W-15 w Cz, ►Studia, Semestr 3, Ekektrotechnika wykład


W Y K Ł A D 15

UKŁADY TRÓJFAZOWE

Generator trójfazowy symetryczny wytwarza napięcia fazowe sinusoidalne o tej samej częstotliwości , tej samej amplitudzie, a poprzesuwane względem siebie w fazie o 1200 (1/3 okresu w czasie).

Fazy generatora oznaczamy literami A, B, C.

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
. (15.1)

Jedną z faz, zazwyczaj fazę A, przyjmujemy jako tzw. fazę odniesienia. Układ trójfazowy, w którym napięcia fazowe eA, eB, eC opisane są równaniem (15.1), nosi nazwę układu kolejności zgodnej.

0x01 graphic
.0x01 graphic
0x01 graphic
(15.2)

0x01 graphic
E+ E+ E = 0. (15.3)

0x01 graphic

Rys.15.1. Napięcia źródłowe wytwarzane w symetrycznej prądnicy trójfazowej: a) przebiegi chwilowe dla poszczególnych faz; b) wykres wektorowy (α=0)

W zależności od skojarzenia generatora i odbiornika rozróżniamy układ trójfazowy: gwiazda - gwiazda, trójkąt - gwiazda, gwiazda - trójkąt, trójkąt - trójkąt.

Przy połączeniu gwiazda - gwiazda wyróżniamy układ trójprzewodowy (bez przewodu zerowego) lub układ czteroprzewodowy z przewodem zerowym (neutralnym).

15.1. Analiza układu trójfazowego gwiazda - gwiazda

0x01 graphic

Rys.15.2. Układ trójfazowy gwiazda-gwiazda bez przewodu zerowego

Napięcia EA, EB, EC nazywamy napięciami fazowymi generatora, a napięcia UA, UB, UC nazywamy napięciami fazowymi odbiornika. Prądy płynące w fazach generatora i odbiornika w tym przypadku nazywamy prądami liniowymi (fazowymi) IA, IB, IC. Impedancje ZA, ZB, ZC, tworzą gwiazdę impedancji odbiornika. Napięcia między przewodami fazowymi nazywamy napięciami międzyfazowymi lub napięciami liniowymi i oznaczamy je przez UAB, UBC, UCA.

0x08 graphic

0x01 graphic

Rys.15.3. Wykres wektorowy napięć fazowych i napięć międzyfazowych symetrycznego generatora trójfazowego (0x01 graphic
)

iA(t) + iB(t) + iC(t) = 0 (15.5) IA + IB + IC = 0 . (15.6)

0x08 graphic
Jeżeli przez UN'N = U0', to

UA = EA - UN'N = EA - U0 ,

UB = EB - UN'N = EB - U0 , (15.7)
UC = EC - UN'N = EC - U0 .

U0 (YA+YB+YC) =YAEA + YBEB + YCEC ,

stąd

0x01 graphic
. (15.9)

Jeżeli YA=YB=YC=Y, to napięcie U0 przyjmuje postać

0x01 graphic
.

Układ trójfazowy, dla którego U0 = 0, nosi nazwę układu symetrycznego. Dla układu symetrycznego napięcia fazowe generatora są równe napięciom fazowym odbiornika (por.wzór 15.7), natomiast prądy IA, IB, IC mają te same wartości skuteczne i są poprzesuwane względem siebie o 1200. Kąt fazowy ϕ jest kątem fazowym admitancji odbiornika (ϕA = ϕB = ϕC = ϕ , Y = Ye-jϕ).

0x01 graphic

Rys.15.4. Wykres wektorowy napięć fazowych generatora i odbiornika oraz prądów dla układu trójfazowego symetrycznego trójprzewodowego przy połączeniu gwiazda-gwiazda

Moc chwilowa źródła dla dowolnego obciążenia określona jest zależnością

pE(t) = pEA(t) + pEB(t) + pEC(t) = eA(t)iA(t) + eB(t)iB(t) + eC(t)iC(t). (15.10)

Moc ta jest równa mocy chwilowej odbiornika określonej jako

p0(t) = uA(t)iA(t) + uB(t)iB(t) + uC(t)iC(t) .

