wek 03 3, Pomoce naukowe, studia, Ekonomia2, III rok Ekonometria


Wykład 3. Weryfikacja modeli ekonometrycznych

dr Jerzy Zemke

Katedra Ekonometrii

Wydział Zarządzania U.G.

Weryfikacja to sprawdzenie trzech zbiorów założeń o elementach modelu:

  1. stopnia zgodności modelu do opisywania przezeń fragmentu rzeczywistości ekonomicznej,

  2. określenia kierunku i siły oddziaływania zbioru zmiennych objaśniających na zmienną objaśnianą,

  3. weryfikacji założeń o składniku losowym,

  4. weryfikacji założeń o stabilności struktury modelu.

Konstrukcja a następnie estymacja parametrów strukturalnych oraz struktury stochastycznej modelu, była możliwa w rezultacie przyjęcia licznego zbioru założeń. Dotyczyły one „oczekiwań” związanych ze zbiorem zmiennych objaśniających, składnika losowego oraz postaci analitycznej relacji pomiędzy zmiennymi objaśniającymi a zmienną objaśnianą. Jest rzeczą oczywistą, że taka konstrukcja formalna definiowana przy tak licznym zbiorze warunków wymaga weryfikacji, która powinna przynieść odpowiedź na fundamentalne pytanie, czy model „potwierdza” przyjęte założenia?

Procedura weryfikacji powinna zatem dać odpowiedź na pytania o poprawność wyboru zbioru zmiennych objaśniających, przyjętego do opisu zmian zmiennej objaśnianej, istotna staje się odpowiedź na pytanie o kierunek oddziaływania zmiennych objaśniających w kontekście zmian zmiennej objaśnianej, wreszcie powinniśmy poznać odpowiedź na pytanie o istotność wpływu zmiennych objaśniających na zmiany zmiennej objaśnianej?.

Chcemy znać także odpowiedź na pytanie, czy przyjęte założenie o postaci analitycznej modelu, nie niesie sprzeczności z „modelowym” opisem zmian zmiennej objaśnianej.

Wprowadzając do modelu składnik losowy, fakt ten tłumaczymy lakonicznie „obiektywną koniecznością”. Mamy świadomość, że należy to przekonywująco uzasadnić a przede wszystkim odpowiedzieć na pytanie, czy składnik losowy jest symetryczny, czy jest losowy, czy jest stacjonarny, czy wartość oczekiwana składnika losowego jest równa zero, czy nie ma miejsca autokorelacja składnika losowego, czy rozkład składnika losowego jest zgodny z rozkładem normalnym?.

Oczekiwania weryfikacji pokazuje schemat, obejmujący wszystkie elementy tego etapu budowy modelu, jak również decyzje, jakie należy podjąć po zakończeniu realizacji każdego etapu procedury w przypadku negatywnej odpowiedzi na pytanie, czy weryfikowany element struktury modelu spełnia nasze oczekiwanie, tzn. czy ma własność którą sprawdzamy, jej nie ma.

Ponadto bez odpowiedzi pozostają pytania o istotność łącznego wpływu zbioru zmiennych objaśniających, istotność zmian zgodności dopasowania modelu w wyniku uzupełnienia bądź usunięcia zmiennych objaśniających, czy pytanie o stabilność struktury modelu.

0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic

Schemat procedury weryfikacji założeń przyjętych 0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
w procesie budowy modelu ekonometrycznego.

1. Dopuszczalność modelu ze względu na 0x01 graphic
.

Niech 0x01 graphic
model nie jest dopuszczalny ze względu na 0x01 graphic
}, gdzie 0x01 graphic
jest wartością „progową” współczynnika determinacji 0x01 graphic
. Hipotezą alternatywną do 0x01 graphic
jest hipoteza 0x01 graphic
model jest dopuszczalny ze względu na 0x01 graphic
}.

2. Wyrazistość modelu 0x01 graphic
.

Niech 0x01 graphic
oznacza udział błędu standardowego 0x01 graphic
w stosunku do przeciętnej wartości zmiennej objaśnianej 0x01 graphic
:

0x01 graphic
0x01 graphic
.

