Rachunek Prawdopodobieństwa
Spis treści
Rachunek Prawdopodobieństwa
1. Pojęcia kombinatoryczne
1.1 Kombinacja bez powtórzeń
1.2 Wariacją bez powtórzeń
1.3 Wariacją z powtórzeniami
2. Przestrzeń probabilistyczna
2.1 Ciało zbiorów na (Warunki na rodzinę F)
2.1.1(sigma)-ciało
2.2 Def. sigma-ciało generowane
2.2.1 Def. sigma-ciało zbiorów Borelowskich
2.3 Miara probabilistyczna
2.3.1 Własności funkcji prawdopodobieństwa P
3. Zmienna losowa
3.1 Skokowe
3.2 Rozkład zmiennej losowej
3.3 Dystrybuanta
3.3.1 Własności dystrybuanty
3.4 Momenty
3.4.1 Własności momentów
3.5 Wartość oczekiwana
3.5.1 Własności wartości oczekiwanej
3.6 Wariancja
3.7 Odchylenie standardowe
3.8 Zmienne ciągłe
3.8.1 Gęstość
3.8.2 Gęstość a dystrybuanta
3.8.3 Rozkład wykładniczy
3.8.4 Rozkład jednostajny
3.8.5 Rozkład normalny (inaczej Rozkład Gaussa)
3.8.6 Niezależność ciągłych zmiennych (gęstości)
3.9 Wektory losowe
3.10 Dystrybuanta wektora losowego
3.11 Niezależność zmiennych
3.11.1 Kowariancja i współczynnik korelacji
3.12 Własności zmiennych losowych
4. Rozkład produktowy (TODO)
5. Funkcja charakterystyczna
5.1 Własności
5.2 Funkcja charakterystyczna a rozkład prawdopodobieństwa
5.3 Funkcja charakterystyczna i niezależność zmiennych
6. Twierdzenia graniczne
6.1 Mocne prawo wielkich liczb
6.2 Centralne twierdzenie graniczne
1. Pojęcia kombinatoryczne
1.1 Kombinacja bez powtórzeń
to każdy podzbiór zbioru skończonego. Kombinacją k-elementową zbioru n-elementowego A nazywa się każdy k-elementowy podzbiór zbioru A (0 ≤ k ≤ n). Używa się też terminu "kombinacja z n elementów po k elementów" lub wręcz "kombinacja z n po k".
Dopełnieniem kombinacji z n po k jest kombinacja z n po n−k.
Liczba kombinacji z n po k wyraża się wzorem:
1.2 Wariacją bez powtórzeń
k-wyrazową zbioru n-elementowego A (1 ≤ k ≤ n) nazywa się każdy k-wyrazowy ciąg k różnych elementów tego zbioru (kolejność tych elementów ma znaczenie). Gdy k=n, wariację bez powtórzeń nazywa się permutacją.
Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wyraża się wzorem:
1.3 Wariacją z powtórzeniami
k-wyrazową zbioru n-elementowego A nazywa się każdy k-wyrazowy ciąg elementów tego zbioru (dowolny element może wystąpić wielokrotnie w ciągu).
Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego jest równa
2. Przestrzeń probabilistyczna
Jest to trójka
gdzie
- jest pewnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych,
F - jest σ-ciałem podzbiorów zbioru Ω. Elementy tego σ-ciała nazywane są zdarzeniami,
P - Miara probabilistyczna (Funkcja)
2.1 Ciało zbiorów na
(Warunki na rodzinę F)
(Musi zawierać zdarzenie pewne
oraz Pusty czyli zdarzenie niemożliwe)
(Jeśli zdarzenie należy do F, to również przeciwne powinno)
(Jeśli A i B są zdarzeniami, to również ich suma jest zdarzeniem)
2.1.1
(sigma)-ciało
Poza warunkami ze zwykłego ciała musi dodatkowo zachodzić
(Rozszerzenie sumy zdarzeń na nieskończoną sumę)
2.2 Def. sigma-ciało generowane
Jeśli
jest dowolną rodziną podzbiorów zbioru
to
-ciało
które spełnia poniższe warunki jest
-ciałem generowanym przez A i oznacza się to przez
2.2.1 Def. sigma-ciało zbiorów Borelowskich
-ciało zbiorów Borelowskich to ciało generowane przez rodzinę wszystkich przedziałów otwartych
Inaczej jest to najmniejsze
zawierające wszystkie przedziały otwarte
2.3 Miara probabilistyczna
jest nazywana miarą probabilistyczną i musi spełniać następujące warunki
Tzn. Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń rozłącznych jest równe sumie prawdopodobieństw zdarzeń.
