mzm - etap wojewodzki 2005, Matematyka

Międzyszkolne Zawody Matematyczne

Klasa I z rozszerzonym programem nauczania matematyki

Etap wojewódzki 2.04.2005

Czas rozwiązywania zadań - 150 minut

Zadanie 1 (6 punktów)

Wiadomo, że
i
. Jaka jest najmniejsza możliwa wartość wyrażenia
? Odpowiedź uzasadnij.

Zadanie 2 (6 punktów)

Udowodnij, że dla dowolnego
pole figury ograniczonej wykresami funkcji
i
jest mniejsze od
.

Zadanie 3 (6 punktów)

Udowodnij, że jeżeli dla dowolnych, parami różnych, liczb rzeczywistych a, b, c oraz dowolnych liczb rzeczywistych x, y spełnione są warunki:
,
,
, to
.

Zadanie 4 (6 punktów)

Dany jest romb ABCD i takie punkty E, F, G, H należące do boków, odpowiednio, AB, AD, CD, CB, że
. Udowodnij, że czworokąt EFGH ma pole dwa razy mniejsze od pola rombu ABCD.

Zadanie 5 (6 punktów)

Wiadomo, że dla danych liczb całkowitych a, b, c liczba
jest podzielna przez 6 i liczba ab + bc + ac jest podzielna przez 3. Udowodnij, że
jest podzielne przez 6.

Międzyszkolne Zawody Matematyczne

Klasa II liceum, klasa II oraz III technikum

z rozszerzonym programem nauczania matematyki

Etap wojewódzki 2.04.2005

Czas rozwiązywania zadań - 150 minut

Zadanie 1 (6 punktów)

Dane są ciągi arytmetyczne:
. Niech wyrazy ciągu
będą zdefiniowane następująco:
. Udowodnij, że ciąg
od pewnego wyrazu jest ciągiem arytmetycznym.

Zadanie 2 (6 punktów)

Rozwiąż równanie:
.

Zadanie 3 (6 punktów)

Wewnątrz ostrokątnego trójkąta ABC wybrano punkt D. Wiadomo, że dwa z promieni okręgów opisanych na trójkątach: ABD, ACD, BCD maja długości równe długości promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC. Udowodnij, że w rzeczywistości wszystkie cztery promienie mają równe długości.

Zadanie 4 (6 punktów)

Dla pewnych liczb całkowitych m i n liczba
jest liczbą całkowitą. Udowodnij, że liczba
też jest liczbą całkowitą.

Zadanie 5 (6 punktów)

W równoramiennym trójkącie ABC miara kąta przy wierzchołku A jest równa
. Udowodnij, że jeżeli BP jest dwusieczną kąta ABC, to
.

Międzyszkolne Zawody Matematyczne

Klasa III z rozszerzonym programem nauczania matematyki

Etap wojewódzki 2.04.2005

Czas rozwiązywania zadań - 150 minut

Zadanie 1 (6 punktów)

Wyznacz wszystkie pary liczb rzeczywistych x i y, które spełniają układ równań:

0x01 graphic
.

Zadanie 2 (6 punktów)

Dana jest funkcja f , dla której spełniony jest warunek:

, dla każdego
.

Udowodnij, że funkcja f jest funkcją okresową.

Zadanie 3 (6 punktów)

Dla pewnych liczb całkowitych m i n liczba
jest liczbą całkowitą. Udowodnij, że liczba
tez jest liczbą całkowitą.

Zadanie 4 (6 punktów)

Na płaszczyźnie dany jest trójkąt ABC. Odcinek MN jest równoległy do boku AB, przy czym punkt M należy do odcinka AC, a punkt N należy do odcinka BC. Na odcinku AB został wybrany punkt P. Udowodnij, że iloczyn pól trójkątów CNP i CMP jest największy, gdy punkt P jest środkiem odcinka AB.