Weryfikujemy hipotezę 0x01 graphic
model jest wyrazisty} wobec hipotezy alternatywnej 0x01 graphic
model jest mało wyrazisty}; gdzie 0x01 graphic
oznacza wartość krytyczną współczynnika wyrazistości. Wartość krytyczna - „progowa” 0x01 graphic
, określona w procentach, oznacza jaki najwyższy procent może stanowić błąd standardowy 0x01 graphic
w stosunku do wartości przeciętnej zmiennej objaśnianej.

3. Istotność parametrów strukturalnych modelu.

Kiedy w początkowej fazie budowy modelu ekonometrycznego przyjmowano założenie o zbiorze zmiennych objaśniających 0x01 graphic
zmiany zmiennej objaśnianej 0x01 graphic
, zakładano jednocześnie, że wszystkie zidentyfikowane zmienne objaśniające 0x01 graphic
0x01 graphic
wpływają znacząco, w istotny sposób na zmiany zmiennej 0x01 graphic
.Obecnie założenie to powinno zostać zweryfikowane po to, by stwierdzić, które ze zmiennych istotnie wpływają na zmiany 0x01 graphic
. W praktyce badań ekonometrycznych oznacza to, że po zakończeniu etapu estymacji parametrów strukturalnych, weryfikujemy hipotezę o istotności ocen, tzn. chcemy znać odpowiedź na pytanie, które parametry istotnie różnią się od zera.

Niech 0x01 graphic
0x01 graphic
nie ma istotnego wpływu na zmiany zmiennej 0x01 graphic
}, hipotezą alternatywną do 0x01 graphic
jest hipoteza 0x01 graphic
0x01 graphic
istotnie wpływa na zmiany 0x01 graphic
}. Do weryfikacji sformułowanych hipotez posłużymy się statystyką:

0x01 graphic
0x01 graphic
,

gdzie:statystyka 0x01 graphic
ma rozkład 0x01 graphic
o 0x01 graphic
stopniach swobody,

0x01 graphic
- oceny parametrów strukturalnych modelu,

0x01 graphic
- wartości współczynników przy zmiennych objaśniających dla niektórych i, które a priori są dane /wartości 0x01 graphic
są równe zero jeśli nie dysponujemy dodatkowymi informacjami o ich wartościach/,

0x01 graphic
wariancje parametrów 0x01 graphic
,

0x01 graphic
- liczba szacowanych parametrów modelu.

Obliczone statystyki 0x01 graphic
są porównywane z odczytaną z tablic rozkładu 0x01 graphic
wartością krytyczną /krytyczna wartość sprawdzianu hipotezy/ 0x01 graphic
. Wartość krytyczna ma rozkład 0x01 graphic
, gdzie poziom istotności 0x01 graphic
jest prawdopodobieństwem popełnienia błędu w rezultacie którego zostaje odrzucona hipoteza prawdziwa, 0x01 graphic
jest liczebnością próby statystycznej.

Uwaga: 0x01 graphic
oznacza tu nie liczbę zmiennych objaśniających lecz liczbę szacowanych parametrów strukturalnych modelu.

Jeżeli 0x01 graphic
nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy 0x01 graphic
, oznacza to, że zmienna 0x01 graphic
nie ma istotnego wpływu na zmiany zmiennej 0x01 graphic
. Jeżeli natomiast 0x01 graphic
odrzucamy hipotezę 0x01 graphic
na rzecz hipotezy alternatywnej 0x01 graphic
, co oznacza, że zmienna 0x01 graphic
ma znaczący, istotny wpływ na zmiany zmiennej 0x01 graphic
.

4. Symetria składnika losowego.

Weryfikacja tej własności modelu dotyczy składnika losowego modelu. Poprzednie odnosiły się do założeń o zmiennych objaśniających modelu.

Cechą charakterystyczną poprawnego rozkładu reszt jest symetria rozkładu, rozumiana jako równość prawdopodobieństw /częstości/ występowania dodatnich i ujemnych reszt, czyli:

0x01 graphic
=0x01 graphic
.