0x01 graphic
. (15.11)

PE = PEA + PEB + PEC = EA IA cosϕA + EB IB cosϕB + EC IC cosϕC ,

gdzie: ϕA, ϕB, ϕC - oznaczają kąty fazowe pomiędzy napięciem fazowym (źródła) generatora a prądem fazowym źródła dla poszczególnych faz.

Ponieważ musi zachodzić bilans mocy czynnych, to moc ta jest równa mocy czynnej odbiornika

PO = POA + POB + POC = UA IA cosϕOA + UB IB cosϕOB + UC IC cosϕOC ,

gdzie: ϕOA, ϕOB, ϕOC - oznaczają kąty fazowe pomiędzy napięciem fazowym odbiornika a prądem fazowym odbiornika dla poszczególnych faz.

Moc symboliczna źródła określona jest w następujący sposób:

0x01 graphic
, (15.12)
gdzie:

I* - oznacza wartość skuteczną zespoloną sprzężoną prądu,

QE - oznacza moc bierną źródła.

Podobnie będzie określona moc symboliczna odbiornika

0x01 graphic
. (15.13)

Moc bierna źródła określona jest za pomocą następujących zależności

QE = QEA + QEB + QEC = EA IA sinϕA + EB IB sinϕB + EC IC sinϕC. (15.14)

Podobnie moc bierna odbiornika

QQOA QOBQOC = UAIAsinϕOA + UBIBsinϕOB+ UCICsinϕOC .(15.15)

Moce: czynna, bierna, symboliczna są mocami zachowawczymi, czyli podlegają bilansowaniu, natomiast moc pozorna zdefiniowana w następujący sposób

0x01 graphic
(15.16)

nie spełnia zasady bilansu.

Podobnie dla odbiornika0x01 graphic

0x01 graphic
(15.17)

Moc pozorna, jako iloczyn dwóch wartości skutecznych ( S = UI ), nie może podlegać bilansowi, gdyż ogólnie nie zachodzi addytywność dla wartości skutecznych. Moc symboliczna, którą można odwzorować jako wektor, jest sumą wektorów (poszczególnych mocy symbolicznych), czyli 0x01 graphic
.

0x08 graphic
0x01 graphic

Rys.15.5. Układ trójfazowy gwiazda-gwiazda z przewodem zerowym (neutralnym)

Jeżeli YA YB YC, to mamy układ niesymetryczny i wówczas

IA + IB + IC = I0 . (15.19)

Prąd I0 jest prądem, który płynie w przewodzie zerowym (neutralnym). Jeżeli impedancja przewodu neutralnego jest równa zero (Y0 = ∞ ), to U0 = 0 i odpowiednie napięcia fazowe źródła i odbiornika są sobie równe. Jeżeli mamy do czynienia z układem symetrycznym, tzn. gdy spełniony jest warunek YA = YB = YC = Y, to bez względu na to, czy istnieje przewód zerowy, czy nie (tzn. Z0 = 0 - zwarcie punktów NN, Z0 ≠ 0 - skończona impedancja w przewodzie zerowym, Z0 = ∞ - brak przewodu zerowego), to dla prądów spełniona jest zależność0x01 graphic

IA + IB + IC = 0 . (15.20)


Równania mocy dla układu przedstawionego na rys.15.5 mają postać:

0x01 graphic
, (15.21)

0x01 graphic
, (15.22)

0x01 graphic
. (15.22a)

15.2. Analiza układu trójkąt-trójkąt

0x08 graphic
0x01 graphic

Rys.15.6. Układ trójfazowy trójkąt-trójkąt

0x01 graphic
(15.24)

Należy zauważyć, że mając prądy fazowe (15.23), można wyznaczyć prądy przewodowe (15.24). Natomiast mając prądy przewodowe, nie można wyznaczyć prądów fazowych, ponieważ jest to układ zależny poprzez I prawo Kirchhoffa, czyli są tylko 2 równania niezależne, z których bez warunku dodatkowego nie można wyznaczyć trzech wielkości.

