1. CELE NAUCZANIA MATEMATYKI NA SZCZEBLU ZINTEGROWANYM (wg programu K. Uhma)

GŁÓWNE ZAŁOŻENIA EDUKACJI MATEMATYCZNEJ

Edukacja matematyczna ma służyć obudzeniu radości z rozwiązywania wszelkich łamigłówek, a tym samym pobudzaniu do samodzielnego, logicznego myślenia.
Istotne jest, aby dziecko odkryło, że matematyka to droga do rozwiązywania codziennych problemów - mierzenia długości, wagi, operowania pieniędzmi, odczytywania godzin, a zarazem wspaniała zabawa.

Klasa I
Uczeń kończący klasę pierwszą powinien:
- znać liczebniki główne i porządkowe do 100
- rozumieć brak zależności pomiędzy ilością elementów, sposobem ich przeliczania
- rozwiązywać zadania z niewiadomą
- korzystać z osi liczbowej, tabelek, drzewek
- wykonywać dodawanie i odejmowanie w zakresie 100
- wykonywać mnożenie i dzielenie w zakresie 20
- układać i rozwiązywać proste zadania tekstowe
- określać stosunki przestrzenne i wielkościowe
- rozpoznawać i rysować podstawowe figury geometryczne
- wyodrębniać i klasyfikować podzbiory i zbiory
- wymieniać dni tygodnia
- mierzyć długość m.in. za pomocą linijki (znać skróty cm i m)
- korzystać z wagi szalkowej (znać skróty kg i dkg)
- odczytywać pełne godziny na zegarze (znać skróty godz., min.)
- dokonywać najprostszych obliczeń pieniężnych (znać skróty zł, gr)
- czytać i pisać liczby w zakresie 100
- czytać i pisać znaki +, , =, >, <, ˇ, : i rozumieć ich znaczenie

Uczeń kończący klasę drugą powinien:

- znać liczebniki główne i porządkowe do tysiąca i umieć je zapisać

- wskazać jedności, dziesiątki i setki w liczbach trzycyfrowych

- rozumieć i stosować pojęcia: składniki, suma, odjemna, odjemnik, różnica, czynniki, iloczyn, dzielna, dzielnik, iloraz

- znać i stosować zasadę łączności i przemienności dodawania

- stosować prawidłowo nawias

- znać i stosować kolejność działań

- układać i rozwiązywać zadania tekstowe

- układać i rozwiązywać równania z jedną niewiadomą

- dodawać i odejmować w zakresie 1000

- mnożyć i dzielić w zakresie 100

- znać własności podstawowych figur geometrycznych

- prawidłowo mierzyć przy pomocy linijki(m, cm, mm)

- ważyć(kg, dag, g)

- korzystać z podziałki termometru

- znać zapis liczb rzymskich

- określać cechy elementów danego zbioru, wskazywać na zbiór pusty, wspólne elementy dwóch zbiorów

- wykorzystywać przy obliczeniach tabelki, drzewka, grafy, oś liczbową

- dokonywać sprawdzenia wykonanych działań za pomocą działań przeciwnych

Uczeń kończący klasę trzecią powinien:

- posługiwać się liczbą w aspekcie kardynalnym, porządkowym i miarowym

- zapisywać cyframi liczby w zakresie 10000

- sprawnie wykonywać dodawanie i odejmowanie pamięciowe w zakresie 100

- znać i stosować tabliczkę mnożenia i dzielenia w zakresie 100

- wykonywać dodawanie i odejmowanie sposobem pisemnym w zakresie 1000

- wykonywać mnożenie i dzielenie z resztą sposobem pisemnym liczby trzycyfrowej przez jednocyfrową

- sprawdzać poprawność wykonywanych działań za pomocą działania odwrotnego

- stosować zasady przemienności i łączności mnożenia i dodawania

- stosować zasady rozdzielności mnożenia względem dodawania i względem odejmowania

- posługiwać się nazwami miesięcy, pór roku i dni tygodnia z zachowaniem odpowiedniej kolejności

- wykonywać proste obliczenia zegarowe i kalendarzowe

- układać i rozwiązywać zadania tekstowe

- stosować w praktyce jednostki wagi i miary

- obliczać obwód wskazanych figur geometrycznych

- rozpoznawać odcinki równoległe i prostopadłe

2. DOJRZAŁOŚĆ DZIECKA DO UCZENIA SIĘ MATEMATYKI W SZKOLE

Warunki dojrzałości do uczenia się matematyki:

- świadomość w jaki sposób należy liczyć przedmioty

- operacyjne rozumowanie, rozumienie symboli bez konieczności odwoływania się do poziomu działań praktycznych

- odporność emocjonalna na sytuacje trudne

- sprawność manualna, precyzja spostrzegania i koordynacja wzrokowo-ruchowa

Dojrzałość do uczenia się matematyki w szkole:

1. Dziecięce liczenie: sprawne liczenie i rozróżnianie liczenia poprawnego od błędnego; dodawanie w zakresie 10ciu na palcach i w pamięci.

2. Operacyjne rozumowanie na poziomie konkretnym w zakresie uznawania stałości ilości nieciągłych (wnioskowanie o równoliczności mimo obserwowanych zmian w układzie elementów porównywanych zbiorów.); wyznaczanie konsekwentnych serii (zdolność do porządkowania każdego elementu jako mniejszego od nieuporządkowanych i największego w zbiorze już uporządkowanym)

3. Zdolność do odrywania się od konkretów i posługiwanie się reprezentacjami symbolicznymi w zakresie: pojęć liczbowych (aspekt jęz-symb.), działań arytmetycznych (formuła i jej przekształcanie), schematu liczbowego (grafy, drzewka, tabele)

4. Dojrzałość emocjonalna czyli: pozytywne nastawienie do samodzielnego rozwiązywania zadań, odporność na sytuacje trudne emocjonalnie

5. Zdolność do syntezowania oraz zintegrowania funkcji percepcyjno-motorycznych czyli odwzorowywanie złożonych kształtów, rysowanie i konstruowanie.

Prawidłowości rozwojowe :

Gest wskazywania (Wskazywanie i wymienianie kolejnych liczebników.): koniec 1 r.ż - trwa do 3 r.ż.

Poczucie „jest tyle” czyli świadomość, że ostatni wypowiadany liczebnik określa liczbę przedmiotów w zbiorze.

Wyznaczanie wyniku dodawania i odejmowania: dziecko próbuje stwierdzić ile jest po zmianie, do 5 r.ż. Dodawanie to łączenie, odejmowanie to odbieranie - do 7 r.ż. wykonujemy na konkretach.

Na kształtowanie dziecięcego liczenia mają wpływ różnice indywidualne, zdolność do nadawania znaczenia prostym sytuacjom społecznym, dorośli przybliżający dzieciom prawidłowości liczenia.

3. SPOSOBY BADANIA DOJRZAŁOŚCI DO UCZENIA SIĘ MATEMATYKI.

E. Gruszczyk - Kolczyńska w książce pt.: "Dlaczego dzieci nie potrafią uczyć się matematyki", stwierdza, że dzieci dobrze przygotowane do nauki matematyki to takie, które:

1. rozumieją operacyjnie na poziomie konkretnym w zakresie potrzebnym do pojmowania zależności matematycznych określonych przez program, nauczania,

2. potrafią kierować swoim zachowaniem mimo narastających napięć, które zawsze towarzyszą rozwiązaniu zadań matematycznych,

3. wykazują się dobrą koordynacją wzrokowo - ruchową i sprawnością manualną tak potrzebną do sprawnego wykonania czynności organizacyjnych i wspomagających proces uczenia się matematyki.

Aby pierwszoklasista nie miał problemów z matematyką już u progu nauki, powinien osiągnąć dojrzałość do uczenia się matematyki, która stanowi element pełnej dojrzałości szkolnej.

Wyznaczając dojrzałość do nauki matematyki Edyta Gruszczyk - Kolczyńska wzięła pod uwagę poziom rozwoju tych procesów psychicznych, które dziecko angażuje w trakcie nabywania wiadomości i umiejętności matematycznych oraz wymagania stawiane mu na lekcjach. Dlatego mówi o dojrzałości do uczenia się matematyki w warunkach szkolnych lub na sposób szkolny, którą wyznaczają następujące wskaźniki:

I. Dziecięce liczenie

Z edukacją matematyczną dziecko spotyka się dużo wcześniej niż w szkole. Dorośli uczą je:

- wyodrębniania przedmiotów do liczenia i liczenia ich w określony sposób,

- ustalenia, gdzie jest więcej, a gdzie mniej poprzez policzenie przedmiotów,

- określenia wyniku dodawania i odejmowania.

Ten zakres umiejętności nazywamy dziecięcym liczeniem. Jego podstawą są pewne intuicje matematyczne dostępne już dzieciom na poziomie wyobrażeń przedoperacyjnych. Taki poziom pozwala dzieciom na sprawne liczenie i rozróżnienie błędnego liczenia od poprawnego oraz wyznaczyć wynik dodawania i odejmowania w zakresie 10 „w pamięci” lub na palcach. Występują tu jednak pewne ograniczenie. Dziecko poda wynik dodawania lub odejmowania wtedy, gdy widzi przedmioty i policzy je dotykając lub wskazując każdy. Dlatego ta umiejętność nie wystarcza pierwszoklasistom, by sprostać wymaganiom stawianym na lekcji, choć jest to ważny wskaźnik dojrzałości do uczenia się matematyki.

II. Zdolność do operacyjnego rozumowania w zakresie potrzebnym do kształtowania pojęcia liczby naturalnej i czterech działań arytmetycznych.

Na początku klasy pierwszej uczeń musi być zdolny do rozumowania w dwóch zakresach:

1. Uznawania stałości ilości nieciągłych przy obserwowanych zmianach.

Jest to wnioskowanie o stałości liczby elementów w porównywanych zbiorach niezależnie od tego, w jakim układzie się znajdują i w jaki sposób są przemieszczane. Dziecko porównując zbiory musi skupić się tylko na liczbie elementów, pominąć zaś inne cechy np. kolor, wielkość, ułożenie. Może posłużyć się dwoma metodami: liczeniem przedmiotów i łączeniem w pary. Ważne jest, by zmiany, które spostrzega ujmowało jako odwracalne i nie musiało ciągle przeliczać elementów. Te kompetencje są niezbędne dla opanowania aspektu kardynalnego liczby naturalnej.

2. Porządkowanie elementów zbioru, aby utworzyć konsekwentną serię

Dziecko musi umieć ujmować każdy kolejny element zbioru np. patyczek jako najmniejszy w nieuporządkowanym zbiorze i ułożyć go jako największy w tworzonej serii (układa od najmniejszego do największego).

Ta umiejętność oznacza, że potrafi w wyobraźni przegrupować porządkowane elementy i ustalić miejsce każdego w tworzonej serii. Dlatego uszereguje po kolei przedmioty według wielkości, grubości, nasycenia koloru, itp.

Ten sposób rozumowania jest podstawą do kształtowania aspektu porządkowego liczby naturalnej.

Dla kształtowania pojęcia miary wielkości ciągłych dziecko musi rozumować w zakresie przestrzeni i czasu. Ale te kompetencje będą potrzebne po kilu miesiącach nauki, dlatego nie są one tak ważne w poziomie dojrzałości do nauki matematyki.

III. Zdolność do odrywania się od konkretów i posługiwanie się reprezentacjami ikonicznymi i symbolicznymi

Dziecko u progu nauki w szkole musi rozumieć sens kodowania i dekodowania informacji za pomocą umownych symboli.

Najprostsze działanie matematyczne

np. 4+1=5

czy 5-2=3

jest syntezą symboliczną.

Liczby i czynność dodawania i odejmowania są zapisane w ustalonym systemie znaków. Również schematy i grafy, tak popularne w nauczaniu zintegrowanym są symbolicznymi obrazami określonych czynności. Uczeń w szkole rzadko ma okazję do praktycznego działania, dlatego zdolność do funkcjonowania na poziomie symbolicznym i ikonicznym jest bardzo ważna.

IV. Zdolność do syntetyzowania i integrowania funkcji percepcyjno - motorycznych.

Na lekcjach matematyki dzieci wykonują wiele złożonych czynności. Będą to wykonywać sprawnie, jeśli posiądą zdolność do integrowania funkcji percepcyjno - motorycznych. Dzieci o obniżonym poziomie tych funkcji będą miały trudności z czynnościami porządkowymi na lekcji, będą robić wiele hałasu przy wyjmowaniu przyborów, rysunki będą niestaranne, zeszyty wymięte, brudne. Nadmierna koncentracja na stronie technicznej i organizacyjnej nie pozwoli im na zrozumienie sensu zadań, co oznacza poważne zaburzenia procesu uczenia się matematyki.

V. Dojrzałość emocjonalna

Szczególną rolę w matematyce pełni rozwiązywanie zadań. Są one źródłem doświadczeń logicznych i matematycznych. Rozwiązywanie zadań wymaga dużego wysiłku intelektualnego, dlatego ważne jest tu pozytywne nastawienie. Dziecko musi być odporne psychicznie i wytrzymać napięcie towarzyszące rozwiązywaniu zadań. Jeśli tego nie wytrzyma zacznie unikać rozwiązywania zadań, co znacząco wpłynie na obniżenie umiejętności.

Podsumowując można stwierdzić, że dziecko jest dojrzałe do uczenia się matematyki w szkole wówczas, gdy chce się uczyć matematyki, potrafi zrozumieć sens zależności matematycznych omawianych na lekcjach i wytrzymuje napięcia, które towarzyszą rozwiązywaniu zadań matematycznych.

Taki poziom dojrzałości gwarantuje powodzenie w uczeniu się matematyki w pierwszych latach nauki.

4. TRUDNOŚCI I NIEPOWODZENIA UCZNIÓW KLAS POCZĄTKOWYCH W UCZENIU SIĘ MATEMATYKI NA PODSTAWIE LITERATURY I OBSERWACJI.

1.Ogólna charakterystyka niepowodzeń szkolnych:

Przez niepowodzenia szkolne rozumiemy proces pojawiania się braków w wymaganych przez szkołę wiadomościach i umiejętnościach oraz negatywnego stosunku młodzieży wobec tych wymagań.

Czesław Kulisiewicz wskazuje trzy przyczyny niepowodzeń szkolnych:

- ekonomiczno społeczne (złe warunki materialne i szkolne, rozpad struktury rodziny, niski poziom intelektualny i niewłaściwa postawa rodziców)

- pedagogiczne (tkwią w samym procesie dydaktycznym, przyczyny spowodowane niedostatecznym przygotowaniem nauczycieli)

- psychofizyczne ( tkwią w dziecku)

Jan Konopnicki wyróżnia intelektualne, emocjonalne, i społeczne przyczyny niepowodzeń w nauce oraz przyczyny szkolne

2.Trudności w uczeniu się matematyki dzieci klas I-III

Matematyka uważana jest za naukę niezwykle trudną. Powszechnie spotkać się można twierdzeniem że niepowodzeń w zakresie nauczania tego przedmiotu mogą uniknąć tylko osoby o wprost niezwykłej sprawności intelektualnej lub posiadające specjalne uzdolnienia matematyczne. Często jednak zapomina się o tym że w klasach początkowych można mówić dopiero o zalążkach takich uzdolnień.

Mówiąc o trudnościach w uczeniu się matematyki należy rozróżnić trudności zwykłe pojawiające się w sposób naturalny a pokonanie ich jest równocześnie rozwiązaniem zadania oraz trudności specyficzne z którymi dziecko nie może sobie poradzić prowadzące często do blokady całego procesu uczenia się matematyki

Do urzeczywistnienia celów kształcenia matematycznego uczniów klas 1-3 wytyczonych przez program nauczania prowadzi droga między innymi przez rozwiązywanie zadań tekstowych. Przyjmuje się powszechnie , że są one jednym z najlepszych środków nauczania- uczenia się matematyki. Przy czym określenie „zadania tekstowe” ma obecnie szerszy zakres obejmuje bowiem nie tylko zadanie z treścią zawarte w podręczniku , lecz także zadnie formułowane przez nauczyciela i ucznia.

Funkcjonowanie dzieci podczas rozwiązywania zadań matematycznych zależy od pewnych czynników . Wg. Gruszczyk- Kolczyńskiej dzieci osiągają dobre efekty w zakresie uczenia się matematyki gdy:

- rozumują operacyjnie na poziomie konkretnym w zakresie potrzebnym do pojmowania zależności matematycznych (określonych programem nauczania)

- potrafią kierować swym zachowaniem mimo narastających napięć które zawsze towarzyszą rozwiązywaniu zadań matematycznych

- wykazują się dobrą koordynacją wzrokowo- ruchową i sprawnością manualną tak potrzebną dla sprawnego wykonania czynności organizacyjnych i wspomagających proces uczenia się matematyki.

3. Psychologiczna analiza zachowywania się dzieci podczas pokonywania trudności matematycznych.

Efektywność uczenia się matematyki na poziomie klas początkowych jest w dużej mierze związana z zagadnieniem psychologicznym dokładniej z ukształtowaniem u dzieci nawyków racjonalnego zachowania się w sytuacji rozwiązywania zadań matematycznych, w trakcie pokonywania specyficznych trudności

Cechy osobowości rozwiązującego takie jak stan motywacji, poziom samooceny , dojrzałość emocjonalna wyrażająca się w zdolności do kierowania i kontrolowania własnych emocji tworzą zespół od którego zależy czy dziecko będzie się zachowywało podczas rozwiązywania zadań matematycznych w sposób racjonalny i skuteczny oraz czy będzie nabywało doświadczenia potrzebne do opanowania pojęć i umiejętności matematycznych.

Rozwiązywaniu zadań matematycznych zawsze towarzyszy wzrost napięcia i emocji ujemnych bez których rozwiązywanie zadań tych zadań jest niemożliwe . Wzrost ujemnych emocji powinien być związany ze skierowaniem aktywności na jeden cel- rozwiązanie zadania. Pokonanie trudności daje radość i satysfakcję- na tej podstawie dziecko tworzy sobie adekwatną samoocenę i kształtuje poziom aspiracji.

Dzieci doznające poważne niepowodzenia w nauce, uczeniu się matematyki, nie mają ukształtowanych nawyków racjonalnego zachowania się w procesie pokonywania trudności matematycznych. Okazuje się, że te dzieci ukształtowały nawyki obronnego reagowania. Dla tych dzieci zadanie matematyczne wyraża zmieniony sens: zamiast być sytuacją trudną intelektualnie, nabierały znaczenia sytuacji trudnych emocjonalnie. Rozwiązanie zadań jest dla tej grupy dzieci sytuacją frustracyjną zawierającą cały zespół stresorów. Dzieci te cała swoją aktywność mobilizują do obrony przed zagrożeniem - opracowując różne techniki obronne..

M. Tyszkowa twierdzi, że wraz z wiekiem wzrasta zdolność dzieci do podejmowania i wykonywania działań ukierunkowanych na cel i utrzymanie tego kierunku mimo trudności oraz towarzyszącego im napięcia emocjonalnego. Wiążę się to z rozwojem zdolności do samokontroli w zakresie ujemnych przeżyć emocjonalnych. W toku rozwoju wzrasta ponadto odporność psychiczna na sytuacje trudne.

Dzieci emocjonalnie odporne skupiają uwagę na tym, co i jak należy zrobić w sytuacji trudnej aby osiągnąć cel. U dzieci nie odpornych psychicznie samo spostrzeżenie trudności wywołuje gwałtowny wzrost ich emocji ujemnych i silne poczucie zagrożenia.

Warunkiem koniecznym do opanowania pojęć matematycznych i związane z nimi umiejętności stanowiące treść nauczania matematyki w klasach I - III jest osiągnięcie dojrzałości operacyjnej na poziomie konkretnym.

- niekorzystne nastawienie do działań matematycznych i brak ukształtowanych nawyków racjonalnego zachowania się w sytuacjach trudnych typu matematycznego

- niski poziom wiadomości i umiejętności matematycznych, który wyklucza skuteczne działanie w sytuacji zagrożenia typu matematycznego

4. Poziom rozwoju funkcji percepcyjno- wzrokowych a niepowodzenia w uczeniu się matematyki w klasach początkowych

Zaburzenia poziomu rozwoju percepcji wzrokowej, koordynacji wzrokowo - ruchowej oraz dynamiki ruchowej wpływają dezorganizująco na zachowanie się dzieci podczas rozwiązywania zadań matematycznych. W przypadku obniżonego poziomu rozwoju tych struktur osobowości występuje charakterystyczne przesunięcie koncentracji uwagi dzieci. Zamiast skupić się nad rozwiązaniem problemu matematycznego cały swój wysiłek kierują na pokonanie trudności technicznych towarzyszących nabywaniu doświadczeń logicznych i matematycznych.

Dzieci z zaburzeniami w zakresie koordynacji wzrokowo-ruchowej i percepcji wzrokowej charakteryzują się z reguły bardzo niskim poziomem opanowania trudności czytania i pisania dlatego najczęściej nie potrafią samodzielnie przeczytać tekstu zadania z tablicy lub ksiązki czy też szybko i czytelnie zapisać treść zadania czy jego rozwiązanie w zeszycie. Z tych właśnie powodów można stwierdzić że zaburzenia czynności percepcyjnych i motorycznych mają znaczący wpływ na obniżenie efektywności uczenia się matematyki na poziomie klas początkowych.

5. Poziom rozwoju umysłowego dzieci klas początkowych, a efekty uczenia się matematyki

Matematyka jest przedmiotem, który wymaga umiejętności logicznego myślenia gdyż od poziomu sprawności myślowej zależą osiągnięcia matematyczne uczniów. Stąd fundamentalne znaczenie ma pierwszy etap systematycznej nauki szkolnej, kiedy kształtują się podstawowe pojęcia, umiejętności będące podstawą dalszego kształcenia . By można było kształtować pojęcia matematyczne uczniów, doprowadzić ich do określonych umiejętności i sprawności należy przedtem zdać sobie sprawę z tego jakim poziomem myślenia dysponują dzieci w młodszym wieku szkolnym.

Według szwajcarskiego psychologa J.Piageta mniej więcej w wieku 6-8 lat zaczynają się rozwijać operacje konkretne, związane ściśle z czynnościami na przedmiotach oraz ze spostrzeganiem.

Jednym z głównych źródeł niepowodzeń w uczeniu się matematyki u dzieci klas początkowych jest brak dojrzałości operacyjnej do rozumowania na poziomie konkretnym w czasie rozpoczęcia nauki matematyki w klasie pierwszej.

6. Zaburzenia w tworzeniu się u dzieci „obrazu własnego ja” jako przyczyna i skutek niepowodzeń w uczeniu się matematyki

Badania przeprowadzone przed Gruszczyk- Kolczyńska wykazały, że na skutek przezywania przez dłuższy czas niepowodzeń w uczeniu się matematyki na szczeblu klas początkowych występują u dzieci pewne niekorzystne zmiany w zachowaniu się które są związane z zaburzeniami w kształtowaniu się ich „obrazu własnego ja”.

Grupa dzieci która nie potrafi sprostać wymaganiom w toku swojej działalności zbiera doświadczenia zmieniające samoocenę i poczucie własnej wartości. Dzieci te utwierdzają się w przekonaniu że są mniej zdolne. Utrata wiary we własne siły początkowo dotyczy tylko matematyki. W miarę narastania negatywnych doświadczeń zaczyna się generalizować najpierw na każdą działalność matematyczną, a potem na inne zakresy działalności szkolnej.

7. Zasady prowadzenia terapii z dziećmi, które doznają niepowodzeń w uczeniu się matematyki w klasach początkowych.

E. Gruszczyk-Kolczyńska określiła zasady postępowania terapeutycznego z dziećmi które doznają trudności w uczeniu się matematyki :

1. Zasada stawiania zadań oraz wymagań na miarę strefy najbliższego rozwoju. Warunkiem prawidłowo przeprowadzonej terapii jest:

- dążenie do kształtowania racjonalnych sposobów zachowania się dzieci w sytuacjach zadaniowych podczas pokonywania trudności

- stawianie zadań mieszczących się w strefie najbliższego rozwoju i formułowanie wymagań do określonych możliwości dziecka

- modelowanie zachowań w toku rozwiązywania zadań przez dziecko i sterowanie procesem interioryzacji

2. Zasada bezwzględnej akceptacji i dobrego kontaktu z dzieckiem

W układzie terapeuta-dziecko to dziecko jest partnerem o niżej pozycji. Powoduje to swoistą asymetrię interpersonalną. Jeżeli dziecko ma się w takim układzie wszechstronnie rozwijać to właśnie dzięki tej asymetrii powinno się czuć bezpiecznie. Warunkiem koniecznym jest akceptowanie dziecka przez dorosłego czyli respektowanie odrębności dziecka a także wiara , że możliwości rozwojowe są duże i dlatego można usunąć nieprawidłowości w rozwoju jego osobowości.

3. Zasada opieki wychowawczej oraz współpracy ze środowiskiem szkolnym i rodzinnym dziecka .

Wszelkie działania terapeutyczne realizowane są zawsze na tle i w konfrontacji z wpływami wychowawczymi środowiska szkolnego i domowego danego dziecka. Współpraca powinna obejmować:

- przepływ informacji o zachowaniu się danego dziecka w szkole i o czynionych postępach w nauce

- umowę w zakresie czasowego obniżenia wymagań a potem stopniowego podnoszenia ich do poziomu obowiązującego w danej klasie

- aranżowanie takich sytuacji w szkole, na lekcji matematyki, w których dziecko może przeżyć sukces

-odbudowanie lub stworzenie korzystnej pozycji społecznej w klasie szkolnej.

5. DYSKALKULIA ROZWOJOWA Opisał ją słowacki neuropsycholog L. Kość (1974)

To strukturalne zaburzenie zdolności matematycznych o podłożu w zaburzeniach genetycznych i wrodzonych tych części mózgu, które są bezpośrednim podłożem anatomiczno-fizjologicznym dojrzewania zdolności matematycznych odpowiednio do wieku bez jednoczesnego zaburzenia ogólnych funkcji umysłowych. Obejmuje specyficzne zaburzenia zdolności matematycznych w kontekście normalnego rozwoju umysłowego. Jest rozpoznawana jako zaburzenie, gdy występują istotne różnice pomiędzy aktualnymi zdolnościami matematycznymi dziecka a tymi, które są odpowiednie dla jego wieku.

• Dyskalkulia z dysleksją - odnosi się do problemów z wykonywaniem operacji matematycznych i rozwiązywaniem zadań, które wynikają z współwystępujących trudności w pisaniu i czytaniu.

• Dyskalkulia bez dysleksji - charakteryzuje dzieci, które dobrze czytają, nie popełniają błędów przy pisaniu, a ich niepowodzenia szkolne ograniczają się jedynie do liczenia i myślenia matematycznego.

1. Dyskalkulia werbalna (słowna) - zaburzenia zdolności nazywania pojęć, zależności i relacji matematycznych, trudności z określaniem liczby obiektów, z nazywaniem liczb i numerów (liczebników głównych, porządkowych, zbiorowych).

2. Leksykalna - zaburzenia odczytywania symboli matematycznych (cyfr, liczb, znaków operacyjnych), trudności w kojarzeniu symboli operacyjnych z ich nazwami.

3. Graficzna - trudności w zapisywaniu liczb i symboli operacyjnych, z zapisem liczb przy pisemnym dodawaniu i odejmowaniu, mnożeniu i dzieleniu.