Sprawdzając własność symetrii składnika losowego, weryfikujemy hipotezę 0x01 graphic
, wobec hipotezy alternatywnej 0x01 graphic
. Statystykę weryfikującą hipotezę 0x01 graphic
w przypadku dużej próby statystycznej definiujemy następująco:

0x01 graphic
,

gdzie m jest liczbą dodatnich reszt, a n liczbą wszystkich reszt /liczebność próby/. Rozkład statystyki t jest zbliżony do rozkładu normalnego dla dużej próby statystycznej.

Jeżeli przy założonym poziomie istotności 0x01 graphic
odczytana z tablic rozkładu normalnego wartość 0x01 graphic
spełnia nierówność 0x01 graphic
, to nie ma podstaw do przyjęcia hipotezy 0x01 graphic
, należy przyjąć hipotezę alternatywną 0x01 graphic
co z kolei oznacza brak symetrii rozkładu składnika losowego. Jeśli obliczona wartość 0x01 graphic
nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy 0x01 graphic
, składnik losowy ma rozkład symetryczny.

W przypadku małej próby statystycznej częstość 0x01 graphic
ma rozkład dwumianowy o parametrach (p,q), gdzie 0x01 graphic
. Dla sprawdzenia hipotezy symetrii wystarczy sprawdzić czy zachodzi nierówność:

0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
odczytujemy z tablic 3.1 rozkładu dla 0x01 graphic
.

Tablica 3.1

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

5

1

4

18

5

13

6

1

5

19

5

14

7

1

6

20

6

14

8

2

6

21

6

15

9

2

7

22

7

15

10

2

8

23

7

16

11

3

8

24

7

17

12

3

9

25

8

17

13

3

10

26

8

18

14

4

10

27

9

18

15

4

11

28

9

19

16

4

12

29

9

20

17

4

13

30

10

20

Jeżeli warunek 0x01 graphic
zostaje spełniony, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy 0x01 graphic
, w przeciwnym przypadku należy uznać hipotezę alternatywną 0x01 graphic
, co oznacza brak symetrii składnika losowego.

5. Losowość składnika losowego.

Symetryczny rozkład składnika losowego nie jest równoznaczny z losowością rozkładu reszt. Przyczyn takiej sytuacji należy upatrywać w zbyt „długich” seriach reszt o takich samych znakach.

Test serii jest sprawdzianem losowości składnika losowego. Niech A oznacza zdarzenie takie, że 0x01 graphic
0x01 graphic
, natomiast B oznacza zdarzenie, że 0x01 graphic
. Zdefiniujmy ciąg tych zdarzeń według następujących zasad:

  1. jeżeli weryfikowany model jest modelem o jednej tylko zmiennej objaśniającej, to:

    1. w porządku odpowiadającym rosnącym wartościom tej zmiennej /dane przekrojowe/,

    2. w porządku odpowiadającym kolejnym momentom czasu/ szeregi czasowe/,

  1. jeżeli weryfikowany model jest modelem o wielu zmiennych objaśniających, a dane stanowią szeregi czasowe, przyjmujemy porządek zdarzeń według kolejnych momentów czasu.

Każdy podciąg ciągu zdarzeń A oraz B, mający tę własność, że zawiera tylko elementy jednego rodzaju A lub B bezpośrednio po sobie następujące, określamy mianem serii. W ciągu może wystąpić kilka serii o jednakowej maksymalnej długości k. Liczbę tych wyróżnionych serii oznaczmy 0x01 graphic
. Długość serii i liczba serii są zmiennymi losowymi o znanych rozkładach. Rozkłady te stanowią podstawę opracowania tablicy testu serii. Z tablic tych odczytujemy maksymalną liczbę obserwacji n, przy których prawdopodobieństwo spełnienia nierówności:

0x01 graphic
.

Ta wartość prawdopodobieństwa jest poziomem istotności 0x01 graphic
przyjętym dla sprawdzenia hipotezy o losowości rozkładu reszt modelu.

Tablica 3.2

Długość serii k

Największa liczba obserwacji n, dla której 0x01 graphic
.

5

10

6

14

7

22

8

34

9

54

10

86

11

140

12

230

Tablica testu serii.

