WYKŁAD 1 30.09.2006

dr ZYGMUNTA BARAŃSKA

Literatura:

L. Hryniewicka „Ćw statystyczne w naukach ekonomicznych” ODDK, 2003

A. Komosa „Statystyka zbiór zadań”

PODSTAWOWE POJĘCIA

Statystyka:

1. Zestaw liczb zebranych i zinterpretowanych do przedstawienia określonego problemu

2. Wartości (parametry) wyliczane na podstawie badań próbnych

3. Nauka zajmująca się zbieraniem, prezentacją i analizą zebranego materiału (przeważnie liczbowego)

STATYSTYKA

Statystyka opisowa
proste przeliczenia arytmetyczne, nie wymagające znajomości rachunku prawdopodobieństwa; dotyczy sytuacji gdy badane są wszystkie występujące zdarzenia

Statystyka matematyczna
procedury oparte na matematyce, a w szczególności na rachunku prawdopodobieństwa, stosowana w sytuacji gdy badamy przedstawicieli określonej grupy biorącej udział w badaniu

Zbiorowość statystyczna - ogół osób lub rzeczy, które podlegają badaniu, składa się z jednostek statystycznych

Zjawiska masowe - służą do zauważenia prawidłowości statystycznych

ANALIZA ETAPÓW BADAŃ STATYSTYCZNYCH

I. PROGRAMOWANIE BADANIA

1. Określenie celu badania:

• cele ogólne

• cele szczególne (hipotezy szczegółowe)

Określenie przedmiotu badana - tj. określenie zbiorowości statystycznej i jednostki statystycznej; zbiorowość statystyczną określamy trzema stałymi cechami:

1. kto jest badany (cecha rzeczowa)

2. kiedy jest badany (cecha czasowa)

3. gdzie jest badany (cecha przestrzenna)

Zbiorowości:

• statyczne - badane w pewnym momencie

• dynamiczne - badane w pewnym okresie czasu

• przeliczalne - zawierają konkretną liczbę jednostek

• nieprzeliczalne - nie można określić liczby jednostek

• jednorodne

• niejednorodne - dzielimy na podzbiorowości jednorodne

• Określenie zakresu badania (wyodrębnienie cech badanych u jednostek statystycznych)

Każda jednostka statystyczna różni się od pozostałych pewnymi właściwościami cech (poziomem cech)


CECHY ZMIENNE




Ilościowe
można przedstawić w formie liczb, mierzalne

Jakościowe
właściwości, które można określić tylko słownie






Skokowa
z pewnego przedziału liczbowego przyjmuje tylko określone wartości liczbowe; np. {2,4,5,7,8}

Ciągła
z pewnego przedziału liczbowego może przyjmować dowolną liczbę wartości; np. (2,8)

Dwudzielna
może przyjmować tylko dwie kategorie; np. płeć = kobieta lub mężczyzna

Wielodzielna
może przyjmować więcej niż dwie kategorie; np. ukończona szkoła średnia = liceum lub technikum lub zawodówka, it




4. Wybór zakresu obserwacji / wybór typu badania:

1. badanie całkowite (pełne) - do badania bierzemy wszystkie jednostki wchodzące w skład zbiorowości (np. spis ludności, spis gospodarstw rolnych, rejestracja urodzeń i zgonów, inwentaryzacja środków trwałych w przedsiębiorstwie)

2. badanie częściowe - badamy tylko część jednostek zbiorowości
   ▪ dobór jednostek w sposób losowy (każda jednostka ma znane prawdopodobieństwo wejścia do grupy badanej; stosowany odpowiedni schemat losowania)
   ▪ dobór jednostek w sposób nielosowy (przeprowadzający badanie sam decyduje kto bierze udział w badaniu)
   badanie monograficzne - jedna wybrana jednostka zostaje opisana wszechstronnie

5. Organizacja obserwacji statystycznej:

1. jednorazowa

2. powtarzalna

3. ciągła

6. Wybór techniki zbierania danych

1. wywiad osobisty

2. samospisywanie (ankieta pocztowa)

3. bezpośrednia obserwacja lub pomiar

4. rejestry i dane sprawozdawcze

II. OBSERWACJA STATYSTYCZNA

1. 
   