4. Praktognostyczna (wykonawcza) - zaburzenia w manipulowaniu realnymi i obrazkowymi obiektami w celach matematycznych: obliczanie liczebności zbioru, porównywanie ilości i wielkości, szeregowanie obiektów wg. kolejności rosnącej lub malejącej, wskazywanie, który z porównywanych obiektów jest mniejszy lub większy, które są tej samej wielkości.

5. Ideognostyczna (pojęciowo-poznawcza) - zaburzenie rozumienia idei matematycznych, relacji niezbędnych do dokonywania obliczeń pojęciowych, w dostrzeganiu zależności liczbowych (np.6 to połowa 12; 6 jest o 1 większe od 5).

6. Operacyjna - zaburzenie dokonywania działań matematycznych mimo możliwości wzrokowo-przestrzennych oraz umiejętności czytania i pisania liczb.

Wzorce trudności w uczeniu się matematyki:

- związane z mikrouszkodzeniami lewej półkuli mózgu - dysfunkcje językowe, trudności z rozwiązywaniem zadań matematycznych krok po kroku, często jednak dzieci te potrafią podać ogólny sposób rozwiązania i zbliżoną do poprawnej odpowiedź

- związane z dysfunkcjami prawopółkulowymi - deficyty niejęzykowe, trudności o charakterze globalnym, nie ujmowanie idei i sensu zadania, ale dziecko prowadzone przez nauczyciela potrafi wykonywać zadania sekwencyjnie, krok po kroku

Style uczenia się:

- stonogi: krok po kroku, rozkładanie zadania na kawałki, przeliczanie danych, nie widzi całości zadania

- skoczka: upraszcza zadanie, uogólnia, ogólnie szacuje, sprawdza tą samą metodą

Stopień deficytu:

- dyskalkulia uogólniona - głębokie deficyty różnych aspektów myślenia matematycznego i posługiwania się liczbami

- dyskalkulia specyficzna - trudność stanowi wąski zakres rozwiązywania problemów matematycznych, deficyty są wybiórcze i mniej nasilone (np. dziecko sprawnie liczy, natomiast ma problemy z geometrią analityczną i trygonometrią)

Symptomy trudności w uczeniu się matematyki: opóźnienie rozwoju niektórych funkcji poznawczych i ruchowych, słaba koordynacja wzrokowo-ruchowa, opóźnienie reakcji w schemacie ciała i przestrzeni, trudności z zapamiętaniem danych, nazw miesięcy, liczb wielocyfrowych

W procesie leczenia dużo zależy od: matematycznych doświadczeń dziecka, postawy nauczyciela: w programach nauczania i terapii należy uwzględnić czynnik emocjonalny-skojarzenie hasła matematyka z emocjami pozytywnymi

6. TREŚCI NAUCZANIA MATEMATYKI

W KLASIE I

1). Stosunki przestrzenne

• Orientacja przestrzenna

-treści nauczania : położenie i ruch: schemat własnego ciała, przedmioty w stosunku do własnego ciała (ja i przedmioty), jednych przedmiotów w stosunku do drugich, Np. pudełko leży po prawej stronie zegara, zegar leży po lewej stronie pudełka

- umiejętności ucznia: potrafi określić i zilustrować położenie przedmiotów na płaszczyźnie i w przestrzeni oraz określić kierunki ruchu z użyciem odpowiednich terminów

• Cechy wielkościowe

- treści nauczania: porównywanie przedmiotów (długość, szerokość, wysokość, masa), czynnościowe porządkowanie przedmiotów (manipulacja, wyobraźnia, zmysł)

- umiejętności ucznia: potrafi porównywać przedmioty pod względem wyróżnionej cechy i potrafi je uporządkować

• Zbiory

- treści nauczania: klasyfikowanie porządkowanie przedmiotów. Wyodrębnianie zbiór podzbioru i części wspólnej

- umiejętności ucznia: * klasyfikuje przedmioty wg jednej cechy jakościowej *wyodrębnia zbiory przedmiotów spełniających dany warunek, podzbiory oraz cześć wspólną zbioru *porównuje liczebność zbiorów bez przeliczania elementów

2). Arytmetyka

• Liczenie

- treści nauczania: przeliczanie przedmiotów, osób, gestów, dźwięków, posługiwanie się liczebnikami porządkowymi, porównywanie liczebników zbioru (przeliczanie, łączenie w pary)

• Liczby i ich zapis

- treści nauczania: monografia pierwszej dziesiątki, liczba 0, pojęcie liczby, monografia drugiej dziesiątki, rozszerzenie numeracji do 100

- umiejętności ucznia: *potrafi wyodrębnić w liczbie cyfrę dziesiątek i cyfrę jedności *zapisuje i odczytuje liczby w zakresie 20 *porównuje liczby jednocyfrowe i dwucyfrowe *wskazuje na osi liczbowej punkt odpowiadający danej liczbie

• Dodawanie i odejmowanie

- treści nauczania: pojecie sumy i różnicy. Rozkład na składniki. Równania z okienkami np. 3+…=7. Dodawanie i odejmowanie w zakresie 10, w drugiej dziesiątce, z przekroczeniem progu dziesiątkowego. Numeracyjne przypadki dodawania i odejmowania 50+8=58 62-2=60

- umiejętności ucznia: *liczy pamięciowo w zakresie 20 *dodaje i odejmuje dziesiątkami *rozumie istotę dodawania i odejmowania jako działań wzajemnie odwrotnych *porównuje liczby dwucyfrowe i stosuje znaki <,>,=

• Mnożenie i dzielenie w zakresie 25

- treści nauczania: przygotowanie do (liczenie) mnożenia. Liczenie po 2. liczenie po 3 i po 4. dzielenie jako podział i mieszczenie oraz dzielenie liczbę przez liczbę

- umiejętności ucznia: *rozumie istotę mnożenia i potrafi je zapisać jako sumę jednakowych składników

• Zadania tekstowe jednodziałaniowe

- treści nauczania: stopniowe przechodzenie od zadań jednodziałaniowych do dwudziałaniowych (złożonych)

- umiejętności ucznia: rozwiązuje proste zadania tekstowe

3). Mnożenie i obliczenia pieniężne (wiadomości praktyczne)

• Mierzenie długości

- treści nauczania: *co to znaczy mierzyć? - odkrycie sensu mierzenia, pomiaru długości *co mierzymy? (wielkość) *czym mierzymy? (jednostka). Stałość długości

- umiejętności ucznia: nazywa i potrafi zastosować jednostki długości

• Mierzenie ilości płynu (pojemność)

- treści nauczania: *dzieci muszą odkryć jakiś sens. Musi być jakaś wielkość i jednostka np. szklanka.*stałość pojemności *litr jako jednostka

- umiejętności ucznia: nazywa i potrafi zastosować jednostki pojemności

• Ważenie

- treści nauczania: wprowadzenie 1 kilograma

- umiejętności ucznia: nazywa i potrafi zastosować jednostki ciężaru

• Mierzenie czasu

- treści nauczania: zegar i dni tygodnia. Odczytywanie godzin

- umiejętności ucznia: *zna, nazywa dni tygodnia i ich kolejność 8 odczytuje pełne godziny na zegarze

• Aspekt miarowy działań arytmetycznych

- treści nauczania: dodawanie i odejmowanie długości i ilości płynów

• Obliczenia pieniężne

- treści nauczania: rodzaje pieniędzy: banknoty, monety - złote, grosze

- umiejętności ucznia: wykonuje proste obliczenia związane z liczeniem pieniędzy

4). Figury geometryczne

- treści nauczania: trójkąt, kwadrat, prostokąt, koło. Każdy kwadrat jest prostokątem, ale nie każdy prostokąt jest kwadratem

- umiejętności ucznia: *rozpoznaje i nazywa kształty podstawowych figur geometrycznych *potrafi rysować różne figury płaskie za pomocą szablonów

W KLASIE II

1). Stosunki przestrzenne

• Orientacja przestrzenna

-treści nauczania : prawa, lewa ręka lub noga. Określenia typu: „w prawym górnym rogu”. Skręcanie w lewo, w prawo. Poruszanie się lewą, prawą stroną.

- umiejętności ucznia: *potrafi określić kierunki: lewa, prawa strona *poprawnie operuje pojęciami określającymi kierunki, położenie przedmiotów

• Cechy wielkościowe

- treści nauczania: godziny i minuty na zegarze, obliczenie dotyczące godzin np. południe, północ, doba. Temperatura, odczytywanie wskazań termometru

• Zbiory

- treści nauczania: wyodrębnienie zbiorów, zbiór pusty, przeliczanie elementów zbioru. Klasyfikowanie przedmiotów ze względu na 2 cechy (zbiory rozłączne). Odczytywanie tabelek przy 2 cechach przedmiotów, zmiana kolejności składników

- umiejętności ucznia: *potrafi odnaleźć część wspólna zbioru, łączenie zbiorów oraz podzbiory *rozumie pojęcie „zbiór pusty” i „zbiór rozłączny”

2). Arytmetyka

• Liczby i ich zapis

- treści nauczania: rozszerzenie numeracji do 100. liczenie w przód i w tył, dziesiątkami i po kolei. Wyodrębnienie jedności i dziesiątek w zapisie liczby (objaśnienia typu: 43 to 4 dziesiątki i 3 jedności). Przedstawienie liczb na osi liczbowej. Stosowanie znaków <, >, =. Znaki rzymskie od I do XII. Rozszerzenie numeracji do 1000.

- umiejętności ucznia: *potrafi wyodrębnić w liczbie cyfrę dziesiątek i cyfrę jedności *poprawnie odczytuje i zapisuje liczebniki *potrafi stosować znaki <, >, = przy porównywaniu liczb

• Dodawanie i odejmowanie

- treści nauczania: powtórzenie dodawania i odejmowania w zakresie 20. rozkład liczby na składniki. Zastosowanie w praktyce przemienności dodawania. W obliczeniach nazwy: suma, składnik, różnica. Zbiory w zadaniach na dodawanie i odejmowanie. Dodawanie i odejmowanie w zakresie 100. praktyczne stosowanie własności działań. Sprawdzenie odejmowania za pomocą dodawania i na odwrót. Proste równania z okienkami. Wprowadzenie zapisu złożonego: 34-28+5. stosowanie nawiasów przy dodawaniu i odejmowaniu. Przestawianie i grupowanie składników. Porównywanie różnicowe typu „o 3 więcej”, „o 3 mniej”, „o ile więcej?”, „o ile mniej?”. Ukazywanie cykliczności związanej z upływem czasu (pory roku, dni, tygodnie, godziny)

- umiejętności ucznia: *dodaje i odejmuje różnymi sposobami w zakresie 1000 z przekroczeniem progu dziesiątkowego *rozwiązuje proste równania *rozumie pojęcie „suma”, „składnik”, „różnica”

• Mnożenie i dzielenie w zakresie 25

- treści nauczania: przygotowanie do mnożenia i dzielenia (parzystość, wielokrotności). Mnożenie i dzielenie w zakresie 30. mnożenie przez 1 i przez 0. Terminy: iloczyn, czynnik, przemienność. Rozkład liczby na czynniki. Dzielenie w zakresie 30. czynnościowe rozwiązywanie zadań na podział i na mieszczenie

- umiejętności ucznia: *biegle mnoży i dzieli w zakresie 30 *oblicza iloczyny w zakresie 100 dowolnym sposobem *rozumie i stosuje pojęcia: „iloczyn”, „czynnik”, „iloraz” *zna i zachowuje kolejność wykonywania działań arytmetycznych

• Zadania tekstowe jednodziałaniowe

- treści nauczania: zadania nietypowe: celowo źle sformułowane. Zadania na porównywanie różnicowe

- umiejętności ucznia: *rozwiązuje proste zadania na porównywanie różnicowe *stosuje i rozumie sformułowania: „o tyle więcej”, „o tyle mniej”, „o ile więcej?”, „o ile mniej?” *rozwiązuje nietrudne zadania tekstowe jednodziałaniowe lub dwudziałaniowe na mnożenie i dzielenie

3). Mnożenie i obliczenia pieniężne (wiadomości praktyczne)

• Mierzenie długości

- treści nauczania: mierzenie długości w centymetrach. Wprowadzenie pojęcia odcinka. Wprowadzenie osi liczbowej. Mierzenie w zakresie do 100 cm.

- umiejętności ucznia: *zna jednostki długości oraz ich skróty *potrafi zmierzyć i porównać długości odcinków

• Mierzenie ilości płynu (pojemność)

• Ważenie

- treści nauczania: kilogram, dekagram

- umiejętności ucznia: zna jednostki ciężaru oraz ich skróty

• Mierzenie czasu

- treści nauczania: godziny i minuty na zegarze. Obliczenia godzin

• Aspekt miarowy działań arytmetycznych

- treści nauczania: porównywanie różnicowe Np. „dłuższy o 20 cm”, „o 3 lata starszy”. Zapisywanie i porządkowanie pomiarów dokonanych przez uczniów Np. długość przedmiotu, temperatura na dworze

- umiejętności ucznia: rozwiązuje nietrudne zadania tekstowe z zastosowaniem ww. jednostek miary

• Obliczenia pieniężne

- treści nauczania: obliczenia pieniężne. Zadania dotyczące kosztów, ceny, wydawania reszty

4). Figury geometryczne

- treści nauczania: utrwalenie nazw i kształtów podstawowych figur. Konstruowanie (patyczki, klocki) figur przez uczniów. Obserwacja zależności. Rysowanie i mierzenie odcinków. Figury na sieci kwadratowej. Rozpoznawanie linii prostopadłych i równoległych oraz ćwiczenia w rysowaniu

- umiejętności ucznia: *rozpoznaje i nazywa odcinki prostopadłe i równoległe w otoczeniu i w modelach figur *konstruuje łamane, prostokąty, trójkąty o wierzchołkach w sieci kwadratowej *oblicza liczbę kwadratów jednostkowych w danym prostokącie

W KLASIE 3

	Treści kształcenia	Umiejętności ucznia
			Liczby i ich zapis	Rozszerzenie zakresu liczbowego do 200, potem do 1000, do 2000, do 10000, do 1000000 Liczenie w przód i tył po kolei dziesiątkami, setkami. Liczenie typu: „Ile jest od … do … włącznie”. Wyodrębnianie jedności, dziesiątek, setek w zapisie liczby wraz z objaśnieniami, przedstawienie liczb na osi liczbowej, znaki rzymskie od I do XXX	- zna dziesiątkowy układ pozycyjny - potrafi zapisywać i odczytywać liczebniki w zakresie 10 000 - porównuje liczby wielocyfrowe w zakresie 10 000
			Dodawanie i odejmowanie	Pamięciowe dodawanie i odejmowanie dowolnych liczb 2cyfrowych, łatwe równania z okienkami np. …+4=36, porównywanie sum i różnic, działania odwrotne, wyrażenia złożone, obliczenia pamięciowe w zakresie 1000, 2000, 10000, 1mln, algorytm dodawania odejm. pisemnego	- wykonuje obliczenia w zakresie 10000, proste przeypadki w zakresie 1mln - stosuje własności dod. i odejm. - stosuje algorytmy pisemnego dod i odejm. - Rozumie pojęcia „suma” „składnik” „różnica” - rozw. proste równania w zakresie 10 000
			Mnożenie i dzielenie	Mnożenie w zakresie 100, odwrotność mnożenia i dzielenia przez 1, dzielenie liczby przez nią samą, niewykonalność dzielenia przez 0 wielokrotność liczb, dzielenie przez 10, 100, algorytm mnożenia i dzielenia pisemnego	- biegle mnoży i dzieli w zakresie 100 - wykonuje w pamięci proste obliczenia powyżej 100 - posługuje się algorytmami pisemn. mnoż i dzielenia - nazywa i stosuje terminy: iloczyn czynnik iloraz - rozumie i stosuje własności 4 działań matem. i związków między nimi - Zna kolejność wykonywania działań - wykorzystuje poznanie własności działań arytmetycznych
			Zadania tekstowe jednozadaniowe	Jednodziałaniowe, łatwe zadania złożone, porównywanie różnicowe, ilorazowe, próby ujmowania rozw. zad. tekstowego w jednym zapisie, układanie zadan do działań arytmetycznych, zad. tekst. źle sformułowane	- rozwiązuje nietrudne złożone zadania tekst na + i - - samodzielnie rozw. zadania na porównywanie ilorazowe
			Ułamki	Rozebranie figury na części równe i nierówne. Ułamki o liczniku >1zawsze w powiązaniu z konkretami. Próby dodawania i odejm. porównywania ułamków jednakowych mianownikach	- rozpoznaje i potrafi nazwać ułamki o mianownikach 2, 3, 4 i potrafi wskazać ich położenie na osi liczbowej
			Mierzenie i obliczenia pieniężne	Mierzenie dł., m, cm, mm, km, obliczanie długości linii łamanych. Odczytywanie położenia obiektów na planach miast i obiektów	- odczytuje skróty km, mm - mierzy długości odcinków z daną dokładnością
			Mierzenie ilości płynu	Litr, mililitr
			Ważenie	Kg, dekagram, g, tona, kwintal, brutto, netto, tara	- odczytuje skróty dag, g i kg
			Mierzenie czasu	Godz. min. s. pisanie dat, obliczenia kalendarzowe, obl. zegarowe - system 12 i 24h, 100-lecia, lata przestępne	Potrafi odczytać wskazania zegara w zakresie godz. i min. Poprawnie pisze daty
			Mierzenie temp.	Odczyt. wskazań termometru również poniżej zera
			Aspekt miarowy działań arytmetycznych	Wykorzystanie czterech działań rytm. do obliczeń zw. z mierzeniem dł., ważeniem, wyznaczaniem pojemności, rachubą czasu, porównywanie różnicowe i loraz. zadania typu 3m47cm = 347cm	Dokonuje obliczeń dotyczących mierzenia ważenia płacenia Zapisuje wyrażenia dwumianowane
			Obliczenia pieniężne	Zł, gr, zadania typu cena - liość - wartość, 4zł25gr =425gr
			Figury geometryczne	Proste odcinki, łamane, mierzenie dł. równoległoścć, prostopadłość, plan skala. Mierzenie i obliczanie obwodu opisywanie brył figury na sieci kwadratowej	Zna pojęcie krzywej prostej łamanej Równoległości i prostopadł. Kreśli odcinki. prostop. i równo. za pomocą szablonów Oblicza obwody prostokątów

7. MATEMATYCZNA „WYPRAWKA” UCZNIA KLAS ZINTEGROWANYCH. JAKIMI PRZYBORAMI I POMOCAMI DYDAKTYCZNYMI UCZEŃ POWINIEN DYSPONOWAĆ?

Do podstawowej wyprawki ucznia klas zintegrowanych możemy zaliczyć:

Przybory do pisania( pióro, długopis, ołówek, kolorowe pisaki lub kredki)

Przyrządy do rysowania figur geometrycznych( linijka, ekierka, cyrkiel)

Liczydło sznurkowe

Liczmany (patyczki, żetony itp.)

Podręcznik, zeszyt ćwiczeń, zeszyt z wycinankami, zeszyt, wkładki z pomocami w podręcznikach, ćwiczeniach

Środki dydaktyczne stosowane w nauczaniu matematyki:

Użycie adekwatnych do rozwoju uczniów oraz założonych celów nauczania środków dydaktycznych ułatwia aktywizację wyobraźni i myślenia uczniów, pogłębia stopień operatywnego rozumienia pojęć oraz przyspiesza ich interioryzację. Użycie pomocy demonstracyjnych umożliwia wizualizację abstrakcyjnych pojęć, umiejscowienie ich w kontekście historycznym, dynamiczną ilustrację procesów i obserwację ciągłych zależności. Natomiast czynnościowe nauczanie matematyki powoduje skrócenie drogi od konkretu do abstrakcji, zapewnia trwałość zdobywanej wiedzy i kształtuje nie tylko umiejętność jej praktycznego stosowania. Dlatego należy dążyć do kompleksowego wykorzystywania środków dydaktycznych w procesie kształcenia matematycznego, gdyż tylko tak zdobyta wiedza jest trwała i funkcjonalna.

Zestawy logiczne (do ćwiczeń mnogościowych)

Klocki do ćwiczeń logicznego myślenia:

Klocki Dienesa: komplet 48 klocków w kształcie 4 figur geometrycznych - trójkąt, prostokąt, kwadrat i koło; w 3 kolorach - żółty, niebieski
i czerwony; w 2 wielkościach - duży i mały; w 2 grubościach - gruby i cienki.

Komplety klocków logicznych mają zastosowanie w realizacji następujących zagadnień:
· wyodrębnianie cech wielkościowych, porównywania tych cech;
· zaznajamiania z nazwami prostych figur geometrycznych;
· klasyfikowania przedmiotów według cech jakościowych;
· wyodrębnianiu zbiorów, których elementy spełniają dane warunki;
· określania warunków, jakie spełniają elementy danego zbioru;
· podziału zbioru na podzbiory;
· wyznaczania części wspólnej, sumy i różnicy zbiorów;
· pojęcia zbioru pustego;
· kształtowania pojęcia relacji i funkcji, ze szczególnym uwzględnieniem relacji równoliczności zbiorów.

Komplet kart logicznych składa się z 3 zestawów: „koty”, „figury geometryczne”, „linie”.

Karty logiczne mogą być stosowane w realizacji pojęć:
· tworzenie zbiorów,
· klasyfikowanie elementów ze względu na jedną, dwie, trzy cechy,
· podziału zbioru na podzbiory,
· działania na zbiorach,
· przykłady relacji

Patyczki logiczne. Zestaw składa się z 45 patyczków w kształcie prostopadłościanów prawidłowych. Różnią się one od siebie następującymi cechami: kolor - biały, żółty, czerwony, niebieski, zielony; 3 rodzaje grubości - cienkie, średniej grubości, grube; 3 długości. Patyczki te wykorzystuje się do pomiarów długości, do ćwiczeń geometrycznych i arytmetycznych oraz wszystkich powyżej wymienionych ćwiczeń klasyfikacyjnych.

Pomoce arytmetyczne wykorzystujące związek liczby z długością.

Klocki Cuisnaire'a.(kolorowe liczby) Jest to 69 kolorowych klocków o przekroju 1 cm2 i długościach od 1cm do 10cm.

Posługując się tymi klockami rozwijamy u dzieci:
· pojęcie relacji,
· umiejętność wykonywania działań na liczbach naturalnych.
G. Milaret podkreślał wiele zalet tej metody, min.:
· metoda łączy spostrzeganie z działaniem, myśleniem, sprawdzaniem
i rozumieniem,
· stwarza umożliwiające dziecku wyzwalanie „matematyki własnej”, dostosowanej do indywidualnych możliwości rozwojowych,
· sprawia, że nauka matematyki jest żywa i zmysłowo uchwytna,
· zapewnia wszechstronne poznanie pojęcia liczby naturalnej,
· prowadzi stopniowo dziecko do abstrakcji

Liczydła planszowe

Liczydło planszowe zostało opracowane przez matematyka amerykańskiego H. Whitneya. Jest to kartka papieru, na której rysuje się kratki, które nazywa się polami.

Ta pomoc dydaktyczna wykorzystywana jest w procesie doskonalenia pojęcia liczby i działań na liczbach. Uczniowie muszą już być zapoznani z liczbami oraz ich zapisem.

Pomoce związane z przesunięciem na osi liczbowej.

Suwaki arytmetyczne. W celu urozmaicenia lekcji, możemy go stosować zamiennie z kolorowymi liczbami. Na suwaku możemy wykonywać dodawanie i odejmowanie. Najprostszy suwak składa się z dwóch identycznych podziałek, z których górna jest stała, a dolna ruchoma. Jest to świetna zabawa dla dzieci, w czasie której mogą rozwijać swoje sprawności rachunkowe.

Pomoce do nauczania geometrii:

Geoplan to kwadratowa tabliczka, w którą wbite są gwoździe w równych odstępach. Na gwoździach tych rozpina się gumki uzyskując kształt rożnych figur geometrycznych. Jest to bardzo cenna pomoc dydaktyczna w nauczaniu geometrii. Pomaga on w kształtowaniu pojęcia figur geometrycznej, daje możliwość zauważenia zależności, różnic i podobieństw pomiędzy różnymi figurami. Może on być również wykorzystywany podczas kształtowania pojęcia odległości, pola i obwodu figury

Pomoce do realizacji tematu „Wiadomości praktyczne”.

Zegar: kartonowa tarcza zegarowa z zaznaczonymi godzinami w systemie 12- godzinnym i 24- godzinnym

Zegar tygodniowy: pomoc podobna do zwykłego zegara, wokół tarczy jest 7 punktów oznaczonymi liczbami od 0 do 6, odpowiadają one kolejnym dniom tygodnia. W środku tarczy zaczepiona jest wskazówka ,która możemy obracać i ustawiać tak, by wskazywała dany dzień

Modele termometrów: najprościej jest narysować termometr na kartonie, a osobno wyciąć niebieski pasek, który - odpowiednio przykładany- będzie symbolizował słupek rtęci

Papierowe pieniądze: kartonowe odpowiedniki banknotów i monet wykorzystywane przy obliczeniach pieniężnych.

8. SCHEMATY GRAFICZNE I ICH ROLA W NAUCZANIU MATEMATYKI

Schematy graficzne są pomocne dla dzieci w chwili, gdy mają przejść od myślenia konkretnego do myślenia abstrakcyjnego. Można powiedzieć, że jest to tzw. Etap pośredni, między tymi dwoma etapami. Reprezentacja graficzna jest pewnym uogólnieniem konkretnej sytuacji, krokiem naprzód w kierunku formalnej matematyzacji. Dodatkową zaletą takiego schematu jest to, że pozwala on uprościć sytuację, zapomnieć o informacjach nieistotnych dla danego problemu, a skoncentrować się na tym, co akurat jest istotne.

Przykład kroków od konkretu do abstrakcji

Etap I- przed uczniem stoją dwa talerze, na jednym 3 ciastka, na drugim 4.

Etap II- zamiast prawdziwych ciastek mamy rysunek talerzy z ciastkami.

Etap III- ciastka SA reprezentowane przez kropki, talerze przez pętle.

Etap IV- formuła matematyczna 3+4=7

Reprezentacje graficzne są przydatne, gdy jakaś sytuacja opisana werbalnie np. zadanie tekstowe, okaże się zbyt trudna dla dziecka. Stosowanie schematów graficznych ma ogromne znaczenie w nauczaniu początkowym i nie tylko. Uczniowie, których nauczymy stosowania tych schematów w klasach początkowych, będą je stosować z powodzeniem i później, będą, więc myśleć i działać sprawniej i skuteczniej.

Jednym z przykładów schematów graficznych są tabele.

Jest to szeroko rozpowszechniony sposób przedstawiania rozmaitych danych. Tabele pozwalają niejednokrotnie uprościć znacznie sytuację i przedstawić w sposób bardziej przydatny to, co jest akurat istotne. Np. tabela z klasyfikacją ocen, tabelą jest też plan lekcji ucznia, tabliczka mnożenia jest tabelą przedstawiającą wyniki mnożenia w sposób bardziej przejrzysty.

Kolejnym typem schematu graficznego jest drzewo.

Rysując takie drzewo należy zwracać uwagę na to, ile gałęzi mają poszczególne rozwidlenia, natomiast kształt nie jest istotny, np. schemat hierarchii służbowej ma postać drzewa- na szczycie dyrektor, potem kierownicy wyższych działów i kierownicy niższych działów. Drzewa mogą służyć do klasyfikacji elementów dowolnego zbioru oraz w arytmetyce przy ustalaniu kolejności wykonywania działań.

