Rachunek prawdopodobieństwa(2), uniwersytet gdański, Rachunek prawdopodobieństwa


Rachunek Prawdopodobieństwa

Spis treści

Rachunek Prawdopodobieństwa

1. Pojęcia kombinatoryczne

1.1 Kombinacja bez powtórzeń

1.2 Wariacją bez powtórzeń

1.3 Wariacją z powtórzeniami

2. Przestrzeń probabilistyczna

2.1 Ciało zbiorów na (Warunki na rodzinę F)

2.1.1(sigma)-ciało

2.2 Def. sigma-ciało generowane

2.2.1 Def. sigma-ciało zbiorów Borelowskich

2.3 Miara probabilistyczna

2.3.1 Własności funkcji prawdopodobieństwa P

3. Zmienna losowa

3.1 Skokowe

3.2 Rozkład zmiennej losowej

3.3 Dystrybuanta

3.3.1 Własności dystrybuanty

3.4 Momenty

3.4.1 Własności momentów

3.5 Wartość oczekiwana

3.5.1 Własności wartości oczekiwanej

3.6 Wariancja

3.7 Odchylenie standardowe

3.8 Zmienne ciągłe

3.8.1 Gęstość

3.8.2 Gęstość a dystrybuanta

3.8.3 Rozkład wykładniczy 0x01 graphic

3.8.4 Rozkład jednostajny

3.8.5 Rozkład normalny (inaczej Rozkład Gaussa) 0x01 graphic

3.8.6 Niezależność ciągłych zmiennych (gęstości)

3.9 Wektory losowe

3.10 Dystrybuanta wektora losowego

3.11 Niezależność zmiennych

3.11.1 Kowariancja i współczynnik korelacji

3.12 Własności zmiennych losowych

4. Rozkład produktowy (TODO)

5. Funkcja charakterystyczna

5.1 Własności

5.2 Funkcja charakterystyczna a rozkład prawdopodobieństwa

5.3 Funkcja charakterystyczna i niezależność zmiennych

6. Twierdzenia graniczne

6.1 Mocne prawo wielkich liczb

6.2 Centralne twierdzenie graniczne

1. Pojęcia kombinatoryczne

1.1 Kombinacja bez powtórzeń

to każdy podzbiór zbioru skończonego. Kombinacją k-elementową zbioru n-elementowego A nazywa się każdy k-elementowy podzbiór zbioru A (0 ≤ kn). Używa się też terminu "kombinacja z n elementów po k elementów" lub wręcz "kombinacja z n po k".

Dopełnieniem kombinacji z n po k jest kombinacja z n po nk.

Liczba kombinacji z n po k wyraża się wzorem:

0x01 graphic

1.2 Wariacją bez powtórzeń

k-wyrazową zbioru n-elementowego A (1 ≤ kn) nazywa się każdy k-wyrazowy ciąg k różnych elementów tego zbioru (kolejność tych elementów ma znaczenie). Gdy k=n, wariację bez powtórzeń nazywa się permutacją.

Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wyraża się wzorem:

0x01 graphic

1.3 Wariacją z powtórzeniami

k-wyrazową zbioru n-elementowego A nazywa się każdy k-wyrazowy ciąg elementów tego zbioru (dowolny element może wystąpić wielokrotnie w ciągu).

Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami zbioru n-elementowego jest równa

0x01 graphic

2. Przestrzeń probabilistyczna

Jest to trójka 0x01 graphic
gdzie

0x01 graphic
- jest pewnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych,

F - jest σ-ciałem podzbiorów zbioru Ω. Elementy tego σ-ciała nazywane są zdarzeniami,

P - Miara probabilistyczna (Funkcja)

2.1 Ciało zbiorów na 0x01 graphic
(Warunki na rodzinę F)

0x01 graphic

0x01 graphic
(Musi zawierać zdarzenie pewne 0x01 graphic
oraz Pusty czyli zdarzenie niemożliwe)

0x01 graphic
(Jeśli zdarzenie należy do F, to również przeciwne powinno)