Jeżeli długość serii /maksymalnej/ jest większa od k przy liczebności próby n, to odrzucamy hipotezę 0x01 graphic
/0x01 graphic
składnik losowy jest losowy}/ i przyjmujemy hipotezę alternatywną 0x01 graphic
/0x01 graphic
składnik losowy nie jest losowy}/, w przeciwnym przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o losowości składnika losowego.

Weryfikacji tej własności składnika losowego można przeprowadzić także przy wykorzystaniu tablic liczby serii. Sprawdzianem hipotezy 0x01 graphic
jest parametr 0x01 graphic
określający liczbę wszystkich serii, niezależnie od długości w ciągu reszt. Z tablic liczby serii, dla parametrów rozkładu 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
oznacza liczbę zdarzeń A, 0x01 graphic
oznacza liczbę zdarzeń B a parametr 0x01 graphic
poziom istotności, odczytujemy wartość krytyczną 0x01 graphic
. Jeżeli 0x01 graphic
, to nie ma podstaw by przyjąć hipotezę 0x01 graphic
, oznacza to, że liczba serii uzyskana w próbie jest zbyt mała przyjmujemy hipotezę alternatywną0x01 graphic
. Jeśli 0x01 graphic
, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy 0x01 graphic
, co oznacza losowość składnika losowego.

6.Stacjonarność składnika losowego.

Odpowiedź na pytanie o stacjonarność składnika losowego jest jednocześnie weryfikacją założenia o stałości wariancji. Ponieważ stacjonarność rozumiemy jako brak istotnego związku szeregu reszt z czasem, zatem weryfikacja tego założenia, to odpowiedź na pytanie, czy miara takiego powiązania - współczynnik korelacji Pearsona różni się istotnie od zera.

Niech statystyka 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
jest sprawdzianem hipotezy 0x01 graphic
składnik losowy jest stacjonarny} wobec hipotezy alternatywnej 0x01 graphic
składnik losowy nie jest stacjonarny}. Statystyka t ma rozkład t-Studenta o parametrach 0x01 graphic
. Z tablic rozkładu t-Studenta odczytujemy wartość krytyczną 0x01 graphic
. Jeśli 0x01 graphic
, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy 0x01 graphic
, jeśli natomiast ma miejsce relacja 0x01 graphic
, to należy odrzucić hipotezę 0x01 graphic
, i przyjąć hipotezę alternatywną 0x01 graphic
, co oznacza brak stacjonarności rozkładu składnika losowego.

W przypadku braku stacjonarności składnika losowego przyczyną może być niewłaściwa metoda estymacji. W takich przypadkach zalecana jest tzw. uogólniona metoda najmniejszych kwadratów. Metoda uogólniona różni się od klasycznej postacią funkcji kryterium dopasowania modelu do danych empirycznych, mianowicie:

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
jest ilorazem wariancji składnika losowego w momencie czasu 0x01 graphic
do wariancji w momencie czasu 0x01 graphic
.

7. Weryfikacja założenia o wartości oczekiwanej składnika losowego.

Ten etap procedury weryfikacyjnej nie dotyczy modeli liniowych, bowiem metoda najmniejszych kwadratów daje gwarancje nieobciążoności składnika losowego, co wyraża się tym, że jego wartość oczekiwana jest równa zero. Weryfikację tej własności składnika losowego prowadzi się w przypadku modeli sprowadzalnych do postaci liniowej, modeli segmentowych, adaptacyjnych.

Weryfikacji poddajemy hipotezę 0x01 graphic
wobec hipotezy alternatywnej 0x01 graphic
. Sprawdzianem hipotez jest statystyka:

0x01 graphic
, gdzie S jest standardowym błędem oceny.

Statystyka t ma rozkład t-Studenta o (n-1) stopniach swobody. Z tablic rozkładu Studenta dla parametrów rozkładu 0x01 graphic
określamy wartość krytyczną statystyki 0x01 graphic
. Jeśli 0x01 graphic
nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy 0x01 graphic
, jeśli natomiast 0x01 graphic
nie ma podstaw do przyjęcia hipotezy 0x01 graphic
, przyjmujemy hipotezę alternatywną 0x01 graphic
, co oznacza, iż 0x01 graphic
.