Przykłady stosowania schematów graficznych

Jeśli mamy np. takie zadanie: „ Kuba, Wojtek, Jurek, Tomek i Stefan idą razem na wycieczkę. Stefan, Kuba i Tomek mają wędki. Wojtek, Tomek, Stefan, Jurek mają plecaki. Kuba i Tomek mają latarki.” Aby odp. Np. na pytanie „ Ilu chłopców ma latarkę i wędkę?”, trzeba sytuację w zadaniu przedstawić bardziej poglądowo, można to zrobić różnymi symbolami, np.za pomocą pętli. Rysujemy 5 kropek oznaczających chłopców i stawiamy przy kropkach imiona chłopców. Następnie bierzemy w pętlę zbiór tych chłopców, którzy mają latarki i można odczytać z rysunku, którzy chłopcy są w pętli i poza nią , tzn., że ci chłopcy mają i wędkę i latarkę .

Tą sytuację można przedstawić jeszcze za pomocą strzałek. Strzałki wskazują, który z chłopców ma wędkę a który latarkę. Z rysunku wyjdzie, że od 2 chłopców tzn. od Kuby i Tomka wychodzą strzałki i do wędki i do latarki, a więc oni mają obie te rzeczy.

Jeszcze inaczej możemy przedstawić tę samą sytuację w tabelce.

Imiona chłopców	Wędka	Latarka
			Kuba	X	X
			Jurek
			Wojtek
			Tomek	X	X
			Stefan	X

X-krzyżykami zaznaczono, który z chłopców ma wędkę a który latarkę. Widać od razu, który ma oba przedmioty.

Innym przykładem schematów graficznych jest graf i oś liczbowa. Są one przydatne przy rozwiązywaniu zadań rachunkowych. Oś liczbowa jest bardziej poglądowa i w początkowym okresie jest wygodniejsza: dziecko może na niej porównywać liczby, widzi, która jest mniejsza a która większa, jaka jest odległość między nimi itp. Ale czasem te szczegóły przeszkadzają, kiedy chcemy zwrócić uwagę na coś innego-wtedy właśnie graf jest wygodniejszy.

Stosowanie osi jest szczególnie niewygodne w następujących przypadkach:

1.Gdy są duże różnice między liczbami i nie można dobrać jednostki na osi np. 1+4+45+50+100+300

2. Gdy przedstawienie danych działań na osi jest zbyt zagmatwane, z powodu zbyt dużej liczby strzałek.

3. Gdy musimy powtarzać liczby, np. powtarza się kilka razy liczba 5-strzałki musiałyby wracać do tego samego punktu, co zagmatwałoby rysunek.

Należy pamiętać, że żaden, nawet najlepszy środek dydaktyczny nie powinien być stosowany zbyt długo. Należy w rozsądny sposób zmieniać stosowane środki poglądowe. Dotyczy to w szczególności schematów graficznych. Nauczyciel powinien być świadomy, co jest analogiczne w poszczególnych schematach a co różne, co jest matematycznie istotne, a co drugorzędne, co się zyskuje na zastąpieniu jednego schematu prze drugi, a co się traci.

9. OMÓW WIELOASPEKTOWOŚĆ POJĘCIA LICZBY NATURALNEJ

1.Aspekt kardynalny

Liczba kardynalna określa ile elementów ma dany zbiór. Mówiąc np. „trzy psy” mamy na myśli pewien zbiór psów i stwierdzamy że ma on trzy elementy. Liczbom kardynalnym odpowiadają zwykle liczebniki główne.

2.Aspekt porządkowy

Liczba porządkowa określa który z kolei element danego zbioru właśnie rozpatrujemy. Mówiąc np. „trzeci pies” mamy na myśli psa, który jest trzeci z kolei w pewnym zbiorze o ustalonej kolejności elementów. Liczbom porządkowym odpowiadają liczebniki porządkowe.

3.Aspekt miarowy

Jest najtrudniejszym z trzech podstawowych aspektów liczby naturalnej. Przy pomiarach wielkości ciągłych pojawiają się, bowiem trzy obiektywne trudności pojęciowe.

-pomiar jest zawsze tylko przybliżony. Gdy mamy np. czworo dzieci liczba dzieci jest równa dokładnie 4, gdy natomiast mamy 4 litry wody, 4 metry sznurka itp. Liczba 4 nie jest wartością absolutnie dokładną i może być określana tylko w granicach błędu pomiaru.

-wynik pomiaru może nie być liczbą całkowitą, może być ułamkiem a w obliczeniach teoretycznych nawet liczbą niewymierną, np. promień koła o obwodzie 1 lub przekątna kwadratu o boku 1.

-wynik pomiaru zależy od wyboru jednostki, przy zmianie jednostki zmienia się wartość liczbowa wyniku, choć wielkość mierzona jest ta sama. Aby przygotować dzieci do prawidłowego rozumienia faktów z punktów powyższych warto używać w klasie przy mierzeniu zwrotów typu: „prawie cztery”, „cztery i jeszcze trochę”. Mierząc różne przedmioty uczniowie powinni czasem powtarzać pomiar ze zmianą jednostki, aby mogli uzmysłowić sobie zależność wyniku od jej wyboru. Mogą np. mierzyć wymiary zeszytu używając różnych klocków z zestawu Cuisenaire'a, a obok uzyskanego wyniku zaznaczyć, jakim klockiem mierzyli.

4.Aspekt kodowy

Gdy zapiszemy liczbę w systemie pozycyjnym można mówić o aspekcie kodowym. Kodem nazywamy każdą regułę umożliwiającą rejestrowanie lub przekazywanie informacji za pomocą znaków lub sygnałów, np. kod pocztowy.

5.Liczba jako wartość

Najbardziej powszechnym przykładem takiego użycia liczby są pieniądze. Jest to określenie pewnej wartości w ustalonym systemie monetarnym, np. moneta pięciozłotowa ma wartość pięciu złotówek, ale nie znaczy to ,że jest ona np. 5 razy większa lub 5 razy cieńsza od monety jednozłotowej , ma natomiast zgodnie z przyjętą umową , pięciokrotnie wyższą siłę nabywczą.

6.Liczba a cyfry

Liczba jest pojęciem abstrakcyjnym określającym pewną ilość lub wielkość. Cyfry są znakami graficznymi służącymi do zapisywania liczb. Liczb jest nieskończenie wiele. Cyfr w powszechnie stosowanym systemie dziesiątkowym jest tylko dziesięć. Liczby odpowiadają słowom a cyfry literom.

10. WYKORZYSTANIE „KOLOROWYCH LICZB” W NAUCZANIU POCZĄTKOWYM MATEMATYKI.

Metoda liczby w kolorach została opracowana przez nauczyciela-praktyka G. Cuisenairea oraz pracownika naukowego C. Gattego. Jej nazwa pochodzi od zbioru kolorowych klocków o przekroju 1cm 2 i długości od 1 cm do 10 cm. Metoda Cuisenairea ma związek z poglądami dydaktyki tradycyjnej. Autor podkreśla, że spostrzeżenia są punktem wyjściowym procesu nauczania, umożliwiają one dziecku kojarzenie kolorów poszczególnych klocków oraz odpowiadających im długości.

Te spostrzeżenia nie mają charakteru statycznego, ponieważ są ściśle związane z działaniem zewnętrzno-przedmiotowym. Metoda ta łączy w jednym aspekcie myślowym trzy aspekty tego procesu: interioryzację, odwracalność i zdolność asocjacji. Umożliwiają one zrozumienie pojęcia liczby, pozwalając dziecku na dowolne przekształcenie jego własnych

wyobrażeń liczby w trakcie wykonywanych operacji.

1.W zbiorze liczb w kolorach dziecko odkrywa najpierw relację równoważnościową: klocki takiego samego koloru są jednakowej długości i na odwrót, klocki tej samej długości mają jednakowy kolor. Każdy klocek reprezentuje jedną rodzinę klocków, które są tego samego koloru i tej samej długości.

2.Druga cechą materiału jest liczba klocków tego samego koloru i tej samej długości .

3.Kolejnym etapem prac z zastosowaniem liczb w kolorach jest wprowadzenie operacji składania podstawami dwóch klocków i wyszukiwania klocka, którego długość równa się sumie długości klocków składowych. Dzieci wykonują to zadanie w czasie zabawy w kolorowy pociąg. Nie znając jeszcze liczb, uświadamiają sobie przemienność i łączność tego działania, jego związek z mniejszością w zbiorze klocków. W trakcie wyszukiwania brakującego składnika, a mając daną sumę i drugi składnik, poznają działania odwrotne.

-opanowane przez uczniów czynności praktyczne stanowią doskonałą podstawę do wprowadzania pojęcia liczby naturalnej i działań w tym zbiorze. Punktem wyjścia jest zabawa w kolorowe schody. Dzieci wybierają po jednym klocku z każdego koloru, a następnie porządkują je w kolejności od najmniejszego do największego.

-dalszy ciąg tej zabawy to wchodzenie i schodzenie po stopniach z równoczesnym wymienianiem nazw kolorów poszczególnych stopni. Następnie uczniowie wymieniają numery kolejnych stopni od 1 do 10, od 10 do 1 , z dowolnego miejsca w porządku rosnącym lub malejącym, np. 5,6,7,8,9,10 lub 5,4,3,2,1

-kolejnym ćwiczeniem jest wyszukiwanie stopnia schodów odpowiadającego danemu numerowi, np. piątego, siódmego, trzeciego. Jaki numer ma schodek niebieski, zielony? Podczas kolejnych ćwiczeń uczniowie stwierdzają, że piąty stopień schodów jest koloru żółtego i jest tak długi jak 5 białych, czyli 1+1+1+1+1=5

-umiejętności rozkładu liczb na składniki opanowują uczniowie w trakcie zabawy w kolorowe dywany. Wybierają najpierw dowolny klocek a następnie układają paski tej samej długości z dwóch lub większej liczby klocków.

4.Etapie wprowadza się pisemne symbole matematyczne: cyfry 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, znaki działań arytmetycznych „+”, „-`' oraz symbole równości = i mniejszości i większości.

11. MONOGRAFIA LICZB PIERWSZEJ DZIESIĄTKI (NP. LICZBY 5)

Treść zagadnienia	Przykład realizacji
		1. Powstanie danej liczby przez powiększenie poznanej wcześnije liczby o 1. Doliczanie i odliczanie jedności	- Ćw. w zakresie od 1 do 4 - pyt. jak powstaje liczba 5 - stwórz zbiór 4 patyczków - dołóż 1 patyk. Ile jest ich teraz? - zad. pokazane na tablicy lub w ławkach poprzez DOKŁADANIE
		2. Wyodrębnienie zbiorów o określonej liczbie elementów. Dostrzeganie liczby jako wspólnej cechy zbiorów równolicznych, określających moc zbioru. L. w aspekcie kardynalnym.	- wyszukiwanie w klasie zbiorów 5 - element. - czego w klasie jest5 ? - rozsypane element. poukładaj do pętelek po 5 do każdej
		3. Określenie ile razy w rozpoznanej wielkości mieści się wielkość jednostkowa. Mierzenie wielkości ciągłych. Liczba w aspekcie miarowym	- wymierzanie 1 paska za pomocą mniejszych paseczków - pod żółtym paskiem ułóż tylko tyle klocków białych by powstały dwa równe - Żółty pasek to le białych kwadracików - N-l pokazuje na tablicy - wymierza pasek żółty za pomocą białych
		4. Określenie miejsca liczby w ciągu liczbowym, jej związku z liczbami sąsiednimi i poznawanie własności porządku w zbiorze liczb naturalnych. L. w ASP. porządkowym	- Ułóż schodki do 5 - Jakiego koloru jest klocek 3? 5? - Czerwony klocek to który z kolei? - Można zmienić kierunek liczenia - chodzenie po schodach do góry i w dół
		5. Pisanie cyfr jako znaków graficznych danej liczby. Pokaz sposobu pisania i rozmieszczania poszczególnych elem. cyfr w kratkach oraz ćw. w tym zakresie.	- Nauka pisania liczby 5 - pokaz kratek, poprawny zapis na tablicy
		6. Rozkład liczby na 2 lub dowolną liczbę składników. Skład liczby i jej stosunki ilościowe - l. w zakresie algebraicznym	- dywanik z kolorowych liczb - dodawania jeszcze nie można stosować, używamy „i” jako określenie sumy. 2 i 3. to 5.
		7. Zastosowanie liczby w praktyce - życiu , oraz rozw. zadań tekstowych	- ręka ma 5 palców - w każdym rzędzie jest po 5 ławek itp..

12. ETAPY NAUKI PISANIA CYFR I FORMUŁ MATEMATYCZNYCH.

Pisanie cyfry jako znaku graficznego danej liczby

• Demonstracja cyfry i analiza jej kształtu.

• Pokaz sposobu pisania cyfry przez nauczyciela na tablicy z uwzględnieniem miejsca rozpoczęcia kreślenia cyfry oraz kierunku kreślenia, prawidłowego rozmieszczenia poszczególnych elementów cyfr w kratkach.:

• Bez kratek

• W kratkach

• Ćwiczenia w pisaniu bezśladowym - palcem w powietrzu, na blacie ławki

• Ćwiczenia w pisaniu flamastrem po śladzie (na kartce z wzorem cyfry włożonej do torebki foliowej formatu A4):

• Pisanie bez kratek cyfr dużego formatu

• Pisanie w kratkach powiększonych

• Pisanie w kratkach formatu znormalizowanego

• Ćwiczenia w pisaniu na folii flamastrem bez wzoru:

1. Pisanie bez kratekS

2. Pisanie w kratkach(na kartce włożonej do torebki foliowej)

Pisaniu cyfry w zeszycie ćwiczeń po śladach i bez śladów

Pisanie w zeszycie.

13. MONOGRAFICZNE OPRACOWANIE LICZB 2 DZIESIĄTKI.

Monograficzne opracowanie liczb od 0 - 10 różni się od liczb 11- 20:

Różnice:

- wzorzec pisma jest mniejszy - uczniowie bowiem znają już wszystkie cyfry

- do przedst.. liczb wykorzystuje się palce i kropki na kostkach

- natomiast w miejsce wielu konkretów ilustrujących różnorodne rozkłady danej liczby na składniki teraz przy każdej l. pojawia się 1 rysunek z wyraźnie wyodrębnioną 10tką np. 10 tulipanów żółtych i 2 czerwone.

- ważne jest że 11 to 10 i 1, 12 to 10 i 2 - N-l pokazuje, jak zapisuje się cyframi te liczby, musi pamiętać także o starannym wymawianiu liczebników przez uczniów

- przy każdej liczbie zapisujemy odpowiednie dodawanie do 10. np. 10+2=12, a także działanie odwrotne 12-2=10. Ważne jest, aby uczniowie objaśnili sens działań posługując się konkretem na rysunku

14. POJĘCIE DZEISIĄTKOWEGO UKŁADU POZYCYJNEGO I JEGO KSZTAŁTOWANIE W KLASACH I - III.

1. Poznawanie systemu dziesiątkowego wiąże się z rozszerzaniem zakresu liczbowego. Przy wprowadzaniu liczb drugiej dziesiątki wyraźnie wyodrębniamy liczbę 10.

17 = 10 + 7

2. Uczniowie powinni wskazywać która cyfra odnosi się do dziesiątek, a która do jedności (należy zwrócić uwagę na odróżnienie liczb np. 34 od 43).

3. Należy używać określeń: miejsce jedności, miejsce dziesiątek, rząd jedności, rząd dziesiątek (unikać określeń miejsce pierwsze, rząd pierwszy!!)

Przy liczeniu rzędów , liczymy od prawej do lewej (rozpoczynając od rzędu jedności).Wzorem Jeleńskiej można używać określeń typu: na pierwszym miejscu licząc od prawej ręki ku lewej.

W klasie I do rozumienia przez dzieci systemu dziesiątkowego należy stosować takie czynności jak:

• Wiązanie patyczków w dziesiątki

• Rozkładanie guzików do pudełek po 10

• Budowanie pociągów z liczb w kolorach odpowiadającym rozkładom typu:

10 + 10 + 10 + 10 + 6

W klasie II i III po rozszerzeniu zakresu liczbowego (od tysiąca do miliona) na zajęciach mówimy już o rzędach jedności, dziesiątek, , wyjaśniając zasady zapisu liczb w systemie dziesiątkowym. Po wprowadzeniu nowych liczb wykonujemy na tych liczbach tylko te działania, które pogłębiają zrozumienie zapisu dziesiątkowego, są to:

- Numeracyjne przypadki dodawania

400 + 25 = 425

721 = 700 + 20 + 1

- Numeracyjne przypadki odejmowania

216 - 16 = 200

348 - 8 = 340

- Dodawanie i odejmowanie pełnymi dziesiątkami, setkami..

20 + 50 = 70

500 - 300 = 200

- Mnożenie pełnych dziesiątek, setek przez liczby jednocyfrowe

4 ∙ 100 = 400

- Przedstawienie liczb w postaci

427 = 4 ∙ 100 + 2 ∙ 10 + 7

15. ROZSZERZANIE ZAKRESÓW LICZBOWYCH W KLASACH I - III.

W długoletnim procesie kształtowanie pojęcia liczby naturalnej można wyróżnić z jednej strony stopniowe pogłębianie rozumowania niedużych liczb w trzech aspektach: kardynalnym, miarowym i porządkowym, a z drugiej stopniowe rozszerzenie zakresu liczbowego.

W ramach tematu „rozszerzenie zakresu liczbowego” nauczyciel powinien uwzględnić następujące zagadnienia:

*Kształtowanie rozumienia liczb w nowym zakresie, a w szczególności tego, które z nich są większe, a które mniejsze

*Ćwiczenie poprawnego wymawiania i pisania liczebników.

*Zapisywanie liczb za pomocą cyfr i związek zapisu pozycyjnego z numeracyjnymi przypadkami dodawania i odejmowania.

*Miejsce nowo poznanych liczb na osi liczbowej.

*Stopniowe zaznajamianie dzieci z dziesiątkowym systemem pozycyjnym.

Zgodnie z obecnym programem nauczania rozszerzenie zakresu liczbowego następuje pod koniec każdej klasy:

1. Pod koniec klasy I do 100

2. Pod koniec klasy II do 1000

3. Pod koniec klasy III do miliona.

Natomiast ćwiczenie techniki rachunkowej rozszerzonym zakresie przypada każdorazowo na klasę następną. Podane powyżej zakresy liczbowe należy zawsze nieco przekraczać np. zapoznanie dzieci z liczbami drugiej dziesiątki nie powinno Kończyc się na liczbie 20, należy zachęcać uczniów do wymienienia kilku dalszych liczb. Chodzi o to, aby nie stwarzać sztucznych ograniczeń i pobudzać wyobraźnię dziecka.

Przekraczanie danego zakresu ma też znaczenie dla kształtowania rozumienia, że liczb naturalnych jest nieskończenie wiele, że dla każdej liczby można znaleźć liczbę od niej większą.

Rozszerzenie zakresu liczbowego do 100 następuje w chwili, gdy uczeń zna już liczby w zakresie 20 oraz nauczył się w tym zakresie dodawania i odejmowania. Dzieci na tym etapie jeszcze nie znają systemu dziesiątkowego a muszą już jednak w jakimś stopniu nim się posługiwać. W bezpośredni, spontaniczny sposób dziecko może ogarnąć liczebności nie przekraczające tuzina, przez bezpośrednie przeliczanie na konkretach może sprawdzić obliczenia w obrębie 20. Działania arytmetyczne są to rachunki dające się trudniej symulować za pomocą klocków. Z tego powodu ważne jest poprawne zrozumienie przez ucznia zapisu liczby dwucyfrowej.

Rozszerzanie zakresu liczbowego nierozłącznie wiąże się ze stopniowym poznawaniem systemu dziesiątkowego. Już przy wprowadzaniu liczb drugiej dziesiątki wyraźnie wyodrębniamy liczbę 10  np. 17 = 10 + 7

Ucząc się o liczbach dwucyfrowych uczniowie powinni wyraźnie wskazać która cyfra odnosi się do dziesiątek, a która do jedności. Celowe jest używanie określeń „miejsce dziesiątek”, „rząd jedności, rząd dziesiątek”.

W klasie I po rozszerzeniu zakresu liczbowego do 100, czynności takie jak wiązanie patyczków w dziesiątki, rozkładanie guzików do pudełek po 10, budowanie „pociągów” z liczb w kolorach odpowiadających rozkładom typu 10 + 10 + 10 + 10 + 6 służą przygotowaniu dziecka do rozumienia systemu dziesiątkowego.

Innym ważnym środkiem ułatwiającym rozszerzenie zakresu liczbowego jest oś liczbowa. Oś liczbowa jest przydatna dla zrozumienia relacji mniejszości w zbiorze liczb. Daje też pewną skalę porównawczą przy zestawieniu liczb pierwszej setki z liczbami pierwszego tysiąca.

Naturalnym modelem osi liczbowej w zakresie 100 jest metrowej długości linijka centymetrowa. Przy zapoznawaniu się z liczbami w zakresie 1000 warto sporządzić 10 metrowy model osi i powiesić go na korytarzu. Pozwoli to dzieciom poznać poglądowo liczby do 1000 i zapamiętać wzrokowo jak długi jest odcinek 10 m. Celowe są ćwiczenia przy których uczniowie zaznaczają pewne tylko liczby i objaśniają dlaczego dane liczby są akurat we wskazanych miejscach (np. tłumacząc, że 250 leży w środku pomiędzy 200 a 300). Dla pogłębienia rozumienia osi warto poprosić uczniów o dodatkowe wyjaśnienia gdzie leży liczba 1 itp. ( liczba 1 leży koło zera, tak blisko że nie da się narysować).

Przy rozszerzeniu zakresu liczbowego do 1000 warto jest wrócić do osi i spytać uczniów gdzie leżą liczby większe od 1000. błędem jest niezachowanie skali i umieszczenie np. 2000 tuż nad 1000. próby sprostowania błędu mają duże znaczenie kształcące.

Jak wygląda rozszerzenie zakresu liczbowego do miliona i kształtowanie dużych liczb?

Nauczyciel może zaproponować, by dzieci wymieniły jakieś liczby większe od 1000. następnie objaśnia że tysiąc tysięcy nazywa się milion. Dzieci zaznaczają na osi liczby do

10 000 dalej rysują oś w innej skali i zaznaczają liczby do 100 000. a na innej z kolei do miliona. Uczą się przy tym zapisywać i odczytywać wielokrotności tysiąca. Ważne jest by dzieci nauczyły się rozpoznawać w zapisie typu 40 000 która część odpowiada słowu czterdzieści a która słowu tysięcy. Powinny też pokazać na osi pół miliona i ćwierć miliona.

16. PRZEKRACZANIE PIERWSZEGO PROGU DZIESIĄTKOWEGO RÓŻNYMI SPOSOBAMI. KOLEJNE PROGI DZIESIĄTKOWE I PROGI NIE DZIESIĄTKOWE ORAZ SPOSÓB ICH PRZEKRACZANIA

Przed przystąpieniem do dodawania i odejmowania liczb naturalnych w zakresie 20 z przekroczeniem progu dziesiątkowego należy doprowadzić dzieci do zrozumienia działań, oraz zmechanizowania operacji rachunkowych w zakresie

pierwszej dziesiątki. Służą nam do tego tzw. ćwiczenia przygotowujące:

- dopełnianie do 10 i odejmowanie od 10 typu:

7 + 3, 8 + 2, 6 + 4, 10 - 4, 10 - 1,

- dodawanie i odejmowanie typu:

10 + 5, 14 - 4,

Po tego rodzaju ćwiczeniach można pokierować czynnościami uczniów na konkretach w celu pobudzenia ich do samodzielnego poszukiwania najlepszej, najbardziej racjonalnej metody dodawania i odejmowania z przekroczeniem progu dziesiątkowego. Ważne przy tego typu działaniach są środki dydaktyczne, na zajęciach można zatem wykorzystać np. liczmany, patyczki, oś liczbową, guziki, które wkładamy np. do pudełek, klocki Cuisenaire'a, tabliczki tekturowe z kołeczkami, drzewka. Brak działań na konkretach, oraz stosownie wyłącznie jednej metody przy przekraczaniu progu powoduje, że dzieci napotykają na trudności. Rozszerzanie zakresu liczbowego nierozerwalnie wiąże się ze stopniowym poznawaniem systemu dziesiątkowego. Poznając liczbę dwucyfrową uczeń powinien umieć pokazać, która cyfra odnosi się do dziesiątek, a która do jedności. W kl. I i kl. II uczniom przekazujemy różne sposoby przekraczania progu dziesiątkowego, mimo, że niektóre z nich będą przez nich zaniechane. Ważne jest, aby uczniowie każdorazowo rozumieli sens rachunków. Różnicowanie metod pozwala odkryć czy dzieci dobrze rozumieją zagadnienie.

METODY BEZPOŚREDNIE:

• przy użyciu liczmanów

• przy użyciu klocków Cuisenera

• przy użyciu osi liczbowej

POŚREDNIE ( KALKULACYJNE):

• m. z dopełnianiem do 10

• m. wydawania reszty

• m. z użyciem drugiego działania

• m. dodawania jednakowych składników

• m. równoważenia

• m. równoważenia

Pierwsza grupa metod to metody bezpośrednie - bez rozkładania danych na składniki. Dzieci mają do obliczenia działanie 5 + 7=. Można tu zastosować różnego typu metody z grupy bezpośrednich.

a) dobieranie konkretnych przedmiotów o odpowiednich liczebnościach

i łączenie ich w zbiór (liczmany, pętle).

Jest to sposób nudny, ale niezawodny, chociaż nie daje wskazówki jak oblicza takie sumy w pamięci.

b) Sumę 5 + 7 możemy szukać na osi liczbowej lub podziałce centymetrowej. Odliczamy 5 jednostek, doliczamy 7 i odczytujemy wynik 12.

Można bez odliczania na osi liczbowej zaznaczyć punkt odpowiadający liczbie 5 i wyruszając z tego punktu wykonać skok o długości 7 jednostek.

c) Sumę 5 + 7 możemy też przedstawić przy pomocy klocków Cuisenaire'a. Dzieci tworzą pociąg o długości 5 i 7 i sprawdzają jaka jest długość

np. przykładając do podziałki. Zamiast linijki uczniowie mogą ułożyć nad pociągiem odpowiednią ilość klocków jednostkowych i je policzyć.

Druga grupa metod to metody pośrednie zwane inaczej kalkulacyjnymi. Należą tutaj takie metody jak:

a) dopełnianie do 10

Można to przedstawić za pomocą liczmanów np. patyczków,

ale także na tekturowych tabliczkach dziesięcioma pustymi miejscami

Ważne jest, aby do ćwiczeń pierwszych z wykorzystaniem tej metody dobierać liczby nieparzyste. (gdy są parzyste dzieci najczęściej rozkładają na 2 równe części np. 8 = 4 + 4, 6 = 3 + 3). W podobny sposób odejmujemy. Od 12 - 2 do 10, następnie wiązkę z 10 patyczkami rozwiązujemy i odejmujemy jeszcze 3.

12 - 5 = (12 - 2 ) - 3 = 10 - 3 = 7

b) z użyciem drugiego działania

Ta metoda jest trudniejsza. Polega na przedstawieniu jednego ze składników (przy dodawaniu) lub odjemnika (przy odejmowaniu) w postaci różnicy tak, by pojawiła się w działaniu liczba 10 np.

9 przedstawiamy jako 10 - 1, 7 jako 10-3 itd.

