadratowego. Jest to jednak projekt mało praktyczny - rzadko znamy dokładnie widmo gęstości mocy zakłóceń. Charakterystyka filtra Wienera jest nieparametryczna - do realizacji układowej trzeba ją przybliżyć transmitancją niskiego rzędu. Dodatkowo kryterium średniokwadratowe ma swoją specyfikę - daje obciążone wyniki estymacji (wzmocnienie jest równe jeden tylko w paśmie niezaszumionym, poza nim sygnał jest zawsze osłabiany).

Korekcja właściwości elementów systemu pomiarowego

Polepszanie własności systemu pomiarowego można zrealizować przez korygowanie nieidealnych charakterystyk przetworników drogą dodawania do toru pomiarowego dodatkowych analogowych przetworników sygnału (korektorów) modyfikujących zachowanie współpracującego przetwornika (korekcja sprzętowa) lub przez zabiegi programowe modyfikujące zarejestrowane sygnały po stronie cyfrowej (korekcja programowa).

Korekcja sprzętowa

Korektory można stosować w układzie szeregowym, równoległym i w pętli sprzężenia zwrotnego. Spośród tych układów najpopularniejszy i najłatwiejszy do zrealizowania jest korektor szeregowy, dołączony do wyjścia korygowanego przetwornika i modyfikujący jego transmitancję
do transmitancji
.

Korekcja szeregowa	Korekcja równoległa	Korekcja w sprzężeniu

Konstrukcja korektora sprowadza się do zadania optymalizacyjnego, ponieważ poszerzanie pasma korygowanego przetwornika powoduje jednocześnie wzmocnienie szumów w paśmie korekcji. Malejącemu błędowi dynamicznemu przetwarzania towarzyszy rosnący błąd związany z zakłóceniami. Dobierając odpowiednio parametry korektora można uzyskać minimalną wartość łącznego błędu.

Przykład:

Korekcja dynamiki przetwornika inercyjnego drugiego rzędu korektorem pierwszego rzędu

Korekcja dynamiki przetwornika pierwszego rzędu z uwzględnieniem wpływu zakłóceń

Niemożliwa jest idealna korekcja w przypadku takiego rodzaju przetwornika i korektora. Optymalny parametr Tk korektora zapewnia najmniejszy błąd średniokwadratowy przenoszenia sygnału szerokopasmowego przy założonej strukturze korektora.

Sygnałem wejściowym przetwornika jest suma pasmowego sygnału pomiarowego x o gęstości widmowej mocy Px i zakłóceń z o gęstości widmowej mocy Pz. Dobierane jest pasmo przetwornika (tj. jego stała czasowa) metodą korekcji lub przez wybór konstrukcji przetwornika. Składowa dynamiczna błędu łącznego maleje ze wzrostem pasma przetwornika (mniejsza stała czasowa) a składowa od zakłóceń rośnie (więcej zakłóceń przedostaje się na wyjście przetwornika). Optymalna wartość stałej czasowej zależy od stosunku gęstości widmowych mocy i od częstostliwości granicznej sygnału.

Układy transmisji sygnału pomiarowego

Czujniki parametryczne mogą przetwarzać (modyfikować parametrycznie pod wpływem wielkości pomiarowej) napięcia stałe lub napięcia zmienne. Z punktu widzenia dalszej transmisji (przenoszenia) sygnału postać zmiennoprądowa (modulacja amplitudy sygnału nośnej) jest korzystniejsza, bo pasmowe wzmacnianie sygnału uwalnia nas od dryftu temperaturowego zera wzmacniaczy. W torze przetwarzania musimy jednak odzyskać sygnał zmian wielkości pomiarowej.

Proces przetwarzania sygnału w układzie z modulacją amplitudową

Schemat blokowy układu z modulacją amplitudy M - przetwornik z modulacją, K - wzmacniacz pasmowy, D - demodulator, F - filtr dolnoprzepustowy demodulacji

Przebiegi elektryczne w poszczególnych punktach toru z modulacją amplitudową. 1 - wielkość mierzona, 2 - sygnał zmodulowany po wzmocnieniu, 3 - sygnał zdemodulowany, 4 - sygnał po filtracji

Odtworzenie sygnału modulującego można zrealizować przez detekcję fazoczułą i filtrację dolnopasmową z wydzieleniem z pulsującego sygnału wyprostowanego jego obwiedni. Filtrowane zakłócenia to tzw. szum demodulacji. Problem projektowy to ustalenie rzędu i pulsacji granicznej filtra wydzielającego obwiednię.

Komputerowa analiza systemów pomiarowych

11

Katedra Metrologii AGH Kraków 2004

g(G)

g₀ (G₀)

x

^

z

x

G(jω)

opt=solve('1/(2*ks*sqrt(1-ks^2))=1.41')

opt =

[ .923 ]

[ .384 ]

argG=-atan(2*ksi*Om/(1-Om^2));

dargG=diff(argG,Om);

subs(dargG,Om, 0)

ans = -2*ksi

ddargG=diff(dargG,Om);

subs(ddargG,Om, 0)

ans = 0

dddargG=diff(ddargG,Om);

subs(dddargG,Om, 0)

ans = -12*ksi+16*ksi^3

syms Om ksi

absG=1/((1-Om^2)^2+(2*ksi*Om)^2);

dabsG=diff(absG,Om);

subs(dabsG,Om, 0)

ans = 0

ddabsG=diff(dabsG,Om);

subs(ddabsG,Om, 0)

ans = 4-8*ksi^2

4

3

2

1

U_n

X_m

X

F

M

K

D

_gs

∼100mV

∼5V

elektret

(folia spolar.)

y₀(t)

Y₀(s)

y(t)

Y(s)

d(t)

D(s)

x(t)

X(s)



P_z

P_x

P

G(s)

K(s)

G(s)

K(s)

G(s)

K(s)

---