8. Autokorelacja składnika losowego

Analizując ciąg reszt uporządkowanych według wskaźnika czasu, można niekiedy zauważyć, że istnieje zależność reszt z okresu t od reszt przyporządkowanym okresom wcześniejszym. Zależność ta nosi nazwę autokorelacji. Literatura wyróżnia następujące przyczyny wystąpienia autokorelacji:

  1. powolne wygasanie tendencji w kształtowaniu się wielkości ekonomicznych /bezwład/,

  2. pominięcie istotnych zmiennych objaśniających,

  3. przyjęcie błędnego założenia o postaci analitycznej,

  4. pominięcie zmiennych opóźnionych w czasie,

  5. błędy w ocenie opóźnień czasu niektórych zmiennych objaśniających,

  6. „manipulowanie danymi” np. agregacja, bądź interpolacja brakujących informacji statystycznej.

W przypadku zależności pomiędzy szeregami opóźnionymi o jeden okres weryfikujemy hipotezę 0x01 graphic
wobec hipotezy alternatywnej 0x01 graphic
. Sprawdzianem jest statystyka:

0x01 graphic
.

Przekształcając zdefiniowane wyrażenie otrzymamy:

0x01 graphic
.

Z definicji współczynnik korelacji 0x01 graphic
należy przedziału [-1;1] tzn. /0x01 graphic
/, zatem statystyka DW należy do przedziału 0x01 graphic
.

Dla współczynnika korelacji z przedziału [-1,0), obserwujemy ujemną autokorelację, której z reguły odpowiada wartość DW z przedziału (2,4]. Natomiast dla autokorelacji dodatniej, współczynnik 0x01 graphic
należy do przedziału (0,1], a statystyka DW będzie się zawierała w przedziale [0,2].

W przypadku autokorelacja dodatniej, weryfikujemy hipotezę 0x01 graphic
wobec hipotezy alternatywnej 0x01 graphic
. Z tablic rozkładu statystyki Durbina - Watsona dla parametrów rozkładu (n,k) /k oznacza liczbę zmiennych objaśniających/ odczytujemy wartości 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
, są to wartości odpowiednio dolna oraz górna wartość krytyczna:

  1. jeżeli 0x01 graphic
    , hipotezę 0x01 graphic
    odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej 0x01 graphic
    , oznacza to autokorelację składnika losowego,

  2. jeżeli 0x01 graphic
    , nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy 0x01 graphic
    , oznacza to brak istotnej autokorelacji składnika losowego,

  3. jeżeli 0x01 graphic
    , nie mamy podstaw do przyjęcia bądź odrzucenia żadnej z dwu hipotez, jest to tzw. obszar niekonkluzywności testu Durbina - Watsona.

Jeśli ma miejsce przypadek autokorelacji ujemnej, korekcie poddajemy wartość statystyki DW, nowa wartość DW' jest różnicą 4-DW. Weryfikujemy hipotezę 0x01 graphic
, wobec hipotezy alternatywnej 0x01 graphic
:

  1. jeżeli 0x01 graphic
    , hipotezę 0x01 graphic
    odrzucamy na rzecz hipotezy alternatywnej 0x01 graphic
    , oznacza to autokorelację składnika losowego,

  2. jeżeli 0x01 graphic
    , nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy 0x01 graphic
    , oznacza to brak istotnej autokorelacji składnika losowego,

  3. jeżeli 0x01 graphic
    , nie mamy podstaw do przyjęcia bądź odrzucenia żadnej z dwu hipotez, jest to tzw. obszar niekonkluzywności testu Durbina - Watsona.

Oczywiście możliwe jest także łączne testowanie autokorelacji, bez rozstrzygania jej znaku.

Test Durbina - Watsona stosowany może być wówczas gdy w zbiorze zmiennych objaśniających modelu nie występuje opóźniona w czasie zmienna objaśniana. Jeżeli takie zmienne występują, wówczas w weryfikacji przyjętych hipotez korzystamy z testu - h, pochodzącego od Durbina:

0x01 graphic
,

gdzie: 0x01 graphic
- ocena wariancji współczynnika regresji /parametr strukturalny/ przy 0x01 graphic
.