6 + 9 = 6 + 10 - 1 = 16 - 1 = 15

7 + 9 = 7 + 10 - 1 = 17 - 1 = 16

15 - 9 = 15 - 10 + 1 = 5 + 1 = 6

c) metoda wydawania reszty

To metoda odejmowania przez dopełnianie. Ma walory kształcące, związana jest z pieniędzmi i działaniem praktycznym. Zwana jest inaczej metodą kasjerów.

np. ta metoda wygląda tak:

W sklepie biorę zakupy za 8 zł. Płacę 20 zł.

20 - 8 =

do 10 zł kasjer wydaje mi 2 zł i jeszcze 10 zł do 20 zł i mam razem

2 zł + 10 zł = 12 zł.

d) metoda dodawania jednakowych składników stosowana przy dodawaniu np.

7 + 6 = 6 + 1 + 6 = 6 + 6 + 1 = 12 + 1 = 13

7 + 8 = 7 + 7 + 1 = 14 + 1 = 15

e) metoda równoważenia ( stosujemy tylko wtedy gdy liczby różnią się od siebie o 2) polega ona na przełożeniu 1 np. patyczka od liczby większej do mniejszej np.

7 + 9 = 8 + 8 = 16

4 + 6 = 5 + 5 = 10

f) metoda dodawania ,,piątek” w której dziecko do liczenia używa palców.

6 + 5 = 5 + 1 +5 = 5 + 5 + 1 = 11

PROGI NIE - DZIESIĄTKOWE

Przekraczanie progu setkowego:

a) przy dodawaniu liczby jednocyfrowej np. 95 + 7 = 95+5+2=100+2=102

przy pierwszym spotkaniu z tym zagadnieniem dzieci powinny zilustrować przebieg obliczeń na osi liczbowej lub chodniczku liczbowym.

b) przekroczenie progu setkowego przy dodawaniu pełnych dziesiątek np. 80+50=80+20+30=100+30=130

takie obliczenie można zilustrować za pomocą umownych banknotów ( tu 13 dziesięciozłotówek)

c) 82 + 56= 80+50+ 2+6=130+8=138

d) podwójne przekraczanie progu setkowego- przy dodawaniu jedności przekracza się próg dziesiątkowy i jednocześnie przy dodawaniu dziesiątek przekracza się próg setkowy np.

73+58=70+50+3+8=120+11=131 lub

73+58= 73+50+8=123+8=131 lub

73+58=73+8+50=81+50=131

Przy liczbach bliskich 100 można zastosować odejmowanie np

47+96=47+100-4=147-4=143

e) łańcuchowe przekraczanie progów np.

148+255=140+250+8+5=390+13=390+10+3=403

Próg dwunastkowy:

Przy obliczeniach typu samochód wyjechał o 7 rano i jechał 8 h. o której przyjechał na miejsce? Początkowo konieczne jest obrazowanie zadania na tarczy zegara. Ruch wskazówek od 7 do 12 i od 12 do 3, wykonać obliczenie 7+8=15 i wyjaśnić że godz.15 to 3 po południu.

Próg sześćdziesiątkowy:

Też należy pokazać za pomocą zegara. Np. ile czasu upływa od godz. 4.17 do 6.15? przesuwamy wskazówkę od 4.17 do 5.00(43 min) i 5.00 do 6.00 (60 min.)oraz od 6.00 do 6.15. (15 min.)można to przedstawić na grafie. Teraz wystarczy dodać te liczby 43+60+15

Tu możemy posłużyć się różnego rodzaju rozkładami jazdy.

Próg tygodniowy:

Przy obliczeniach typu dzisiaj jest środa, Ala obliczyła że do jej urodzin zostało jeszcze 10 dni. W jakim dniu tygodnia będą urodziny Ali? Tutaj będzie przydatny zegar tygodniowy . wskazówkę zegara ustawiamy na środę. Do drugiej środy jest 7 dni i jeszcze 3 dni, to będzie sobota. 10=7+3

Próg miesięczny:

Zagadnienia obliczeń od…do…można podzielić na 3 grupy.

1. dany jest dzień początkowy i odstęp czasu, znaleźć dzień końcowy.

2. dany jest dzień pocz. i końc., znaleźć odstęp czasu.

3. dany odstęp czasu i dzień końcowy, znaleźć dzień początkowy.np

Dziś jest wtorek 11 października. W jakie dni października wypadają pozostałe wtorki?

18(pozostałe dni miesiąca):7 (tyle dni ma tydzień)=2(liczba tygodni) reszty 4

Odp. Wtorek wystąpi jeszcze 2 razy 11+4=18 października i 18+7= 25 października.

17. KSZTAŁTOWANIE POJĘCIA SUMY I RÓŻNICY LICZB NATURALNYCH

WŁASNOŚCI DODAWANIA I ODEJMOWANIA

Przemienność dodawania

Prawo przemienności dodawania mówi o tym, że dodawanie liczb możemy wykonywać w dowolnej kolejności, wynik dodawania nie zależy od kolejności składników. Wartość sumy nie zależy od kolejności dodawanych składników. Można to zapisać: a+b=b-a.

W aspekcie miarowym (na klockach) dla dziecka zrozumiałe jest że 7+2 to tyle samo co 2+7. Wystarczy, że inaczej ułożymy klocki.

W aspekcie porządkowym dziecko dolicza do 7: jeden, dwa…(7+2) w odwrotnej kolejności dolicza do 2: jeden, dwa, 3,4,5,6,7 (2+7). Nie widzi od razu, że wynik będzie taki sam. Podobnie na osi może zacząć od 2 i doliczać do 7 lub odwrotnie.

Przemienność dodawania w praktyce

Układając dywaniki dziecko zauważa, że układając szlaczek 8, z klocków 3 i 5 odwracając kolejność mogą ułożyć drugą parę klocków 5 i 3. Najpierw pojawi się to w praktyce później w działaniach na liczbach. Zamiana kolejności składników pomoże znaleźć wszystkie możliwości rozkładu liczby na składniki.

- Gra: Połączyć w pary sumy jednakowe: 5+1 i 4+2 lub 5+11 i 1+5 kto szybciej.

- Tabelki:

a	b	a+b	b+a
				2	7
				5		8
					3		12
				0			17

- Kule: dzieci wysypują białe i czarne kule do pudełek nie wiedzą ile jest białych ile jest czarnych ale wynik taki sam.

- Kwadraty magiczne: Dzieci zauważają, że po przekątnej i po przeciwległych stronach wyniki powtarzają się. Lub kwadrat magiczny, gdzie wszędzie są takie same wyniki.

Łączności dodawania (a+b)+c = a + (b+c)

Przy rozszerzaniu zakresu do 20 dajemy dzieciom zadanie: Oblicz sumę 3+(2+8).

3+2+8= 3+(2+8)= 3+10=13.

Pomocne będą drzewka, które sugerują jakie obliczenia wykonywać po kolei.

Łączność- własność ta mówi, że dowolną gr. Składników zapisanych obok siebie możemy zastąpić ich sumą, a wynik dodawania nie ulegnie zmianie.

PRAKTYKA- woreczki z kasztanami. Najpierw zsypuje z zielonego i z czerwonego woreczka potem dosypuje z żółtego. Inne dziecko najpierw zsypuje z żółtego i z czerwonego potem z zielonego. Wówczas dzieci rozumieją, że kasztanów jest tyle samo i nie zależy to od tego, które kasztany razem zsypujemy.

Dwukrotne odejmowanie. (a-b)-c = a-(b+c)

Odejmowanie nie posiada właściwości łączności. Można odwołać się do osi liczbowej.

Ogólnie a-b-c=(a-b)-c=a-(b+c).

Należy zacząć od wyraźnego zaznaczania kolejności odejmowania za pomocą nawiasów lub drzewek. Następnie stopniowo rezygnuje się się z drzewek i nawiasów pozostawiając dzieciom wybór sposobu postępowania.

Dziecko powinno również umieć obliczyć: (16-6)-2 lub 13-6 zapisać jako (13-3)-3

• Praktyczne stosowanie przemienności i łączności dodawania.

Dziecko powinno wiedzieć, że stosując te właściwości może uprościć sobie skomplikowane rachunki, np. 7+8+3 może zapisać: 7+8+3=7+3+8=10+8=18 lub 7+8+3=8+(7+3)=8+10

Zastosowano przemienność i łączność dodawania równocześnie.

ZWIĄZEK NIERÓWNOŚCI Z DODAWANIEM I ODEJMOWANIEM

Porównywanie liczebności zbiorów,a pojęcie złączenia zbiorów

Sytuacje dydaktyczne:

- rysunek grzybki i koszyczki. Podporządkowanie 1 grzybek do 1 koszyczka. Grzybków jest więcej niż koszyczkowego to widzą bez przeliczania.

- ciastka: po 1. ciastku na talerzyk (połączone liniami)

Łączenie w pary czyli przyporządkowanie elementom jednego zbioru elementów drugiego zbioru pozwala stwierdzić bez przeliczania czego jest więcej a czego mniej. Można urozmaicić zadanie dając klocki do manipulacji, by dzieci praktycznie sprawdziły swoje stwierdzenia..

Matematyczna treść aktywności dzieci:

Elementom mat. Aktywności dzieci:

4. ujęcie dwóch zbiorów A i B jako danych,

5. łączenie w pary, przyporządkowanie,

6. stwierdzenie, że zbiór A posiada 2 podzbiory których jeden jest równoliczny ze zbiorem B ( w zbiorze B jest mniej elem.)

7. jest drugi z podzbiorów zbioru A jest pusty tzn., że A i B są równoliczne

Ważne jest to że dzieci określają „mniej”, „więcej”, „tyle samo”, bez przeliczania ale przez „łączenie w pary”, przyporządkowanie.

Mniejszość, suma i różnica w zbiorze liczb naturalnych-podstwowe związki.

Sytuacje dydaktyczne:

Możemy sprowokować dzieci do WNIOSKOWANIA SPONTANICZNEGO z wyraźną świadomością sensu słowa „więc”. Dzieci dostają szablony z wyciętymi polami na wpisanie znaków liczb. Nauczycielka daje informacje o „ukrytej liczbie”-przyczepia „+” i liczbę u góry z prawej strony „3” i dzieci odgadują jaki wpisać znak w pole(…) Dzięki zabawie dzieci uświadomiły sobie, że w sytuacji jak na rysunku można być pewnym, że liczba z prawej strony jest większa od liczby z lewej strony lb ze są równe, a więc liczba z prawej str nie może być mniejsza od liczby z lewej strony.

Matematyczna treść aktywności dzieci:

Rozumowanie dzieci:

• Ponieważ, wiec, że b jest sumą a i liczby 3, więc na pewno a<b

Odwołanie do matematyki TW.1

- Jeżeli a, b N to a+b a, i a+b b

- Jeżeli a,b N i a<b to istnieje taka liczba c N, c>0 taka, że a+c=b

Z tego wynika, że a>b

• Wiem, że b otrzymam odejmując od liczby a liczbę 3, więc na pewno a>b

TW.2 Jeżeli a, b N to a<b gdy istnieje liczba c N c>0 i taka ze a+c=b

• Wiem, że b jest > od liczby a to na pewno aby otrzymać b, trzeba do a dodać jakąś liczbę.

TW. Jeżeli a,b N to a<b gdy istnieje c N c>0 że b-c=a

• Wiem, że liczbę b można otrzymać przez dodanie do liczby a jakiejś liczby więc b>a

Tw. 4 Jeżeli a,b N to a<b gdy b-a jest liczbą większą od zera.

Było to rozumowanie typu inferencyjnego: Wiem to, a więc jestem pewny i tego.

Nierówność między sumami (różnicami)

Sytuacje dydaktyczne:

Dziecko rozumuje 6<8, 6+2<8+2, 8<10 następnie zostaje sformułowane twierdzenie o treści. Jeżeli a<b to a+c<b+c

Postępowanie dydaktyczne polega tu na podstawianiu wartości na a,b,c, obliczaniu sum a+b, b+c oraz stwierdzeniu która z nich jest większa z wyjaśnieniem sugerowanym pytaniem „dlaczego”?. Dziecko może wyjaśnić: otrzymałem a+c<b+c bo wybrałem a<b lub po prostu porównać otrzymane sumy a+c=8 i b+c=10 bo 8<10.

Matematyczna treść aktywności dzieci:

Rozumowanie dzieci możemy uogólnić twierdzeniami:

TW.5 Jeżeli a,b,c są liczbami naturalnymi i a<b to a+b<b+c

TW.6 Jeżeli a, b, c N i a<b i c b to c-a>c-b

TW.7 Jeżeli a,b,c N a<b i c b to c-a>c-b

TW.8 Jeżeli a,b,c N i c>a to c+b>b-a

TW.9 Jeżeli a,b,c N a<b i c d to a+c b+d

Uwagi metodyczne:

W klasach początkowych należy rozwijać intuicyjne i operatywne rozumienie związków między pojęciami sumy, różnicy mniejszości liczb.

KSZTAŁTOWANIE POJĘCIA SUMY I RÓŻNICY LICZB NATURALNYCH.

W dziecku należy kształtować potrzebę rozumienia tego, co robi, postawę krytyczną, która nie dopuszcza przyjęcia i bezmyślnego wykonywania niezrozumiałej instrukcji.

Nauczyciel powinien przede wszystkim kształtować pojęcia sumy i dopiero na nim oprzeć naukę praktycznego dodawania.

Określenie dodawania liczb za pomocą zbiorów

We wszystkich sytuacjach wyróżnić można 2 typy sytuacji dających się opisać za pomocą liczby i operacji prowadzących do tej liczby:

- zbiór i leczenie jego elementów

- wielkość i mnożenie

Będziemy dążyć do powiązania przez dzieci dodawania liczb z dodawaniem zbiorów (a. mnogościowy) i z dod. Wielkości (a. miarowy)

Mnogościowy aspekt dodawania - zbroi klocków trójkątów, zbiór klocków czerwonych oraz złączenie tych dwóch zbiorowo. Suma elementów nie jest równą liczbie należącej do złączenia zbiorów.

Suma liczb a b jest liczbą elementów zbioru otrzymanego w nast. Sposób:

Bierzemy zbiory A i B rozłączne i takie, że zbiór A skalda się z a elementów , zbiór zaś B -b.

Następnie łączymy te zbiory. Liczba elem. Złączenia zbiorów A i B jest właśnie suma a i b.

Przy operacji dodawania trzeba wcześniej ustalić liczbę zero. Lepiej żeby dzieci na konkretnych przykładach odkryły, że dodawanie zera nie zmienia liczby.

Określanie dodawania za pomocą wielkości - aspekt miarowy dodawania - klocki z zestawu kolorowe liczby, układanie pociągu - koniec do końca i wymierzanej długości za pomocą jednostkowej kostki

Aby dodać a,b będziemy znajdować 2 słupki o dł a,b. Łączymy je końcami, wreszcie mierzymy otrzymany słupek.

- dł. Jest dzieciom znana, łatwiej tę wielkość niż inne oceniać na oko

- w ujęciu geometrycznym dodawanie liczb jako długości odcinków odpowiada dodawaniu odcinków `'koniec do końca''. Można te operacje przedstawić na rysunku osi liczbowej - przejście od arytmetyki do geometrii. Każde posunięcie wzdłuż osi liczbowej to wektor.

Określanie dodawania liczb za pomocą numerowania - aspekt porządkowy dodawania

spotykamy się z nim gdy kolejnymi numerami oznaczamy elementy zbioru. Numerowanie jest związane z przeliczaniem zbioru i służy przede wszystkim znalezieniu liczby jego elementów.

Ostatni przyporządkowany liczebnik określa zarazem liczbę elementów zbioru.

Symboliczny aspekt dodawania (rola znaku równości) - dotychczas w nauczaniu posługiwano się wyłącznie schematem 5+8=13, Powodowało to:

- utrwalenie błędnego poczucia asymetrii równości

- przyzwyczajanie się do posługiwania się zawsze znakiem = jako symbolem wskazującym wynik wykonywanej operacji

Znak = jest symbolem identyczności A=B A jest tym samy co B.

5+8=13 jest to samo 13=5+8. Świadomość równoważności tych wyrażeń jest bardzo ważna.

PRZYKŁAD - o ile liczba 6+4 jest większa od 4 ? Uzupełnij 6+4=5+… =4+…+3=…

Aby sprawdzić czy a - b = c badamy czy a =b +c. Postać symbolu liczby nie decyduje o tym czy jest ona dla innych liczb suma, różnicą. Należy od początku świadomie używać określeń suma, różnica w odniesieniu do liczb zapisanych za pomocą różnych symboli.

Pomoce przy dodawaniu - strzałki i drzewa.

Ćwiczenia: należy ćwiczyć z dziećmi również rozkład na składniki.

ODEJMOWANIE LICZB I JEGO ZWIĄZEK Z DODAWANIEM

Ujmowanie i dodawanie

Przykład: Jacek przyniósł 10 pomadek. Poczęstował 3 kolegów. Ile pomadek mu zostało?

Jako ujmowanie interpretujemy też skracanie odcinka długości a, o odcinek długości b.

To samo wystąpi w przykładzie: Andrzej miał 10 metrów linki i odciął z niej 3 metry. Ile ma jeszcze linki?

DOPEŁNIANIE W przypadku klocków dzieci położą na stole klocek 3 obok położą klocek 10. Będą dobierać wypełniający lukę klocek, aż podłoża klocek 7.

Przykład: Maciek miał 3 znaczki. Wojtek dał mu jeszcze kilka znaczków tak, że Maciek ma 10 znaczków. Ile znaczków dał Maćkowi Wojtek?

- Do 3 znaczków dziecko dopełnia po jednym, aż dojdzie do 10.

Dwie drogi do pojęcia odejmowania Rozpoczęcie zadań, w których występuje ZMNIEJSZANIE, jest łatwiejsze niż dopełnianie. Zapis 7-4=3. Przechodząc do zadań na dopełnianie N będzie musiał doprowadzić do opanowania przez uczniów rozw. Zadań na dopełnianie za pomocą odejmowania (a nie doliczania). Czyli RÓWNANIA Z OKIENKIEM 3+…=10

Poprzez rozumowanie, że odjąć b od a to znaczy zmniejszyć a o b; będzie stanowiło trudność w rozw. Zadań na liczbach ujemnych. Aby uogólnić definicję odejmowania można zapisać a+x=b

DOPEŁNIANIE Punktem wyjścia będzie zadanie tekstowe. Treść zapisujemy w formie równania 3+…=10. Teraz dzieci przystąpią do szukania liczby która napisana w okienku da pożądaną równość.

Zapis 7=10-3 wprowadzimy jednocześnie z uświadomieniem uczniom, ze brakujący składnik może być znaleziony przez pomniejszenie liczby 10 o znany składnik 3.

Oś liczbowa (wektorowa interpretacja)

Aby na osi liczbowej wykonać odejmowanie b od a należy:

- stanąć w punkcie a,

- wykonać skok do tyłu o b-jednostkę,

- odczytać liczbę w miejscu „lądowania”.

Dodawanie i odejmowanie jako działania wzajemnie odwrotne.

Dodawanie jakiejś liczby i odejmowanie tej samej liczby są działaniami wzajemnie odwrotnymi. Jeżeli więc dwóm liczbom a i b przyporządkowaliśmy liczbę c wykonując ich dodawanie ( a+b=c) to mając c i a możemy wrócić do b, wykonując odejmowanie c-a. Mając zaś c i b wrócimy do a wykonując odejmowanie c-b.

18. KSZTAŁTOWANIE POJĘCIA ILOCZYNU W NAUCZANIU POCZĄTKOWYM

Mnożenie wprowadzało się kiedyś jako „nudne dodawanie”, to znaczy dodawanie równych składników. W nauczaniu matematyki istnieje „prawo bezwładności pojęcia”- uczeń kojarzy dane słowo/pojęcie przede wszystkim z takim rozumieniem, jakie poznał po raz pierwszy. Dodawanie jednakowych składników nie ułatwiało zrozumienia, że mnożenie jest odrębnym działaniem arytmetycznym. Zatem każdy iloczyn sprowadzali do dodawania.

• Mnożenie jako obliczanie pola prostokąta.

EtapI: Uczniowie znajdują liczby kratek, z których ułożone są narysowane figury. Następnie mogą zadawać sobie nawzajem liczbę kratek, z jakiej drugi uczeń ma narysować figurę.

EtapII: Ważne jest, aby dzieci szukały liczby kratek na dwa sposoby.
Np. 2  7:

1. dodając do siebie siedem dwójek;

2. dodając dwie siódemki.

EtapIII: Dzięki tym dwóm sposobom obliczenia dzieci przyswoją sobie własność mnożenia, jaką jest przemienność. Będą przy tym zapisywać: 7  2 lub 2  7.

EtapIV: Racjonalizacja i usprawiedliwienie znajdowania iloczynów. Wykorzystywanie znanych iloczynów do obliczana innych (trudniejszych)

Ułatwić to można przez rysowanie odpowiednich prostokątów:

5 12 = 60 , 7 12 = 5  12 + 12 +12 = 60 + 24 = 84

Rozumowanie: Mam znaleźć liczbę kratek w prostokącie 7 ×12

Wiem, że liczba kratek w prostokącie 5 ×12 wynosi 60.

Takie rozumowanie przygotuje uczniów do zrozumienia prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania.

• Dwa typy zadań na mnożenie

1. Zadania na znalezienie liczebności iloczynu kartezjańskiego dwóch zbiorów.

2. Zadania na przeliczanie miary jednej jednostki na drugą (dzbanek, wiadro, szklanka).

• Kształtowanie pojęcia iloczynu w skrócie

1. Manipulowanie na liczmanach- „tyle razy po tyle”

a) Dzieci czasem dodają w pamięci, ale nie powinny tego zapisywać.

b) Należy tworzyć sytuacje realistyczne, takie, które dzieci często spotykają.

c) Musi pojawić się komentarz -w jaki sposób zapisujemy czynność mnożenia (znak ).

2. Można zastosować dodawanie jednakowych składników, ale tylko wtedy, gdy dziecko ma problemy z mnożeniem. Dodawanie ma ułatwić zrozumienie mnożenia.

3. Mnożenie jako obliczanie pola prostokąta

a) Rozkład liczby na czynniki -rysowanie słoneczka ( 12= 4  3; 12= 2  6 )

b) Układanie chodniczka.

c) Tabelki funkcyjne

d) Nierówności (działania prawdziwe i nieprawdziwe), np. przekreśl błędne zapisy.

4. Zastosowanie iloczynu kartezjańskiego - dopasowywanie par ubrań, np. koszulka i spodenki tak, aby wskazać wszystkie możliwości.

19. KSZTAŁTOWANIE POJĘCIA ILORAZU W NAUCZANIU POCZĄTKOWYM

Dzieląc odwołujemy się do mnożenia, mnożąc mamy świadomość odwrotności tych dwóch działań. Dzielenie nie zawsze jest wykonalne w zbiorze liczb, którymi dysponują dzieci. Nie można jednak sugerować wyeliminowania różnych czynności konkretnych poprzedzających etap rachunku. Można dawać dzieciom zadania, w których bezpośrednia manipulacja jest niewygodna lub niemożliwa.

Przykłady:

8. Dzieci mają obliczyć ile płytek będą mogły pomalować. Wiedzą, że mają 24 płytki, a na jedną potrzeba 3 litry farby.

9. Jest 48 uczniów, którzy będą pisać egzamin. Trzeba ich pogrupować na klasy.

Rozwiązywanie zadań tekstowych:

Hania ma 18 metrów tasiemki. Chce je podzielić na trzy równe części. Ile metrów będzie miała jedna część tasiemki Hani?

Dzieci rozwiązując zadania prostsze ćwiczą i rozwijają umiejętność dzielenia, zarówno na podział jak i na mieszczenie. Sprawność w dzieleniu dzieci uzyskują nie tylko przez bezpośrednie wykonywanie konkretnych czynności. Przygotowaniem do opanowania pojęcia iloczynu są ćwiczenia w rozkładaniu liczby na dwa czynniki.

Na przykład: dzieci szukają różnych prostokątów zbudowanych z 12 kratek.

Rozkładać liczby na czynniki można za pomocą:

• dywanika, układając paski równych długości, składających się z różnej długości mniejszych paseczków;

• drzewa;

• tabelki funkcyjnej (dwukierunkowe)

Pojęcia iloczyn i iloraz powinny pojawić się w nauczaniu w krótkich odstępach czasu. Nie trzeba najpierw opanować tabliczki mnożenia, aby dzielić. Dzielenie-odwrotność mnożenia-pomaga w nauce tabliczki mnożenia. Przy dzieleniu należy stosować zadania różne ( na podział i na mieszczenie) w celu uniknięcia mechanicznego, bezmyślnego rozwiązywania zadań przez dzieci. Równorzędnie należy uwzględniać aspekt kardynalny i miarowy liczby, aby uczniom uzmysłowić sens dzielenia, aby umieli wykorzystać tę umiejętność w życiu codziennym. Na początku należy pozwolić dzieciom na manipulacyjne rozwiązywanie , potem stopniowo rozszerzać zakres, aby dzieci mogły pracować na zastępnikach, schematach. Czasami dla urozmaicenia warto stawiać dziecko w sytuacjach nietypowych. Nie powinniśmy wyuczać dzieci żadnych werbalnych twierdzeń. Zadania należy rozwiązywać na różne sposoby, uświadamiać związki między działaniami arytmetycznymi.

Komentarz metodyczny:

Należy wyjaśnić, co to znaczy podzielić po równo, sprawiedliwie, rozdawać po jednym ciasteczku (podział) Dzielenie należy rozpocząć od dzielenia na podział, bo ono wyraźnie wskazuje na wykonywanie czynności dzielenia.

Podział: -wiem ile mam elementów,

-wiem na ile osób/części mam podzielić,

-nie wiem po ile dam każdemu.

Mieszczenie: -wiem ile mam elementów,

-wiem po ile elementów dzielę,

- nie wiem dla ilu wystarczy.

Należy pamiętać, aby podczas wprowadzania dzielenia uwzględniać trzy poziomy myślenia (poznawczy, opisowy, logiczny) oraz stosować naprzemiennie reprezentacje enaktywną, ikoniczną i symboliczną.

20. KSZTAŁTOWANIE TECHNIKI RACHUNKU PAMIĘCIOWEGO. JEGO ZAKRES W POSZCZEGÓLNYCH KLASACH.

KLASA I

1) W klasie I kształtowanie tej techniki rozpoczyna się od zapoznania dzieci ze składem liczby. Dzieci ilustrują go na „kolorowych liczbach”, liczmanach a następnie na liczbach. Chodzi tu o wykazanie np. że 7 to 3i4, 2,2i3, 5i2 itd.

2) Następnym etapem pracy kiedy należy wykonać rachunek pamięciowy jest wprowadzenie symbolicznego zapisu działania arytmetycznego.

3) Kolejny etap to dodawanie i odejmowanie w zakresie 20 (bez i z przekroczeniem progu dziesiątkowego) np. 18-3=, 9+3=

W tym etapie ważne są ćwiczenia w dopełnianiu do 10 podczas dodawania w zakresie do 20 z przekroczeniem progu dziesiątkowego - następuje powrót do składu liczby, gdzie po podzieleniu drugiego składnika na dwa nowe, jeden jest dopełnieniem do 10 np. 8+5=8+2+3=10+3=13

Gdy dzieci dobrze opanują dodawanie i odejmowanie w zakresie 20. to przedmiotem rachunku pamięciowego mogą być równania. Zamiast polecenia 5+ile?=7 można po wprowadzeniu niewiadomej (X) sformułować zadanie 5+X=7.