   Gromadzenie danych statystycznych




Materiał pierwotny
zebrany ściśle do celów badania

Materiał wtórny
zebrany do innych celów, a wykorzystywany m.in. do danego badania




2. Kontrola materiału statystycznego

1. ilościowa (kompletności)

2. merytoryczna (poprawnosci)

III. OPRACOWANIE DANYCH

1. Ustalenie zasad klasyfikacji:

1. porządkowanie

2. grupowanie statystyczne:

• wariancje - dla cech ilościowych wyodrębniamy warianty liczbowe

• typologie - dla cech jakościowych wyodrebniamy grupy typologiczne

2. Budowa szeregów statystycznych - powstają w wyniku grupowania i porządkowania

Szereg statystyczny - ciąg wartości licznowych i nieliczbowych badanej cechy uporządkowany wg określonych kryteriów

Rodzaje szeregów statystycznych:

1. szczegółowe (wyliczające)

2. rozdzielcze z cechą jakościową (strukturalne)

3. rozdzielcze z cechą ilościową (punktowe = jednostopniowe, przedziałowe = wielostopniowe)

4. kumulacyjne

5. geograficzne (przestrzenne)

6. czasowe (dynamiczne, chronologiczne)

♦ szereg rozdzielczy strukturalny

poziom wykształcenia	liczba osób
podstawowe zasadnicze zawodowe średnie ...	6 26 19 ...

♦ szereg rozdzielczy punktowy

liczba dzieci na utrzymaniu xi	liczba osób ni
0 1 ...	34 26 ...

♦ szereg rozdzielczy jednopunktowy (np. odziały banku wg ilości stanowisk)

ilość stanowisk	ilość oddziałów
... ...	... ...

♦ szereg rozdzielczy przedziałowy

wiek w latach <xi0,xi1)	liczba osób ni
15,0 - 25,0 25,0 - 35,0 ...	14 32 ...

• stosowany dla cechy ciągłej lub dla cechy skokowej gdy jest duża liczba wariantów i duża liczba obserwacji

• <x_i0,x_i1): x_i0 - dolna granica przedziału czasowego; x_i1 - górna granica przedziału czasowego

• szeregi zamknięte: 15,0 - 25,0; 25,0 - 35,0...45,0 - 55,0

• szeregi otwarte: poniżej 25,0; 25,0 - 35,0; ...; 45,0 - 55,0; powyżej 55,0

♦ szereg geograficzny

województwo	przeciętne miesięczne wynagrodzenie
... ... ...	... ... ...

♦ szereg dynamiczny

grupy wiekowe	ludność w tyś.
		1970	1980	1990
przedprodukcyjny produkcyjny ...	x a ...	y b ...	z c ...

♦ szereg szczegółowy - szereg tylko uporządkowany, nie pogrupowany = szereg prosty

SYMBOLE

R - obszar zmienności / rozstęp




n - liczebność / ogólna liczba obserwacji

k - ilość przedziałów klasowych




c - rozpiętość przedziału klasowego




IV. PREZENTACJA GRAFICZNA - zbudowanie wykresu statystycznego dla kolejnych szeregów statystycznych.

Rodzaje wykresów:

1. punktowe

2. liniowe

3. powierzchniowe (najczęściej dla szeregów rozdzielczych strukturalnych)

4. bryłowe

• dla szeregu rozdzielczego jednopunktowego najczęściej słupkowy diagram odcinkowy

• szeregi rozdzielcze przedziałowe - wykres liniowy, powierzchniowy

• jeśli rozpiętości przedziałów klasowych są równe to:


♦ dla wykresy powierzchniowego - histogram:

na osi ox granice przedziałów

na osi oy liczba obserwacji

♦ dla wykresu liniowego


na osi ox środki przedziałów klasowych (
)




na osi oy liczba obserwacji

• szeregi czasowe na wykresach liniowych lub powierzchniowych

na osi ox lata

na osi oy badana cecha

WYKŁAD 2 01.10.2006

Tablica statystyczna - przedstawienie jednego lub więcej szeregów jednocześnie; część liczbowa tablicy składa się z odpowiednich kolumn i wierszy a część opisowa z tytułu (określenie zbiorowości) i wierszy (boczek tablicy); każdy wiersz tablicy musi być wypełniony nazwą kolumn (główka tablicy); pod każdą tablicą musi być podane źródło danych; pod tablicą mogą być zamieszczone informacje dodatkowe.

