W Y K Ł A D 15

UKŁADY TRÓJFAZOWE

Generator trójfazowy symetryczny wytwarza napięcia fazowe sinusoidalne o tej samej częstotliwości , tej samej amplitudzie, a poprzesuwane względem siebie w fazie o 120⁰ (1/3 okresu w czasie).

Fazy generatora oznaczamy literami A, B, C.

. (15.1)

Jedną z faz, zazwyczaj fazę A, przyjmujemy jako tzw. fazę odniesienia. Układ trójfazowy, w którym napięcia fazowe e_A, e_B, e_C opisane są równaniem (15.1), nosi nazwę układu kolejności zgodnej.

.

(15.2)

E_A + E_B + E_C  = 0. (15.3)

Rys.15.1. Napięcia źródłowe wytwarzane w symetrycznej prądnicy trójfazowej: a) przebiegi chwilowe dla poszczególnych faz; b) wykres wektorowy (α=0)

W zależności od skojarzenia generatora i odbiornika rozróżniamy układ trójfazowy: gwiazda - gwiazda, trójkąt - gwiazda, gwiazda - trójkąt, trójkąt - trójkąt.

Przy połączeniu gwiazda - gwiazda wyróżniamy układ trójprzewodowy (bez przewodu zerowego) lub układ czteroprzewodowy z przewodem zerowym (neutralnym).

15.1. Analiza układu trójfazowego gwiazda - gwiazda

Rys.15.2. Układ trójfazowy gwiazda-gwiazda bez przewodu zerowego

Napięcia E_A, E_B, E_C nazywamy napięciami fazowymi generatora, a napięcia U_A, U_B, U_C nazywamy napięciami fazowymi odbiornika. Prądy płynące w fazach generatora i odbiornika w tym przypadku nazywamy prądami liniowymi (fazowymi) I_A, I_B, I_C. Impedancje Z_A, Z_B, Z_C, tworzą gwiazdę impedancji odbiornika. Napięcia między przewodami fazowymi nazywamy napięciami międzyfazowymi lub napięciami liniowymi i oznaczamy je przez U_AB, U_BC, U_CA.

Rys.15.3. Wykres wektorowy napięć fazowych i napięć międzyfazowych symetrycznego generatora trójfazowego (
)

i_A(t) + i_B(t) + i_C(t) = 0 (15.5) I_A + I_B + I_C = 0 . (15.6)

Jeżeli przez U_N'N = U₀^', to

U_A = E_A - U_N'N = E_A - U₀ ,

U_B = E_B - U_N'N = E_B - U₀ , (15.7)
U_C = E_C - U_N'N = E_C - U_{0 .}

U₀ (Y_A+Y_B+Y_C) =Y_AE_A + Y_BE_B + Y_CE_C ,

stąd

. (15.9)

Jeżeli Y_A=Y_B=Y_C=Y, to napięcie U₀ przyjmuje postać

.

Układ trójfazowy, dla którego U₀ = 0, nosi nazwę układu symetrycznego. Dla układu symetrycznego napięcia fazowe generatora są równe napięciom fazowym odbiornika (por.wzór 15.7), natomiast prądy I_A, I_B, I_C mają te same wartości skuteczne i są poprzesuwane względem siebie o 120⁰. Kąt fazowy ϕ jest kątem fazowym admitancji odbiornika (ϕ_A = ϕ_B = ϕ_C = ϕ , Y = Ye^-jϕ).

Rys.15.4. Wykres wektorowy napięć fazowych generatora i odbiornika oraz prądów dla układu trójfazowego symetrycznego trójprzewodowego przy połączeniu gwiazda-gwiazda

Moc chwilowa źródła dla dowolnego obciążenia określona jest zależnością

p_E(t) = p_EA(t) + p_EB(t) + p_EC(t) = e_A(t)i_A(t) + e_B(t)i_B(t) + e_C(t)i_C(t). (15.10)

Moc ta jest równa mocy chwilowej odbiornika określonej jako

p₀(t) = u_A(t)i_A(t) + u_B(t)i_B(t) + u_C(t)i_C(t) .

