PROGRAM WYKŁADÓW Z MECHANIKI TEORETYCZNEJ

Semestr 2

1. Dynamika punktu materialnego

1.2 Ruch harmoniczny prosty, tłumiony i wymuszony, zjawisko rezonansu mechanicznego

1.3 Ruch punktu po powierzchni gładkiej

1.4 Ruch punktu po krzywej gładkiej

1.5 Pole sił, praca pola sił, energia kinetyczna

1.6 Potencjalne pole sił

2. Dynamika sztywnego układu materialnego

2.1 Wprowadzenie do rachunku tensorowego w układach kartezjańskich

2.2 Masa układu materialnego, moment statyczny, środek masy

2.3 Pęd układu materialnego, zasada pędu, zasada zachowania pędu

2.4 Kręt układu materialnego, zasada krętu, zasada zachowania krętu

2.5 Kręt bryły sztywnej w ruchu obrotowym

2.6 Tensor bezwładności

2.7 Twierdzenie Steinera

2.8 Główne i główne centralne osie i momenty bezwładności

2.9 Twierdzenie Koeniga

3. Wybrane zagadnienia mechaniki

3.1 Zasada d'Alamberta

3.2 Równania Lagrange'a II rodzaju

3.3 Zasada Hamiltona

3.4 Dynamika ruchu względnego

3.5 Rodzaje stanów równowagi układów materialnych

Dynamika pktu materialnego:

Dział mechaniki badający ruch ciał materialnych pod wpływem działających na nich sił.

Założenia:

-siła, masa, czas-pojęcia pierwotne

-niezmienna w czasie ruchu masa pktu materialnego

-siła w ogólnym przypadku może być funkcją czasu, położenia i prędkości.

Równania ruchu pktu materialnego poddanego działaniu siły: Prawo ruchu można zapisać (z II z Newtona) m(∙∙r)=F można sprowadzić do 3 równań skalarnych ( z- z dwoma kropkami u góry)

mẍ= Fx(x,y,z, ẋ , ẏ,z-z kropka,t)

mӱ=Fy(…)

mz= Fz(…)

stopnie dynamicznej swobody: liczba swobody-ilość niezależnych parametrów opisujących położenie lub konfiguracje układu materialnego. Pkt materialny na płaszczyźnie- 2ss, tarcza podparta w 1 punkcie-1ss,rama podparta- 0ss

Metody dyskretyzacji:a)Mas skupionych(zastąpienie masy rozłożonej pewnym zbiorem mas skupionych):belka z ciągłym rozkładem masy (niesk wiele sds), belka z masa skupiona w 1 pktcie (1sds), belka z masa skupiona 2 pktach(2sds).b)Współrzędnych uogólnionych (opis przemieszczeń konstrukcji traktowanej jako układ ciągły za pomocą nieskończonego szeregu w(x,t)=∑v1(x)q1(t),

c)Metoda elem skończonych (dzielimy obiekt na elementy skończone i opisuje się przemieszczenia wew każdego elem za pomocą funkcji w(x,t)=∑Ni(x)qi(t)

SIŁY DZIAŁAJĄCE NA OBIEKTY: 1.siły zew

- obciążenia statyczne(niezmienne w czasie, nie wywołuje drgań, np. obciażenie ciężarem własnym, obciążenie uzytkowe stałe, obciążenia dynamiczne (wywołuja drgania), np. wiatr, trzesienie ziemi,ruch pojazdów, praca maszyn, obc użytkowe o charakterze dynamicznym.