W tablicach używa się następujących znaków umownych:

kropka (∙) - oznacza zupełny brak wiarygodnych informacji

zero (0) - oznacza, że dane zjawisko występuje ale w ilościach mniejszych niż pół jednostki miary przyjętej w tablicy

kreska (-) - oznacza, że dane zjawisko nie występuje

gwiazdka (*) - stawiana jest obok liczby, która została zmieniona w stosunku do poprzednio opublikowanej

napis „w tym” - oznacza, że nie podaje się wszystkich składników sumy ogólnej

iks (x) - oznacza, że rubryki nie można wypełnić ze względu na układ tablicy

Rodzaje tablic:




• tablice proste

• tablice złożone

• tablice kombinowane

• tablice specjalne




• Tablica prosta - zawiera tylko jeden szereg

makroregion	współczynnik aktywności zawodowej
Stołeczny Północny ...	58,6 56,4 ...

• 
  Tablica złożona - zawiera więcej niż jeden szereg

grupy wiekowe	ludność w tyś
		1970	1980	1990
przedprodukcyjny produkcyjny ...	a b ...	c d ...	e f ...

• 
  Tablica kombinowana - ma przeliczenia lub doliczenia, może mieć więcej niż jeden szereg

grupy wiekowe	razem	M	K
przedprodukcyjny produkcyjny ...	5 3 ...	2 1 ...	3 2 ...

ANALIZA STATYSTYCZNA

Analiza statystyczna - wyliczenie pewnych parametrów na podstawie zbudowanych szeregów w celu określenia pewnych prawidłowości w badanej zbiorowości

Analizę statystyczną rozpatrujemy wg pojęć:

1. analiza struktury

2. analiza korelacji

3. analiza szeregów dynamicznych i ich dekompozycja

I. ANALIZA STRUKTURY

1. wyliczanie miar tendencji centralnej

2. obliczanie miar dyspersji (rozproszenia)

3. obliczanie miar skośności (asymetrii)

4. obliczanie miar koncentracji

Analiza struktury dla cech ilościowych:

1. budujemy szereg

2. nanosimy dane na wykres - wykres może mieć różne rozkłady:




1. Miary tendencji centralnej = miary położenia




miary klasyczne
jest to średnia arytmetyczna; liczone są dla szeregów rozdzielczych o zamkniętych przedziałach klasowych; nie liczymy dla szeregów skrajnie asymetrycznych, bimodalnych, u-towych;

miary pozycyjne
liczymy tylko z określonych wartości szeregu; należą do nich: mediana (Me), dominanta (D), kwartyle: pierwszy (Q₁), trzeci (Q₃), decyle: pierwszy (D₁), dziewiąty (D₉)




Właściwości średniej arytmetycznej (= wartości przeciętnej)

1. liczona z wszystkich wartości szeregu

2. ∑ odchyleń każdego x od średniej daje wartość 0:
   

Me (mediana) - wartość środkowa badanej cechy (szeregu), dzieli szereg w ten sposób, że:

• 50% zbiorowości ma wartości cechy nie większe niż mediana

• 50% zbiorowości ma wartości cechy nie mniejsze niż mediana

D (dominanta) - wartość w szeregu występująca najliczniej

Q₁, Q₃ (kwartyle) - dzielą zbiorowość na cztery części

Q₁ - dzieli szereg w ten sposób, że:

• 25% zbiorowości ma wartości cechy nie większe niż Q₁

• 75% zbiorowości ma wartości cechy nie mniejsze niż Q₁

Q₃ - dzieli szereg w ten sposób, że:

• 75% zbiorowości ma wartości cechy nie większe niż Q₃

• 25% zbiorowości ma wartości cechy nie mniejsze niż Q₃

D₁, D₉ (decyle) - dzielą zbiorowość na dziesięć części

D₁ - dzieli szereg w ten sposób, że:

• 10% zbiorowości ma wartości cechy nie większe niż D₁

• 90% zbiorowości ma wartości cechy nie mniejsze niż D₁

D₉ - dzieli szereg w ten sposób, że:

• 90% zbiorowości ma wartości cechy nie większe niż D₉

• 10% zbiorowości ma wartości cechy nie mniejsze niż D₉


Zależność pomiędzy D, D₁, D₉, Q₁, Q₃, Me,
:


Aby liczyć miary pozycyjne szereg musi być liczny

MEDIANA Me

• szereg szczegółowy

5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 10

Me = 7 (bo 7 leży po środku szeregu)

5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9



• szereg rozdzielczy jednostopniowy

xi	ni	nsk
5	2	2
6	2	4 (=2+2)
7	2	6 (=4+2)
8	1	7 (=6+1)
9	1	8 (=7+1)
10	1	9 (=8+1)

x_i - wydajność

n_i - ilość pomiarów

1. aby wyliczyć Me należy zbudować szereg kumulowany (skumulować szereg): n_sk

2. w szeregu skumulowanym szukamy pozycji mediany (pMe):
   


(piąta obserwacja w szeregu jest medianą, szukamy obserwacji równej lub pierwszej większej); czyli


• szereg rozdzielczy wielostopniowy

xi	ni	nsk
0-2	10	10
2-4	20	30 (=10+20)
4-6	10	40 (=30+10)
6-8	10	50 (=40+10)
8-10	10	60 (=50+10)

1. kumulujemy szereg

2. pozycja mediany (pMe):
   
   
   

3. mediana:


, gdzie: c_i - rozpiętość przedziału mediany,
n_i - liczebność w przedziale mediany



;
;
;






Środkowa wartość cechy wynosi 4,1

DOMINANTA D

• szereg szczegółowy

5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 10

W tym szeregu dominanty brak (bo żadna wartość pomiaru nie występuje częściej niż inna)

5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 10

D = 7 (bo 7 występuje najczęściej)

• szereg rozdzielczy jednostopniowy

xi	ni
5	2
6	2
7	3
8	1
9	1
10	1

D = 7 (bo 7 występuje najczęściej)

• szereg rozdzielczy wielostopniowy

xi	ni
0-2	10
2-4	20
4-6	10
6-8	10
8-10	10








Aby można było policzyć dominantę to przedział dominanty, przedział ją poprzedzający i następujący po niej muszą mieć tą samą rozpiętość:


KWARTYLE Q₁, Q₃

• szereg rozdzielczy jednostopniowy

xi	ni	nsk
0	20	20
1	50	70 (=50+20)
2	20	90 (=70+20)
3	10	100 (=90+10)
4	5	105 (=100+5)

1. kumulujemy szereg

2. pozycja Q₁:
   
   
   

3. kwartyl Q₁:
   (czyli ten x_i dla którego jest pQ₁)

Q₃ - analogicznie jak Q_1:






• szereg rozdzielczy wielostopniowy

xi	ni	nsk
10-20	20	20
20-30	50	70
30-50	20	90
50-70	10	10
70-100	10	110

1. kumulujemy szereg

2. pozycja Q₁ (Q₃)









3. Q₁ (Q₃)











DECYLE D₁, D₉

Liczymy analogicznie jak kwartyle, gdzie:









2. Miary rozproszenia / dyspersji

Dyspersja - rozproszenie (odległość) poszczególnych wartości od średniej (
); dzielimy ją na:

• miary klasyczne (bezwzględne, względne)

• miary pozycyjne (bezwzględne, względne)

MIARY KLASYCZNE DYSPERSJI:

• Wariancja s² - bezwzględna

• Odchylenie standardowe s - bezwzględna - mówi o przeciętnym odchyleniu poszczególnych wartości na „+” lub „-” od średniej
  

• Współczynnik zmienności V(s) - względny - służy do porównywania szeregów,
  

MIARY POZYCYJNE DYSPERSJI:

• Rozstęp R - bezwzględny,
  

• Odchylenie ćwiartkowe Q - bezwzględny,
  - dyspersja dla wartości pomiędzy ćwiartką 3 i 1; połowa obszaru pomiędzy ćwiartką 1 i 3; przeciętne odchylenie od mediany od Q₁ do Q₃.

• Współczynnik zmienności V(Q) - względny,
  ; dyspersja w % pomiędzy Q₁ i Q₃.