Zadanie 5 (6 punktów)

Rzucamy n-krotnie monetą. Prawdopodobieństwo wypadnięcia orła w jednym rzucie jest równe p Niech A oznacza zdarzenie: w pierwszym rzucie wypadł orzeł, zaś
: w n rzutach wypadło k orłów. Dla jakich wartości parametru p zdarzenia A i
są niezależne? (
)

Propozycja kryteriów oceniania zadań dla klas pierwszych z rozszerzonym programem nauczania matematyki

Zadanie 1 (6 pkt.)
Uzasadnienie, że	2 p
Uzasadnienie, że	2 p
Podanie odpowiedzi poprzez podanie takich liczb a,c,e, których suma jest równa 50 np. 25 + 25 + 0 = 50	2 p
Zadanie 2 (6 pkt.)
Wyznaczenie punktów wspólnych wykresów danych funkcji: ,	2 p
Obliczenie pola czworokąta:	2 p
Uzasadnienie, że S jest mniejsze od	2 p
Zadanie 3 (6 pkt.)
Uzyskanie z danych równań układu warunków: (1) (2) wraz z powołaniem się na wykorzystanie założenia, że liczby a, b, c są parami różne	3 p
Uzyskanie z warunków (1) i (2) równości:	2 p
Uzasadnienie, że a + b + c = 0	1 p
Zadanie 4 (6 pkt.)
Uzasadnienie, że prosta AC jest osią symetrii czworokąta EFGH i że czworokąt EFGH jest trapezem równoramiennym	1 p
Uzasadnienie, że długość wysokości trapezu EFGH jest równa połowie długości przekątnej AC	2 p
Uzasadnienie, że suma długości podstaw trapezu EFGH jest równa długości przekątnej BD	2 p
Wykazanie, że pole trapezu EFGH jest równe połowie pola rombu ABCD		1 p
Uwaga: jeżeli uczeń zauważy i uzasadni, że odcinek FH jest równoległy do odcinka AB oraz, że , otrzymuje 2 punkty
Zadanie 5 (6 pkt.)
Uzasadnienie, że dla każdej liczby całkowitej a reszta z dzielenia przez 6 jest równa reszcie z dzielenia a przez 6 itd.	2 p
Zauważenie, że	2 p
Uzasadnienie, że reszta z dzielenia liczby przez 6 jest równa reszcie z dzielenia przez 6		2 p
Uwaga: Jeżeli uczeń uzasadni, że jest podzielne przez 2, otrzymuje 2 punkty

Za poprawne rozwiązanie zadania metodą inną aniżeli opisana w schemacie punktowania, należy przyznać maksymalną liczbę punktów. Jeżeli uczeń rozwiązał zadanie metodą inną i popełnił błędy to należy określić i ocenić czynności równoważnie do wymienionych w schemacie. Można przyznawać połówki punktów

Propozycja kryteriów oceniania zadań dla klas drugich z rozszerzonym programem nauczania matematyki

Zadanie 1 (6 pkt.)
Uzasadnienie, że istnieje taka liczba naturalna k, że dla każdej liczby naturalnej n k wyrażenie ma stały znak (przy założeniu, że jest różnicą ciągu , a - różnicą ciągu )		3 p
Uzasadnienie, że ciąg jest arytmetyczny począwszy od wyrazu c_k		3 p
Zadanie 2 (6 pkt.) I sposób
Wyznaczenie dziedziny:		2 p
Zauważenie, że wyrażenia: przyjmują wartości największe dla x = -1.		3 p
Sprawdzenie, że jedynym rozwiązaniem równania jest x = -1.			1 p
Zadanie 2 (6 pkt.) II sposób
Wyznaczenie dziedziny:			2 p
Zapisanie równania w postaci: (*) i uzasadnienie, że dla każdego			1p
Sprowadzenie równania (*) do postaci przez podniesienie do kwadratu stronami			2p
Rozwiązanie równania i zapisanie odpowiedzi: x = -1.			1p
Zadanie 3 (6 pkt.)
Uzasadnienie, że , ,		2 p
Udowodnienie, że , , przy założeniu, że promień okręgu opisanego na trójkącie ABD jest równy promieniowi okręgu opisanego na trójkącie BDC		2 p
Uzasadnienie, że promień okręgu opisanego na trójkącie ADC jest równy promieniowi okręgu opisanego na trójkącie ABC		2 p
Zadanie 4 (6 pkt.)
Zapisanie, że		2 p
Uzasadnienie, że jest liczbą całkowitą		3 p
Podanie, że jest liczbą całkowitą		1 p
Zadanie 5 (6 pkt.)
Wybranie na odcinku BC takiego punktu R, że		1 p
Uzasadnienie, że		1 p
Uzasadnienie, że	1 p
Uzasadnienie, że	2 p
Zapisanie, że	1 p