Test h ma jedno ograniczenie oczywiście poza tym, że weryfikuje autokorelację rzędu pierwszego, jest nim mianowicie to, że nie możemy wyznaczyć wartości h jeżeli 0x01 graphic
.

W przypadku autokorelacji rzędu p, w weryfikacji hipotezy o braku autokorelacji rzędu wyższego aniżeli jeden korzystamy z testu Godfreya.

Weryfikujemy hipotezę 0x01 graphic
autokorelacji rzędu p czyli 0x01 graphic
}, bowiem zakładamy, że w przypadku hipotezy alternatywnej składniki losowe są generowane przez proces autoregresyjny rzędu p, zapisujemy:

0x01 graphic
,

gdzie: 0x01 graphic
- składnik losowy o wartości oczekiwanej 0x01 graphic
, stałą wariancją 0x01 graphic
oraz zerowymi kowariancjami 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
.

Hipoteza alternatywna wobec 0x01 graphic
przyjmie zatem postać:

0x01 graphic
miejsce autokorelacja rzędu i, tzn. istnieje takie i, że 0x01 graphic

Statystyka F ma rozkład Fishera - Snedecora z 0x01 graphic
stopniami swobody, gdzie 0x01 graphic
, a 0x01 graphic
, 0x01 graphic
oznacza liczbę szacowanych parametrów modelu.

Statystyka zaproponowana przez Godfreya jest równa:

0x01 graphic
,

gdzie:

0x01 graphic
,

0x01 graphic

Test Godfreya ma dwa sprawdziany: 0x01 graphic
, dla dużych prób, oraz 0x01 graphic
o rozkładzie 0x01 graphic
dla małych prób. Pomiędzy sprawdzianami testu zachodzi relacja:

0x01 graphic
.

Jeżeli 0x01 graphic
lub 0x01 graphic
są większe od wartości krytycznych odczytanych z tablic rozkładu dla ustalonego poziomu istotności i właściwej liczby stopni swobody, nie ma powodów do przyjęcia hipotezy 0x01 graphic
, należy przyjąć hipotezę alternatywną 0x01 graphic
, co oznacza istnienie autokorelacji rzędu i. Jeśli zachodzi relacja przeciwna i obliczone statystyki 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
są mniejsze od wartości krytycznych odczytanych z tablic rozkładu, nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy 0x01 graphic
.

9. Normalność składnika losowego.

Podstawową własnością rozkładu normalnego jest symetria oraz mezokurtyczność. Asymetria rozkładu wynika z nierównomierności prawostronnego i lewostronnego rozproszenia, co oznacza, że wartości liczbowe średniej, mediany i dominanty nie pokrywają się.

Standardową miarą asymetrii rozkładu jest współczynnik skośności, określany także mianem współczynnika asymetrii:

0x01 graphic
;

gdzie:0x01 graphic
, k=2,3,4,…

Dodatnia wartość 0x01 graphic
wskazuje na prawostronną asymetrię, natomiast wartość ujemna 0x01 graphic
na asymetrię lewostronną.

Kurtoza rozkładu wyraża się albo tym, że gęstość rozkładu obserwacji w pobliżu średniej jest większa niż dla rozkładu normalnego, albo tym, że gęstość rozkładu w pobliżu średniej jest mniejsza iż dla rozkładu normalnego. W pierwszym przypadku rozkład cechuje tzw. smukłość, drugi przypadek określamy mianem spłaszczenia rozkładu. Miarą nasilenia kurtozy jest współczynnik kurtozy:

0x01 graphic
.