Dyspersja: do 10% - małe zróżnicowanie zbiorowości
10% do 35% - przeciętne zróżnicowanie
35%< - duże zróżnicowanie

WYKŁAD 3 21.10.2006

W rozkładach symetrycznych odchylenie ćwiartkowe wynosi
odchylenia standardowego:

.

Jeśli mamy wybór to lepsze są metody klasyczne - obejmują cały szereg.

3. Miary asymetrii - skośności

1. Miary klasyczne

2. Miary pozycyjne

3. 
   Miary mieszane

Asymetria = skośność - nierównomierne rozłożenie liczebności wokół średniej:

Rozkłady symetryczne - 50% jednostek leży poniżej i 50% jednostek leży powyżej średniej

Asymetria prawostronna (dodatnia) - ponad 50% obserwacji ma wartości poniżej średniej (
); lub inaczej: dominująca grupa obserwacji ma wartości poniżej średniej

Asymetria lewostronna (ujemna) - ponad 50% obserwacji leży powyżej średniej (
); lub inaczej: dominująca grupa obserwacji ma wartości powyżej średniej

MIARY KLASYCZNE

• moment trzeci centralny


jeśli:
to mówimy, że rozkład jest symetryczny

- asymetria lewostronna

- asymetria prawostronna

Moment trzeci centralny liczymy gdy można policzyć średnią arytmetyczną

• współczynnik asymetrii


,
mówi o sile asymetrii:






- rozkład symetryczny

- asymetria lewostronna

- asymetria prawostronna

• 
  - asymetria niewielka

• 
  
  
  - asymetria umiarkowana

• 
  
  
  - asymetria wyraźna

• 
  
  
  - mamy do czynienia ze zbiorowością niejednorodną




MIARY POZYCYJNE

• współczynnik asymetrii A(Q)


gdzie


dla:
- rozkład symetryczny

- asymetria prawostronna

- asymetria lewostronna



- mamy do czynienia ze zbiorowością niejednorodną

Jest to asymetria dla obszaru od
do
, NIE obejmuje wszystkich wartości szeregu

Współczynnik asymetrii A(Q) liczymy gdy nie można policzyć średniej arytmetycznej

• współczynnik asymetrii A(D)


gdzie


Liczony jeśli nie można wyliczyć
, mówi o asymetrii w obszarze od
do


MIARY MIESZANE

• współczynnik asymetrii
  


gdzie


Aby go policzyć, musi być możliwość policzenia D, interpretacja jak wyżej (przy A(Q))

• współczynnik asymetrii A(Me)


gdzie


Liczony jeśli nie można wyliczyć D

4. Miary skupienia - kurtozy

Skupienie (kurtoza) - rozpatrywanie jak leżą określone wartości wokół średniej skupienie wartości wokół średniej)



Liczymy tyko gdy rozkłady są symetryczne, lub zbliżone do symetrycznych:

Rozkład normalny - jest rozkładem teoretycznym; pierwszym pkt-em przegięcia jest odchylenie standardowe


Badamy na ile dane skupienie jest większe/mniejsze od rozkładu normalnego

• moment czwarty centralny


NIE INTERPRETUJEMY

• współczynnik skupienia


jeśli:


rozkład o spłaszczeniu takim jak rozkład normalny

rozkład wysmukły

rozkład spłaszczony

Skupienie -3 = ekses (
) spotykane w literaturze

W statystyce istnieją moment centralne (
) i momenty zwykłe (m)

• Moment centralny r-tego rzędu




• Moment zwykły r-tego rzędu:




Koncentracja

Koncentracja - nie równomierny podział rozpatrywanej cechy

Omawiamy na przykładzie:

Miarą koncentracji jest

• metoda graficzna: krzywa Lorentza

• współczynnik koncentracji Pearsona




Rozkład wynagrodzeń w sektorze edukacji (99r)