2.siły sprężystego oddziaływania (w dynamice przyjmujemy że konstrukcja pod działaniem obciążeń dynamicznych odkształca się sprężyście. P=kq q=σP, σ-wsp, podatności 3.siły bezwładności aw= ab-au-ac -> maw=F+Fu+Fc

Siły bezwładności -zwrot przeciwny do zwrotu przyspieszenian4.siły tłumienia- tarcie wew (w ciałach stalych i cieczach) np. tłumienie wiskotyczne

Ruch harmoniczny prosty: Jeżeli ruch opisywany jest sinusoidalną funkcją czasu to jest to ruch harmoniczny. Ciało porusza się ruchem harmonicznym prostym, jeżeli znajduje się pod wpływem siły o wartości proporcjonalnej do wychylenia z położenia równowagi i skierowanej w stronę położenia równowagi:

m,gdzie
- siła,k - współczynnik proporcjonalności,
- wychylenie z położenia równowagi.

Równanie ruchu (skalarne dla kierunku OX) dla takiego ciała można zapisać (z II zasady dynamiki Newtona) jako:

albo w postaci różniczkowej:

Rozwiązania tego równania można równoważnie opisać za pomocą dowolnej z poniższych funkcji:

1. 
   

2. x(t) = Csin(ω₀t + φ)

3. x(t) = Dcos(ω₀t + φ')

gdzie:

Równanie ruchu drgań harmonicznych wymuszonych

postać siły wymuszającej Fw o amplitudzie F0 i częstości ww w najprostszy sposób . równanie ruchu oscylacyjnego punktu materialnego tłumionego bez wymuszenia,: mẍ+ cẋ+kx=0

Równanie ruchu harmonicznego tłumionego z siłą wymuszającą ma postać;

Rozwiązanie to można zapisać następująco:
gdzie amplituda wynosi
oraz faza .

Zjawisko rezonansu

Amplituda drgań osiąga największą wartość gdy , a więc gdy .

 

Stan, w którym amplituda drgań osiąga największą wartość, nazywamy stanem rezonansu. Odpowiadająca częstość siły wymuszającej nosi nazwę częstości rezonansowej.

charakterystyczne cechy drgań wymuszonych.:Układ drga z częstością siły wymuszającej i jest ruchem nie tłumionym.Amplituda drgań zależy zarówno od współczynnika tłumienia, jak i od różnicy pomiędzy częstością drgań własnych układu i częstością siły wymuszającej.

Amplituda osiąga wartość nieskończoną  kiedy brak jest tłumienia, a obie częstości są sobie równe, czyli częstość rezonansowa równa jest częstości drgań własnych układu. Dla wartości współczynników tłumienia różnych od zera amplituda osiąga największą wartość (czyli występuje rezonans)

POTENCJALNE POLE SIŁ( kiedy istnieje)

Pole sil, dla którego istnieje funkcja skalarna V(x,y,z) której pierwsze pochodne czastkowe (sigma V/ sigma x i tak do x) rowne odpowiednim współrzędnym pola sil P,Q,R nazywamy potencjalnym polem sil, zas funkcje V(x,y,z) potencjalem.

��^2��/��������=����/����=����/����

��^2 ��/��������=����/����=����/����

��^2 ��/��������=����/����=����/����

Gdzie P,Q,R - składowe sił pola

Sa to warunki Schwarza stanowiace warunek konieczny istnienia potencjalnego pola sil. Jezeli o współrzędnych P,G,R pola sil założymy, ze sa ciagle i różniczkowalne , to warunek staje się również wystarczającym.

PĘD UKŁADU MATERIALNEGO

Pęd układu punktów materialnych: p(t) =

Pęd dla bryły : p(t)=

Zasada pędu: pochodna po czasie układu materialnego jest równa sumie sił działających na dany układ. Jeżeli suma układu sił jest równa zeru to pęd układu jest stały

Zasada zachowania pędu i krętu

Jeżeli suma układu sił jest równa zeru to pęd układu jest stały

Twierdzenie o pędzie

Pęd układu materialnego jest równy pędowi środka masy tego układu.

