1. Objaśnij układ współrzędnych naturalnych; jak uzasadnisz przymiotnik „naturalnych”?; jak można wyznaczyć położenie punktu w przestrzeni poprzez
?

Kierunek linii pionu jest podstawą układu horyzontalnego, będącego z reguły lokalnym układem obserwacyjnym na powierzchni Ziemi, czyli układem, który realizujemy za pomocą osi i płaszczyzn spoziomowanych instrumentów obserwacyjnych. Związek tego układu z układem globalnym następuje poprzez tzw. układ współrzędnych naturalnych.

Podstawową osią tego układu jest oś chwilowa obrotu Ziemi (
), przechodząca przez punkt S środka masy Ziemi. Płaszczyznę poprowadzoną przez ten punkt tak, aby oś wirowania Ziemi była do niej prostopadła, nazywamy płaszczyzną równika astronomicznego.

Przez kierunek linii pionu obserwatorium Greenwich prowadzimy pęk płaszczyzn wertykalnych. Tę płaszczyznę z pęku, która jest równoległa do osi
, nazywamy płaszczyzną południka astronomicznego Greenwich (płaszczyzna ta nie zawiera w ogólności osi
ze względu na „przestrzenną” krzywiznę linii pionu w punkcie Greenwich).

Podobnie, prowadząc pęk płaszczyzn wertykalnych przez kierunek linii pionu w miejscu obserwacji P, wybieramy z pęku tę płaszczyznę, która jest równoległa do osi
- płaszczyznę południka miejsca obserwacji.

Kąt, jaki tworzy kierunek linii pionu w punkcie P z płaszczyzną równika nazywa się szerokością geograficzną-astronomiczną
. Kąt dwuścienny utworzony przez opisane płaszczyzny południków astronomicznych (Greenwich i punktu P) nazywa się długością geograficzną-astronomiczną
lub
.

Kierunek linii pionu w punkcie P (g = grad W_P) można określić w przestrzeni kątami
i
(wyznaczanymi metodami astronomicznymi) względem płaszczyzn układu współrzędnych naturalnych (globalnego układu astronomicznego) przez:

Zdefiniowane wyżej kąty
i
oraz wartość potencjału W stanowią trójkę współrzędnych naturalnych punktu P (
,
, W). W polu siły ciężkości możemy wyróżnić trzy powierzchnie
i W =const., których przecięcie wyznacza punkt P.

2. Przedstaw fizyczną istotę WYSOKOŚCI w ziemskim polu siły ciężkości.

Zmianę dW pola skalarnego W, odpowiadającą przesunięciu ds, wyraża różniczka zupełna
. Zapisując to inaczej, otrzymamy
. Niech h oznacza dodatni zwrot zewnętrznej normalnej do powierzchni W=W_P w punkcie P (kierunek liczenia dodatnich wysokości). Załóżmy, że wektor przesunięcia ds w polu o potencjale W ma kierunek i zwrot wektora g =grad W.

Wtedy
, a wobec tego dW = -g dh.

Stąd otrzymamy odległość sąsiednich powierzchni ekwipotencjalnych wyrażoną przez różniczkę potencjału i przyspieszenie siły ciężkości

Ze wzoru tego wynika, że powierzchnie poziome nie są równoległe, gdyż natężenie siły ciężkości zmienia się na powierzchni ekwipotencjalnej. Świadczy o tym wspomniana wyżej różnica ciężkości na równiku i na biegunie
, która prowadzi do nierównoległości powierzchni poziomych między równikiem a biegunem wynoszącej około -0.5 m, gdy na równiku odległość tych powierzchni wynosi 100 m.

Całkując równanie dW = -g dh w granicach
otrzymamy tzw. liczbę geopotencjalną (zwaną także cechą geopotencjalną) wyrażającą różnicę potencjału geoidy
i potencjału powierzchni
przechodzącej przez punkt P.