. (15.11)

P_E = P_EA + P_EB + P_EC = E_A I_A cosϕ_A + E_B I_B cosϕ_B + E_C I_C cosϕ_C ,

gdzie: ϕ_A, ϕ_B, ϕ_C - oznaczają kąty fazowe pomiędzy napięciem fazowym (źródła) generatora a prądem fazowym źródła dla poszczególnych faz.

Ponieważ musi zachodzić bilans mocy czynnych, to moc ta jest równa mocy czynnej odbiornika

P_O = P_OA + P_OB + P_OC = U_A I_A cosϕ_OA + U_B I_B cosϕ_OB + U_C I_C cosϕ_OC ,

gdzie: ϕ_OA, ϕ_OB, ϕ_OC - oznaczają kąty fazowe pomiędzy napięciem fazowym odbiornika a prądem fazowym odbiornika dla poszczególnych faz.

Moc symboliczna źródła określona jest w następujący sposób:

, (15.12)
gdzie:

I^* - oznacza wartość skuteczną zespoloną sprzężoną prądu,

Q_E - oznacza moc bierną źródła.

Podobnie będzie określona moc symboliczna odbiornika

. (15.13)

Moc bierna źródła określona jest za pomocą następujących zależności

Q_E = Q_EA + Q_EB + Q_EC = E_A I_A sinϕ_A + E_B I_B sinϕ_B + E_C I_C sinϕ_C. (15.14)

Podobnie moc bierna odbiornika

Q_O = Q_OA + Q_OB. + Q_OC = U_AI_Asinϕ_OA + U_BI_Bsinϕ_OB. + U_CI_Csinϕ_OC .(15.15)

Moce: czynna, bierna, symboliczna są mocami zachowawczymi, czyli podlegają bilansowaniu, natomiast moc pozorna zdefiniowana w następujący sposób

(15.16)

nie spełnia zasady bilansu.

Podobnie dla odbiornika

(15.17)

Moc pozorna, jako iloczyn dwóch wartości skutecznych ( S = UI ), nie może podlegać bilansowi, gdyż ogólnie nie zachodzi addytywność dla wartości skutecznych. Moc symboliczna, którą można odwzorować jako wektor, jest sumą wektorów (poszczególnych mocy symbolicznych), czyli
.

Rys.15.5. Układ trójfazowy gwiazda-gwiazda z przewodem zerowym (neutralnym)

Jeżeli Y_A ≠ Y_B ≠ Y_C, to mamy układ niesymetryczny i wówczas

I_A + I_B + I_C = I₀ . (15.19)

Prąd I₀ jest prądem, który płynie w przewodzie zerowym (neutralnym). Jeżeli impedancja przewodu neutralnego jest równa zero (Y₀ = ∞ ), to U₀ = 0 i odpowiednie napięcia fazowe źródła i odbiornika są sobie równe. Jeżeli mamy do czynienia z układem symetrycznym, tzn. gdy spełniony jest warunek Y_A = Y_B = Y_C = Y, to bez względu na to, czy istnieje przewód zerowy, czy nie (tzn. Z₀ = 0 - zwarcie punktów NN′, Z₀ ≠ 0 - skończona impedancja w przewodzie zerowym, Z₀ = ∞ - brak przewodu zerowego), to dla prądów spełniona jest zależność

I_A + I_B + I_C = 0 . (15.20)

Równania mocy dla układu przedstawionego na rys.15.5 mają postać:

• dla źródła moc symboliczna określona jest zależnością (15.12),

• dla odbiornika

, (15.21)

, (15.22)

. (15.22a)

15.2. Analiza układu trójkąt-trójkąt

Rys.15.6. Układ trójfazowy trójkąt-trójkąt

(15.24)

Należy zauważyć, że mając prądy fazowe (15.23), można wyznaczyć prądy przewodowe (15.24). Natomiast mając prądy przewodowe, nie można wyznaczyć prądów fazowych, ponieważ jest to układ zależny poprzez I prawo Kirchhoffa, czyli są tylko 2 równania niezależne, z których bez warunku dodatkowego nie można wyznaczyć trzech wielkości.