4) Następnym etapem, kiedy należy wykonywać rachunek pamięciowy są numeracyjne przypadki dodawania i odejmowania w zakresie 100 np.60+8=68, 62-2=60

5) Kolejny etap to dodawanie i odejmowanie pełnych dziesiątek np. 50+30=80

Następnie po zapoznaniu uczniów z mnożeniem (w kl.1 zakres 20-30) rachunek pamięciowy dotyczy mnożenia liczb jednocyfrowych. Później po zwiększeniu stopnia trudności i wprowadzeniu dzielenia rachunek pamięciowy obejmuje mnożenie i dzielenie np. 2x5=, 10:2=, 4x2=, 16:4=

KLASA II

1) Kształcenie techniki rachunku pamięciowego rozpoczynamy od powtórzenia wiadomości arytmetycznych z klasy 1 (akcentowanie składu liczby, dopełnianie do 10, dodawanie(+), odejmowanie(-), mnożenie(x) i dzielenie(:) w zakresie 30). Podczas + i - obok ćwiczeń rachunkowych mają miejsce również sytuacje, w których uczniowie utrwalają nazwy liczb w poszczególnych działaniach.

Bardzo ważnym pojęciem wprowadzanym w kl.2 jest „porównywanie różnicowe” (o ile więcej, o ile mniej). Przejawem rozumienia tego pojęcia będą poprawne odpowiedzi na pyt. dotyczące tego pojęcia, układanie podobnych pytań [typu: Proszę podać liczbę o 2 większą od 10, o 10 większą od 0, o 2 mniejszą od 12 etc.] oraz gdy opanują pyt. tego typu rozwiązywanie zadań tekstowych np. w szufladzie jest 15 kredek, w drugiej jest o 10 więcej (mniej). Ile kredek jest w drugiej szufladzie?

2) Kolejny etap to dodawanie i odejmowanie w zakresie 100: pełnych dziesiątek do liczby dwucyfrowej (14+30=), liczby jednocyfrowej do dwucyfrowej (27+8=), dowolnych liczb dwucyfrowych (26+17=)

3) Następny etap to mnożenie i dzielenie w zakresie 100 (nauka tabliczki mnożenia): mnożenie poprzez wykorzystanie praw rozdzielności; gł. prawa rozdzielności mnożenia względem + i - oraz dzielenia względem + i -. np. 9x8=9x5+9x3=; 45:5=40:5+5:5=

KLASA III

1) W kl.3 dużo możliwości doskonalenia techniki rachunku pamięciowego daje powtórzenie czterech działań (+,-,x,:) w zakresie 100 oraz porównywania różnicowego. Podczas powtarzania mnożenia i dzielenia w zakresie 100 wprowadza się pojęcie „porównywania ilorazowego” (ile razy więcej/mniej?) na łatwych przykładach: Jaką liczba będzie liczba 2 razy większa/mniejsza od 10?, potem na ćwiczeniach typu:podaj liczbę 5 razy mniejszą od 20 i uzasadnij (dlaczego 4?).

2) Następne ćwiczenia w rachunku pamięciowym mają na celu wykazanie czy uczniowie dobrze operują pojęciami „porównywanie różnicowe”, „p. ilorazowe”. W tym celu formułujemy polecenia tak by występowały oba pojęcia np. liczbę 10 zmniejszono dwukrotnie, a otrzymany wynik powiększono o 2. Jaką liczbę otrzymano? (10:2+2)

3) Kolejny etap to utrwalenie umiejętności w zakresie kolejności wykonywania działań np. Sumę liczb 4i10 zmniejszono dwukrotnie, następnie powiększono o 20. Jaka liczbę otrzymamy? (4+10):2+20

21. PRAWA DZIAŁAŃ - ICH UZASADNIENIE I WYKORZYSTYWANIE W RACHUNKU

PRAWO PRZEMIENNOŚCI DODAWANIA a+b = b+a (a i b - liczby naturalne) mówi że dodawanie liczb możemy wykonywać w dowolnej kolejności - wartość sumy nie zależy od kolejności dodawanych składników.

Pojęcie to ma 3 aspekty: mnogościowy, miarowy, porządkowy. Pierwsze 2aspekty pokazują w sposób oczywisty i bezpośredni przemienność dodawania. Mając konkretny zbiór będący złączeniem dwóch zbiorów rozłącznych liczba jego elementów jest równa np. zarówno 7+12 jak 12+7. Podobnie wygląda to w przypadku przemienności dodawania w aspekcie miarowym - chodzi tu o przedstawienie składników w sensie fizycznym, kolejność składników zależy od tego jak popatrzymy na rysunek, dla dzieci nie stanowi to problemu. Sytuacja się zmienia gdy rozpatrujemy dodawanie w aspekcie porządkowym. Dodawanie 7+2 wykonuje doliczając do 7: osiem, dziewięć; w odwrotnej kolejności musi do 2 doliczać: trzy, cztery... dziewięć - nie od razu widzi że wynik będzie ten sam, co stanowi problem. Stosowanie prawa przemienności dodawania jest bardzo korzystne, gdy dziecko wykonuje działanie za pomocą osi liczbowej przez tzw. doliczanie po jeden.

ODEJMOWANIE NIE JEST PRZEMIENNE BO: 5-3=2 ale 3-5#2

DZIELENIE NIE JEST PRZEMIENNE BO: 6:3=2 ale 3:6#2

PRAWO ŁĄCZNOŚCI DODAWANIA a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c) własność ta ułatwia rachunki oraz pozwala szerzej zrozumieć samo dodawanie

Pierwsze zetknięcie się dzieci z łącznością dodawania może być zorganizowane w sposób problemowy np dajemy dzieciom zdanie oblicz sumę: 3+2+8=, mogą to obliczać np. za pomocą liczb w kolorach, łącząc odpowiednie klocki, ale najważniejsze będzie tu spostrzeżenie, że łatwiej najpierw dodać 2i8, a potem do 3 dodać 8, czyli: 3+(2+8). Zdarza się, że ww zadanie dzieci pod kier. n-la wykonują w nast. sposób: dodają 3i2, a potem 5+8 wykonują w ten sposób: 5+8=8+5= (8+2)+3=10+3=13 jest to trudniejsze. Do wykonywania tych operacji możemy użyć schematu graficznego jakim jest drzewko.

ODEJMOWANIE NIE JEST ŁĄCZNE BO: (15-7)-2=8-2=6 a 15-(7-2)=15-5=10 więc 6#10

DZIELENIE NIE JEST ŁĄCZNE BO: (24:6):2=4:2=2 a 24:(6:2)=24:3=8 więc 2#8

PODWÓJNE ODEJMOWANIE a-b-c=a-(b+c)

W przypadku odejmowania nie możemy mówić o łączności, ponieważ działanie to nie ma takiej własności. Dla odejmowania 9-2-3= odejmuje się najpierw 2 od 9, a następnie od wyniku 3. Gdy przedstawimy to na osi liczbowej - wtedy dzieci zauważą, że można od razu odjąć 5 od 9, czyli:

(9-2)-3=9-(2+3). To samo można pokazać na klockach.

Np. 24-7=24- (4+3)= 24-4-3=20-3=17

PRAWO PRZEMIENNNOŚCI MNOŻENIA a x b= b x a (mnożenie a przez b , czy b przez a prowadzi zawsze do tego samego wyniku)

PRAWO ROZDZIELNOŚCI MNOŻENIA WZGL. DODAWANIA I ODEJMOWANIA

Dodawanie: a x (b+c) = a x b + a x c - lewostronna rozdzielność

(a+b) x c = a x c + b x c - prawostronna rozdzielność

Rozdzielność mnożenia względem dodawania można uzasadnić licząc na dwa sposoby kratki w kwadracie np. jako 3x6 lub 3x2+3x4

Odejmowanie: a x (b-c) = a x b - a x c ; (a-b) x c = a x c - b x c

PRAWO ROZDZIELNOŚCI DZIELENIA WZGL. DODAWANIA I ODEJMOWANIA

Dodawanie: (a+b):c=a:c+b:c - w dzieleniu jest tylko prawostronna rozdzielność!

Odejmowanie: (a-b):c=a:c - b:c

PODWÓJNE DZIELENIE a:b:c=a:(b x c) np. 320:8:4=320:(8x4)=320:32=10

PRAWO ANALOGICZNE DO SKRACANIA UŁAMKÓW

a:b=(a:c):(b:c)

PRAWO ANALOGICZNE DO ROZSZERZANIA UŁAMKÓW

a:b=(a x c):(b x c) np. 3000:25=(3000x4):(25x4)=12000:100=120

22. i 23. METODYKA WPROWADZANIA ALGORYTMU DODAWANIA I ODEJMOWANIA PISEMNEGO

algorytm - każdy przepis postępowania mający postać szczegółowego planu wykonywania kolejnych czynności i prowadzący do rozwiązania zagadnienia pewnego typu, a przy tym spełniający pewne określone warunki

WARUNEK 1. wykonywalność krok po kroku - algorytm jest planem działania rozbitego na elementarne oddzielne kroki następujące po sobie w ściśle określonej kolejności;

WARUNEK 2. jednoznaczność i powtarzalność - wyniki uzyskane w kolejnym kroku zależą wyłącznie od danych początkowych, wyklucza się dowolność interpretacji, przypadkowość;

WARUNEK 3. skończoność - przy każdym dopuszczalnym układzie danych początkowych liczba wykonywanych kroków musi być skończona;

WARUNEK 4. powinno być wiadomo, do jakiej klasy zagadnień algorytm może być stosowany i kiedy gwarantuje poprawną odpowiedź;

WARUNEK 5. powinien być określony poziom elementarności danego algorytmu i stopień jego szczegółowości;

Dydaktyczna rola algorytmów działań pisemnych.

Opanowanie algorytmów nie może być celem samym w sobie, powinien być traktowany jako umiejętność pomocnicza, która służy rozwiązywaniu problemów (S. Turnau). Im wcześniej jakaś czynność jest zautomatyzowana, tym mniej bierze w niej udział świadomość (A. Szemińska). Długotrwałe ćwiczenie sprawności typu algorytmicznego NIE PROWADZI do systematycznego wzrostu stopnia jej opanowania - daje to skutek odwrotny, wzrasta ilość popełnianych błędów.

Wg programu z 1979r. :

Klasa II - okres krystalizowania się podstawowych pojęć arytmetycznych, poznawania własności działań i opanowania podstaw techniki rachunkowej.

Klasa III - okres pogłębiania i utrwalania znajomości działań i stopniowego osiągania biegłości rachunkowej w zakresie 1000.

Trzeba najpierw doprowadzić uczniów do dobrego opanowania pojęciowego czterech działań arytmetycznych, rozwiązać wiele kształcących zadań rożnymi sposobami. Opanowanie algorytmów powinno być końcowym etapem kształcenia umiejętności rachunkowych. W nauczaniu należy dbać o rozwój inwencji twórczej u dzieci oraz o podporządkowanie się regułom i przestrzeganie określonych praw. Nauczanie STOSOWANIA algorytmów mimo iż zawiera wiele sztywnych reguł może być interesujące, gdy dzieci samodzielnie, pod kierownictwem nauczyciela odkrywają te prawa.

Zofia Cydzik - „W rachunku pamięciowym operacje rachunkowe odbywają się całkowicie w pamięci, zapisujmy tylko ich wynik ostateczny, a w rachunku pisemnym zapisujemy wyniki cząstkowe, następnie, opierając się na nich obliczamy wynik ostateczny.”

Algorytm działań pisemnych - określony, dobrze znany sposób wykonywania działań „z góry na dól” w słupkach

Przy rachunku pamięciowym uczniowie muszą ogarniać myślą całe liczby i dobrać sposób obliczania. Przy algorytmach działań pisemnych wystarczy zrozumieć raz na zawsze ustaloną metodę postępowania, aby potem stosować ją mechanicznie;

OBLICZENIA PIENIĘŻNE A ALGORYTMY DZIAŁAŃ PISEMNYCH

Przedstawienie liczby 372 za pomocą 3 banknotów 100zł, 7 po 10zł i 2 złotówki ułatwia dzieciom zrozumienie że liczba 372 to liczba jedności, dziesiątek i setek. Pozwala to też rozmienić 1 setkę na 10 dziesiątek i odwrotnie, czyli na manipulowanie konkretami (kartoniki/pieniądze/odważniki), co ułatwia rozumienie zamiany.

ETAPY NAUCZANIA ALGORYTMOW DZIAŁAŃ PISEMNYCH

algorytmy działań pisemnych wprowadza się w klasie III, gdy uczniowie rozumieją własności działań, umieją je sprawnie wykorzystać na niewielkich liczbach. Na początku algorytmy +,- i x pisemnego wykonujemy na pełnych dziesiątkach.

Przykładowa lekcja z wprowadzeniem algorytmu

1. Przedstawienie problemu (dot. płacenia)

2. Uczniowie manipulują kartonikami (pieniędzmi)

3. Uczniowie opowiadają jakie czynności wykonali

4. Zapis rachunków na tablicy (symbol =)

5. Przedstawienie rachunku w rządach systemu dziesiątkowego

6. Opuszczamy pionowe linie oddzielające rzędy T S D J

N-el powinien dążyć do tego aby uczeń wykonywał wszystkie operacje świadomie, rozumiejąc ich matematyczny sens, będąc przekonanym o ich poprawności. Automatyzacja rachunku powinna przychodzić stopniowo, w sposób naturalny w miarę wykonywania ćwiczeń. Każdy nowy typ algorytmu należy wprowadzać początkowo w formie pełnej, beż żadnych skrótów myślowych i bez żadnych obliczeń pamięciowych.

Nie należy zmuszać do stosowania skróconych form algorytmów jeżeli sprawniej i pewniej rachuje ono przy pełniejszej formie. Zjawiskiem normalnym jest to że część uczniów stosuje skróconą formę a część pełną (zjawisko wielopoziomowości).

WPROWADZANIE ALGORYTMU DODAWANIA PISEMNEGO

Dzieci rozkładają odpowiednio kartoniki ($), zamieniają J na D, D na S itp.; opowiadają co zrobiły,

Zapisują w tabelkach dziesiątkowych (bez określenia zł).

Liczą osobno J,D,S. Szukana suma to na razie 7setek, 6 dziesiątek, 13jedności. Zamieniają jedności na dziesiątki.

Warto wyjaśnić wykonywane zmiany.

S	D	J
			1 6	4 2	8 5
			7	6	13

Np. 148+625=100+40+8+600+20+5=700+60+13=700+70+3=773

W tabelach nie należy kłaść kartoników, ponieważ wprowadza to dzieci w błąd. Z czasem proponujemy stopniowe rezygnowanie z tabelki, proponujemy wyobrażenie sobie tabelki i podpisywanie J pod J, D pod D etc., następnie opuszczanie liter S,D,J, potem opuszczanie linii. Przy przekraczaniu progu dziesiątkowego można pisać małe cyferki.

WPROWADZANIE ALGORYTMU ODEJMOWANIA PISEMNEGO

Podobnie jak w dodawaniu manipulacja kartonikami, zamiana na D i odwrotnie, zapis w tabelkach. Można umówić się z dziećmi, że zaczynamy licząc od prawej strony, czyli od rzędu J. Np. masz 6setek, 10-cio złotówkę oraz 8zł? Jak zapłacisz kwotę 272zł? Uczniowie manipulują kartonikami, odkrywają, że 1 setkę trzeba rozmienić na 10 dziesiątek. W tabelach rysują 5setek, 11 dziesiątek i 8 jedności. Sprawdzamy odejmowanie przez dodawanie. Zauważamy że rozmieniona setka zmienia się z powrotem w setkę. Warto też sprawdzać przez odejmowanie różnicy. Z czasem, podobnie jak w dodawaniu, opuszczamy kreski oddzielające rzędy.

24. METODYKA WPROWADZANIA ALGORYTMU MNOŻENIA PISEMNEGO.

W klasie I uczeń spotyka się po raz pierwszy z mnożeniem. W klasie II - ugruntowuje się pojęcia iloczynu, rozumienie własności mnożenia, a także związki z innymi działaniami. Klasa III i IV to rozwijanie biegłości rachunkowej.

Przy wprowadzaniu algorytmu mnożenia pisemnego uczeń powinien mieć opracowane:

- iloczyny liczb jednocyfrowych przez jednocyfrowe (tabliczka mnożenia),

- iloczyny liczb jednocyfrowych przez pełne dziesiątki, setki itd.

Iloczyny te należy powtórzyć przed wprowadzaniem algorytmu.

Mnożenie liczb wielocyfrowych przez liczbę jednocyfrową, to:

a) należy klasyfikować iloczyny pod względem trudności rachunkowych. Trzeba wziąć pod uwagę:

-liczbę cyfr w pierwszym czynniku.

-trudne do zapamiętania iloczyny (9*6, 7*8)

-przekraczanie progu dziesiątkowego (ile razy i w jakich miejscach)

b) należy klasyfikować sposoby wykonywania rachunku z punktu widzenia stopnia zaawansowania (droga od konkretu do formalnego algorytmu).

Etapy:

1. manipulacja konkretami (monety, kartoniki),

2. sprowadzenie mnożenia do wielokrotnego dodawania w słupku,

3. stosowanie prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania,

4. zapis rachunków (bez skrótów, z zerami, ale bez tabelki),

5. zapis z małymi pomocniczymi cyferkami,

6. skrócony zapis w słupku.

Trzeba pozwolić uczniom zapisywać dodatkowe cyfry, jeżeli ułatwi im to rachowanie. Niektórym jest to potrzebne.

Algorytm mnożenia przez pełne dziesiątki:

Należy zadbać o poprawne zapisywanie liczb, tzn. dziesiątki pod dziesiątkami, jednostki pod jednostkami.

Błędny jest zapis 14 Taki zapis burzy porządek, nie da się go stosować w tabelkach

*30_

420

Manipulowanie monetami należy stopniowo przez odpowiednio postawiony problem związany np. z obliczeniami pieniężnymi. Nie wskazane jest stosowanie wielokrotnego dodawania w tabelkach. (Następnie stosować etapy 3,4,5,6).

Dzieci mnożą 34*20 pisząc 8 w rzędzie dziesiątek powinny wiedzieć, że to 4 razy po 2 dziesiątki, czyli 4 razy 20=80 (dlatego w rzędzie jedności piszemy 0)

Zaleca się pisanie pomocniczych cyfr pod kreską, a po ich wykorzystaniu skreślanie tych cyfr.

Mnożenie przez liczbę wielocyfrową z zerami wewnętrznymi:

Przykład: 213 osób ma zapłacić po 304 złote. Ile zapłacą razem?

Każda osoba daje 3 setki i 4 złotówki. 213*4 to 852 i 213*3 setki to 639

213

* 304

852

000

+639

64752

Należy na początku pozwolić pisać rząd zer, by dzieci same odkryły, że czasem zapisywanie zer nic nie zmienia, więc jest niepotrzebne. Pamiętać jednak należy, żeby przesunąć iloczyn o jeden rząd w lewo.

25. ALGORYTM DZIELENIA PISEMNEGO.

Algorytm dzielenia pisemnego polega na wielokrotnym powtarzaniu operacji dzielenia z resztą. Matematyczny dowód poprawności tego algorytmu opiera się na prawie rozdzielności dzielenia względem dodawania. W klasie III nie można uzasadniać tego algorytmu na podstawie prawa, gdyż będzie to albo merytorycznie niepoprawne, albo zbyt trudne dla dzieci w tym wieku.

Najlepszym sposobem uzasadnienia tego algorytmu jest wyjście od konkretu pieniężnego -czynnościowe wykonywanie dzielenia za pomocą manipulacji zabawkowymi „pieniążkami” i zapisanie tych czynności w postaci algorytmu.

Ucząc tego algorytmu uczeń powinien początkowo wykonywać wszystkie operacje bez żadnych skrótów myślowych, możliwie małą ilością obliczeń pamięciowych.

ALGORYTM DZIELENIA PRZEZ LICZBĘ JEDNOCYFROWĄ:

ETAP I:

Sformułowanie sytuacji problemowej,

Zadanie: Trzech robotników zarobiło 723 złote. Chcą je podzielić po równo.

- należy na początku dać takie liczby, by wykonanie dzielenia znanymi metodami było niemożliwe.

- mały dzielnik (3), ale nie 2, bo dzielenie na pół jest zbyt łatwe

- cyfra setek jest większa od dzielnika

ETAP 2:

Uczniowie wykonują zadanie wkładając „pieniądze” np. do koperty. Rozmieniają setkę na 10 dziesiątek

ETAP 3:

Uczniowie własnymi słowami opisują co robili, jak rozdzielali pieniądze

ETAP 4:

Uczeń podchodzi do tablicy - zapisuje.

723:3=600:3+123:3=200+123:3

123:3=120:3+3:3=40+1

723:3=200+40+1=241

ETAP 5:

Dyskusja.

Nauczyciel omawiając każdy krok zapisuje swoje działanie w postaci algorytmu. Dzieci uczestniczą w tym, podpowiadają, co kolejno wykonywały.

Rozdaliśmy setki (po2) więc napiszę u góry, została nam 1 setka. 7-6=1 zamieniam na 10 dziesiątek, spisuję 2, mam 12 dziesiątek. Rozdzielamy po 4 dziesiątki (więc 4 u góry), nie zostały nam dziesiątki. Rozdzielam jedności (po 1 więc u góry) i takim sposobem u góry (nad kreską) mam wynik. Każdy z robotników dostał po 241 złotych.

UWAGA: Nie należy opuszczać minusów (przy odejmowaniu iloczynów), trzeba pisać zera (na końcu), a nie kreski!

Odejmowanie w algorytmie dzielenia to operacja odwrotna do dodawania przy mnożeniu.

Ważne jest przesunięcie wyniku, gdy np. dzielnik nie mieści się w cyfrze setek, więc trzeba wziąć też cyfrę dziesiątek i przesunąć się o jedno miejsce.

ALGORYTM DZIELENIA PRZEZ LICZBĘ DWUCYFROWĄ:

ZADANIE: 12 klas zbierało makulaturę. Razem zebrali 876 kg. Ile przeciętnie zebrała klasa?

Pomocną rzeczą jest wykonywanie tabelki z wielokrotnościami liczby 12. Przed przystąpieniem do rozwiązania zadania.

12*	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
												0	12	24	36	48	60	72	84	96	108

Warto też wdrażać uczniów do skrótowego zapisywania danych w zeszytach. Nie obciąża to pamięci uczniów, mogą się skupić na zadaniu.

Tabelki pomagają - nie wymagają pamiętania iloczynów, uczeń może zerknąć gdy ma trudności.

- przy wprowadzeniu dzielenia pisemnego nie powinno się narzucać uczniom gotowego algorytmu, ani też wymagać od początku stosowania najkrótszego zapisu.

Każde dzielenie można zastąpić wielokrotnym odejmowaniem.

-26

52 -pierwszy raz odejmuję 26

-26

26 -drugi raz odejmuję 26

-26

00 -trzeci raz odejmuję 26

Inaczej:

3720 3720:3

- 3000 -odejmuję 100 razy po 30

720

- 300 -odejmuję 10 razy po 30

420

- 300 -odejmuję 10 razy po 30

120

- 120 -odejmuję 4 razy po 30

000

Gdy zero występuje na końcu:

4200:700 np. podział listwy 4200 mm na listwy 700mm.

Można zmienić mm na cm i będzie 420:70 lub na dm i będzie 42:7. Nie należy skreślać zer, gdyż uczniowie nie będą wiedzieć dlaczego tak się dzieli. Bony zamieniać na banknoty 10zł. W taki sposób pozbywamy się zer.

26. KOLEJNOŚĆ WYKONYWANIA DZIAŁAŃ NA LICZBACH- METODYKA OPRACOWANIA, SPOSÓB ILUSTROWANIA, ZWIĄZEK Z ROZWIĄZYWANIEM ZŁOŻONYCH ZADAŃ TEKSTOWYCH

Kolejność wykonywania działań na liczbach wiąże się z nawiasami. To one wskazują na kolejność wykonywania działań. Pozwalają one na zapisanie rozgałęzionych schematów wykonywania obliczeń w postaci liniowej w której symbole następują po sobie.

Wprowadzając pojęcie nawiasu specjalny nacisk nauczyciel powinien położyć na to, że nawias składa się zawsze z pary łuków wyodrębniających to, co leży wewnątrz nich. Jeżeli zaznaczamy jedną część nawiasu (otworzymy nawias) to musimy go zamknąć przez zaznaczenie drugiego łuku. Godne polecenia są ćwiczenia polegające na dobieraniu formuł z nawiasami do danego drzewa. Na przykład:

- do odpowiedniego drzewa dziecko ma dobrać odpowiednią formułę nawiasową

8 7 5

56

61

(8 x 7) +5=61

Warto też rozwiązywać zadania odwrotne:

- do danej formuły z nawiasem dobrać odpowiednie drzewo

Kształcące jest też układanie zadań tekstowych o treści zgodnej z danym drzewem.

Podczas wprowadzania nawiasów w klasie pierwszej autorzy podręczników wybrali drogę kiedy nawias pojawią się po raz pierwszy w sytuacji niekonfliktowej w formułach typu:

10+(3+2), (4+2)+1

Ale wkrótce potem pojawia się w sytuacji konfliktowej np.:

14-(3+1)=10

Przeciwstawione jest analogicznemu wyrażeniu bez nawiasów

14-3+1=12

Wprowadzając nawias możemy zacząć od bardzo sugestywnego układu rąk tak jak na obrazku niżej

7+5-8

Warto też obrysować na tablicy te składniki, które chcemy najpierw dodać a następnie ściereczką zetrzeć górną i dolną część owalu tak by został nawias pomoże to dzieciom zrozumieć że lewy i prawy łuk nawiasu stanowią jedną całość.

7+3 + 5

Przedstawienie rozwiązania w jednym zapisie:

Takie hasło pojawia się zarówno w programie klas 2 i 3. Metodę tę objaśnia Hawlicki na przykładzie zadania:

Hania kupiła 11 sztuk czekoladek i batoników razem, ale czekoladek o 3 więcej niż batoników. Czekoladki płaciła o 8 zł, a batoniki po 2 zł. Ile zapłaciła za słodycze?

Hawlicki porównuje zapis ucznia w starym zeszycie i ponowne rozwiązanie tego zadania po jakimś czasie w nowym zeszycie.

Stare rozwiązanie składało się z typowych rachunków zapisanych jeden po drugim

11-3=8

8:2=4

4+3=7

4x2=8

7x8=56

8+56=64

Odp:Hania zapłaciła za słodycze 64 złote

Nowe rozwiązanie to pojedyncza formuła:

[ (11-3):2]x 2 ]+ [ (11-3): 2 +3 ] x 8=64 wraz z objaśnieniem ustnym że (11-3):2 to liczba batoników a (11-3):2+3 to liczba czekoladek. Autor zwraca dużą uwagę na to jak dziecko objaśnia albo jak notuje sobie w skrócie co właściwie liczy i do czego zmierza. Trzeba wdrażać uczniów do zapisywania we właściwych miejscach kluczowych słów takich jak
: „liczba czekoladek”, „koszt czekoladek” unikając rozwlekłości i zbędnych zdań.

Chodzi o to by uczniowie starali się ujmować kilkuczęściowy proces rozwiązywania zadania w jednej formule jednak powinno to być na ogół poprzedzone znalezieniem rozwiązania w kolejnych krokach. Zapis rozwiązania w jednej formule ma być podsumowaniem tego co zostało już znalezione, ma być rzutem oka wstecz na przebyta drogę. Najwłaściwsze wydaje się by np. przy pewnych zadaniach rozumowanie o charakterze syntezy powiązać ze stopniową rozbudowa formuł, kończącą się jednym wzorem ograniczającym całość.