Propozycja kryteriów oceniania zadań dla klas trzecich z rozszerzonym programem nauczania matematyki

Zadanie 1 (6 pkt.)
Zapisanie układu równań danego w zadaniu w postaci równoważnej: (1)	2 p
Rozwiązanie układu (1)		3 p
Podanie odpowiedzi x = y =1		1 p
Zadanie 2 (6 pkt.)
Uzasadnienie, że dla każdej liczby rzeczywistej x:	2 p
Uzasadnienie, że dla każdej liczby rzeczywistej x	3 p
Podanie wniosku, że f jest okresowa		1 p
Zadanie 3 (6 pkt.)
Zapisanie, że	2 p
Uzasadnienie, że jest liczbą całkowitą	3 p
Podanie, że jest liczbą całkowitą	1 p
Zadanie 4 (6 pkt.)
Zapisanie, że , , gdzie h jest długością wysokości trójkąta ABC poprowadzonej z wierzchołka C, zaś	2p
Uzasadnienie, że iloczyn przyjmuje wartość największą, gdy przyjmuje wartość największą	2 p
Wykazanie, że przyjmuje wartość największą, gdy punkt P jest środkiem odcinka AB	2p
Zadanie 5 (6 pkt.)
Uzasadnienie, że i		1 p
Uzasadnienie, że , dla		2 p
Zapisanie, że dla zdarzenia A i są niezależne, gdy (*)		1 p
Rozwiązanie równania (*) i podanie odpowiedzi: lub p = 1 lub (p = 0 i )		2 p

Międzyszkolne Zawody Matematyczne

Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy

Etap wojewódzki - 02.04.2005 rok

Czas rozwiązywania zadań 150 minut

Zadanie 1 ( 6 pkt )

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 10 cm i 20 cm. Na krótszej przyprostokątnej jako na średnicy zbudowano okrąg. Oblicz długości odcinków, na które ten okrąg podzielił przeciwprostokątną.

Zadanie 2 ( 6 pkt )

Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie:

Zadanie 3 ( 6 pkt )

Narysuj wykres funkcji
.

Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja
+ m

nie ma miejsc zerowych.

Zadanie 4 ( 6 pkt )

W dwóch stopach miedzi i cynku stosunki mas tych metali wynoszą odpowiednio: 4 : 1

i 1 : 3. Po stopieniu 10 kilogramów pierwszego stopu, 16 kilogramów drugiego i pewnej ilości czystej miedzi otrzymano stop, w którym masy miedzi i cynku pozostają w stosunku

3 : 2.Oblicz ciężar nowego stopu.

Zadanie 5 ( 6 pkt)

Punkty M i N są odpowiednio środkami boków BC i CD równoległoboku ABCD. Wykaż, że:

Punkty K, L przecięcia przekątnej BD odpowiednio przez proste AN i AM dzielą tę przekątną na 3 równe części,
Pole pięciokąta KLMCN stanowi
pola równoległoboku ABCD.