2.3.1 Własności funkcji prawdopodobieństwa P
Jeśli zdarzenia
to
Jeśli ciąg zdarzeń
jest:
a) Wstępujący (tzn.
) to
, inaczej prawdopodobieństwo sumy zbiorów gdzie poprzedni jest zawarty w następnym jest równe prawdopodobieństwu największego zbioru (Czyli ostatniego). Jako, że ciąg jest nieskończony mamy granicę.
b) Zstępujący (tzn.
) to
, inaczej prawdopodobieństwo przecięcia(części wspólnej) zbiorów w której każdy następny jest mniejszy od poprzedniego jest równe prawdopodobieństwu ostatniego zdarzenia(Które jest najmniejsze)
3. Zmienna losowa
Funkcję
nazywamy zmienną losową gdy
Generalnie zmienna losowa służy do wyrażania, opisywania zdarzeń za pomocą liczb. Dzięki niej możemy liczyć prawdopodobieństwo zdarzeń które mają określone własności. Np. weźmy 4-krotne rzucanie kostką do gry. Jakimś zdarzeniem z tego doświadczenia jest
A = {4, 5, 3, 3}. Zmienna losowa służy do opisywania takich zdarzeń. Np. jedną zmienną losową byłaby ilość parzystych oczek. X(A) = 1, innym przykładem byłaby ilość oczek większych od 3. X(A) = 2. Czyli przenosi pewne abstrakcyjne stwierdzenia typu. Wypadła parzysta ilość oczek na model matematyczny.
3.1 Skokowe
Zmienna losowa jest skokowa gdy ma skończony lub przeliczalny zbiór wartości (Tzn. wartości które można ustawić w ciąg indeksowany liczbami naturalnymi)
Gdy
jest zbiorem wartości zmiennej losowej X
oraz
- Prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa przyjmuje wartość
Wtedy
(Prawdopodobieństwo, że X przyjmie dowolną wartość ze zbioru wartości jest pewne tzn.
)
np. Zmienną skokową jest ilość oczek w jednokrotnym rzucie kostką, zbiór wartości tej zmiennej to {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Jest to zbiór skończony. P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=4) + P(X=5) +P(X=6) =
(Prawdopodobieństwo, że wypadnie 1 lub 2 lub ... 6 oczek jest pewne)
3.2 Rozkład zmiennej losowej
Rozkładem zmiennej losowej X jest funkcja
Rozkład
jest miarą probabilistyczną i spełnia następujące warunki
- Addytywność
3.3 Dystrybuanta
Dystrybuantą zmiennej losowej X jest funkcja
Inaczej, jest to prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa przyjmuje dowolną wartość t i wszystkie mniejsze. Funkcja ta pokazuje jak rozkłada się prawdopodobieństwo (Przy których wartościach X prawdopodobieństwo jest największe)
3.3.1 Własności dystrybuanty
3.4 Momenty
Niech
k-tym momentem zmiennej losowej X nazywamy liczbę
Jeżeli X jest zmienną skokową to
3.4.1 Własności momentów
Jeśli istnieje k-ty moment to istnieją też momenty wszystkich rzędów < k
3.5 Wartość oczekiwana
Gdy zmienna losowa jest skokowa, wartość oczekiwana wyznaczona jest wzorem
Wyznacza ona pewien “punkt skupienia” zmiennej losowej. Tzn. punkt
Gdy zmienna losowa jest ciągła, wartość oczekiwaną wyraża się wzorem
3.5.1 Własności wartości oczekiwanej
Jeśli X, Y są skokowymi zmiennymi losowymi to
zachodzi
Jeśli X, Y są zmiennymi niezależnymi to
Uwaga: Nie ma implikacji w drugą stronę (Tzn. Z faktu, że
nie wynika, że zmienne są niezależne)
3.6 Wariancja
Wariancją zmiennej losowej X nazywamy liczbę
(Drugi moment - pierwszy moment podniesiony do kwadratu)
3.7 Odchylenie standardowe
Jest to odległość od wartości oczekiwanej w którą wpadnie 60% wartości zmiennej losowej (Inaczej, jak szeroko rozrzucone są wartości wokół jej średniej)
3.8 Zmienne ciągłe
Warunki równoważne:
3.8.1 Gęstość
Funkcja wymieniona w warunku 3 powyższego twierdzenia nazywana jest gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X
(Inaczej, pole pod wykresem funkcji gęstości jest równe 1)
3.8.2 Gęstość a dystrybuanta
gdzie
to dystrybuanta a
to funkcja gęstości.