Reguły określające kolejność wykonywania działań:

• w wyrażeniu w którym tylko znaki dodawania i odejmowania działania wykonuje się od lewej do prawej

• mnożenie wykonuje się przed dodawaniem i odejmowaniem (najpierw mnóż potem dodawaj i odejmuj)

• dzielenie wykonuje się przed dodawaniem i odejmowaniem

• potęgowanie wykonuje się przed dodawaniem, odejmowaniem, mnożeniem i dzieleniem

Powyższe reguły poznaje uczeń przez kilka lat stopniowo w miarę potrzeby na konkretnych przykładach

27. PROCES KSZTAŁTOWANIA POJĘĆ GEOMETRYCZNYCH: ETAP WZROKOWY I ETAP OPISOWY.

Poziomy myślenia Van Hilego:

Na poziomie WZROKOWYM rozpoznajemy figury wg kształtu-traktujemy ja całościowo (bez wydzielania ich poszczególnych cech) oraz rozróżniamy na podstawie wyglądu zewnętrznego ich modeli. Tylko kształt decyduje o tym, czy mamy do czynienia z daną figurą ( danym jej modelem). Nie dostrzegamy innych jej cech np.: boków, wielkości. Wszystkie informacje na jej temat czerpiemy z obserwacji rzeczywistości poprzez postrzeganie, działanie i posługiwanie się przedmiotami materialnymi. Wypowiedzi potoczne. Dziecko potrafi wskazać przedmiot o kształcie np. prostokąta, ale nie potrafi uzasadnić dlaczego sądzi, że tak właśnie jest.

Ćwiczenia:

* N-l przygotowuje dla każdej pary uczniów woreczek z klockami, pudełkami, kartonikami, patyczkami, ramkami. Następnie proponuje uczniom „Grę w dobieranie kształtów”. Jeden uczeń z zamkniętymi oczami wybiera z woreczka przedmiot. Jego kolega, także nie patrząc, rozpoznaje dotykiem jego kształt i wybiera z woreczka inne modele tego samego kształtu.

* N-l poleca dzieciom narysowanie ściany Sali szkolnej wraz z tablicą. Na rysunku należy umieścić obrazki i inne przedmioty zawieszone na ścianie. Każdy przedmiot uczniowie przedstawiają innym kolorem. Po wykonaniu pracy dzieci opowiadają jak wykonały zadanie- opisują jak wyglądają przedmioty.

Na poziomie OPISOWYM następuje analiza poznawanych figur, w rezultacie której odkrywa się ich własności. Już nie kształt decyduje, czy mamy do czynienia z danym obiektem, ale jego własności. Figury opisujemy ( nie definiujemy) przez ich własności odkrywane w toku różnych eksperymentów. W wypowiedziach pojawiają się już nazwy własności figur, ich części oraz symbole słowne.

Uczeń powie np.: trójkąt ma trzy boki, trzy wierzchołki, nazywa się on ABC. W odpowiedzi na pytanie, czy trójkąt jest prostokątem?, odpowie: nie, bo ma trzy boki, a prostokąt cztery.

Ćwiczenia:

* Uczniowie dysponują patyczkami równej długości. N-l formułuje zadanie: zbuduj kilka prostokątnych ramek używając patyczków. Ćwiczenie wykonaj na kwadratowej kartce. Sprawdź czy potrafisz to zrobić z 3, 4, 6, 7 patyczków. Powiedz dlaczego nie zawsze mogłeś to zrobić?

* Przedstaw na rysunku kwadrat. Połącz każde dwa jego wierzchołki posługując się linijką. Wytnij ten model, a następnie przetnij wzdłuż narysowanych linii. Porównaj otrzymane części przez nakładanie. Ułóż z nich różne modele prostokątów.

(Dodatkowo:) Na poziomie LOGICZNYM następuje logiczne porządkowanie własności figur i samych figur. Dostrzegamy, e pewne własności są ważniejsze i wystarczy je znać, aby otrzymać z nich inne. Nie trzeba mówić, że czworokąt ma 4 kąty, 4 boki, 4 wierzchołki, ale wystarczy powiedzieć, że ma 4 boki (dwie pozostałe własności stąd wynikają). Mniej istotne stają się własności, ważniejsze zaś związki między nimi. Język ma charakter abstrakcyjny.

Ćwiczenia:

* Skonstruuj prostokąt mając dane: jedną jego przekątną oraz kąt, jaki tworzą przekątne tego prostokąta.

* Zbadaj, który z prostokątów o danym obwodzie ma największe pole.

Dla rozwiązania tego typu zadań wystarczy zwykle przypomnienie własności prostokąta. Uczeń musi uświadomić sobie zależności między przekątnymi, kątami, bokami. Nie może skupiać swojej uwagi na konkretnej figurze, jej przedstawieniu rysunkowym czy modelu. Rozważane obiekty i ich własności musi traktować abstrakcyjnie.

28. KSZTAŁTOWANIE UMIEJĘTNOŚCI MIERZENIA WIELKOŚCI CIĄGŁYCH I ZWIĄZANY Z TY ROZWÓJ POJĘCIA DŁUGOŚĆI I OBWODU FIGURY.

Dzieci bardzo wcześnie stwierdzają, że jedne przedmioty są większe, dłuższe, inne mniejsze, krótsze. Można stawiać dziecko wobec takich zadań praktycznych, których wykonanie wymaga uwzględnienia różnic określonych wymiarów, np. wybieranie większego łóżka dla większej lalki, mniejszej sukienki dla mniejszej lalki.

Okazuje się, że początkowo dzieci nie umieją dokonać właściwych porównań. Np. dzieci trzymują dwa paski papieru jednakowej długości (żółty i zielony). Kładziemy oba paski jeden pod drugim tak, aby dziecko nie miało wątpliwości, że ich długość jest jednakowa. Następnie dajemy dzieciom dwie figurki rowerzystów (żółtą i zieloną) i zapowiadamy, że obaj będą jechać po drogach żółty po żółtej, zielony po zielonej. Dzieci - zapytane - bez wahania odpowiadają, że obaj przebyli tak samo długą drogę. Wówczas przesuwamy pasek zielony w prawo i ponownie zadajemy pytanie o długość dróg. Dzieci twierdzą, że droga zielona jest dłuższa, mimo że same wcześniej porównywały obydwa paski.

Dzieci uwzględniają tylko to, co obserwują z jednej strony, nie rozumiejąc, że wydłużenie z jednej strony jest kompensowane przez skrócenie z drugiej. Dzieci chętnie wykonują czynności mierzenia, jeśli zadania nie są dla nich za trudne. Najłatwiejsze jest porównywanie przedmiotów sztywnych (np. deseczek różnej długości, pasków kartonu) przez nakładanie porównywanych przedmiotów na siebie.

Gdy dzieci już nabędą umiejętność mierzenia bezpośredniego przez nakładanie lub przykładanie, można oczekiwać, że będą zainteresowane trudniejszymi zadaniami. Ciekawym doświadczeniem jest wyrównywanie długości pasków (np. przy rysowaniu szlaczków). dzieci wyszukują odpowiednie paski ze stosu, aby dokładając je otrzymać paski tej samej długości. Zrozumienie, że jedna długość może być złożona z dwóch lub trzech mniejszych, jest ważnym krokiem w rozwoju myślenia matematycznego. Prowadzi-poprzez szukanie długości brakującej -do rozumienia różnicy długości.

Dzieci bawiąc się w wyrównywanie dokonują ciekawych odkryć: im dłuższy jest jedem z pasków, tym krótszy musi być pasek dobrany dla wyrównania go; jeśli dobieramy nie jeden, ale dwa lub więcej pasków, to im ich więcej tym muszą być krótsze.

Mierzenie bezpośrednie przez nakładanie lub przykładanie porównywanych przedmiotów jest wstępem do mierzenia pośredniego, odwołującego się do wspólnej miary. Mamy tu do czynienia z przechodniością dot. porównywania długości. Zrozumienia przechodniości następuje wówczas, gdy dzieci mają porównać długość czegoś, co w żadnym razie nie da się nałożyć lub przyłożyć bezpośrednio, np. długość dwóch kroków. Zachodzi wtedy konieczność wprowadzenia trzeciej długości, którą będzie się odmierzać obydwa kroki. Stawiamy np.. pytanie czyj krok jest dłuższy-Marysi, czy Jasia?

Ważne jest, aby dzieci uczyły się rozpoznawać długość może nie zmieniać się mimo różnicy wyglądu. Budując np. szyny z patyczków jednakowej długości mogą je układać w rozmaity sposób, a następnie sprawdzić, że całość drogi pozostanie taka sama. Dzięki takim doświadczeniom dzieci odróżniać będą długość drogi przebytej od odległości między punktem początkowym a końcowym.

Dla dzieci młodszych sprawa ta nie jest początkowo zrozumiała. Lepiej rozumieją stosunek pojęcia długości drogi do pojęcia odległości, gdy mogą układać z tasiemek różne drogi między dwoma budynkami. Odległość między domem a schroniskiem pozostaje taka sama, jednak wędrowiec przebywa drogi o różnej długości, zależnie od tego, czy wybierze drogę prostą, czy też bardziej krętą.

Etapy procesu kształtowania pojęcia długości- Koło hermeneutyczne Arystotelesa

• Etap spontanicznego gromadzenia przez dziecko wiedzy i doświadczeń- proces ten realizuje się od pierwszych dni życia dziecka, gdy drogi percepcyjne zostaną już udrożnione-dziecko zaczyna doświadczać rozciągłości świata i jego przestrzenności; słyszy pojęcia odnoszące się do miar-słyszy je w pewnym kontekście i może je odnosić do konkretnych sytuacji, ale nie rozumie ich istoty.

• Intencjonalne kierowanie przez nauczyciela spostrzeganiem i porównywaniem przez dziecko przedmiotów organizowane pod względem cech ilościowych - etap realizowany na gruncie edukacji; w takich sytuacjach u dzieci rodzą się dylematy związane z oceną świata(co jest dłuższe, co jest krótsze)

• Dziecko zaczyna spontanicznie zadawać pytania typu : kto jest wyższy, co jest dłuższe/krótsze- odpowiedzi na te pytania można uzyskać przez porównywanie; tą sytuacją kierujemy tak, aby uzyskać inną, w której nie da się uzyskać odpowiedzi przez porównywanie- uświadomienie dziecku konieczności pomiaru pośredniego.

• Poznanie przez dziecko jednostek standaryzowanych -czyli tych, które są aktualnie w powszechnym użyciu; zorganizowanie sytuacji, w której wykazać można niepraktyczność pomiary miarami typu kroki, patyki, kartki itp.; wprowadzenie jednostek miary standaryzowanej w następującej kolejności: centymetr(cm), metr(m), milimetr(mm), kilometr(km).

• Wykonywanie obliczeń z wykorzystaniem jednostek mianowanych, przeliczeń jednostek w obrębie systemu.

pojęcie obwodu figury!?

29. POZNAWANIE FIGUR GEOMETRYCZNYCH I ICH WŁASNOŚCI PRZEZ UCZNIÓW KLAS I-III, ZAKRES TREŚCI, DOBÓR I RODZAJE ĆWICZEŃ

Treści programowe w klasie I:

-zaznajamianie się z kształtami i nazwami podstawowych figur: trójkąt, kwadrat, prostokąt, koło.

-rozpoznawanie ich w otoczeniu i na rysunku

-konstruowanie figur przez uczniów (układanie z patyczków, rysowanie, wycinanie, kolorowanie itp.)

-obserwowanie regularności i badanie własności figur (np.sprawdzanie tego że boki kwadratu są równe przez ich przykładanie, dopasowywanie itp.

Treści programowe w klasie II:

-utrwalanie znajomości nazw i kształtów podstawowych figur(prostokąty, trójkąty, koła itp.)

-konstruowanie figur przez uczniów i obserwowanie rozmaitych regularności

-dostrzeganie figury na rysunku w przypadku, gdy linie dwóch figur nachodzą na siebie

-rysowanie i mierzenie odcinków

**figury na sieci kwadratowej

-wzrokowe rozpoznawanie linii prostopadłych i linii równoległych na rysunkach i w otoczeniu

-rysowanie linii prostopadłych i równoległych np. przez obrysowanie dwóch boków ekierki lub obu stron linijki

**powiększanie i pomniejszanie figur z wykorzystaniem sieci o różnych wymiarach kwadratów jednostkowych

Treści programowe w klasie III:

-pogłębianie znajomości podstawowych figur (kół, trójkątów, czworokątów, pięciokątów itp.)

-kształtowanie intuicyjnego rozumienia linii prostej, linii krzywej, punktu, odcinka, łamanej

-rysowanie figur

-rozpoznawanie linii prostopadłych i równoległych i rysowanie takich linii

-wyróżnianie boków i wierzchołków w trójkątach, czworokątach itp.

-wyróżnianie boków prostopadłych, boków równoległych i boków równych

**figury na sieci kwadratowej

**praktyczne zapoznawanie się z modelami prostych brył np. klockami i obserwowanie ich własności np. przykładanie ich do siebie, rozpoznawanie kształtów ścian, liczenie ścian

**wycinanie gotowych siatek i klejenie brył

(PROGRAM „PRZYJAZNA MATEMATYKA”)

Ponadto należy pamiętać, że:

-dział ten ma na celu zaznajomienie dzieci z kształtami i nazwami podstawowych figur geometrycznych

-ze względu na spiralny układ treści należy nawiązywać do zagadnień realizowanych w przedszkolu

-należy łączyć pojęcia geometryczne z życiem

-nie należy definiować tych pojęć, ponieważ dzieci mają zauważyć przede wszystkim najważniejsze właściwości figur geometrycznych i odróżnić je od innych oraz używać ich prawidłowych nazw

-realizować dział poprzez działania praktyczne na przedmiotach, różne ćwiczenia ruchowe, zabawy i gry dydaktyczne (E.STUCKI, METODYKA…,CZ.I)

Pierwsze ćwiczenia orientacyjne w przestrzeni przygotowują myśl dziecka do późniejszych abstrakcji. W klasie pierwszej zaznajamiamy dzieci z nazwami prostych figur geometrycznych (trójkąt, kwadrat, koło, prostokąt), ale nie formułuje się jeszcze żadnych definicji, nie prowadzimy do werbalnego wyrażania zaobserwowanych własności figur geometrycznych w postaci twierdzeń.

Należy przygotowywać dziecko do poznawania pojęć geometrycznych. Odbywać się to będzie przez oswajanie dzieci z kształtami figur, rozwijanie umiejętności ich odróżniania i uświadamiania im wzajemnego położenia tych figur bądź przez obserwacje gotowego rysunku, bądź przez wykonywane przez dzieci różne operacje na figurach. Będziemy tym samym rozwijali orientację dzieci w stosunkach przestrzennych ze szczególnym uwzględnieniem płaszczyzny.

Wyróżniamy pewne grupy ćwiczeń w zależności od rodzaju manipulacji czy ruchu:

Składanie i rozkładanie figur

-konstruowanie figur o danym z góry kształcie

-projektowanie i konstruowanie mozaik, a więc konstruowanie figur dowolnych, których dobór jest ograniczony tylko geometrycznymi własnościami tych figur

-zmiana położenia figury przez ruch w płaszczyźnie

-wyznaczanie najkrótszych dróg w terenie „z przeszkodami”

Ćwiczenia:

1. Wytnij figury zakreskowane i ułóż z nich figury narysowane obok

Dzieci w toku konkretnych czynności wycinania figur i ich układania poznają dokładniej ich własności. W składaniu dwóch figur różnych z tych samych części dziecko spotyka pierwszy klasyczny przykład przekształcania jednej figury w drugą z zachowaniem pola i ewentualną zmianą kształtu.

2. Możemy też skorzystać z klocków „Liczby w kolorach” i zaproponować dzieciom ćwiczenie polegające na wypełnianiu klockami narysowanego konturu.

3. Kolejne zdanie może polegać na rysowaniu „takich samych” figur, jak podane na rysunku, ale większych lub mniejszych.

4. Inne ćwiczenie odnosi się do komponowania mozaiki. Dzieci układają mozaiki z klocków dużych i małych jako projekty posadzki. Ćwiczenie to oswaja je zarówno z kształtami jak i wymiarami figur reprezentowanych przez te klocki.

5. Kolejne ćwiczenie dotyczy zmiany położenia figur przez ruch z zachowaniem kształtu i wymiarów. Dzieci spotykają się z przesunięciem i obrotem. Aby wykonać szkic figury muszą go najpierw zobaczyć w wyobraźni (Z.SEMADENI, NAUCZANIE…,T2)

6. Stosowanie prostych sposobów odwzorowywania figur przez lepienie z plasteliny, zginanie drutu, układanie z patyczków.

7. Rysowanie figur przy wykorzystaniu plastikowych szablonów oraz obrysowanie figur z klocków Dienesa.

8. Tworzenie figur na goplanie za pomocą gumek.

9. Szukanie i rozpoznawanie figur w otoczeniu (w klasie, w domu, na boisku itp.) i na rysunkach poznanych figur.

10. Rysowanie i wycinanie figur.

11. Rozpoznawanie figur schowanych do worka przez dotykanie ich kształtów.

12. Opisywanie (podawanie cech) figur schowanych za siebie i odgadywanie ich przez dzieci.

13. Szukanie podanych figur na rysunkach i zamalowywanie (zakreskowywanie) ich.

14. Układanie kompozycji (m.in. komponowanie ornamentów) z figur.

15. Budowanie (układanie) przedmiotów z figur i ich rozkładanie np. domków, żaglówek, pojazdów, wież np. ze zbioru figur wyciętych z kartonu, a także składanie wielokątów z tych części

16. Stosowanie zagadek, zabaw i gier dydaktycznych z wykorzystaniem figur geometrycznych

(E.STUCKI, Metodyka…cz.I)

30. KSZTAŁTOWANIE POJĘCIA ODCINKA W NAUCZANIU POCZATKÓW GEOMETRII

Odcinek jest pojęciem trudnym, trudniejszym od pojęcia trójkąta, sześcianu czy kuli. Jest to bowiem twór jednowymiarowy. O takich tworach jest dziecku trudniej myśleć niż o tworach dwuwymiarowych czy o bryłach. Pojęcie odcinka jest bardziej abstrakcyjne dla siedmioletniego dziecka niż pojęcia innych figur płaskich.

W klasie pierwszej uczniowie spotykają się z kołem, trójkątem, prostokątem. Wycinają i manipulują ich modelami, opisują i badają je. Te ćwiczenia powinny ich przygotowywać do nauki o odcinkach.

W klasie drugiej program „Błękitna matematyka” przewiduje: kreślenie odcinków i figur z nich złożonych, rozpoznawanie odcinków prostopadłych i równoległych. A zatem główny ciężar kształtowania pojęcia odcinka przypada na klasę drugą, tu musi nastąpić pełne zarysowanie jego rozumienia na poziomach wzrokowym i opisowym.

W klasie trzeciej przechodzimy do rysowania figur w powiększeniu (pomniejszeniu) przez odkładanie odcinków.

W wyniku realizacji programów w klasach I-III uczniowie powinni umieć zmierzyć długość danego odcinka oraz umieć rozpoznawać odcinki prostopadłe i równoległe.

W nauczaniu szkolnym nie możemy mówić o odcinku jako pojęciu matematycznym. Staramy się ukształtować obiekt (abstrakcyjny) który: jest częścią prostej, figurą ograniczoną jednocześnie (wyznaczoną) przez dwa punkty należące do niego, ma określoną długość, jest schematem najkrótszej drogi między dwoma miejscami oraz jego punkty można uporządkować w sposób naturalny na dwa sposoby.

Wśród ćwiczeń które będą sprzyjały kształtowaniu rozumienia odcinka można wyróżnić ćwiczenia:

-związane z ruchem lub obserwacją przedmiotów w ruchu

-oparte na czynności celowania

-związane z schematycznym traktowaniem realnych przedmiotów jako odcinków, gdy to jest uzasadnione lub pożyteczne

-w których odcinek pojawia się jako schemat przecięcia dwóch powierzchni, część przedmiotu lub część konturu modelu figury płaskiej

-związane z mierzeniem długości przedmiotów

Ćwiczenia służące kształtowaniu rozumienia odcinka na poziomie wzrokowym i sprzyjające wytworzeniu jego reprezentacji enaktywnej:

1.Na boisku organizujemy zabawę - bieg najkrótszą drogą z jednego do drugiego miejsca. Przewidujemy różne sytuacje: na drodze nie ma przeszkody lub znajduje się np.stół

2.Dzieci wyznaczają na piasku ślad toczącej się piłki, ślad papierka pędzonego wiatrem itp. Porównują kształt tych śladów.

Ćwiczenia służące kształtowaniu rozumienia odcinka na poziomie wzrokowym i sprzyjające wytworzeniu jego reprezentacji ikonicznej:

1.Rysowanie na kartce papieru (niekratkowanej), na boisku szkolnym toru ruchu różnych przedmiotów np.piłki

2.Rysowanie najkrótszej drogi między domkami, ścieżek układanych z fasolek, kamyków, patyczków. Przestawianie ich jednym ruchem ręki. Rysowanie na podłodze w klasie i w zeszycie najkrótszej drogi z ławki do tablicy.

Ćwiczenia służące kształtowaniu rozumienia odcinka na poziomie wzrokowym i sprzyjające wytworzeniu jego reprezentacji symbolicznej:

1.Wskaż w swoim otoczeniu przedmioty, których brzegi dobrze przylegają do linijki. Uzasadnij swój wybór.

2.opowiedz sowimi słowami jak wygląda ślad piłki toczącej się po piasku, najkrótsza droga z ławki do tablicy.

Ćwiczenia służące kształtowaniu rozumienia odcinka na poziomie opisowym i sprzyjające wytworzeniu jego reprezentacji enaktywnej:

1.Zbuduj z 3 patyczków odcinek. Rozsuń patyczki ułóż je prosto. Czy teraz tworzą model odcinka?

2.Z 8 patyczków zaprojektuj różne kształty blatów stołów.

Ćwiczenia służące kształtowaniu rozumienia odcinka na poziomie opisowym i sprzyjające wytworzeniu jego reprezentacji ikonicznej:

1.Wskaż kilka przedmiotów które są modelami odcinka. Narysuj jeden z nich.

2.Narysuj odcinki robione z patyczków, fasolek lub na geoplanie

Ćwiczenia służące kształtowaniu rozumienia odcinka na poziomie opisowym i sprzyjające wytworzeniu jego reprezentacji symbolicznej:

1.Opowiedz na co zwróciłeś uwagę tworząc odcinki z patyczków, fasolek na geoplanie oraz rysując je.

2.Nauczyciel pokazuje rysunki wielokątów i prosi o nazwanie wskazanych wielokątów.

31. CO TO JEST ARYTMETYCZNE ZADANIE TEKSTOWE?

Arytmetyczne zadanie tekstowe- to jest zadanie w którym można wyodrębnić następujące elementy istotne z matematycznego punktu widzenia, składające się na strukturę zadania tekstowego:

a)pewne liczby lub wielkości dane,

b) pewne liczby lub wielości nieznane,

c) jeden lub więcej związków arytmetycznych między liczbami występującymi w zadaniu (danymi i nieznanymi)

d) Polecenie znalezienia wskazanej liczby lub wielkości (lub kilku z nich, niekoniecznie wszystkich) taka liczba lub wielkość nazywa się szukaną (wg Semadeniego).

Nietypowość arytmetycznych zadań tekstowych może tkwić w:

a)danych-ich definicje, sprzeczności lub nadmiarze

b) brak jednoznacznego rozwiązania- np. brak lub wielość odpowiedzi

c) sformułowaniu polecenia odmiennym od tradycyjnego pytania „ile?”- np. wybierz, sprawdź, uzasadnij, oceń

d) brak bezpośredniego związku z opracowywanymi w danym okresie treściami programowymi

e) brak schematycznego rozwiązania

Zadania tekstowe są środkiem dydaktycznym ułatwiającym uczniom abstrahowanie i uogólnianie pojęcia. Są formą sprawdzianu operatywności wiedzy uczniów.

Zadanie tekstowe składa się z symulacji życiowej i warunków matematycznych określanych za pomocą wielkości danych i wielkości poszukiwanej, powiązanych ze sobą takimi zależnościami, których ustalanie prowadzi do odpowiedzi na główne pytanie w zadaniu.

ISTOTA I FUNKCJE ZADAŃ TEKSTOWYCH W NAUCZANIU POCZĄTKOWYM MATEMATYKI

1. Zadanie tekstowe jest środkiem dydaktycznym,

2. Ułatwia kształtowanie oraz wyprowadzenie podstawowych pojęć matematycznych z analizy realnych sytuacji życiowych.

3. Pozwala na konkretyzacje i pogłębienie rozumienia tych pojęć poprzez odnoszenie ich do różnych sytuacji praktycznych, zawierających aspekt matematyczny.

4. Wiąże matematykę z życiem i przygotowuje uczniów do rozwiązania różnych problemów praktycznych.

5. Uczy analizy i zrozumienia tekstów matematycznych

6. Utrwala umiejętności wykonywania ustnych i pisemnych obliczeń.

7. Uczy twórczego posługiwania się poznanymi prawami i właściwościami działań arytmetycznych.

8. Sprzyja wielostronnej aktywizacji i rozwijaniu myślenia, skłaniając uczniów do wykonywania wielu operacji myślowych oraz rozumowań logicznych.

9. Jest formą sprawdzianu operatywności wiedzy uczniów.

10. Jest materiałem poznawczym.

32. RODZAJE ZADAŃ TEKSTOWYCH ROZWIAZYWANYCH W NAUCZANIU POCZĄTKOWYM I KRYTERIA ICH PODZIAŁU

Rozwiązywanie zadań tekstowych wpływa na rozwój myślenia matematycznego i sprzyja kształtowaniu pojęć matematycznych. Ponadto pobudza motywację do nauki, rozwija zainteresowania i wyobraźnię, a także procesy poznawcze. Uczeń musi zrozumieć treść zadania, wydobyć problem do rozwiązania i przełożyć warunki zadania na język symboli, liczb i związków między nimi. Zadania tekstowe wykorzystujemy zarówno do wprowadzania nowego materiału, jego dalszej realizacji, a także do rozszerzania i pogłębiania materiału oraz sprawdzenia jego opanowania i umiejętności zastosowania w praktyce.

Podstawowe wymagania programu w zakresie rozwiązywania i układania zadań tekstowych w klasach I - III są następujące:

w klasie I - rozwiązywanie i układanie zadań tekstowych dotyczących dodawania i odejmowania

w klasie II - rozwiązywanie prostych zadań tekstowych (wymagających użycia jednego lub dwóch działań)

w klasie III - rozwiązywanie nietrudnych zadań tekstowych złożonych.

Rodzaje zadań:

Zadania proste- to takie, których model matematyczny zawiera tylko jedno działanie arytmetyczne wiążące niewiadomą z dwiema danymi liczbami.

Np.: W 8 rzędach rośnie po tyle samo drzew owocowych. Razem jest 96 drzew. Ile drzew rośnie w każdym rzędzie?

Zadania złożone łańcuchowo- dadzą się w naturalny sposób rozłożyć na ciąg zadań prostych w taki sposób, że liczba znaleziona jako wartość niewiadomej jednego zadania prostego wchodzi jak dana do następnego zadania w łańcuchu.