0x01 graphic
(Jeśli A i B są zdarzeniami, to również ich suma jest zdarzeniem)

2.1.10x01 graphic
(sigma)-ciało

Poza warunkami ze zwykłego ciała musi dodatkowo zachodzić

0x01 graphic
(Rozszerzenie sumy zdarzeń na nieskończoną sumę)

2.2 Def. sigma-ciało generowane

Jeśli 0x01 graphic
jest dowolną rodziną podzbiorów zbioru 0x01 graphic
to 0x01 graphic
-ciało 0x01 graphic
które spełnia poniższe warunki jest 0x01 graphic
-ciałem generowanym przez A i oznacza się to przez 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

2.2.1 Def. sigma-ciało zbiorów Borelowskich

0x01 graphic
-ciało zbiorów Borelowskich to ciało generowane przez rodzinę wszystkich przedziałów otwartych

0x01 graphic

Inaczej jest to najmniejsze 0x01 graphic
zawierające wszystkie przedziały otwarte

2.3 Miara probabilistyczna

0x01 graphic
jest nazywana miarą probabilistyczną i musi spełniać następujące warunki

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
Tzn. Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń rozłącznych jest równe sumie prawdopodobieństw zdarzeń.

2.3.1 Własności funkcji prawdopodobieństwa P

Jeśli zdarzenia 0x01 graphic

to

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Jeśli ciąg zdarzeń 0x01 graphic
jest:

a) Wstępujący (tzn. 0x01 graphic
) to 0x01 graphic
, inaczej prawdopodobieństwo sumy zbiorów gdzie poprzedni jest zawarty w następnym jest równe prawdopodobieństwu największego zbioru (Czyli ostatniego). Jako, że ciąg jest nieskończony mamy granicę.

b) Zstępujący (tzn. 0x01 graphic
) to 0x01 graphic
, inaczej prawdopodobieństwo przecięcia(części wspólnej) zbiorów w której każdy następny jest mniejszy od poprzedniego jest równe prawdopodobieństwu ostatniego zdarzenia(Które jest najmniejsze)

3. Zmienna losowa

Funkcję 0x01 graphic
nazywamy zmienną losową gdy

0x01 graphic

0x01 graphic

Generalnie zmienna losowa służy do wyrażania, opisywania zdarzeń za pomocą liczb. Dzięki niej możemy liczyć prawdopodobieństwo zdarzeń które mają określone własności. Np. weźmy 4-krotne rzucanie kostką do gry. Jakimś zdarzeniem z tego doświadczenia jest

A = {4, 5, 3, 3}. Zmienna losowa służy do opisywania takich zdarzeń. Np. jedną zmienną losową byłaby ilość parzystych oczek. X(A) = 1, innym przykładem byłaby ilość oczek większych od 3. X(A) = 2. Czyli przenosi pewne abstrakcyjne stwierdzenia typu. Wypadła parzysta ilość oczek na model matematyczny.

3.1 Skokowe

Zmienna losowa jest skokowa gdy ma skończony lub przeliczalny zbiór wartości (Tzn. wartości które można ustawić w ciąg indeksowany liczbami naturalnymi)

Gdy 0x01 graphic
jest zbiorem wartości zmiennej losowej X

oraz 0x01 graphic
- Prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa przyjmuje wartość 0x01 graphic

Wtedy

0x01 graphic

0x01 graphic
(Prawdopodobieństwo, że X przyjmie dowolną wartość ze zbioru wartości jest pewne tzn. 0x01 graphic
)

np. Zmienną skokową jest ilość oczek w jednokrotnym rzucie kostką, zbiór wartości tej zmiennej to {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Jest to zbiór skończony. P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=4) + P(X=5) +P(X=6) = 0x01 graphic
(Prawdopodobieństwo, że wypadnie 1 lub 2 lub ... 6 oczek jest pewne)