Życzymy powodzenia

Kryteria oceniania dla klasy I LO i I Technikum- zakres podstawowy

Nr zad	Wykonana czynność	Pkt
1	Rysunek z oznaczeniami	1
	Obliczenie długości przeciwprostokątnej:10	1
	Wykazanie, że AD, (gdzie A jest wierzchołkiem kąta prostego trójkąta a D punktem przecięcia okręgu i przeciwprostokątnej) jest wysokością trójkąta - kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym	1,5
	Obliczenie długości odcinka BD: 2	1,5,
	Obliczenie długości odcinka DC: 8	1
2	Zauważenie, że dla każdej wartości y wyrażenie y² + 1 przyjmuje wartości dodatnie a tym samym czynniki iloczynu x(y² + 1 ) muszą być dodatnie	1
	Zapisanie alternatywy układów równań z uwzględnieniem rozkładu liczby 48 na czynniki naturalne	3
	Wybór układów, których rozwiązaniem są pary liczb całkowitych: x = 48 lub x = 24 y² + 1= 1 y² + 1=2	1
	Rozwiązanie układów i podanie odpowiedzi: Pary liczb (48, 0), (24, 1), (24, -1) spełniają równanie	1
3	Zapisanie przepisu funkcji w postaci:	1
	Zapisanie przepisu funkcji w postaci:	3
	Narysowanie wykresu funkcji	0,5
	Podanie zbioru do którego musi należeć m, aby funkcja nie posiadała miejsc zerowych : m	1,5
4	Obliczenie masy miedzi w pierwszym stopie: 8 kg,	1,5
	Obliczenie masy miedzi w drugim stopie: 4 kg,	1,5
	Obliczenie masy czystej miedzi, którą stopiono: 9 kg	2
	Obliczenie ciężaru nowego stopu: 35 kg	1
5	Rysunek z oznaczeniami	0,5
	Zauważenie, że punkty K, L są odpowiednio środkami ciężkości trójkątów ACD i ABC	0,5
	Zapisanie związków wynikających z tego, że punkty K,L są środkami ciężkości trójkątów:	1
	Zapisanie związków wynikających z tego, że: przekątne w równoległoboku dzielą się na połowy czyli , gdzie O jest środkiem symetrii równoległoboku i z wcześniejszych zapisów:	1,5
	Obliczenie, jaką częścią pola równoległoboku są pola trójkątów ABM i ADN:	1
	Obliczenie, jaką częścią pola równoległoboku jest pole trójkąta AKL:	0,5
	Obliczenie, jaką częścią pola równoległoboku jest pole pięciokąta:	1

Za poprawnie rozwiązane zadania metodą inną aniżeli opisana w schemacie punktowania należy przyznać maksymalną liczbę punktów.

Jeżeli uczeń rozwiązał zadanie inną metodą i popełnił błędy to należy określić i ocenić czynności równoważne do wymienionych w schemacie.

Można przyznawać połówki punktów

Międzyszkolne Zawody Matematyczne

Klasa II LO, II i III Technikum - zakres podstawowy

Etap wojewódzki - 02.04.2005 rok

Czas rozwiązywania zadań 150 minut

Zadanie 1 (6 pkt )

Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych spełniające równanie:

xy = 20 - 3x + y

Zadanie 2 ( 6 pkt )

Pewien wielomian jest podzielny przez x -2.Przy dzieleniu tego wielomianu przez x -1 otrzymujemy resztę 2, zaś przy dzieleniu przez x - 3 resztę - 4.

Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez ( x -1) ( x - 2)( x - 3).

Zadanie 3 ( 6 pkt )

W trapezie ABCD dane są kąty przy podstawie dolnej, takie, że
.

Przekątna BD ma długość 6
cm i jest prostopadła do boku AD.

Oblicz obwód tego trapezu.

Zadanie 4 ( 6 pkt)

Dla jakich
rozwiązaniem układu:

jest dokładnie jedna para liczb ujemnych?

Zadanie 5 ( 6 pkt)

Jeden z wierzchołków trójkąta równobocznego jest wierzchołkiem paraboli

a pozostałe należą do paraboli.

Wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta

Życzymy powodzenia

Kryteria oceniania dla klasy II LO, II i III Technikum - zakres podstawowy

Nr zad	Wykonana czynność	Pkt
1	Wyznaczenie niewiadomej np. x z równania: x =	1
	Zapisanie ułamka w postaci sumy: x = 1 +	2
	Zapisanie wartości y, dla których ułamek przyjmuje wartości całkowite: - 20, - 4, - 2, 14	1
	Obliczenie wartości x dla odpowiednich wartości y.	1
	Udzielenie odpowiedzi: pary liczb (0, - 20 ), ( -16, - 4), ( 18, - 2), ( 2, 14) spełniają równanie.	1
2	Zapisanie faktu, że reszta z dzielenia danego wielomianu W (x) przez ( x -1) (x - 2)( x - 3) jest wielomianem co najwyżej drugiego stopnia lub wielomianem zerowym W ( x ) = ( x -1) (x - 2)( x - 3)Q(x) + (ax² + bx + c )	1
	Znajomość twierdzenia o reszcie z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x - r	0,5
	Zapisanie układu równań	1,5
	Rozwiązanie układu równań: a = - 1, b = 1, c = 2	2
	Zapisanie szukanej reszty: - x² + x + 2	1
3	Rysunek wraz z oznaczeniami	1
	Wyznaczenie długości ramienia AD: 6 cm.	1
	Obliczenie długości podstawy dolnej trapezu z trójkąta prostokątnego ABD: 12 cm	1
	Obliczenie długości wysokości DE trapezu: 6 cm	0,5
	Obliczenie długości ramienia BC: 4	0,5
	Obliczenie długości podstawy górnej: 2( 3 - ) cm	1,5
	Obliczenie obwodu trapezu: 2( 3 + + 9)	0,5
4	Obliczenie wyznaczników: W = 2 ( sin + 1) ( sin - ), W_x = sin + 1, W_y = sin ( sin + 1)	1,5
	Podanie warunku, dla którego układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie: W tzn. dla	2
	Obliczenie x , y :	0,5
	Sformułowanie warunku, dla którego x i y są ujemne: sin i sin	0,5
	Określenie zbioru rozwiązań tego układu nierówności:	1
	Udzielenie odpowiedzi: Rozwiązaniem układu jest dokładnie jedna para liczb ujemnych gdy	0,5
5	Narysowanie wykresu funkcji kwadratowej ( wyznaczenie współrzędnych wierzchołka C i współrzędnych punktów przecięcia się wykresu funkcji z osiami)	1
	Zapisanie współrzędnych pozostałych wierzchołków trójkąta uwzględniając, że prosta x = 2 jest osią symetrii wykresu: A =( 2 + x, x² - 4), B = ( 2 - x, x² - 4) gdzie x > 0	2
	Zapisanie równania wykorzystując, że długość boku BC równa się 2x	1
	Rozwiązanie równania: x = 0, x = , x = - i x>0	1
	Zapisanie współrzędnych punktów A i B: A = ( 2 + , - 1), B = ( 2 - , - 1)	1
	Druga wersja kryteriów dla zadania 5
5	Narysowanie wykresu funkcji kwadratowej ( wyznaczenie współrzędnych wierzchołka i współrzędnych punktów przecięcia się wykresu funkcji z osiami)	1
	Zapisanie równania prostej BC, gdzie C jest wierzchołkiem paraboli ( kąt nachylenia prostej BC do osi OX ma miarę 60⁰):	2
	Zapisanie układu równań:	0,5
	Rozwiązanie układu równań:	2
	Zapisanie współrzędnych punktów A i B: A = ( 2 + , - 1), B = ( 2 - , - 1)	0,5

Za poprawnie rozwiązane zadania metodą inną aniżeli opisana w schemacie punktowania należy przyznać maksymalną liczbę punktów.

Jeżeli uczeń rozwiązał zadanie inną metodą i popełnił błędy to należy określić i ocenić czynności równoważne do wymienionych w schemacie.

Można przyznawać połówki punktów.

Międzyszkolne Zawody Matematyczne

Klasa III LO - zakres podstawowy

Etap wojewódzki - 02.04.2005 rok

Czas rozwiązywania zadań 150 minut

Zadanie 1 ( 6 pkt )

Pary liczb całkowitych (x,y) spełniających równanie:

x³ - x²y + xy - y² = 5

są wierzchołkami pewnego wielokąta wypukłego .

Oblicz jego obwód.

Zadanie 2 ( 6 pkt )

Iloczyn wyrazu pierwszego i szóstego malejącego ciągu arytmetycznego ( a_n) jest równy 100. Wynik z dzielenia wyrazu drugiego tego ciągu przez szósty wyraz jest równy 3 i reszta 2.