Dla rozkładu normalnego, współczynnik kurtozy jest równy 0x01 graphic
, stąd w praktyce, współczynnik kurtozy definiowany jest jako odchylenie od standardu, czyli 0x01 graphic

Do weryfikacji hipotez 0x01 graphic
- rozkład zgodny z rozkładem normalnym} wobec hipotezy alternatywnej 0x01 graphic
nie ma rozkładu normalnego} korzystamy ze statystyki Jarque'a-Bera 0x01 graphic
:

0x01 graphic

Weryfikacja zgodności rozkładu składnika losowego z rozkładem normalnym prowadzona jest na podstawie reszt modelu, stąd:

0x01 graphic
, j=1,2,3…,

statystykę Jarque'a-Bera można zapisać w postaci równoważnej:

0x01 graphic

Z tablic testu 0x01 graphic
dla określonego poziomu ufności 0x01 graphic
oraz n-2 stopni swobody odczytujemy wartość krytyczną 0x01 graphic
. Jeśli 0x01 graphic
, to nie ma powodów do odrzucenia hipotezy 0x01 graphic
, składnik losowy jest zgodny z rozkładem normalnym, jeśli natomiast 0x01 graphic
, należy odrzucić hipotezę 0x01 graphic
i przyjąć hipotezę alternatywną 0x01 graphic
.

Zweryfikowany zbiór własności elementów struktury modelu dotyczył zarówno zmiennych modelu ale także i to w dużej części składnika losowego. Proces weryfikacji powinien zostać uzupełniony o testy istotności łącznego wpływu zmiennych objaśniających, test na dołączanie i usuwanie zmiennych, weryfikację poprawności założenia o postaci analitycznej oraz testy stabilności struktury modelu weryfikowanej w kontekście stałości oszacowanych parametrów strukturalnych czasie.

10. Istotność łącznego wpływu zmiennych objaśniających.

Definiujemy hipotezę 0x01 graphic
wobec hipotezy alternatywnej 0x01 graphic
istnieje takie i, że 0x01 graphic
. Sprawdzianem hipotezy 0x01 graphic
jest statystyka:

0x01 graphic
.

Z tablic rozkładu statystyki F przy określonym poziomie istotności 0x01 graphic
oraz parametrach rozkładu 0x01 graphic
, odczytujemy wartość krytyczną statystyki 0x01 graphic
. Jeśli 0x01 graphic
, to ma podstaw do odrzucenia hipotezy 0x01 graphic
, jeśli natomiast 0x01 graphic
, odrzucamy hipotezę 0x01 graphic
na rzecz hipotezy alternatywnej 0x01 graphic
.

11. Test na dołączenie i usuwanie zmiennych.

Budując model ekonometryczny zadajemy sobie pytanie, na ile włączenie dodatkowej zmiennej poprawia dokładność opisu zmian zmiennej objaśnianej. Miarą zgodności czy też dopasowania modelu do danych empirycznych jest współczynnik 0x01 graphic
. Stąd pytanie, czy uwzględnienie nowej zmiennej w modelu poprawi istotnie stopień dopasowania mierzony współczynnikiem 0x01 graphic
?.

Niech 0x01 graphic
, ponadto załóżmy, że stopień dopasowania modelu do danych empirycznych mierzy 0x01 graphic
/współczynnik determinacji modelu pierwotnego, przed dołączeniem dodatkowej zmiennej objaśnianej/.

Pierwotny zbiór zmiennych objaśniających uzupełnimy o zmienne {0x01 graphic
, tzn. ,0x01 graphic
miarę dopasowania modelu o tak uzupełniony zbiór zmiennych oznaczmy jako 0x01 graphic
.

Chcemy zatem zweryfikować hipotezę 0x01 graphic
wobec hipotezy alternatywnej 0x01 graphic
istnieje takie j, że k+10x01 graphic
oraz 0x01 graphic
. Sprawdzianem hipotezy 0x01 graphic
jest statystyka F:

0x01 graphic
, gdzie m liczba dołączonych zmiennych.

Statystyka F ma rozkład Fishera-Snedecora o parametrach rozkładu 0x01 graphic
. Z tablic rozkładu statystyki dla poziomu istotności 0x01 graphic
odczytujemy wartość statystyki 0x01 graphic
. Jeśli 0x01 graphic
nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy 0x01 graphic
, jeśli natomiast 0x01 graphic
, odrzucamy hipotezę 0x01 graphic
na rzecz hipotezy alternatywnej 0x01 graphic
, co oznacza, że dołączenie nowej zmiennej powoduje istotne zwiększenia stopnia dopasowania modelu.