Liczba geopotencjalna wyraża pracę w polu potencjalnym, niezależną od drogi. Ten parametr wykorzystuje się w definicji wysokości. Jeśli przez wysokość chcemy rozumieć drogę wzdłuż kierunku gradientu pola W między powierzchniami
i
, tzn. najkrótszą drogę, na jakiej wykonano pracę określoną przez liczbę geopotencjalną, to należy tę ostatnią podzielić przez siłę (a dla jednostkowej masy przez przyspieszenie siły) właściwą dla drogi O - P wzdłuż linii pionu. Sposób wyznaczenia przyspieszenia reprezentatywnego dla drogi O - P określa tzw. system wysokości, czyli system geodezyjnych pomiarów wysokościowych. Jeżeli określimy przeciętną wartość rzeczywistego przyspieszenia
wzdłuż linii pionu od geoidy do punktu P przez średnią wartość całki

(1),

to wysokość
będziemy nazywać wysokością ortometryczną punktu, równą długości odcinka linii pionu (krzywej) od geoidy do punktu P. Praktyczne wyznaczenie przeciętnej wartości
według wzoru (1) jest niemożliwe bez hipotetycznego przyjęcia rozkładu gęstości mas Ziemi wzdłuż linii pionu na odcinku O - P.

Dzieląc C przez tzw. przyspieszenie normalne
obliczone dla pewnego modelu rozkładu masy w globie ziemskim (na poziomie morza i dla szerokości geograficznej 45⁰), otrzymamy tzw. wysokości dynamiczne
, charakteryzujące się tym, że punkty wybranej powierzchni poziomej mają takie same wysokości dynamiczne. Wysokości te mają zatem istotne znaczenie w inżynierii, m. in. dla projektów wodnych na dużych obszarach.

Próby uwolnienia definicji wysokości od hipotez dotyczących rozkładu mas doprowadziły do systemu wysokości normalnych, które pociągnęły za sobą zmianę „koncepcji geodezji fizycznej”. Wysokości te definiuje następujący wzór:
, gdzie
jest przeciętną wartością przyspieszenia normalnego wzdłuż linii pionu pola normalnego siły ciężkości. Spodki wysokości normalnych wyznaczają powierzchnię tzw. quasigeoidy, różniącej się od geoidy na obszarach lądów i nie będącej powierzchnią ekwipotencjalną.

3. Przekroje normalne elipsoidy obrotowej i ich krzywizny (krzywizny w kierunkach głównych, średni promień krzywizny).

Normalna do elipsoidy w punkcie P leży w płaszczyznie południka i przecina oś elipsoidy w punkcie O_P. Ze względu na spłaszczenie biegunowe elipsoidy punkt O_P znajduje się po przeciwnej stronie równika niż punkt P.

Prowadząc przez normalną w punkcie P pęk płaszczyzn, otrzymamy przekroje normalne elipsoidy. W teorii powierzchni dowodzi się, że w każdym punkcie powierzchni istnieją takie dwa wzajemnie prostopadłe przekroje normalne, których krzywe charakteryzują się ekstremalnymi krzywiznami. Nazywa się je przekrojami w kierunkach głównych. Na powierzchni elipsoidy obrotowej, z wyjątkiem jej biegunów, są to kierunki południka geodezyjnego (krzywizna maksymalna M^-1) oraz kierunek wertykału prostopadłego do południka, zwanego pierwszym wertykałem (krzywizna minimalna N^-1).

Krzywiznę dowolnego przekroju normalnego o azymucie A można wyznaczyć na podstawie krzywizn w kierunkach głównych M^-1, N^-1, korzystając z twierdzenia Eulera:

.

Promień krzywizny południka M wyznaczymy jako:
. Wzór ten można łatwo przekształcić do postaci
, uwzględniając ds wyrażone przez dp i dz.

Promień równoleżnika p można zapisać w postaci:

zaś współrzędną z jako:

Po podstawieniu w wyniku różniczkowania otrzymamy:

Z porównania wzorów na M i N wynika, że
. Zauważymy także, że na równiku (B=0) będzie:

na biegunach zaś

Oznaczając:

możemy zapisać wyrażenia na M i N zwięźle, w postaci dogodnej do rachunków:

Wzór Eulera daje podstawę do wyznaczenia średniego promienia krzywizny R_S, jako granicy, do której dąży średnia arytmetyczna krzywizn wszystkich przekrojów normalnych w rozpatrywanym punkcie. Tworząc sumę nieskończenie wielu promieni krzywizny
, otrzymamy R_S w postaci średniej wartości całki:

której rozwiązanie

daje proste wyrażenie dla zastosowań praktycznych. Wiele zagadnień geodezji wyższej rozwiązuje się za pomocą kuli o promieniu równym średniemu promieniowi krzywizny R_S.