15.3. Analiza układów mieszanych

Rys.15.7. Układ trójfazowy mieszany: generator połączony w gwiazdę, odbiornik w trójkąt

W układzie tym napięcia fazowe odbiornika są równe napięciom międzyfazowym generatora. Prądy fazowe odbiornika obliczamy zgodnie z zależnościami

(15.25)
(15.26)

Rys.15.8. Układ trójfazowy mieszany: generator połączony w trójkąt, odbiornik w gwiazdę

, (15.31)
, (15.32)

. (15.33)
(15.34)

15.4. Pomiar mocy czynnej biernej i pozornej w układach trójfazowych

15.4.1. Pomiary w układach symetrycznych

Rys.15.9. Pomiar mocy czynnej w układzie trójfazowym symetrycznym czteroprzewodowym

Dla rozpatrywanego układu spełnione są również równości:

Rys. 15.10. Wykres wektorowy prądów i napięć dla układu trójfazowego symetrycznego

Wykorzystując zależności (15.35), (15.36) można zauważyć, że do pomiaru mocy czynnej wystarczy użyć jednego watomierza, wpiętego tak jak to ilustruje rys.15.9. Wskazanie watomierza wynosi

. (15.37)

Watomierze wpięte w pozostałe fazy i przewód neutralny wskazywałyby tę samą wartość, stąd całkowita moc czynna układu wynosi

, (15.38)

gdzie:
- napięcie międzyfazowe.

Moc bierną wyznaczymy z zależności

(15.39)
Tak włączony watomierz (tzn. cewka prądowa w fazie A natomiast cewkę napięciową łączymy pomiędzy fazy B i C), spełnia rolę waromierza (przyrządu do pomiaru mocy biernej).

Rys.15.11. Układ do pomiaru mocy biernej w układzie trójfazowym symetrycznym

< (U_BC I_A) . (15.40)

(15.41)

Zatem całkowitą moc bierną pobieraną przez odbiornik symetryczny uzyskujemy mnożąc wartość Q₁ przez
, czyli

Rys.15.12. Wykres wektorowy ilustrujący zasadę pomiaru mocy biernej w układzie trójfazowym symetrycznym

. (15.42)

Moc pozorną pobieraną przez odbiornik wyznaczymy z zależności

. (15.43)

Z zależności (15.43) wynika, że aby wyznaczyć moc pozorną S  wystarczy pomierzyć napięcie międzyfazowe oraz prąd fazowy i iloczyn ich wartości pomnożyć przez
. Jeżeli układ jest symetryczny, lecz trójprzewodowy, pomiaru mocy biernej dokonujemy według zasady przedstawionej na rys. 15.11, natomiast moc czynną mierzymy za pomocą jednego watomierza stosując tzw. sztuczne zero lub za pomocą dwóch watomierzy według układu Arona. Pomiar za pomocą jednego watomierza z wykorzystaniem sztucznego zera przedstawiono na rys. 15.13.

Rys.15.13. Układ do pomiaru mocy czynnej w układzie trójfazowym symetrycznym z wykorzystaniem sztucznego zera

15.4.2. Pomiary w układach trójfazowych niesymetrycznych

Rys.15.14. Pomiar mocy czynnej w układzie trójfazowym niesymetrycznym (Z_A≠Z_B≠Z_C). czteroprzewodowym

Całkowita moc czynna jest sumą mocy czynnych w poszczególnych fazach, czyli

. (15.44)
Moc pozorna

. (15.45)

Moc bierną zmierzymy za pomocą trzech waromierzy, spełniających rolę watomierzy włączonych tak jak pokazano na rys. 15.15, które mierzą:

Q₁ =U_BCI_Acos< (U_BC, I_A) +U_CAI_Bcos< (U_CA, I_B) + U_ABI_Ccos< (U_AB, I_C) . (15.46)

Rys.15.15. Pomiar mocy biernej w układzie trójfazowym niesymetrycznym czteroprzewodowym

Korzystając z wykresu wektorowego przedstawionego na rys.15.10, (ϕ_A ≠ ϕ_B ≠ ϕ_C) wzór (15.46) można przekształcić do postaci

, (15.47)

po dalszych przekształceniach otrzymujemy:

. (15.48)

, (15.49)
gdzie: Q - moc bierna odbiornika.