	wysokość trapezu	oś x na diagramie				oś y na diagramie (podstawy kolejnych trapezów)	suma podstaw poszczególnych trapezów dzielona na 2	pola poszczególnych trapezów (niw% = wysokość trapezu)
	w%	w%			w%	( w%)sk		w%
300-540	5,3	5,3	420	2226	2,3	2,3	1,15	6,1
540-700	18	23,3	620	11160	11,4	13,7	8	144
700-780	9,1	32,4	740	6784	6,9	20,6	17,5	156,07
780-860	10,3	42,7	820	8446	8,6	29,2	24,9	256,47
860-940	10,8	53,5	900	9720	9,9	39,1	34,2	369,36
940-1020	10,2	63,7	980	9996	10,2	49,3	44,2	450,84
1020-1200	16,7	80,4	1110	18537	18,9	68,2	58,8	981,96
1200-1500	13,5	93,9	1350	18255	18,6	86,8	77,5	1046,25
1500-2000	4,3	98,2	1750	7525	7,7	94,5	90,7	390,01
2000-4000	1,8	100	3000	5400	5,5	100	97,3	175,14
	100			97969				Pole b = 3976,06


=(
w%)_sk








Koncentracja będzie mała gdyż krzywa koncentracji leży blisko linii równomiernego rozkładu

WSPÓŁCZYNNIK KONCENTRACJI PEARSONA:


gdzie


Aby obliczyć K musimy znać wartość pola a i pola b:


(pole trójkąta leżącego pod linią równomiernego rozkładu)

stąd:
otrzymujemy:



Ponieważ nie znamy f-cji opisującej krzywą koncentracji musimy w przybliżeniu obliczyć pole b. Po zrzutowaniu wszystkich pkt-ów na oś ox i założeniu że odległości pomiędzy kolejnymi pkt-ami na krzywej koncentracji są mierzone po linii prostej otrzymujemy pole b jako sumę pól trapezów




Otrzymujemy b = 3976,06 więc:



INTERPRETACJA:

K = 0,2 - mała koncentracja, mały odsetek osób ma 20% ogółu wynagrodzeń, zaś duża liczba pozostałych ma ok. 80% wszystkich wynagrodzeń.

METODY ANALIZY CECH JAKOŚCIOWYCH

Wskaźnik struktury (frakcja, częstość względna)


,
- udział procentowy

Dla cech jakościowej można policzyć tylko w_i.

Względny wskaźnik podobieństwa struktur:


gdzie


jeśli:
- struktury są identyczne

- struktury są zupełnie różne

- struktury średnio podobne

Wskaźnik natężenia


lub
lub


WYKŁAD 4 28.10.2006

W analizie struktury rozpatrujemy 4 obszary:

1. rozstęp:


2. typowy obszar zmienności
,


3. rozstęp kwartylowy


4. rozstęp decylowy


Graficzne wyznaczanie dominanty (D), mediany (Me), kwartyli (
,
) i decyli (
,
)

0-2	10	10
2-4	20	30
4-6	30	60
6-8	10	70
8-10	10	80


Dominanta - wyznaczamy za pomocą histogramu

Mediana - wyznaczamy przy pomocy krzywej kumulacyjnej





Analogicznie wyznaczamy kwartyle - szukając pozycji Q₁ i Q₃ oraz decyle - szukając pozycji D₁ i D₉
KORELACJA = związek cech

1. wielowymiarowy - nie omawiamy

2. dwuwymiarowy - omawiamy

Związki dwuwymiarowe dla cech ilościowych:

1. funkcyjny [y = f(x)] - zawsze zapisywany w postaci funkcji jednej zmiennej (konkretnej wartości jednej zmiennej odpowiada konkretna wartość drugiej zmiennej)

2. stochastyczny - jednej wartości y może odpowiadać szereg wartości x [y = f(x₁, x₂, x₃)]

staż pracy	wydajność w sztukach
2	2
2	3
2	1

3. korelacyjny - jednej wartości y odpowiada wartość średnia x [
   ]

• jednostronne

• dwustronne

METODY ANALIZY ZWIĄZKÓW KORELACYJNYCH

1. współczynniki korelacji

2. analiza regresji

1. Wyliczenie współczynników, które mówią o kierunku i sile zależności między dwoma cechami



CECHY ILOŚCIOWE → WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI r - PEARSONA

współczynnik korelacji Pearsona (r) - można go stosować tylko jeśli rozrzut pkt-ów jest liniowy


dla


gdzie: n - liczba par obserwacji

s_x - odchylenie standardowe dla x

s_y - odchylenie standardowe dla y




co najmniej 100 obserwacji

INTERPRETACJA:


- korelacja bardzo słaba (mało znacząca dla mniej niż 100 obserwacji)