4. Linia geodezyjna na powierzchni elipsoidy obrotowej, jej przebieg i własność oraz związki różniczkowe pierwszego rzędu.

Linia geodezyjna - najkrótsza odległość dwóch punktów na powierzchni elipsoidy. Linia geodezyjna na pewnej powierzchni to taka linia, której normalna główna w każdym punkcie ma kierunek normalnej do powierzchni. To samo można wyrazić poprzez warunek zerowej wartości krzywizny geodezyjnej
, którą zapisujemy jako iloczyn mieszany wektorów: r', r” i n

(1)

gdzie r' oznacza wektor styczny do powierzchni, r” oznacza wektor krzywizny (` i ” to symbole pierwszych i drugich pochodnych względem parametru naturalnego), zaś n to wektor normalny do powierzchni. Przypomnijmy, że krzywizną geodezyjną nazywa się krzywiznę rzutu prostokątnego krzywej na płaszczyznę styczną do powierzchni.

Warunek (1) stanowi ogólny zapis własności linii geodezyjnej na dowolnej powierzchni i przedstawia sobą równanie różniczkowe drugiego rzędu. Wprowadzając do tego równania współrzędne geodezyjne B i L (L=L(B) dla powierzchni obrotowej). Wynik takiego podstawienia ma postać:

(2)

Całkowanie tego równania prowadzi do ważnej własności linii geodezyjnej. Aby dokonać całkowania, trzeba najpierw wprowadzić podstawowe zależności różniczkowe dla linii geodezyjnej na powierzchni elipsoidy obrotowej.

Element łuku południka odpowiadający elementowi ds łuku linii geodezyjnej wyrazimy przez M dB. Odpowiedni element łuku równoleżnika to p dL = N cosB dL. Z prostokątnego trójkąta elementarnego wynikają natychmiast dwa równania różniczkowe pierwszego rzędu:

(3)

W wyniku całkowania równania (2), wykorzystując równania (3), otrzymamy tzw. równanie Clairauta linii geodezyjnej

Równanie to wyraża własność linii geodezyjnej mówiącą o tym, że iloczyn promienia równoleżnika (p = N cosB) i sinusa azymutu linii geodezyjnej jest wielkością stałą dla całej linii. Tę stałą można interpretować jako promień takiego równoleżnika p_C, do którego linia geodezyjna jest styczna i ma azymut 90⁰ (c=p_C sin90⁰ = p_C).

Równanie Clairauta wyrażone przez szerokość zredukowaną
ma następującą postać:

Trzecie równanie różniczkowe pierwszego rzędu względem parametru naturalnego s (dla azymutu) otrzymamy różniczkując równanie Clairauta względem s.

Otrzymamy:

Linię geodezyjną i wzajemne przekroje normalne charakteryzują następujące przybliżone wzory:

na których podstawie można wyliczyć:

s =	50 km	100 km	200 km
	0.007”	0.028”	0.112”
s'-s

5. Objaśnij pojęcia zagadnień brzegowych teorii potencjału; dlaczego trzecie zagadnienie brzegowe nazywa się zagadnieniem brzegowym geodezji fizycznej? Pokaż odniesienie do podstawowego równania geodezji fizycznej.

Zagadnienia brzegowe teorii potencjału dotyczą problemu wyznaczania funkcji harmonicznych (potencjału) na zewnątrz pewnej powierzchni (S) na podstawie pewnych granicznych (brzegowych) wartości tych funkcji na powierzchni (S). Tak sformułowane zadanie nosi nazwę pierwszego zagadnienie brzegowego teorii potencjału albo zagadnienia Dirichleta. Wywodzi się ono z tzw. zasady Dirichleta, która mówi, że dla dowolnie przyjętych wartości granicznych na (S) zawsze istnieje pewna funkcja harmoniczna V, która przybiera na powierzchni (S) te wartości graniczne.