Wyznacz ten ciąg. Oblicz o ile jest mniejsza suma 200 kolejnych początkowych wyrazów ciągu ( a_n) o numerach parzystych od sumy 200 kolejnych początkowych wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych.

Zadanie 3 ( 6 pkt )

Rozwiąż nierówność:

Zadanie 4 ( 6 pkt )

W trójkącie prostokątnym stosunek różnicy długości przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej jest równy 0,5.

Wyznacz wartość tangensa jednego z kątów ostrych tego trójkąta.

Zadanie 5 ( 6 pkt )

W turnieju tenisa stołowego rozgrywanego systemem " każdy z każdym", dwóch zawodników w czasie trwania zawodów uległo kontuzji, przy czym jeden z nich zagrał 5 partii, zaś drugi tylko 1. Wyznacz liczbę uczestników turnieju, jeżeli wiadomo, że rozegrano razem 83 partie?

Życzymy powodzenia

Kryteria oceniania dla klasy III LO - zakres podstawowy

Nr zad	Wykonana czynność	Pkt
1	Zapisanie lewej strony równania w postaci iloczynu: ( x - y ) ( x² + y)=5	1
	Zapisanie alternatywy czterech możliwych przypadków: lub lub lub	1
	Obliczenie współrzędnych wierzchołków: (2, 1), (2, - 3), ( - 3, - 4), ( -3, - 8)	2
	Obliczenie długości boków: 4, 4, 5 , 5	1,5
	Obliczenie obwodu: 2( 4 + 5 )	0,5
2	Ułożenie układu równań:	1
	Rozwiązanie układu równań: a₁ = 20, r₁ = - 3, a₁` = - , r₂ =	2
	Wyznaczenie ciągu spełniającego warunki zadania : a₁ = 20, r = -3	0,5
	Obliczenie sumy 200 kolejnych wyrazów o numerach nieparzystych: - 115 400	1
	Obliczenie sumy 200 kolejnych wyrazów o numerach parzystych: - 116 000	1
	Obliczenie różnicy: 600	0,5
3	Zapisanie nierówności w postaci:	1
	Rozważenie trzech przypadków: lub lub	1,5
	Rozwiązanie alternatywy trzech układów	3
	Wyznaczenie zbioru rozwiązań: x	0,5
4	Rysunek z oznaczeniami	1
	Zapisanie równania z niewiadomą a, b: 3a² - 8 ba + 3b² = 0	2
	Rozwiązanie równania kwadratowego ze względu na a: a₁ = , a₂ =	2
	Obliczenie tangensa kąta ostrego trójkąta: Za obliczenie jednej z wartości należy przyznać maksimum punktów	1
	Druga wersja kryteriów do zadania 4
4	Rysunek z oznaczeniami	0,5
	Zapisanie równania w postaci	1
	Rozwiązanie układu równań:	2
	Wybór właściwej wartości sin , uwzględniając, że jest kątem ostrym trójkąta:	0,5
	Obliczenie cos :	1
	Obliczenie tg :	1
5	Zapisanie liczby wszystkich możliwych do rozegrania partii:	0,5

	Zapisanie liczby partii, które powinien rozegrać każdy z zawodników: ( n - 1)	0,5
	Zapisanie liczby partii, których nie rozegrali kontuzjowani zawodnicy: ( n - 1 -5 ) ; ( n -1 - 1 )	1
	Ułożenie równania: = 83 + n - 6 + n - 2	1
	Przekształcenie równania do postaci: n² - 5n - 150 = 0	1
	Rozwiązanie równania: n₁ = 15, n₂ = - 10	1,5
	Udzielenie odpowiedzi: W turnieju brało udział 15 zawodników	0,5

Za poprawnie rozwiązane zadania metodą inną aniżeli opisana w schemacie punktowania należy przyznać maksymalną liczbę punktów.

Jeżeli uczeń rozwiązał zadanie inną metodą i popełnił błędy to należy określić i ocenić czynności równoważne do wymienionych w schemacie.