15.3. Analiza układów mieszanych

0x01 graphic

Rys.15.7. Układ trójfazowy mieszany: generator połączony w gwiazdę, odbiornik w trójkąt

W układzie tym napięcia fazowe odbiornika są równe napięciom międzyfazowym generatora. Prądy fazowe odbiornika obliczamy zgodnie z zależnościami

0x01 graphic
(15.25) 0x01 graphic
(15.26)

0x08 graphic
0x01 graphic

Rys.15.8. Układ trójfazowy mieszany: generator połączony w trójkąt, odbiornik w gwiazdę

0x01 graphic
, (15.31) 0x01 graphic
, (15.32)

0x01 graphic
. (15.33) 0x01 graphic
(15.34)

15.4. Pomiar mocy czynnej biernej i pozornej w układach trójfazowych

15.4.1. Pomiary w układach symetrycznych

0x01 graphic

Rys.15.9. Pomiar mocy czynnej w układzie trójfazowym symetrycznym czteroprzewodowym

Dla rozpatrywanego układu spełnione są również równości:

0x08 graphic
0x01 graphic

Rys. 15.10. Wykres wektorowy prądów i napięć dla układu trójfazowego symetrycznego

Wykorzystując zależności (15.35), (15.36) można zauważyć, że do pomiaru mocy czynnej wystarczy użyć jednego watomierza, wpiętego tak jak to ilustruje rys.15.9. Wskazanie watomierza wynosi

0x01 graphic
. (15.37)

Watomierze wpięte w pozostałe fazy i przewód neutralny wskazywałyby tę samą wartość, stąd całkowita moc czynna układu wynosi

0x01 graphic
, (15.38)

gdzie: 0x01 graphic
- napięcie międzyfazowe.

Moc bierną wyznaczymy z zależności

0x01 graphic
(15.39)
Tak włączony watomierz (tzn. cewka prądowa w fazie A natomiast cewkę napięciową łączymy pomiędzy fazy B i C), spełnia rolę waromierza (przyrządu do pomiaru mocy biernej).

0x01 graphic

Rys.15.11. Układ do pomiaru mocy biernej w układzie trójfazowym symetrycznym

0x01 graphic

0x01 graphic
< (UBC IA) . (15.40)

0x01 graphic
(15.41)

Zatem całkowitą moc bierną pobieraną przez odbiornik symetryczny uzyskujemy mnożąc wartość Q1 przez 0x01 graphic
, czyli

Rys.15.12. Wykres wektorowy ilustrujący zasadę pomiaru mocy biernej w układzie trójfazowym symetrycznym

0x01 graphic
. (15.42)

Moc pozorną pobieraną przez odbiornik wyznaczymy z zależności

0x01 graphic
. (15.43)

Z zależności (15.43) wynika, że aby wyznaczyć moc pozorną S  wystarczy pomierzyć napięcie międzyfazowe oraz prąd fazowy i iloczyn ich wartości pomnożyć przez 0x01 graphic
. Jeżeli układ jest symetryczny, lecz trójprzewodowy, pomiaru mocy biernej dokonujemy według zasady przedstawionej na rys. 15.11, natomiast moc czynną mierzymy za pomocą jednego watomierza stosując tzw. sztuczne zero lub za pomocą dwóch watomierzy według układu Arona. Pomiar za pomocą jednego watomierza z wykorzystaniem sztucznego zera przedstawiono na rys. 15.13.

0x01 graphic

Rys.15.13. Układ do pomiaru mocy czynnej w układzie trójfazowym symetrycznym z wykorzystaniem sztucznego zera

15.4.2. Pomiary w układach trójfazowych niesymetrycznych

0x01 graphic

Rys.15.14. Pomiar mocy czynnej w układzie trójfazowym niesymetrycznym (ZAZBZC). czteroprzewodowym

Całkowita moc czynna jest sumą mocy czynnych w poszczególnych fazach, czyli

0x01 graphic
. (15.44)
Moc pozorna

0x01 graphic
. (15.45)

Moc bierną zmierzymy za pomocą trzech waromierzy, spełniających rolę watomierzy włączonych tak jak pokazano na rys. 15.15, które mierzą:

Q1 =UBCIAcos< (UBC, IA) +UCAIBcos< (UCA, IB) + UABICcos< (UAB, IC) . (15.46)
0x01 graphic

Rys.15.15. Pomiar mocy biernej w układzie trójfazowym niesymetrycznym czteroprzewodowym

Korzystając z wykresu wektorowego przedstawionego na rys.15.10, (ϕAϕBϕC) wzór (15.46) można przekształcić do postaci

0x01 graphic
, (15.47)

po dalszych przekształceniach otrzymujemy:

0x01 graphic
. (15.48)

0x01 graphic
, (15.49)
gdzie: Q - moc bierna odbiornika.