Gdy na powierzchni (S) zamiast v dane są pochodne normalne potencjału
(względem zewnętrznej normalnej do (S)), to wyznaczanie wartości potencjału w przestrzeni zewnętrznej lub wewnętrznej względem (S) nazywa się drugim zagadnieniem brzegowym teorii potencjału albo zagadnieniem Neumanna.

Z tak zwanym trzecim zagadnieniem brzegowym teorii potencjału mamy do czynienia wtedy, gdy na powierzchni (S) znana jest kombinacja liniowa potencjału V i jego pochodnej w kierunku normalnej zewnętrznej do (S) w postaci:

przy czym h i k oznaczają pewne stałe.

Trzecie zagadnienie brzegowe teorii potencjału ma szczególne zastosowanie w geodezji fizycznej, bowiem stanowi ono pewien model wyznaczania tzw. undulacji geoidy z anomalii grawimetrycznych. Z tego też powodu nazywa się ten problem zagadnieniem brzegowym geodezji fizycznej.

Undulacja geoidy: w celu rozwiązania podstawowego zadania geodezji - określenia figury Ziemi - należy powiązać geometrycznie geoidę z elipsoidą poprzez wyznaczenie odległości obydwóch powierzchni. Taką odległość, liczoną od elipsoidy wzdłuż normalnej do tej powierzchni, nazywamy wysokością albo odległością geoidy N. Używa się też określenia „undulacja geoidy”.

Odniesienie: Potencjał normalny U w punkcie P₀ na geoidzie można wyrazić poprzez potencjał na elipsoidzie U_e=U₀, gradient tego potencjału oraz odstęp N

6. Opisz (wystarczy słowami) relację wielomianów Legendre'a i dołączonych funkcji Legendre'a. Naszkicuj na rysunku przebieg pierwszych pięciu wielomianów Legendre'a; skomentuj te wykresy.

Najogólniej można powiedzieć, że funkcje Legendre'a to (n+m)-te pochodne wielomianu
. Dla wartości m = 1, 2, ..., n
funkcje o postaci:

(1)

nazywa się dołączonymi funkcjami Legendre'a albo stowarzyszonymi. Przy okazji zauważmy, że ze wzoru różniczkowego (1) wynika, iż przyjęte wcześniej stałe przy rozdzielaniu zmiennych w równaniach różniczkowych, zarówno n, jak i m, mogą przyjmować tylko wartości naturalne.

W innym przypadku operacja różniczkowania w (1) nie byłaby zdefiniowana.

Szczególnej uwagi wymaga przypadek, gdy m = 0, wtedy

(2)

Stosownie do podstawień, mamy
. Funkcja (2) nie zawiera
i jest po prostu wielomianem x lub, po powrocie do oryginalnej zmiennej, wielomianem
. Nazywa się więc funkcje Legendre'a dla m = 0 wielomianami Legendre'a albo też czasem funkcjami głównymi Legendre'a. Wielomiany (2) można wyznaczać za pomocą wzoru rekurencyjnego o postaci:

(3)

który można stosować, wyznaczywszy uprzednio wielomiany niższych stopni według wzoru (2).

Trzeba jeszcze zauważyć, że dołączone funkcje Legendre'a można wyrazić przez wielomiany Legendre'a na podstawie:

Wracając do oryginalnej zmiennej
, dołączone funkcje Legendre'a zapiszemy w postaci:

zaś wielomiany Legendre'a w postaci:

(rys str. 89)

7. Jaką własność wielomianów Legendre'a umożliwia ich zastosowanie do rozwinięcia potencjału grawitacyjnego w szereg harmonicznych sferycznych?

Ortogonalność funkcji Legendre'a

Skrócone oznaczenia harmonicznych sferycznych -
i
.