Widać tutaj prostą zależność między tymi funkcjami, mianowicie całka z pochodnej funkcji F to dalej F tzn.
Mając tą zależność widać, że funkcja
czyli nasza gęstość jest pochodną funkcji F dla prawie wszystkich
3.8.3 Rozkład wykładniczy
3.8.4 Rozkład jednostajny
Wykres funkcji f, tworzy prostokąt o jednym boku długości
i wysokości równej
Pole tego prostokąta z założenia o funkcji gęstości jest równe 1, więc
Z czego wynika, że
Dystrybuanta ma postać:
3.8.5 Rozkład normalny (inaczej Rozkład Gaussa)
3.8.6 Niezależność ciągłych zmiennych (gęstości)
Niech
będą ciągłymi zmiennymi losowymi o funkcjach gęstości odpowiednio
Oraz
Zmienne X i Y są niezależne gdy funkcja
ma postać
3.9 Wektory losowe
jest wektorem losowym jeżeli
Rozkładem wektora losowego nazywamy miarę
3.10 Dystrybuanta wektora losowego
Dystrybuantą n-wymiarową wektora losowego X nazywamy funkcję rzeczywistą:
zdefiniowaną następująco:
3.11 Niezależność zmiennych
Jeżeli
są zmiennymi losowymi to rozważamy wektor losowy
Mówimy, że zmienne
są niezależne jeśli rozkład wektora
jest produktem rozkładów zmiennych
tzn.
lub inaczej, zmienne
są niezależne gdy
3.11.1 Kowariancja i współczynnik korelacji
Kowariancja wyraża stopień zależności zmiennych(jak bardzo są od siebie zależne). Gdy zmienne są niezależne wartość kowariancji wynosi 0.
Współczynnik korelacji
3.12 Własności zmiennych losowych
(Jakaś zmienna losowa)
Wtedy warunki równoważne:
4. Rozkład produktowy (TODO)
5. Funkcja charakterystyczna
X - Zmienna losowa. Funkcją charakterystyczną zmiennej losowej X jest funkcja określona wzorem
(Pod E postać wykładnicza liczby zespolonej)
(Postać trygonometryczna zespolonej)
5.1 Własności
5.2 Funkcja charakterystyczna a rozkład prawdopodobieństwa
Jeśli
są zmiennymi losowymi i
To zmienne
mają ten sam rozkład prawdopodobieństwa
5.3 Funkcja charakterystyczna i niezależność zmiennych
Jeśli zmienne
są niezależnymi zmiennymi losowymi to
6. Twierdzenia graniczne
Niech (
) będzie ciągiem zmiennych losowych (ciągiem losowym). Rozważmy odpowiadające mu: 1) ciąg funkcji prawdopobieństwa
, w przypadku zmiennych losowych dyskretnych ( skokowych ) albo ciąg gęstości
w przypadku zmiennych losowych typu ciągłego oraz 2) ciąg dystrybuant
. Twierdzenia graniczne, a więc przy
, dotyczące zbieżności grupy 1) nazywamy twierdzeniami granicznymi lokalnymi, a grupy 2) twierdzeniami granicznymi integralnymi.
6.1 Mocne prawo wielkich liczb
Załóżmy, że
jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych i wszystkie mają ten sam rozkład taki, że
Wtedy
to be continued...
6.2 Centralne twierdzenie graniczne
Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy'ego: Jeżeli
jest losowym ciągiem niezależnych zmiennych o jednakowym rozkładzie, o wartości przeciętnej
i skończonej wariancji
, to ciąg
dystrybuant standaryzowanych średnich arytmetycznych
(albo - co na jedno wychodzi - standaryzowanych sum
)
jest zbieżny do dystrybuanty
rozkładu N(0,1):
ma --> thie1990:
po co ten obrazek jak wyzej jest to samo ?
Anonymous:
na górze masz 4 na dole masz 7 punktów
Anonymous:
Wyznacza punkt skupienia tzn. punk. Tylko dla mnei to masło maślane? :D
Mateusz.Szygenda:
No tak, bo to niedokończone zdanie. Ale miałem problem z dobraniem słów by to lepiej opisać.
Tzn. punkt który jest czymś w rodzaju średniej, punktem równowagi.
Wyszukiwarka