Np.: Do sklepu galanteryjnego dostarczono 300 chustek do nosa w kompletach po 6 sztuk. Po pewnym czasie z tej dostawy zostało tylko 13 kompletów. Ile kompletów sprzedano?

Właściwe zadania złożone- co najmniej dwa warunki zadania określają związki między niewiadomymi.

Np.: Obwód pewnego prostokąta wynosi 32 cm. Jeden bok jest 3 razy krótszy od drugiego. Oblicz długość boku tego prostokąta.

Innym podziałem jest podział na zadania o treści życiowej, o treści abstrakcyjnej i o treści fantastycznej.

Sposoby rozwiązywania zadań tekstowych.

* Manipulacja - dosłowna realizacja sytuacji opisanej w zadaniu;

* Symulacja;

* Matematyzacja - opisywanie sytuacji konkretnej za pomocą pojęć matematycznych (otrzymany opis nazywamy modelem matematycznym);

Metody rozwiązywania zadań złożonych dzieli się na:

* analizę, in. redukcję;

* syntezę, in. dedukcję;

* metodę analityczno-syntetyczną, in. redukcyjno-dedukcyjną.

33. ETAPY POSTĘPOWANIA METODYCZNEGO W PROCESIE NAUKI ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ TEKSTOWYCH

1. Zadania proste i złożone.

a) zadania proste to te, których model matematyczny zawiera tylko jedno działanie arytmetyczne, wiążące wiadomą z dwiema innymi liczbami

b) zadanie złożone łańcuchowo- dadzą się w naturalny sposób rozłożyć na ciąg zadań prostych taki, że liczba znaleziona jako wartość niewiadomej jednego zadania prostego wchodzi jako wartość dodana do zadania następnego w łańcuchu.

Rozwiązanie zadania złożonego łańcuchowo wymaga:

- wyodrębnienia i ustawienia we właściwej kolejności wchodzących w jego skład zadań,

- kolejnego rozwiązania tych zadań prostych,

c) właściwe zadania złożone charakteryzują się tym, że co najmniej dwa warunki zadania określają związek między niewiadomymi ( np. tyle razy dłuższy)

d) zadania nietypowe (opisane w pytaniu 31)

Rozwiązywanie zadań nietypowych:

-uczy krytycznego stosunku do danych w zadaniu

-wyrabia nawyk ich analizowania przed przystąpieniem do szukania odpowiedzi

- przeciwdziała pośpiesznemu, schematycznemu dobierania działań prowadzących do jednoznacznej odpowiedzi.

2. Dobór i kolejność zadań tekstowych

Wyróżniamy zadania proste: na dodawanie, na odejmowanie, na mnożenie i na dzielenie. Oraz zadania złożone: zawierają co najmniej dwa działania, są na porównywanie różnicowe lub na porównywanie ilorazowe. Zadania należące do jednego typu mają modele matematyczne jednakowe lub bardzo podobne. Jeżeli więc uczeń prawidłowo rozpozna typ zadania i pamięta sposób rozwiązania zadania tego typu, to jego postępowanie będzie niemal automatyczne. Rozpoznawanie typu zadania jako pierwszy etap rozwiązywania- nie zmierza do doskonalenia umiejętności tworzenia modelu matematycznego.

W doborze zadań stosuje się nastepujące zasady:

a) zasada kolejności- należy dążyć do tego, aby dwa zadania rozwiązane jedno po drugim miały różne modele matematyczne, czyli różne sposoby rozwiązywania (by nie doszło do automatycznego rozwiązywania wg wzoru)

b) zasada kontrastowania- podawać dzieciom zadania o podobnej strukturze, ale innym modelu matematycznym np.: x+9=20 i 8*x=64. Aby dzieci uświadomiły sobie, że są to dwa różne zadania i trzeba wykonywać dwa różne działania. Będą analizować zadania i szukać w ich odpowiedzi właściwego modelu matematycznego. Ma to na celu opóźnienie dostrzegania analogii, opóźnienie automatyzacji.

Zasada wprowadzania na lekcjach zadań nietypowych- takich, do których nie daje się zastosować żaden z podanych wcześniej sposobów rozwiązania.

34. UKŁADANIE, PRZEKSZTAŁCANIE I ROZBUDOWYWANIE ZADAŃ TEKSTOWYCH

Zadania tekstowe powinny być odpowiednio dobrane. Przede wszystkim powinny posiadać treść sytuacji, które mogą się zdarzyć w rzeczywistości. Poza tym powinny mieć sens- czyli rozwiązanie zadania ma czemuś służyć. Dziecko musi wiedzieć po co liczy i do czego będzie mu to potrzebne.

Symulacja i matematyzacja

przykład: Na górnej półce jest 9 książek ile jest dolnej półce. Jeżeli wszystkich książek jest 20.

To zadanie można przedstawić realizując jego treść, układając książki na półkach. Można również

SYMULOWAĆ- czyli książki można zastąpić zapałkami, a zamiast układać na półkach- ułożyć zapałki na stoliku odsuwając 9 z nich. Uczeń ma za zadanie samodzielnie manipulować zapałkami ( symulować rozkładanie książek na półkach), by dojść do prawidłowego wyniku. Rozwiązywanie zadań na drodze symulacji jest możliwe w tych przypadkach, gdzie dosłownie realizacja zadania jest niewykonalna (np. gdy zamiast książek w zadaniu są krowy na pastwisku).

Można też opisywać sytuację konkretną za pomocą pojęć matematycznych. Nazywa się to

MATEMATYZACJĄ a w jej wyniku otrzymamy opis czyli model matematyczny sytuacji. Zarówno model sytuacyjny jak i model matematyczny przedstawiają rzeczywistość tylko schematycznie- nie uwzględniając wielu szczegółów.

Symulacja lub matematyzacja tej samej sytuacji odpowiednia dla jednego zadania, może być niewłaściwa dla drugiego. Np.. zapałki nie byłyby dobre. Gdyby w zadaniach chodziło o grubość książek. A równanie 9+x=20 nie byłoby dobre. Gdyby pytano o baśnie i o książki z ilustracjami. Przy rozwiązywaniu zadań może być źle dobrany model matematyczny lub symulacyjny. Dlatego rozwiązanie powinno być sprawdzone. Symulacja może czasem być etapem pośrednim w procesie matematyzacji. Model symulacyjny jest prostszy od symulacji w zadaniu, zawiera mniej szczegółów. Jest też zawsze poglądowy-czyli dostępny dla wzroku i manipulacji.

Do symulacji używa się materiałów standardowych, zawsze tych samych, znanych dzieciom (żetony, klocki, patyczki).

Sposób symulowania przyrostów, ubytków i podziałów jest zazwyczaj taki sam (odsuwanie, dosuwanie). Model symulacyjny ułatwia matematyzację.

Metody rozwiązywania zadań tekstowych.

Sposób rozwiązywania to ciąg działań arytmetycznych prowadzących do pożądanego wyniku. Każda metoda obejmuje matematyzację zadania- wyizolowanie i wyrażenie w języku matematycznym wszystkich istotnych związków między niewiadomymi i danymi. Zadaniach występuje wiele wydarzeń, brzmiących bardzo popularnie, którym odpowiadają różne działania

PRZYKŁAD- Do sklepu dostarczono 300 chusteczek do nosa w kompletach po 6 sztuk. Po pewnym czasie z tej dostawy zostało 13 kompletów. Ile kompletów chusteczek sprzedano?

a) ANALIZA- (REDUKCJA) rozpoczynamy od znalezienia głównej niewiadomej x. Co wystarczy wiedzieć, aby te liczbę znaleźć?

Wystarczyłoby znać liczbę wszystkich dostarczonych kompletów, czyli Y. Wtedy X = Y-13, 300:6=50, 50-13=37. Sprzedano 3478 kompletów

b)SYNTEZA -DEDUKCJA wyciąganie wniosków z tego co wiemy. Wyodrębniamy dane. Czego można się dowiedzieć na podstawie tych danych? Czy któreś z tych informacji zbliża nas do rozwiązania?

300- (13*6)=300-78=222- zostało chusteczek, 222:6(po 6 w komplecie)=37. Sprzedano 37 kompletów.

-analiza sytuacji prowadzi do odkrycia sposobu rozwiązania- jest bardziej skuteczna.

c) METODA ANALITYCZNO-SYNTETYCZNA- REDUKCYJNO-DEDUKCYJNA-polega na kilkukrotnym przechodzeniu od analizy do syntezy i na odwrót. Metoda ta jest poszukiwaniem sposobu rozwiązania, a nie samego rozwiązywania. Może być tak, że dzieci będą „mądrze” zgadywały stawiając hipotezę. Mądre zgadywanie jest poprawne oraz bardziej efektowne, ale nie jest kształcące. Nie daje możliwości stwierdzenia uogólnień.

Metodyka nauczania rozwiązywania zadań tekstowych.

Praca nad zadaniem powinna się rozpocząć od rozbioru zadań, czyli wyodrębnienia części składowych istotnych dla poszukiwania sposobu rozwiązania. Są to:

- niewiadome - których dotyczy pytanie lub polecenie zadania oraz inne niewiadome występujące w zadaniu.

- Dane

- Związki między danymi i niewiadomymi.

Schematyzacja - dzieci mogą wynik rozbioru zadania przedstawić drzewem lub grafem strzałkowym. Drzewo ułatwi poszukiwanie sposobu rozwiązania drogą ana1izy. Graf dostarcza sposób przez odwrócenie dwóch strzałek i działań.

Drzewa i grafy strzałkowe stanowią dogodne operatywne i bardzo uniwersalne rodzaje takich schematów i należy uczniów zachęcać do ich stosowania.

Symulacja - zaleca się stosowanie środków poglądowych przy rozwiązywaniu zadań tekstowych. Polega to na obrazowym przedstawieniu treści zadania z pomocą materiałów konkretnych. Jednak środki poglądowe należy wprowadzać tylko wówczas, gdy zrozumienie przez uczniów treści zadania okaże się trudne. Nie należy myli, symulacji treści z symbolicznym przedstawieniem zależności między niewiadomymi i danymi.

Trzeba koniecznie od czasu do czasu powrócić jeszcze raz do przebytej drogi. pytając np.: -od czego rozpoczęliśmy poszukiwanie sposobu rozwiązania? jakie, były propozycje sposobów rozwiązania? - jakie zadanie powstanie, gdy jedną z danych zamienimy na niewiadomą i jak je rozwiązać?

Można sugerować dzieciom, by spróbowały ułożyć zadania podobne do tych, które rozwiązywały. Co można zmieni, w tym zadaniu? (aby sposób rozwiązania zadania pozostał taki sam?),jakie zadanie powstanie, gdy jedną z danych zamienimy na niewiadomą i jak je rozwiązać? Itp.

Metody manipulacyjne.

Manipulacyjne metody wykonania obliczeń oraz rozwiązywania równań i zadań tekstowych.

Przeliczanie: manipulując przedmiotami ułatwiamy ich przeliczanie np. poprzez przesuwanie lub dotykanie palcami (na rysunku). Można podzieli, elementy na niewielkie grupy (podzbiory). Gdy mamy policzyć kółka na rysunku, dziecko przyporządkowuje każdemu kółku jeden pionek, następnie zabiera pionki i przelicza je. Bardzo ważne jest by dziecko miało już ŚWIADOMOŚĆ PRZECHODNIOŚCI RÓWNOLICZNOŚCI (m.in. STAŁOŚCI ILOŚCI)

MANIPULACYJNE METODY + i-:

1. Łączenie dwóch zbiorów rozłączonych: 3 patyczki i 2 patyczki, łączymy i przeliczamy.

2. Dokładanie po jednym. Mam 3, dołożę, jeden-jest 4. dołożę drugi jest 5 itd. Doliczanie po kolei

3. Zabieranie elementów. Np. z 5-elementowego zbioru zabieram dwa.

4. Liczenie „od tyłu" Gdy zabiorę 1, będzie 4, zabiorę drugi, zostanie 3.

5. Liczenie na palcach- dzieci zapamiętują układ palców. Dziecko powinno liczyć na palcach tak długo, jak będzie mu to potrzebne i przechodzić stopniowo do liczenia w pamięci.

a)odlicza 4 pace( 1,2,3,4), dolicza 3 palec mówiąc( 1,2,3) patrzy ile jest(często nie musi liczyć­-pamięta układ palców)

b)zapamiętuje liczbę 4 (nie pokazując palców) dolicza 3 palec mówiąc (5,6,7)- wtedy ostatni wypowiedziany liczebnik jest jednocześnie wartością sumy.

POMOCE: Przy liczeniu można wykorzystać korale-liczydła (kulki modeliny lub korale nawleczone na sznurek (każdego koloru po 5 na zmianę)

6. Zaznaczamy patyczkiem lub kartką 6 korali i doliczamy 7. Zaznaczamy kartką sumę, oddzielając

resztę korali.(W liczydłach co 5 koralik inny kolor- łatwo jest odłożyć 6 korali).

7. Patyczek za 13 koralikiem. W lewo odliczamy 7 korali- odczytujemy 6, jako różnicę 13-7.

8. Dodawanie 3 i 5- takie ułożenie figury liczbowej 3 i figury 6 razem by powstała jakaś figura z

zestawu.

9. Odejmowanie 8-5- szukanie figury, która złączona z figurą 5 da figurę 8.

POMOCE: Klocki Cuiseneire'a monety liczydła planszowe; Przy większym zakresie liczbowym-wiązanie patyczków po 10. Patyczki niebieskie- jedności, czerwone to dziesiątki. Zamienianie dziesiątek na jedności.

Rozwiązywanie prostych zadań tekstowych i równań przez symulację:

Symulacja jest czynnością- metodą rozwiązywania zadań. Wykorzystuj konkrety: patyczki, żetony, kasztany itp.

Symulacja Modelowanie-doświadczalna metoda badania procesów socjologicznych itp. lub rozwiązywania zadań matematycznych. Polega na zbudowaniu odpowiedniego konkretnego modelu i dokonywaniu prób na tym modelu.

Zalety symulacji:

1. Czynnościowe metody są bardziej odpowiednie dla dzieci niż metody słowo-myślowe.

2. Symulacja ułatwia abstrahowanie pojęć ( uczy interpretacji wyników)

3. oswajajmy dzieci z metodami symulacji, z którymi spotkają się w życiu codziennym.

Rodzaje:

- 4+5=x=>4 Drzewka Basi. odliczamy 5 kasztanów ( drzewka Kasi) połączyło i

przeliczamy= razem 9 drzewek.

- 10-3=X=>10 kasztanów, na bok odrzucamy 3 kasztany. Pozostałe przeliczamy

W nauczaniu początkowym celowe jest rozwiązywanie równań poprzez układanie odpowiednich zadań tekstowych i rozwiązywanie ich za pomocą konkretów np. poprzez symulację

Metody guzikowe

Przykład: Były 4 samochody. przyjechały jeszcze dalsze i razem było 7 aut. Ile samochodów przyjechało?

Rysujemy guziczki- kółeczka. Przedstawiamy sytuację końcową (7). Wyróżniamy 4 guziczki (to, co było na początku) i otaczamy je pętlą. Pozostałe guziczki dają rozwiązanie.

35. STRATEGIA (METODA) „KRUSZENIA” W PRACY Z TEKSTEM MATEMATYCZNYM

Dla zadań tekstowych „kruszenie” oznacza modyfikowanie, zwiększanie lub zmniejszanie liczby danych i ich wartości, zastępowanie danych innymi, rezygnacja z niektórych danych, zmiana miejsca danych, a także przekształcanie zadania, jego odwracanie, wprowadzanie nowych związków i zależności, uszczegóławianie lub uogólnianie zadania itp. Proces „kruszenia” ma na celu lepsze jego poznanie i zrozumienie i rozpoczyna się zawsze od tzw. zadania bazowego. Jest to zadanie złożone, niestandardowe, ponieważ brak w nim pytania.

5 WERSJI METODY „KRUSZENIA”:

1. Układanie pytań, a potem działań do zadania bazowego

Etapy:

10. prezentacja zadania bazowego i zapoznanie się z nim uczniów

11. układanie pytań szczegółowych do polecenia: co można obliczyć? i ich zapis na tablicy ( zapisujemy wszystkie pomysły bez oceniania ich sensowności; liczy się ich ilość)

12. analiza pytań, układanie do nich działań i obliczenie wyników (zapis działań obok pytań oraz wykreślanie pytań źle postawionych)

13. wybór dowolnego pytania przez uczniów i samodzielne ułożenie treści zadania

14. samodzielne rozwiązanie tego zadania przez ucznia i zapis odpowiedzi.

Przykład

Zadanie bazowe: Olek kupił 3 długopisy po 40 zł każdy, a jego siostra Zosia kupiła 5 zeszytów po 20 zł każdy.

Przykładowe pytania:

• Ile zapłacono za 3 długopisy?

• Ile kosztowało 5 zeszytów?

• Kto zapłacił więcej i o ile?

• O ile droższy był długopis?

• Ile przedmiotów kupili razem?

• Ile zeszytów można kupić za kwotę wydaną na 3 długopisy?

• Itd.

2. Odwrotna do pierwszej- układanie do zadania bazowego działań, a potem pytań.

Etapy:

• prezentacja zadania bazowego

• układanie i zapisywanie wszelkich możliwych działań i ich obliczanie

• analiza działań, układanie do nich pytań, zapisywanie ich obok oraz wymazywanie działań źle ułożonych lub ich poprawienie

• wybór dowolnego działania i pytania, ułożenie do nich samodzielnie nowego zadania

• samodzielne rozwiązanie tego zadania.

3. Obmyślanie zadań szczegółowych do zadania bazowego i przedstawianie ich w zakodowanej formie.

Przykład

Olek kupił 3 długopisy, a Zosia kupiła 5 zeszytów. Ile przedmiotów kupili razem?

4. Zabawa oparta o zadanie bazowe do polecenia: Co by było gdyby?

Przykład

Co by było gdyby…. Olek kupił tylko dwa długopisy?

Co by było gdyby … zeszyty były droższe o 2 zł?

5. Układanie wszelkich możliwych pytań do zadania bazowego, ale z prawem do dokładania danych (zmieniania).

Przykład

Ile złotych reszty otrzyma Zosia z 200 zł?

Ile zapłaci Olek z a3 długopisy i gumkę za 25 zł?

Dwie pierwsze wersje metody można wykorzystać w pełni w klasach niższych, inne wersje wybiórczo i to od czasu do czasu, głównie z uczniami uzdolnionymi.

Metoda „kruszenia” doskonale rozwija myślenie uczniów- zarówno ideacyjne, jak i krytyczno-logiczne. Uczy dostrzegania związków i zależności występujących w zadaniu bazowym oraz umiejętność wykorzystywania ich do tworzenia nowych wersji zadania. Metoda „kruszenia” rozwija płynność, giętkość i oryginalność myślenia.

36. ZADANIA NA PORÓWNYWANIE RÓŻNICOWE, ICH USYTUOWANIE W PROGRAMIE I METODYKA ROZWIĄZYWANIA.

Uczniowie robią liczne błędy przy rozwiązywaniu prostych nawet zadań tekstowych, a przede wszystkim mylili porównywanie różnicowe [o 2 więcej, o ile więcej, o ile mniej] z porównywaniem ilorazowym [2 razy więcej, 2 razy mniej, ile razy mniej]. Zgodnie z zasadą spiralnego układu materiału, pojęcia te należy przerabiać kilkakrotnie, wracając do nich przy różnych okazjach. Porównywanie różnicowe pojawia się poraz pierwszy w kl. I przy przerabianiu pierwszej dziesiątki: „Porównywanie liczebności danych zbiorów i stwierdzanie, o ile się różnią [o 2 więcej, o 2 mniej]. W kl. II należy starannie wyjaśnić oba pojęcia i przerabiać przykłady stosowania ich w łatwych przypadkach. W kl. III powtarzamy je i stosujemy w bardziej złożonych zadaniach tekstowych.

Główne trudności można podzielić na pojęciowe i językowe.

Trudności pojęciowe - mają charakter matematyczno-psychologiczny. Główna trudność polega na tym, że w porównywaniu różnicowym mowa jest nie o czynnościach, lecz o relacji, o związku między wielkościami.

Zadanie: w ogrodzie rosną 4 jabłonie, a za płotem rośnie jeszcze 6 jabłoni. Ile jest ich razem? Sytuacja jest dla ucznia bardziej zrozumiała niż przy sformułowaniu równoważnym: w ogrodzie rosną 4 jabłonie, a za płotem o 2 więcej niż w ogrodzie. Ile jest razem jabłoni?

Z tego powodu pożądane jest, by w okresie zaznajamiania się z porównywaniem różnicowym uczniowei przedstawiali schematycznie daną sytuację i wyjaśniali, że o 2 więcej - to tle samo i jeszcze 2. w razie zauważenia trudności pojęciowych należy dać dzieciom łatwiejsze zadania, w których jest wyraźne następstwo czasowe, np. w ogrodzie posadzono 4 jabł. A za płotem posadz. Najpierw tyle samo jabł. Co w ogrodzie, a potem jeszcze dwie dalsze.

Druga trudność polega na tym, że zadania dot. Porównywania różnicowego wymagają nieraz odwracania relacji, co wiąże się z odwracalnością operacji umysłowej. Uczeń powinien zrozumieć, że jeżeli za płotem jest o 2 jabł. Więcej, to w ogrodzie jest o 2 jabłonie mniej.

W tym przykł. Nie można odwołać się bezpośrednio do ubywania, gdyż mówiło się o sadzeniu jabłoni, a nie o wycinaniu jabłoni. Uczeń musi więc odwrócić sytuację w myśli. Można mu to ułatwić zmieniając fabułę: za płotem było 6 jabłoni, a w ogrodzie tyle samo, ale potem 2 jabł. W ogrodzie wymarzły w czasie zimy.

Określenia porównywanie różnicowe w szkole oczywiście nie używamy - to termin metodyczny. Dział porównywa. Różnic. Podzielony jest na 2 części: w 1 części znajdują się zdania typu „o 3 wiecej” i „o 3 mniej”. 2 część dot. Zadań w pewnym sensie odwrotnym, dane są dwie wielkości: pytamy: o ile więcej, o ile dłuższy.

Celem jest uzmysłowienie uczniom, że zwrot o 2 wiecej znaczy tyle samo i jeszcze 2. należy uczniom zwrocic uwage na charakterystyczne dla porownyw. Roznicowego slowo „o”, które nieraz myla ze slowem „razy” tzn „o 3 wiecej” myla z „3 razy wiecej”.

I.

• tabelki ze strzałkami, zw. W literaturze metodycznej tabelkami funkcyjnymi. Znane są uczniom z kl. I. N-l powinien przerysować na tablicy pierwszą z nich, wypełnić ją wspólnie z uczniami. Strzałka u góry pokazuje, że do kolejnych liczb znajdujących się w lewej kolumnie tabelki należy stale dodawać tę samą liczbę 4. W górnym wierszu do 9 dodaje się 4, wynik: 13 został już wykropkowany w prawej kolumnie jako przykład. Podobnie w drugim wierszu do 7 dodaje się 4 i wpisuje wynik 11. w ten sam sposób postępuje się dalej. W yniki należy wpisywać w okienka po prawej stronie tabelki. W drugiej tabelce trzeba stale odejmować liczbę 3, a więc mamy kolejno: 13-6=7, 14-6+8, 11-6+5.

• ważenie - łączące się z porównywaniem różnicowym. Jest to poglądowe wyjaśnienie sensu zwrotów typu: o 2 kg cięższy,. Zadania proste, a potem zadania odwrotne, a na koniec wprowadzenie w zadanie złożone.

• zadania na porównywanie wieku - jest to szczególnie trudne, gdyz wiek jest pojeciem abstrakcyjnym dla dzieci, nie ma konkretnych czynności do wykonania. N-l powinien też dać jakieś proste zadanie nie tylko ze słowami: starszy, młodszy, lżejszy, cięższy, ale też: tańszy, szerszy, węższy, np. linijka jest o 4 cm szersza.

II.

Pytać będziemy teraz: o ile więcej/mniej; o ile większy/dłuższy/szerszy/grubszy/głębszy/cięższy/starszy/droższy.

Uczniowie wykonują czynnościowo rysując odpowiednią liczbę prostokątów.

Treści programowe: Kl. I - używanie określeń: tyle samo, więcej, mniej; Kl. II - porównywanie różnicowe, np. „dłuższy o 20 cm, o ile kg lżejszy, o 3 lata starszy”; Kl. III - porównywanie sum i różnic [obserwacje typu: gdy mniej odejmujemy to więcej zostaje]; powtórzenie porównywania różnicowego, w tym łatwe zadania złożone.

37. ZADANIA NA PORÓWNYWANIE ILORAZOWE, ICH USYTUOWANIE W PROGRAMIE I METODYKA ROZWIĄZYWANIA

* 2 typy zadań na porównyw. Ilorazowe: 1) „tyle razy więcej/tyle razy mniej [wyszy/nizszy, mniejszy/wiekszy, droższy/tanszy itp.]; 2) „ile razy więcej/mniej? [wyższy/niższy; mniejszy/większy, droższy/tańszy itp.]

* Usytuowanie w programie - kl. III: treści: „porównywa. Ilorazowe [3 razy większy, 5 razy więcej, 4 razy mniejszy, ile razy więcej?, ile razy mniejszy? Itp.]; kontrastowanie z porównywaniem różnicowym

* Metodyka rozwiązywania: by odróżnić porównywanie ilorazowe od różnicowego, należy zestawić je ze sobą i w ten sposób zaobserwować podobieństwa i różnice; zwroty: dwukrotny, trzykrotny itd.; zadania wymagają odwracania relacji [odwracania operacji umysłowej]: jeśli tu jest 2 razy więcej, to tam jest 2 razy mniej - ilustracja na grafie lub w tabelce; zadanie: Jacek kupił 3 autka za 42 zl: Male, duze i do nakręcania. Duze było 2 razy droższe od małego, do nakręcania 2 razy droższe od dużego. Jacek zapomniał ceny autek. Czy może je odtworzyć? Rozwiązanie:

□ cena malego autka;
M: □
D: □□ [duże 2 razy droższe od małego]
N: □□□□
Wszystkie kosztowaly 42 zl: □□□□□□□ 42 zł; 42 : 7 = 6 zł
6 zł - cena małego autka; cena dużego: 2*6zl=12zl; cena nakręcanego: 2*12zl=24zl
odp.: Jacek może odtworzyc ceny autek: Male kosztowalo 6 zl, duze 12, nakręcane 24.

38. WIADOMOŚCI I UMIEJĘTNOŚCI PRAKTYCZNE W NAUCZANIU POCZĄTKOWYM MATEMATYKI, ZAKRES TREŚCI I UMIEJSCOWIENIE W PROGRAMIE.

Mierzenie długości:

Kl. I treści programowe: wprowadz. w sens pomiaru długości [np. kija, stołu, klasy] oraz odległości [miedzy przedmiotami itp.] przez odmierzanie krokami, stopami, patyczkami itp. Wymierzanie tego samego przedmiotu różnymi miarkami. Porównywanie długości przez bezpośrednie przykładanie przedmiotów do siebie i przez porównywanie ich z trzecim przedmiotem. Mierzenie z wykorzystaniem podziałki centymetrowej [metr jako 100 cm].

Zaczynamy od mierzenia przedmiotów np. Sali - krokami, ławki-dłońmi, ołówkiem itp. Później wprowadzamy mierzenie przy pomocy linijki. Wprowadzamy jeden metr jako 100 cm - mierzenie jako wielokrotne przykładanie tej samej miary lub na zasadzie „ile się zmieści”.