Każdą funkcję harmoniczną
można przedstawić w postaci szeregu powierzchniowych harmonicznych sferycznych:

(1)

Współczynniki stałe
można wyznaczyć na podstawie tzw. relacji ortogonalności funkcji Legendre'a, które wynikają z teorii ortogonalnych układów funkcji. Warunek ortogonalności dla funkcji Legendre'a i wielomianów Legendre'a oznacza, że całka iloczynu dwóch jakichkolwiek różnych funkcji (lub wielomianów) Legendre'a w granicach (-1,+1) jest równa zeru:

Natomiast całka iloczynu dwóch takich samych funkcji (wielomianów) wynosi

Warunki ortogonalności rozciągnięte na harmoniczne sferyczne poprzez całkowanie po powierzchni jednostkowej kuli
prowadzą do następujących związków:

(2)

przy czym

Jeżeli teraz pomnożymy obydwie strony równania (1) przez którąś z harmonicznych, a potem scałkujemy po powierzchni jednostkowej kuli
, to okaże się, że dzięki relacjom (2) łatwo zidentyfikujemy wyrazy, które będą równe zeru. Otrzymamy związek:

,

z którego wyznaczymy stałe
korzystając jeszcze raz z wyrażenia (2). Otrzymamy:

przy czym
ma znaczenie takie, jak przy wzorach (2).

8. Scharakteryzuj (opisz, objaśnij) wzory przedstawiające rozwinięcia potencjału szczególnych rozkładów masy w przestrzeni w szeregi harmonicznych sferycznych. Jakie założenia umożliwiają postawienie w dolnej granicy szeregu n=2?

Wzór wyrażający potencjał grawitacyjny ma postać:

(1)

Z interpretacji współczynników rozkładu masy wynika, że sumowanie we wzorze (1) można zacząć od n=2, bowiem wyrazy o niższych wskaźnikach są zerowe:

Analizując przebieg funkcji Legendre'a stwierdzimy, że różne harmoniczne sferyczne są związane z różnymi charakterystycznymi rozkładami masy względem osi Oz (osi obrotu) lub płaszczyzny xOy (równika). I tak, założywszy symetrię rozkładu masy względem osi obrotu, innymi słowy: niezależność rozkładu masy od współrzędnej , wyeliminowalibyśmy ze wzoru (1) harmoniczne sektorowe i tesseralne.

Wzór (1) przepisany w postaci:

albo w postaci:

odpowiada właśnie rozkładowi masy symetrycznemu względem osi obrotu. Harmoniczne nieparzystych stopni w tym wzorze wyrażają niesymetrię rozkładu masy względem płaszczyzny równika. Należy odnotować z uwagą inną wersję tego wzoru, w której pozostawiono tylko harmoniczne strefowe parzyste (2n):

. (2)

Ten wzór odnosi się bowiem do potencjału grawitacyjnego bryły obrotowej pod względem rozkładu masy (symetria względem osi obrotu) i symetrycznej względem równika. Trzy pierwsze wyrazy wzoru (2) będą stanowiły podstawę do zbudowania modelu potencjału siły ciężkości (po dodaniu potencjału siły odśrodkowej) w postaci tzw. sferoidy normalnej Helmerta. Współczynnik J₂ we wzorze (2) jest związany prostą relacją ze spłaszczeniem bryły poprzez momenty bezwładności:

(wartość w systemie GRS' 80)

Zauważmy jeszcze, że potencjał przyciągania masy tak ukształtowanej, aby jedna z powierzchni ekwipotencjalnych przyjęła postać elipsoidy trójosiowej można w przybliżeniu opisać następującym wzorem:

Wyznaczenia metodami satelitarnymi wartości spłaszczenia równikowego Ziemi, mającej kształt elipsoidy trójosiowej, dały wartość niewielką (f_r rzędu 1x10^-5) w porównaniu ze spłaszczeniem biegunowym Ziemi. Wobec tego i usytuowanie dużej półosi elipsy równikowej udaje się wyznaczyć z bardzo małą dokładnością (ok.
). Czasami przedstawia się wzór na potencjał grawitacyjny „Ziemi elipsoidalnej” z dokładnością pierwszej potęgi spłaszczenia biegunowego bryły (f ) w postaci:

.

Taki przybliżony wzór ma znaczenie tylko w astronomii dla odległości r tak znacznych, że wyrazy z
mogą być pominięte. Dla wielkich odległości planetarnych czasem nawet tylko pierwszy wyraz, obrazujący potencjał masy Ziemi skupionej w punkcie jej środka, może być przyjęty.

---