Można przyznawać połówki punktów.

Międzyszkolne Zawody Matematyczne

Klasa V technikum - profil ogólny

Etap wojewódzki- 02.04.2005 rok

Czas rozwiązywania zadań 150 minut

Zadanie 1 ( 6 pkt)

Prosta l równoległa do boku AB trójkąta ABC dzieli ten trójkąt na dwie figury o równych polach. Oblicz, w jakim stosunku prosta l dzieli bok AC ?

Zadanie 2 (6 pkt)

Rozwiąż równanie:

-- 6 = 0

Zadanie 3 ( 6 pkt )

Na półce stoi 25 podręczników, przy czym n spośród nich to podręczniki do matematyki. Wybieramy losowo dwa podręczniki. Prawdopodobieństwo tego, że co najmniej jeden z nich nie jest podręcznikiem do matematyki jest równe 0,98. Oblicz, ile było podręczników do matematyki na półce.

Zadanie 4 ( 6 pkt )

Niech A będzie przedziałem otwartym, w którym funkcja określona wzorem f(x) =
jest rosnąca, natomiast B będzie dziedziną funkcji określonej wzorem g(x) =

Wyznacz A
B.

Zadanie 5 ( 6 pkt )

Pole podstawy stożka, pole powierzchni kuli wpisanej w ten stożek i pole powierzchni bocznej stożka w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny.

Tworząca stożka jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze
.

Wyznacz cosinus kąt
wiedząc, że prawdziwa jest równość:

Życzymy powodzenia

Kryteria oceniania dla klasy IV, V- profil ogólny

Nr zad	Wykonana czynność	Pkt
1	Rysunek z oznaczeniami	0,5
	Zauważenie, że trójkąty ABC i A`B`C gdzie A` i B` są punktami przecięcia się prostej l odpowiednio z bokiem AC i BC są podobne
	Zapisanie, że stosunek pól trójkątów ABC i A`B`C jest równy kwadratowi skali podobieństwa czyli 2	1
	Obliczenie skali podobieństwa tych trójkątów: k =	0,5
	Zapisanie równania:	1
	Przekształcenie równania do postaci:	2
	Obliczenie, w jakim stosunku prosta dzieli bok AC:	1
2	Założenie: x² - 4 , czyli x	0,5
	Zapisanie równania pomocniczego gdzie	1
	Rozwiązanie równania: z₁ = - , z₂= 4	1
	Zapisanie alternatywy równań: = - lub = 4	0,5
	Rozwiązanie alternatywy równań: = - lub = 4: x =	2,5
	Udzielenie odpowiedzi: rozwiązaniem równania jest liczba x =	0,5
3	Opisanie przestrzeni zdarzeń elementarnych	0,5
	Obliczenie mocy przestrzeni zdarzeń elementarnych	0,5
	Opisanie zdarzenia A` - losowo dwa wybrane podręczniki są podręcznikami do matematyki	1
	Obliczenie P(A`): 0,02	1
	Zapisanie równania n (n-1): 600 = 0,02 i n N i n <26	1
	Rozwiązanie równania z uwzględnieniem założenia; n = 4	2
4	Określenie dziedziny funkcji: D_f = R	0,5
	Obliczenie pochodnej funkcji:	1
	Wyznaczenie zbioru A : A = (0, + )	0,5
	Sformułowanie warunków dla określenia dziedziny funkcji: i	1,5
	Wyznaczenie zbioru B: B =[ ,0 ) [ )	2
	Wyznaczenie zbioru A B: [ )	0,5
5	Rysunek wraz z oznaczeniami	0,5
	Zapisanie równania: 4 r²- R²= Rl - 4 r² gdzie R jest długością promienia podstawy stożka, r długością promienia kuli a l długością tworzącej stożka	1
	Przekształcenie równania do postaci: 8	0,5
	Zapisanie równania w postaci: 8tg² = 1 +	1
	Przekształcenie równania do postaci: 9	2
	Rozwiązanie równania i udzielenie odpowiedzi: cos	1