Kl. II treści progr.: mierzenie długości: m, cm, mm, km. Objaśniamy na przykładach z danej miejscowości. Obliczanie długości linii łamanych, w szczególności obwodów prostokątów i trójkątów. Odnajdywanie położenia różnych obiektów na planach miast i osiedli. [wyznaczanie odległości na planie przez przykładanie danego odcinka do narysowanej podziałki. Określanie skali w postaci np. 1 cm na mapie to 500 m w terenie [bez używ. Określeń typu: skala 1:3, 2:1 itp.]; Wprowadzenie zadań tekstowych na obliczanie długości w cm i mm. Zamiana centymetrów na milimetry i odwrotnie.

Mierzenie ilości płynu - treści programowe

Kl. I - mierzenie ilości wody itp. [np. za pomocą szklanki], mierzenie pojemności naczyń przez wlewanie do nich wody. Ćwiczenia wspomagające rozumienie tego, że po przelaniu płynu do naczynia o innym kształcie [lub do kilku naczyń] ilość płynu pozostanie ta sama [litr]. N-l powinien koniecznie pokazać klasie litrową butelkę. Uświadamia uczniom, że litr to tyle, co mieści się w tej butelce, a 10 litrów to tyle, ile się zmieści w 10 takich butelkach.

Kl. II - przypomnienie mierzenia pojemności naczyń [np. za pom.szklanki]; litr; rozw. Zad. Tekst. [butelka litrowa, półlitrowa, ćwierćlitrowa], porównyw. Ilości płynu.

Kl. III - litr, ml, l jako 1000 ml; zad. Text. Na porównywanie ilości płynu, typu: gdzie jest więcej: 225 ml, ¼ l]

Ważenie - treści programowe:

Kl. I - ważenie - mierzenie masy; równowaga na wadze szalkowej, użycie odważników. Kg. Przed omawianiem ważenia należy odwołać się do doświadczeń, jakie dzieci miały z równoważnią. Wskazane jest pokazanie dzieciom prawdziwej wagi. Kg jest wprowadzany przy rozszerzeniu zakresu liczbowego do 100. Pojęcia: lżejszy, cięższy.

Kl. II - praktyczne ważenie przedmiotów - szczególnie pożądane jest wykorzyst. Wagi szalkowej; kg jako 100 dag; Uświadomienie uczniowi, że po zamianie towaru ważonego z odważnikiem [zmiana miejsc] waga pozostaje taka sama.

Kl. III - kg, dag, g, t, kwintal, brutto, netto, tara; uzmysłowienie dziecku, że przy mierzeniu ciężkich przedmiotów posługujemy się wiekszymi jednostkami tj. kwintal - 100kg, tona - 1000 kg, dag - 10g; dominują zad. Tekstowe.

Czas - treści programowe:

Kl. I - zaznajamianie się ze zjawiskiem upływu czasu [obserw. Zegarów, klepsydry]; odczytywanie godzin na zegarze, kolejność dni tygodnia; prezentacja różnych zegarów, odczytyw. Najpierw pełnych godz., nastaw. Zegarów na daną godzinę.

Kl. II - godziny, minuty; odczytyw. Zegara; obliczenia godzinowe bez przekraczania progu dwunastkowego i z przekraczaniem; kolejność dni tygodnia, miesięcy. Pisanie dat. Podział na kwartały, pory roku. Pojawiają się pojęcia: północ, południe, doba, dzień.

Kl. III - godziny, minuty, sekundy. Odczytywanie zegara w systemie 12 i 24-godzinnym. Obliczenia zegarowe; utrwalenie znajomości kolejności miesięcy i odpowiadających im znaków rzymskich. Pisanie dat rozmaitymi sposobami. Zadania związane z kalendarzem. Stulecia.

39. MIERZENIE CZASU, OBLICZENIA ZEGAROWE I KALENDARZOWE- RODZAJE ĆWICZEŃ I USYTUOWANIE ZE WZGLĘDU NA POZIOM TRUDNOŚCI.

Klasa I

-uchwycenie poczucia upływu czasu

-rodzaje zegarów: tarczowe, elektroniczne, klepsydra, słoneczne, świecowe, wodne.

Różne rodzaje tarczy zegarów

-odczytywanie godziny na zegarze-tylko pełne godziny

Dwa rodzaje ćwiczeń:

1.odczytaj która jest godzina,

2. nastaw zegar na daną godzinę (dwie wskazówki: mała-godzinna, długa-minutowa, ich ustawienie)

-kolejność dni tygodnia - zegar tygodniowy

- miesiąc, rok, tydzień- to pojęcia jednoznaczne często mylą się dzieciom. Zwracamy uwagę, że tydzień to np. od poniedziałku do poniedziałku, albo od dowolnego dnia 7dni.

- ucząc godzin, ile mija godzin, pokazujemy małą wskazówkę, ile mija godzin-odstęp między godzinami np. od 8 do 12 to 4 godziny

-częste błędy:

1. liczenie wraz z daną godziną o jedną godzinę za dużo np. od godz 8 do 12 to (8,9,10,11,12) 5 godzin

2. liczenie liczb między liczbami na zegarze np. od 8 do 12 (9,10,11) czyli 3 godziny.

- przekraczanie progu dwunastkowego w obliczeniach

Klasa II

-cyfry rzymskie- miesiące, kolejność miesięcy

-podział na kwartały (3miesiące)

- podział na pory roku

- pisanie dat, poprawne odczytywanie dat np. 05.05.2008(piąty maja a nie piąty maj), sposoby zapisywania 5.05.2008, 05.05.2008, /2008.05.05 (wydruki komputerowe)/, 5.V.2008, 5 maja 2008

- sąsiadujące miesiące

- zestawienia 14:00 to 2 po południu

- północ (12 w nocy, 24 godz., 0 godz.) południe 12:00

- doba- 24 godziny

- przekraczanie progu dwunastkowego, ile czasu upływa od 11 do 2? Rozbijanie progu dwunastkowego: np. od 8 do 2 po południu to 8-12czyli 4 godz., 12-2czyli 2 godziny

- minuta, jedna godzina to 60 minut

- poczucie ile trwa minuta, różne ćwiczenia np. ciche liczenie od 1 do 60, przez 1 minutę nic nie mówimy, na 1 minutę zamykamy oczy

- pokazywanie na zegarze godzin z minutami,

- wpół do 8, za kwadrans

-elektroniczne odczytywanie

- zegar tygodniowy, cykliczność dni tygodnia

- jutro, pojutrze, wczoraj, przedwczoraj

Klasa III

Godziny, minuty, sekundy. Odczytywanie zegara w systemie dwunastogodzinnym i systemie dwudziestoczterogodzinnym. Obliczenia zegarowe.

Utrwalenie znajomości kolejności miesięcy miesięcy odpowiadających im znakom rzymskim.

Pisanie dat rozmaitymi sposobami.

Zadania związane z kalendarzem. Stulecia

40. OBLICZENIA PIENIĘŻNE I ICH WYKORZYSTYWANIE DO DZIAŁAŃ NA LICZBACH WIELOCYFROWYCH

Klasa I

W klasie I dzieci zapoznają się z pojęciem MONETA (złote i grosze). Uczą się operować pieniędzmi w zakresie 10 zł oraz rozmieniać na drobne.

Pieniądze wykorzystywane są przy działaniach na:

• Rozwiązywanie prostych zadań tekstowych np. Czy kasjerka dobrze rozmieni 10 zł. Oli?(1zł, 5zł, 1zł, 2zł, 1zł)

• Doskonalenie umiejętności dodawania i odejmowania w zakresie 100 zł: Pomóż Asi policzyć ile kosztowały jej zakupy( miód-13zł, chleb-2zł, mleko-3zł, sok-4zł itd.)

• mnożenia i dzielenia w zakresie 20-30 np. Ile tu jest pieniędzy

5zł, 5zł, 5zł, 5zł 4*5=…

2zł, 2zł, 2zł, 2zł, 2zł, 2zł,2zł …….*2=…

1zł, 1zł, 1zł, 1zł ….*1=…

• oraz przy zabawie w sklep np. Przy zabawie w sklep uczniowie są sprzedającymi jak kupującymi na zmianę. W ten sposób uczą się rozmieniać, wydawać i liczyć pieniądze.

Klasa II

W klasie II bardzo często wykorzystywane są monety jako środek poglądowy w nauczaniu arytmetyki. Dzieci w klasie 2 operują monetami i banknotami banknotami zakresie 100zł. Pieniądze wykorzystywane są przy działaniach na:

1. rozszerzanie numeracji do 100 np. Kasjer liczy groszówki i układa je po 10(1gr, 1gr, 1gr……..)10gr to tyle samo co jedna dziesiątka (10gr)

Kasjer liczy teraz 10 groszówki: dwie 10groszówki to… (dwadzieścia) 20. 3 dziesiątki to… itd.

Celem tych ćwiczeń jest zapisywanie i odczytywanie tzw. pełnych dziesiątek tzn. 10, 20,30… oraz poznanie liczby 100

2. dodawanie i odejmowanie w zakresie stu. Np. Hanka miała 50gr od cioci dostała 20gr.Ile monet po 10 gr ma Hanka? Ile pieniędzy ma Hanka? Hanka miała 5 monet (10gr, 10gr, 10gr, 10gr, 10gr) dostała jeszcze dwie monety (10gr, 10gr) 50+20=…

3. Numeracyjne przypadki dodawania i odejmowania w zakresie stu ( typu: 40+3=43, 43-3=40) np. 10gr, 10gr, 10gr, 10gr 1gr 1gr 1gr 40+3=…

4. dodawanie i odejmowanie od liczby dwucyfrowej pełnej dziesiątki ( dodawanie typu 34+20=54 oraz odpowiadające mu odejmowanie 54-20=34)

5. Porównywanie różnicowe np.: Zosia ma 5 zł, Jadzia ma 4zł więcej od Zosi. Nina ma 10 zł od Jadzi. Ile pieniędzy ma Jadzia, ile Nina?o ile zł więcej od Zosi ma Nina?

6. Mnożenie i dzielenie w zakresie 100. Np. Ile tu jest monet? Ile tu jest pieniędzy?

10 gr 10gr, 10gr, 10gr, 10gr, 10gr, 10gr, 10gr 8*10=…

- 8*10zł to tyle samo co 8 monet po 10 złotych czyli 80zł

80gr rozdzielamy pomiędzy 8 dzieci. Po ile pieniędzy dostaną? 80:8=…

Kwotę 80gr rozdzielamy na 8 równych części

7. Dodawanie i odejmowanie liczb dwucyfrowych bez przekraczania progu dziesiątkowego np. 54+32=50+4+30+2

Klasa III

W klasie 3 dzieci operują monetami i banknotami w zakresie 200zł. Pieniądze wykorzystywane są przy działaniach na

1. dodawanie i odejmowanie w zakresie 200zł np. Powiedz co kosztuje ok. 1zł, 5zł, 20zł, 200zł

Chodzi tu o uświadomienie dzieciom wartości pieniądza, szczególnie ważne jest to, że 1zł to 100gr.

2. Dodawanie i odejmowanie wyrażeń dwumianowych np. Narysuj takie monety, aby ich łączna wartość była równa kwocie podanej na rachunku, do zapłaty 1zł 90gr, do zapłaty 2zł 30gr

Głównym celem jest wprowadzenie w zapis dwumianowy np. 9zł 37gr

3. Mnożenie i dzielenie pamięciowe np. Kasjer wypłacił 270zł banknotami 10złotowymi. Ile to było banknotów

270:10=27 bo 27*10-270

Nauczyciel zadaje pytania: Ile razy 10 mieści się w 270?

Ile to jest 27 razy po 10

4. Dzielenie typu 96:3 z zastosowaniem rozdzielności np. Kwotę 96 zł należy podzielić równo między 3 osoby. Ile złotych dostanie każda z tych osób? 96:3=90:3+6:3=32

41. ROLA GIER I ZABAW W ŻYCIU DZIECKA I EDUKACJI MATEMATYCZNEJ

Matematyka jest dostępna dla każdego przeciętnie uzdolnionego człowieka, nam jednak często zdaje się że wymaga nadprzyrodzonych zdolności:P ponieważ ludzie różnią się poziomem szybkości przyswajania treści a niektórzy szybko zniechęcają się do matematyki, trzeba uczynić wszystko żeby nauka była czymś przyjemnym już od najmłodszych lat. Należy także kształtować pożądaną postawę intelektualną ucznia.

Jedną z dróg do osiągnięcia tego celu jest stosowanie gier i zabaw, które kształcą intelekt, wzbudzają ciekawość poznawczą, uzewnętrzniają ukryte zdolności, rozwijają odporność emocjonalną.

Definicje gier i zabaw:

W psychologii - wynikająca z bezpośrednich potrzeb i zainteresowań dobrowolnie podejmowana działalność zmierzająca do określonego celu, której motywem podstawowym jest przyjemność związana z wykonywaniem tej czynności. Zabawa jest związana z rozwojem osobniczym dziecka, ale także z kulturą w której żyje.

Z pojęciem zabawy związane pojęcie gry, nie należy jednak stosować ich wymiennie. R. Więckowski wymienia warunki gry: - sprawia przyjemność, posiada reguły, kończy się wygraną lub przegraną. Okoń twierdzi, że „gra jest odmianą zabawy polegającą na respektowaniu ustalonych ściśle reguł”. Turnau i Pieprzyk piszą, że „gra to czynności (posunięcia) wykonywane przez grające osoby (lub zespoły) w liczbie co najmniej dwu, zgodnie z ustalonymi regułami, których celem jes wygranie jednej z osób (lub zespołu). Tak więc podstawowa cecha to istnienie sytuacji konfliktowej oraz współzawodnictwa. Istotnie także wykazanie się pewnymi umiejętnościami oraz podporządkowanie się regułom, które muszą być ściśle przestrzegane w toku gry. W trakcie gier można uczyć dzieci panowania nad sobą, wyrabiać refleks, kształtować umiejętności nterpersonalne, rozwijać pamięć mowę i myślenie, doskonalić umiejętności matematyczne.

Przy wyborze konkretnej gry matematycznej ważne jest dopasowanie jej do możliwości intelektualnych dzieci. Nie może być ani za łatwa ani za trudna. Dobrym pomysłem jest pozwolenie dzieciom na samodzielne konstruowanie gier.

Gry matematyczne dzielimy na: strategiczne - w których efekt końcowy zależy od świadomego wyboru gry i wymaga wysiłku intelektualnego oraz określonego zasobu wiedzy oraz gry losowe o których przebiegu decyduje przypadek.

42. PRZYKLADY GIER MATEMATYCZNYCH I MOŻLIWOŚCI ICH WYKORZYSTANIA W PRACY Z UCZNIAMI.

Gra „ BINGO”

N-l rozdaje uczniom kartkę z narysowanym kwadratem podzielonym na 36 małych pól. Następnie podaje 36 liczb, które uczniowie wpisują w dowolnych miejscach w kwadracie. Gdy uczniowie wpiszą już wszystkie liczby N-l podaje kolejno działania - na + - x czy dzielenie. Uczniowie wykonują w pamięci obliczenia szukają wyniku w kwadracie i skreślają liczby. Kto pierwszy skreśli rząd kolumnę lub skos krzyczy „Bingo” i wygrywa

Gra w „KTO PIERWSZY”

N-l dzieli klasę na 3osobowe grupki, każda z grup otrzymuje 10 kart, od asa (jako 1 ) do 10. Jedna osoba jest „rozgrywającym” pozostałe 2 osoby graczami. Rozgrywający bierze 2 przypadkowo wybrane karty i pokazuje je graczom. Zadaniem jest jak najszybsze obliczenie odpowiedniego działania (+ - x lub :) Kto pierwszy ten otrzymuje karty. Kto ma więcej kart ten wygrywa.

Gra w „ZGŁOŚ SIĘ”

Dzieci wybierają po jednym kartoniku z liczbami od 1 do 100. Następnie N-l podaje różne polecenia. Ma się zgłośić dziecko z odp. liczbą po każdym poleceniu.

- Zgłoś się jeśli masz: sumę liczb 28 i 5, iloraz, iloczyn itp., liczbę parzystą, nieparzystą, ileś razy większą, ileś razy większą od …, liczbę mniejszą, większą o… , od mojej .. itp. DUŻO MOŻLIWOŚCI

Gra w „POJEDYŃCZY ŁAŃCUSZEK”

U-wie grają parami. Mają do swojej dyspozycji komplet materiału logicznego oraz 5 żetonów. Najpierw losujemy, który z uczestników rozpoczyna grę, po czym kładzie on na stoliku dowolny kartonik. Zadaniem 2 uczestnika gry jest umieszczenie obok pierwszego kartonika następnego ,który różni się dokładnie jedną cechą. Kładąc kartonik inform. partnera jaką cechę zmieniamy. Teraz z kolei 1 uczeń kładzie następny kartonik różniący się od drugiego dokładnie jedną cechą i inform. partnera jaką cechę zmienia. I tak kolejne cechy tworzą pojedynczy łańcuszek Żetony otrzymuje się gdy któryś z partnerów się pomyli. Gra może zakończyć się remisem.

Bowiem gra wymaga materiału logicznego, można ją stosować przy utrwalaniu pojęć związanych z figurami geom. Zalecana również w domu.

43. PROPEDEUTYKA ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ W KLASACH I - III

Wstęp:

Rozwiązując zadania matematyczne można często ułatwić sobie pracę odpowiadając na pewne ogólne pytania:

• Co jest niewiadome?

• Co jest dane?

• Jaki jest warunek?

W zadaniach typu geometrycznego jest to zazwyczaj warunek na punkt lub układ punktów, w zadaniach algebraicznych warunek ten daje się zazwyczaj zapisać w formie równania, nierówności lub układu równań czy nierówności. Umiejętność rozwiązywania równań jest warunkiem koniecznym do rozwiązywania dużej części zadań matematycznych.

Uczeń powinien rozumieć równanie jako „warunek na liczbę”. Rozwiązując je dziecko poszukuje takich liczb, które spełniają dany warunek, tzn. takich, że po postawieniu ich za niewiadomą otrzyma zadanie prawdziwe.

Na przykład mając równanie 17 - y = 12

Dziecko może podstawić różne liczby za y i obliczać za każdym razem różnicę 17 - y, w ten sposób stwierdzi ono, że dla y = 5 otrzymuje się równość 17 - 5 = 12. A więc liczba 5 jest rozwiązaniem równania.

Zapisywanie równań w klasach początkowych:

W dawniejszym programie klas początkowych równania występowały w postaci zadań typu:

+ 3 = 10

Służyły one pogłębieniu rozumienia związków między działaniami i były pewną formą ćwiczeń rachunkowych, nie miały natomiast zastosowania jako matematyczne narzędzie do rozwiązywania zadań tekstowych. Obecnie znacznie wcześniej wprowadza się równania, stosuje się również różne sposoby zapisania równań do rozwiązywania zadań tekstowych. Przy wprowadzeniu pierwszego równania zapisanego z użyciem symbolu literowego mogą wystąpić pewne trudności. W podręcznikach do klasy I używa się symbolu x na oznaczenie niewiadomej, ale warto stosować również inne litery. Ważne jest aby wcześniej wprowadzić tą literę x w celu uniknięcia kolejnych trudności. Dzieci nie poznają litery x na lekcjach języka polskiego, więc nie umieją jej przeczytać, jest ona dla nich dziwna i tajemnicza. Literę x należałoby wprowadzić poprzez analizę np. takich słów jak: taxi, ixi, dixi, silux, które są dzieciom znane.

1. W klasie I równanie można zapisywać różnymi sposobami:

1. W formie równości np:

x + 2 = 8

+ 2 = 8 W każdym z tych przypadków równanie jest warunkiem na szukaną liczbę

? + 2 = 8

…+2 = 8

2. Za pomocą grafu

Umowa dotycząca odczytywania grafu jest następująca: czytamy zawsze zgodnie ze zwrotem strzałki, liczby i niewiadome wpisujemy w kwadraciki, kółeczka czy inne figury lub piszemy na początku i na końcu strzałki

3. Za pomocą drzewka

Liczby, na których wykonuje się działania znajdują się „na gałązkach”, wynik zaś jest na dole. Liczby występujące w danym działaniu odczytujemy od strony lewej do prawej.

W przypadku grafów i drzewek bardzo ważne jest przestrzeganie umów dotyczących znaczenia liczb wpisanych w kwadraciki. Uczeń musi zdawać sobie z tego sprawę. Zgodnie ze wskazówkami metodycznymi do programu, równania w klasie I powinny mieć charakter propedeutyczny, służyć pogłębianiu rozumienia związków między działaniami, a w przypadku zadań tekstowych mają być użyte tam, gdzie ich zastosowanie ułatwi uczniowi pracę. W podręcznikach do klasy I równania z niewiadomą pojawiają się w związku z łatwymi zadaniami klasowymi. Okazuje się, że uczniowie zadania te rozwiązują w pamięci i w ten sposób zamykają sobie drogę do układania równań, do poszukiwania drogi ułatwiającej rozwiązanie zadania. Pierwsze równanie pojawić się powinno w wyniku naturalnej potrzeby zapisania treści zadania w postaci warunku na niewiadomą. Jeśli nie nadarzy się do tego okazja przy zadaniach z życia, możemy posłużyć się zadaniem tekstowym na temat liczb.

Pierwsze równanie może pojawić się np.:

• w związku z rozwiązywaniem zadania typu:

Jakaś nieznana nam liczba mówi do liczby 9: „Jesteś ode mnie większa o 3”. Jaka to liczba? Uczeń zapisze treść zadania za pomocą grafu, obierając wcześniej literę np. x na oznaczenie niewiadomej.

Może on również zapisać treść zadania w formie:

x + 3 = 9

Po zapisaniu treści zadania nauczyciel zapyta „Co powie liczba 9 do liczby x?”, odpowiedź ucznia powinna brzmieć: „Liczba 9 powie: jesteś ode mnie mniejsza o 3”. Odpowiedź swoja uczeń zilustruje rysując strzałkę odwrotną.

Otrzymując równanie 9 - 3 = x , z którego oblicza, że rozwiązaniem jest liczba x = 6.

• Podczas zabawy w zgadywankę jeden z uczniów ma pomyśleć jakąś liczbę mniejszą od 7. następnie do pomyślanej liczby ma dodać liczbę 3 i podać wynik. Nauczyciel proponuje tę pomyślaną liczbę oznaczyć x. Sytuację tę można więc opisać za pomocą równania:

x + 3 = 10

…+ 3 = 10

Rozwiązywanie równań za pomocą konkretów

Równania w klasach początkowych można rozwiązywać stosując następujące sposoby:

• Poszukiwanie rozwiązania oparte na znajomości działań, wsparte doświadczeniem na materiale konkretnym, np. „kolorowych liczbach”, liczydle, modelu osi liczbowej itd.

• Zastosowanie grafów strzałkowych

• Wnioskowanie z prawa redukcji

Rozwiązując równanie na przykład 5 + x = 10 dziecko może metodą prób i błędów odgadnąć, że liczba 5 spełnia to równanie, a następnie upewnić się, czy rozwiązanie jest dobre, podstawiając za x liczbę 5. Niektórym dzieciom potrzebne będzie odwołanie się do konkretu np. liczby w kolorach, goplan, rysunek osi liczbowej, liczydło.

W trakcie nauki dostarczamy uczniowi przykładów równań równoważnych. Na tym poziomie niepotrzebne jest wprowadzanie nazwy „równanie równoważne”.

• Przykład wprowadzania równań równoważnych:

Klasę dzielimy na grupy, przy czym każda grupa rozwiązuje inne równanie. Dzieci rozwiązują równania z niewiadomym drugim składnikiem np.

1 grupa równanie 2 + x = 7

2 grupa równanie 5 + x = 10

3 grupa równanie 3 + x = 8

Po samodzielnym rozwiązaniu równań, w poszczególnych grupach może odbyć się rozmowa na temat rozwiązań równań wszystkich grup. Okaże się przy tym, że liczba 5 jest rozwiązaniem każdego z danych równań. Dzieci uzasadniają to wskazując na równości>

2 + 5 = 7

3 + 5 = 8

5 + 5 = 10

Każda z grup miała inne równanie, ale rozwiązania wszystkich grup są te same. W ten sposób dzieci w konkretnej sytuacji spotykają się z równaniami równoważnymi.

Jednym z celów wprowadzenia grafów jest uwypuklenie związków między działaniami wzajemnie odwrotnymi. Między innymi chodzi nam o dostarczenie uczniowi środków poglądowych związanych z porównywaniem różnicowym:

„jesteś ode mnie o 5 większa”

„jesteś ode mnie o 5 mniejsza”

Oraz porównywaniem ilorazowym:

„jesteś ode mnie 2 razy większa”

„jesteś ode mnie 2 razy mniejsza”.

Za pewne przyczyni się to do wyeliminowania błędnego przekształcenia równania

np. 3x = 15 na x = 15 - 3

Graf, który umożliwia dziecku rozwiązanie równania bez użycia konkretu może pojawić się w związku z zabawą w „mówiące liczby” (opisana wcześniej). Należy -pamiętać, że graf to świetny środek dydaktyczny, którego nie należy nadużywać, gdyż dzieci rysują strzałki bezmyślnie i rozwiązują równania mechanicznie.

Podstawą trzeciego z wymienionych na początku sposobów rozwiązywania równań jest prawo redukcji.

Mówi, że jeżeli a + c = b + c; to a = b

Przykład:

x + 2 = 10

Analizując stwierdzamy, że po lewej stronie występuje suma jakiejś nieznanej liczby

i liczby 2. Wobec tego podobną sumę chcemy mieć po stronie prawej. Uczeń wie, że liczba 10 rozkłada się na 8 i 2, więc może zapisać x + 2 = 8 + 2 stąd porównując obie strony wyciąga wniosek, że x = 8.

• Metoda guziczkowa:

Wykorzystuje się ją do rozwiązywania zadań typu drugiego (mających niewiadomą na drugim miejscu), daje użycie schematu graficznego nazwanego przez nas guziczkowy. Metoda ta naśladuje rozwiązanie manipulacyjne, czyli symulację za pomocą konkretnych przedmiotów np. równanie 4 + x = 7 można rozwiązać następująco:

Były 4 samochody. Przyjechały jeszcze dalsze i razem było 7 samochodów. Ile samochodów przyjechało?

Rozwiązujemy to rysując dla uproszczenia guziczki zamiast samochodów.

• Rozwiązywanie równań o dwóch działaniach za pomocą grafów:

Program matematyki przewiduje obok prostych równań również bardziej złożone równania o dwóch działaniach w klasie 3, a mianowicie 3x + 4 = 19; 5x - 3 = 17 itp.

Najbardziej naturalnym sposobem rozwiązywania takich równań będzie zastosowanie grafu złożonego ze znanych i wcześniej stosowanych grafów strzałkowych. Na przykład równanie 3x + 4 = 19 uczeń zapisze wychodząc od x i rysując strzałki „3” oraz „+4”. Następnie narysuje strzałkę oznaczającą działanie odwrotne do „+4” i obliczy wartość 3x. Później zaś narysuje strzałkę odwrotną do „3” i znajdzie x. Korzystając z tego grafu uczeń odczytuje, że rozwiązaniem równania 3x + 4 = 19 jest x = 5.

S	D	J
				3	4
			*	2	0
				8	0
			6	0	0
			6	8	0

---