3.2 Rozkład zmiennej losowej

Rozkładem zmiennej losowej X jest funkcja

0x01 graphic

0x01 graphic

Rozkład 0x01 graphic
jest miarą probabilistyczną i spełnia następujące warunki

0x01 graphic
- Addytywność

0x01 graphic

0x01 graphic

3.3 Dystrybuanta

Dystrybuantą zmiennej losowej X jest funkcja

0x01 graphic

0x01 graphic

Inaczej, jest to prawdopodobieństwo tego, że zmienna losowa przyjmuje dowolną wartość t i wszystkie mniejsze. Funkcja ta pokazuje jak rozkłada się prawdopodobieństwo (Przy których wartościach X prawdopodobieństwo jest największe)

3.3.1 Własności dystrybuanty

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

--> [Author:(null)] 0x01 graphic

3.4 Momenty

Niech 0x01 graphic

k-tym momentem zmiennej losowej X nazywamy liczbę

0x01 graphic

Jeżeli X jest zmienną skokową to

0x01 graphic

3.4.1 Własności momentów

Jeśli istnieje k-ty moment to istnieją też momenty wszystkich rzędów < k

3.5 Wartość oczekiwana

Gdy zmienna losowa jest skokowa, wartość oczekiwana wyznaczona jest wzorem

0x01 graphic

Wyznacza ona pewien “punkt skupienia” zmiennej losowej. Tzn. punkt

Gdy zmienna losowa jest ciągła, wartość oczekiwaną wyraża się wzorem

0x01 graphic

3.5.1 Własności wartości oczekiwanej

Jeśli X, Y są skokowymi zmiennymi losowymi to 0x01 graphic
zachodzi

0x01 graphic

Jeśli X, Y są zmiennymi niezależnymi to

0x01 graphic

Uwaga: Nie ma implikacji w drugą stronę (Tzn. Z faktu, że 0x01 graphic
nie wynika, że zmienne są niezależne)

3.6 Wariancja

Wariancją zmiennej losowej X nazywamy liczbę

0x01 graphic

0x01 graphic
(Drugi moment - pierwszy moment podniesiony do kwadratu)

3.7 Odchylenie standardowe

0x01 graphic

Jest to odległość od wartości oczekiwanej w którą wpadnie 60% wartości zmiennej losowej (Inaczej, jak szeroko rozrzucone są wartości wokół jej średniej)

3.8 Zmienne ciągłe

Warunki równoważne:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

3.8.1 Gęstość

Funkcja wymieniona w warunku 3 powyższego twierdzenia nazywana jest gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X

0x01 graphic

0x01 graphic
(Inaczej, pole pod wykresem funkcji gęstości jest równe 1)

3.8.2 Gęstość a dystrybuanta

0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
to dystrybuanta a 0x01 graphic
to funkcja gęstości.

Widać tutaj prostą zależność między tymi funkcjami, mianowicie całka z pochodnej funkcji F to dalej F tzn.

0x01 graphic

Mając tą zależność widać, że funkcja 0x01 graphic
czyli nasza gęstość jest pochodną funkcji F dla prawie wszystkich 0x01 graphic

0x01 graphic

3.8.3 Rozkład wykładniczy 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

3.8.4 Rozkład jednostajny

0x01 graphic

0x01 graphic

Wykres funkcji f, tworzy prostokąt o jednym boku długości 0x01 graphic
i wysokości równej 0x01 graphic

Pole tego prostokąta z założenia o funkcji gęstości jest równe 1, więc

0x01 graphic

Z czego wynika, że

0x01 graphic

Dystrybuanta ma postać:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

3.8.5 Rozkład normalny (inaczej Rozkład Gaussa) 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

3.8.6 Niezależność ciągłych zmiennych (gęstości)

Niech 0x01 graphic
będą ciągłymi zmiennymi losowymi o funkcjach gęstości odpowiednio 0x01 graphic

Oraz

0x01 graphic

0x01 graphic

Zmienne X i Y są niezależne gdy funkcja 0x01 graphic
ma postać

0x01 graphic

3.9 Wektory losowe

0x01 graphic

0x01 graphic
jest wektorem losowym jeżeli

0x01 graphic

Rozkładem wektora losowego nazywamy miarę 0x01 graphic

3.10 Dystrybuanta wektora losowego

Dystrybuantą n-wymiarową wektora losowego X nazywamy funkcję rzeczywistą: 0x01 graphic
zdefiniowaną następująco:

3.11 Niezależność zmiennych

Jeżeli 0x01 graphic
są zmiennymi losowymi to rozważamy wektor losowy

0x01 graphic

Mówimy, że zmienne 0x01 graphic
są niezależne jeśli rozkład wektora 0x01 graphic
jest produktem rozkładów zmiennych 0x01 graphic

tzn. 0x01 graphic

lub inaczej, zmienne 0x01 graphic
są niezależne gdy

0x01 graphic

0x01 graphic

3.11.1 Kowariancja i współczynnik korelacji

Kowariancja wyraża stopień zależności zmiennych(jak bardzo są od siebie zależne). Gdy zmienne są niezależne wartość kowariancji wynosi 0.

0x01 graphic

Współczynnik korelacji

0x01 graphic

3.12 Własności zmiennych losowych

0x01 graphic
(Jakaś zmienna losowa)

Wtedy warunki równoważne:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

4. Rozkład produktowy (TODO)

5. Funkcja charakterystyczna

X - Zmienna losowa. Funkcją charakterystyczną zmiennej losowej X jest funkcja określona wzorem

0x01 graphic
(Pod E postać wykładnicza liczby zespolonej)

0x01 graphic
(Postać trygonometryczna zespolonej)

5.1 Własności

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

5.2 Funkcja charakterystyczna a rozkład prawdopodobieństwa

Jeśli 0x01 graphic
są zmiennymi losowymi i

0x01 graphic

To zmienne 0x01 graphic
mają ten sam rozkład prawdopodobieństwa

5.3 Funkcja charakterystyczna i niezależność zmiennych

Jeśli zmienne 0x01 graphic
są niezależnymi zmiennymi losowymi to

0x01 graphic

6. Twierdzenia graniczne

Niech (0x01 graphic
) będzie ciągiem zmiennych losowych (ciągiem losowym). Rozważmy odpowiadające mu: 1) ciąg funkcji prawdopobieństwa 0x01 graphic
, w przypadku zmiennych losowych dyskretnych ( skokowych ) albo ciąg gęstości 0x01 graphic
w przypadku zmiennych losowych typu ciągłego oraz 2) ciąg dystrybuant 0x01 graphic
. Twierdzenia graniczne, a więc przy 0x01 graphic
, dotyczące zbieżności grupy 1) nazywamy twierdzeniami granicznymi lokalnymi, a grupy 2) twierdzeniami granicznymi integralnymi.

6.1 Mocne prawo wielkich liczb

Załóżmy, że 0x01 graphic
jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych i wszystkie mają ten sam rozkład taki, że

0x01 graphic

Wtedy

0x01 graphic

to be continued...

6.2 Centralne twierdzenie graniczne

Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy'ego: Jeżeli 0x01 graphic
jest losowym ciągiem niezależnych zmiennych o jednakowym rozkładzie, o wartości przeciętnej 0x01 graphic
i skończonej wariancji 0x01 graphic
, to ciąg 0x01 graphic
dystrybuant standaryzowanych średnich arytmetycznych 0x01 graphic
(albo - co na jedno wychodzi - standaryzowanych sum 0x01 graphic
)

0x01 graphic

jest zbieżny do dystrybuanty 0x01 graphic
rozkładu N(0,1):

0x01 graphic

ma --> thie1990:

po co ten obrazek jak wyzej jest to samo ?

Anonymous:

na górze masz 4 na dole masz 7 punktów

Anonymous:

Wyznacza punkt skupienia tzn. punk. Tylko dla mnei to masło maślane? :D

Mateusz.Szygenda:

No tak, bo to niedokończone zdanie. Ale miałem problem z dobraniem słów by to lepiej opisać.

Tzn. punkt który jest czymś w rodzaju średniej, punktem równowagi.

[Author:(null)]

Wyszukiwarka