KRĘT UKŁADU MATERIALNEGO

Kręt dla układu punktów materialnych:

-iloczyn wektorowy promienia wodzącego i pędu

Zasada Krętu- pochodna po czasie krętu układu materialnego liczonego względem stałego punktu lub środka masy jest równa momentowi układu sił względem tego punktu

Zasada zachowania krętu - jeżeli moment układu sił względem stałego punktu lub środka masy jest równy zeru, to kręt układu materialnego jest stały

2.5 Kręt bryły sztywnej w ruchu obrotowym

Gdzie: I - moment bezwładności bryły w - prędkość kątowa L - kręt

U Henia na wykladzie Kręt w ruchu obrotowych był przedstawiony w postaci:

K  I

Zasada zachowania momentu pędu (Krętu)

Jeżeli na ciało nie działa żaden zewnętrzny moment siły, moment pędu tego ciała jest zachowany czyli jest stały.

Moment pędu jest stały jako wielkość wektorowa - ma więc stałą wartość liczbową, stały kierunek i stały zwrot.

p - pęd V_b - prędkość w pkt B M_b - moment w pkt B

Jeśli B-pkt stały(nieruchomy) lub środek masy ,

to
- zasada krętu

Jeśli
. - zasada zachowania momentu pędu (krętu)

Zasada zachowania momentu pędu wynika z II zasady dynamiki dla bryły sztywnej, którą można przedstawić w postaci:

Z powyższego wzoru widać, że gdy wypadkowy moment sił Mw = 0, to Lk - Lo = 0 i tym samym: L = const, czyli I ·ω = const. Jest to treść zasady zachowania momentu pędu (krętu). Jeżeli Mw = 0, to zmiana momentu bezwładności (inny rozkład masy względem osi obrotu) pociąga za sobą taką zmianę szybkości kątowej, przy której moment pędu będzie taki sam.

3.3 Zasada Hamiltona

Hamiltona zasada, zasada najmniejszego działania, podstawowa zasada wariacyjna w mechanice głosząca, że spośród wielu możliwych ruchów układu mechanicznego fizycznie realizowany jest ten, w którym działanie S przyjmuje najmniejszą wartość.

Matematycznie można zasadę Hamiltona zapisać równaniem:

gdzie L jest funkcją Lagrange'a, q_i są uogólnionymi współrzędnymi.

3.4 Dynamika ruchu względnego.

Rozróżnia się trzy rodzaje równowagi: stałą, chwiejną i obojętną.

Równowagą stałą nazywa się taki rodzaj równowagi, przy której, po niewielkim wychyleniu układu z zajmowanego położenia układ wraca do położenia wyjściowego bądź wykonuje wahania wokół tego położenia.

Równowagą chwiejną nazywa się taki rodzaj równowagi, przy której najmniejsze wychylenie układu z zajmowanej położenia równowagi powoduje ruch układu bądź przejście do innego położenia albo wahania wokół nowej :o położenia równowagi.

Równowagą obojętną nazywa się taki rodzaj równowagi, przy której każde małe wychylenie układu z zajmowanego położenia równowagi powoduje przejście układu do innego położenia równowagi.

W teorii stateczności położenie charakteryzujące się równowagą stałą jest nazywane statecznym położeniem równowagi. Niestatecznym położeniem równowagi określa się takie położenie, w którym równowaga układu jest chwiejna lub obojętna.

3.5 Dynamika ruchu względnego punktu materialnego.

Prawa Newtona są słuszne w inercjalnym układzie odniesienia. Jeżeli rozważymy ruch układu odniesienia względem układu absolutnego, to możemy zapisać prawa Newtona w tym układzie i po dokonaniu transformacji do układu ruchomego znaleźć postać dynamicznych równań ruchu zapisanych w układzie ruchomym.

Postać dynamicznego równania ruchu względnego zapisanego w układzie ruchomym 0xyz jest następujące

Po dokonaniu podstawienia:

siła bezwzględna

siła unoszenia

siła Coriolisa

otrzymamy

Dynamiczne równania ruchu punktu materialnego w ruchomym układzie odniesienia są takie, jak gdyby układ był inercjalny pod warunkiem, że do siły bezwzględnej P_b działającej na punkt dodamy siłę unoszenia P_u i siłę Coriolisa P_c.