12. Poprawność założenia o postaci analitycznej modelu.

Najprostszym rozwiązaniem wątpliwości z tym związanych jest sprawdzenie, czy kwadraty wartości teoretycznych zmiennej objaśnianej nie stanowią „pominiętej zmiennej” w budowanym modelu. Sprawdzamy zatem, czy włączenie dodatkowej zmiennej powoduje istotny wzrost współczynnika determinacji 0x01 graphic
.

Idea weryfikacji podana została przez Ramseya. Sprawdzian testu ma dwie wersje, 0x01 graphic
o rozkładzie 0x01 graphic
oraz wersję 0x01 graphic
o rozkładzie Fishera-Snedecora 0x01 graphic
.

Weryfikujemy hipotezę 0x01 graphic
błąd w założeniu o postaci analitycznej} wobec hipotezy alternatywnej 0x01 graphic
poprawna postać analityczna}. Z tablic rozkładu 0x01 graphic
bądź rozkładu statystyki F odczytujemy wartości krytyczne obydwu statystyk, statystykę 0x01 graphic
weryfikujemy identycznie jak w teście Godfreya.

13. Stabilność parametrów strukturalnych modelu.

Po oszacowaniu parametrów strukturalnych modelu, ciekawe staje się pytanie, czy oszacowane parametry nie zmieniają się w czasie? To ważne pytanie, bowiem od stałości parametrów zależy wiarygodność konstruowanych prognoz zmian zmiennej objaśnianej w przyszłości.

W 1960 r. Chow podał sprawdzian stabilności parametrów modelu. Należy dokonać podziału próby na dwa podzbiory 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
takie, że 0x01 graphic
.

Zatem model możemy zapisać:

0x01 graphic
0x01 graphic
,

0x01 graphic

Weryfikujemy hipotezę 0x01 graphic
wobec hipotezy alternatywnej 0x01 graphic
. Sprawdzianem hipotezy 0x01 graphic
jest statystyka 0x01 graphic
dla dużych prób i statystyka 0x01 graphic
dla prób małych.

0x01 graphic
,

gdzie: 0x01 graphic
- wektor reszt modelu szacowanego MNK na podstawie całej próby n,

0x01 graphic
- wektor reszt modelu szacowanego MNK na podstawie próby n1,

0x01 graphic
- wektor reszt modelu szacowanego MNK na podstawie próby n2.

Przy założeniu, że wariancje składnika losowego w obydwu „podpróbach” są sobie równe, statystyka 0x01 graphic
ma rozkład Fishera-Snedecora o (0x01 graphic
stopniach swobody a statystyka:

0x01 graphic
, ma rozkład 0x01 graphic
.

Z tablic rozkładu statystyk F oraz 0x01 graphic
odczytujemy wartości krytyczne. Jeśli statystyki obliczone są mniejsze lub równe wartościom krytycznym statystyk, to nie ma powodów by przyjąć hipotezę 0x01 graphic
, w przeciwnym przypadku uznajemy hipotezę alternatywną 0x01 graphic
, co oznacza, że parametry strukturalne nie są stabilne w czasie.

1.Dopuszczalność modelu ze względu na 0x01 graphic

Tak

Nie

Nie

Tak

2.Wyrazistość modelu V

3.Istotność parametrów strukturalnych

Nie

Tak

4.Symetria składnika losowego

Nie

Tak

5.Losowość składnika losowego

Nie

Tak

6.Stacjonarność składnika losowego

Nie

Tak

7.Weryfikacja założenia o wartości oczekiwanej składnika losowego

Nie

Tak

8.Badanie braku autokorelacji składnika losowego

Tak

Nie

9.Normalność rozkładu składnika losowego

Nie

Tak

I. Ustalenie zbioru zmiennych relacji opisujących badaną prawidłowość

II. Przyjęcie założeń o postaci analitycznej zdefiniowanych relacji

III. Estymacja parametrów strukturalnych modelu

IV. Weryfikacja założeń przyjętych w etapach I,II,III

V. Predykcja ekonometryczna, konstrukcja prognoz



Wyszukiwarka