Rys.15.16. Pomiar mocy czynnej w układzie trójfazowym trójprzewodowym za pomocą dwóch watomierzy (układ Arona)

Dla układu przedstawionego na rys.15.16 moc symboliczna pobierana przez odbiornik niesymetryczny, wynosi:

. (15.50)

Dla układu trójfazowego trójprzewodowego (rys.15.16) na podstawie I prawa Kirchhoffa zachodzi związek

, jak również
,
. (15.51)
Wstawiając zależność (15.51) do wzoru (15.50) mamy

, (15.52)
Re{S} = P = P₁ + P₂ =U_ACI_Acos< (U_AC, I_A) +U_BCI_Bcos< (U_BC, I_B), (15.53)
Im{S} = Q = Q₁ + Q₂ =U_ACI_Asin< (U_AC, I_A) +U_BCI_Bsin< (U_BC, I_B). (15.54)

Z zależności (15.53) wynika, że do pomiaru mocy czynnej odbiornika należy użyć dwóch watomierzy włączonych w sposób przedstawiony na rys.15.16. Wykres wektorowy napięć i prądów przedstawiono na rys.15.17

Rys.15.17. Wykres wektorowy prądów i napięć dla układu z rys.15.16

Rys.15.18. Wykres wektorowy prądów i napięć dla układu z rys.15.16 przy założeniu, że ZA=ZB=ZC

Na podstawie wykresu wektorowego pierwsze wyrażenie ze wzoru (15.53) ma postać

, (15.55)

. (15.56)
Ostatecznie moc czynna odbiornika określona jest za pomocą zależności

. (15.57)

Rys.15.19. Przebiegi względnych (odniesieniu do iloczynu
) wskazań watomierzy P₁ i P₂ oraz ich sumy
w funkcji kąta fazowego φ odbiornika symetrycznego

Z rys.15.19 wynika, że mimo symetrii układu, w ogólnym przypadku wskazania watomierzy nie są jednakowe (są tylko jednakowe dla odbiornika o charakterze rezystancyjnym, tzn. dla φ = 0). Oba wskazania są dodatnie dla kątów fazowych -60^o<φ<60^o . Dla kątów -60^o<φ<-90^o oraz 60^o<φ<90^o , wskazania watomierzy mają różne znaki. Przy kącie fazowym φ=±90^o wskazania są równe co do bezwzględnej wartości, ale ich znaki są przeciwne, co daje, że
.

Różnica wskazań watomierzy określona jest wzorem

. (15.58)

, (15.59)
. (15.59a)

Natomiast czy prąd wyprzedza napięcie fazowe, tzn. czy odbiornik ma charakter rezystancyjno-pojemnościowy, czy się spóźnia (charakter rezystancyjno-indukcyjny), (rys.15.18), należy ocenić na podstawie wskazań watomierzy P₁ lub P₂.

Moc bierna dla odbiornika symetrycznego

(15.60)

i wtedy ze wzoru (15.58) otrzymuje się:

. (15.61)

1

12

(15.4)

I_A = Y_A U_A,

I_B = Y_B U_B, (15.8)
I_C = Y_C U_C.

(15.18)

(15.23)

E_A = Z_AI_A - Z_BI_B , (13.27)

E_B = Z_BI_B - Z_CI_C , (13.28)

I_A + I_B + I_C = 0 . (13.29)

E_B = (Z_B + Z_C)I_B + Z_CI_A

(13.30)

, (15.35)

. (15.36)

---