1.5 Pole sił - przestrzeń, w której każdemu pkt przyporządkowany jest wektor siły, funkcja wektorowa.

(x,y,z)=(Fx(x,y,z),Fy(x,y,z),Fz(x,y,z))

=(P,Q,R)

dL=
d

L_AB=
- def. Pracy

=
L_AB

Ek |_tB - Ek |_tA = L_{AB -} energia kinetyczna

Tensor bezwładności- tensor drugiego rzędu. Opisuje wielkość fizyczną momentu bezwładności. Występuje on w równaniu wiążącym moment pędu z prędkością kątową dla danego ciała.

- moment pędu,
- tensor momentu bezwładności,
- prędkość kątowa

Tensor bezwładności zapisany jako macierz wygląda następująco

Tensor ten jest tensorem symetrycznym (jego macierz jest symetryczna).

Współczynniki diagonalne (leżące na przekątnej) nazywamy momentami głównymi, natomiast pozadiagonalne momentami dewiacji.

Wartości współczynników tensora momentu bezwładności, w przypadku dyskretnego rozkładu masy, definiuje się przez

gdzie

δij jest deltą Kroneckera,

r1 = x, r2 = y, r3 = z.

Rozpisując powyższy wzór na składowe otrzymujemy wzory na momenty główne

oraz momenty dewiacyjne

xi, yi, zi są odległościami i-tego punktu od osi OX, OY, OZ (składowymi wektora wodzącego i-tego punktu)

mi - masa i-tego punktu

3.1 Zasada d'Alamberta 3.2 Równania Lagrange'a II rodzaju

Zasada d'Alamberta: Jeżeli ukl materialny poddany wiezom geometr, stacjonarn, gładkich, dwustronnych jest w ruchu rzeczywistym to

suma prac wirtualnych od wszystkich sil czynnych i sil bezwładności na każdym przesunieciu wirtualnym rowna jest 0

Równania Lagrange'a  II rodzaju 

Wprowadzenie do rachunku tensorowego w układach kartezjańskich

Tensor I rzędu:

macierz liczbową jednowskaźnikową określoną w

ukl współ której elementy przy przejsciu do

nowego ukl współ. transformują się wg: ai`= αij * aj

Tensor II rzędu: macierz liczbową dwuwskaź.

określoną w ukł współ. której elementy przy

przejsciu do nowego ukł współ. transformują się

wg: aij`=αik * αjl * akl oraz aij=αki * αlj * a'kl

Tw. o tensorach

1. Wartości wlasne tensora symetrycznego są liczbami rzeczywistymi

2. 2.) Kierunki własne wyznaczone przez wektory własne tensora symetrycznego są wzajemnie prostopadłe

3. Tensor symetryczny w układzie współrzędnych wyznaczonych przez wektory własne przyjmuje postaać diagonalną, a Elementy na przekątnej głównej są wartościami własnymi tensora

4. Wartośći własne są ekstremalnymi wartościami elementów na przekątnej głównej

Masa układu materialnego, moment statyczny, środek masy

Środek masy punktów materialnych

Środkiem masy punktów materialnych nazywamy punkt C którego położenie w przestrzeni określa promień wektor r_C

Masa układu to suma mas poszczególnych mas cząstkowych

2.7 Twierdzenie Steinera: moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności względem osi równoległej do danej i przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy bryły i kwadratu odległości między tymi dwiema osiami

2.8 Główne osie bezwładności to osie wyznaczone przez kierunki główne tensora

bezwładności.

Główne centralne osie bezwładności to główne osie bezwładności wyznaczone

przez kierunki główne tensora bezwładności zestawionego w środku ciężkości

bryły.

2.9 Twierdzenie Koeniga

Energia kinetyczna układu punktów materialnych jest równa energii tegoż układu w jego ruchu

względem środka masy oraz energii kinetycznej masy całkowitej poruszającej się z prędkością środka

masy.

---