0x01 graphic

Rys.15.16. Pomiar mocy czynnej w układzie trójfazowym trójprzewodowym za pomocą dwóch watomierzy (układ Arona)

Dla układu przedstawionego na rys.15.16 moc symboliczna pobierana przez odbiornik niesymetryczny, wynosi:

0x01 graphic
. (15.50)

Dla układu trójfazowego trójprzewodowego (rys.15.16) na podstawie I prawa Kirchhoffa zachodzi związek

0x01 graphic
, jak również 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. (15.51)
Wstawiając zależność (15.51) do wzoru (15.50) mamy

0x01 graphic
, (15.52)
Re{S} = P = P1 + P2 =UACIAcos< (UAC, IA) +UBCIBcos< (UBC, IB), (15.53)
Im{S} = Q = Q1 + Q2 =UACIAsin< (UAC, IA) +UBCIBsin< (UBC, IB). (15.54)

Z zależności (15.53) wynika, że do pomiaru mocy czynnej odbiornika należy użyć dwóch watomierzy włączonych w sposób przedstawiony na rys.15.16. Wykres wektorowy napięć i prądów przedstawiono na rys.15.17

0x01 graphic

0x01 graphic

Rys.15.17. Wykres wektorowy prądów i napięć dla układu z rys.15.16

Rys.15.18. Wykres wektorowy prądów i napięć dla układu z rys.15.16 przy założeniu, że ZA=ZB=ZC

Na podstawie wykresu wektorowego pierwsze wyrażenie ze wzoru (15.53) ma postać

0x01 graphic
, (15.55)

0x01 graphic
. (15.56)
Ostatecznie moc czynna odbiornika określona jest za pomocą zależności

0x01 graphic
. (15.57)

0x01 graphic

Rys.15.19. Przebiegi względnych (odniesieniu do iloczynu 0x01 graphic
) wskazań watomierzy P1 i P2 oraz ich sumy 0x01 graphic
w funkcji kąta fazowego φ odbiornika symetrycznego

Z rys.15.19 wynika, że mimo symetrii układu, w ogólnym przypadku wskazania watomierzy nie są jednakowe (są tylko jednakowe dla odbiornika o charakterze rezystancyjnym, tzn. dla φ = 0). Oba wskazania są dodatnie dla kątów fazowych -60o<φ<60o . Dla kątów -60o<φ<-90o oraz 60o<φ<90o , wskazania watomierzy mają różne znaki. Przy kącie fazowym φ=±90o wskazania są równe co do bezwzględnej wartości, ale ich znaki są przeciwne, co daje, że 0x01 graphic
.

Różnica wskazań watomierzy określona jest wzorem

0x01 graphic
. (15.58)

0x01 graphic
, (15.59) 0x01 graphic
. (15.59a)

Natomiast czy prąd wyprzedza napięcie fazowe, tzn. czy odbiornik ma charakter rezystancyjno-pojemnościowy, czy się spóźnia (charakter rezystancyjno-indukcyjny), (rys.15.18), należy ocenić na podstawie wskazań watomierzy P1 lub P2.

Moc bierna dla odbiornika symetrycznego

0x01 graphic
(15.60)

i wtedy ze wzoru (15.58) otrzymuje się:

0x01 graphic
. (15.61)

1

12

0x01 graphic
(15.4)

IA = YA UA,

IB = YB UB, (15.8)
IC = YC UC.

0x01 graphic

(15.18)

0x01 graphic
(15.23)

EA = ZAIA - ZBIB , (13.27)

EB = ZBIB - ZCIC , (13.28)

IA + IB + IC = 0 . (13.29)

EB = (ZB + ZC)IB + ZCIA

(13.30)

0x01 graphic
, (15.35)

0x01 graphic
. (15.36)



Wyszukiwarka