- korelacja niska, mała


- korelacja umiarkowana


- korelacja znaczna, wyraźna


- korelacja wysoka, pewna


- korelacja przechodzi w związek funkcyjny

PRZYKŁAD

wiek	cena auta
1	40	1	1600	40	36,13	3,87	14,96	15,44	283,39
2	32	4	1024	64	31,96	0,04	0,00	7,44	55,35
2	33	4	1089	66	31,96	1,04	1,07	8,44	71,23
3	27	9	729	81	27,80	-0,80	0,63	2,44	5,95
3	25	9	625	75	27,80	-2,80	7,82	0,44	0,19
3	26	9	676	78	27,80	-1,80	3,23	1,44	2,07
5	17	25	289	85	19,46	-2,46	6,05	-7,56	57,15
7	12	49	144	84	11,12	0,88	0,77	-12,56	157,75
8	9	64	81	72	6,96	2,04	4,18	-15,56	242,11
34	221	174	6257	645	221	X	38,71	X	830,22

y - cecha zależna (cena auta zależy od wieku auta)


x - cecha niezależna (wiek auta nie zależy od jego ceny)

r - można też liczyć ze wzoru:


→
- korelacja wysoka

SKALA PORZADKOWA → WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI r_s - SPEARMANA

wiek	cena auta
1	40	1	9	64
2	32	2,5	7	20,25
2	33	2,5	8	30,25
3	27	5	6	1
3	25	5	4	1
3	26	5	5	0
5	17	7	3	16
7	12	8	2	36
8	9	9	1	64
34	221	X	X	232,5

NADAWANIE NR RANGOWYCH:

Nadajemy wartościom x i y nr zgodnie z przyjętym porządkiem (rosnącym - u nas, lub mającym). Najmniejsza wartość x będzie miała nr 1, druga w kolejności nr 2, trzecia w kolejności nr 3, itd. Jeśli jednak jest więcej niż jeden identyczny x to nr tworzymy następująco:

• pierwsza 2 powinna mieć nr 2

• druga 2 powinna mieć nr 3

• więc: 2+3=5
  5:2(bo były dwie 2)=2,5 → każda dwójka będzie miała nr 2,5

• pierwsza 3 powinna mieć nr 4

• druga 3 powinna mieć nr 5

• trzecia 3 powinna mieć nr 6

• więc 4+5+6=15
  15:3(bo były trzy 3)=5 → każda trójka będzie miała nr 5

W ten sposób powstają rangi wiązane.

Z y postępujemy analogicznie: y=9 jest najmniejszy więc ma nr 1, a y=40 jest największy więc ma nr 9

współczynnik Spearmana (mniej dokładny niż współczynnik Pearsona):


, gdzie n - liczba par obserwacji

r_s = -0,94 → interpretacja taka sama jak przy wsp. Pearsona

Jeśli ponad 25% jest rang wiązanych to liczymy współczynnik Spearmena z poprawką na rangi wiązane:




przy czym:
gdzie: T_x poprawka na rangi wiązane x;
Ty - poprawka na rangi wiązane y;
t - ilość wspólnych wiązań

PRZYKŁAD

x	y	rangi x	rangi y
36 27 40 19 26 35 37 28 27 26 46 34 40 34 23 38 20 24 12	27 25 39 17 21 22 29 17 17 18 39 21 27 29 15 38 21 19 10	6 11,5 2,5 18 13,5 7 5 10 11,5 13,5 1 8,5 2,5 8,5 16 4 17 15 19	6,5 8 1,5 16 11 9 4,5 16 16 14 1,5 11 6,5 4,5 18 3 11 13 19	-0,5 3,5 1 2 2,5 -2 0,5 -0,6 -4,5 -0,5 -0,5 -2,5 4 4 -2 1 6 2 0	0,25 12,25 1 4 6,25 4 0,25 36 20,25 0,25 0,25 6,25 16 16 4 1 36 4 0
X	X	X	X	0	168




Rangi wiązane x	2,5	8,5	11,5	13,5
ti	2	2	2	2
	6	6	6	6




Rangi wiązane y	1,5	4,5	6,5	11	16
ti	2	2	2	3	3
	6	6	6	24	24







CECHY JAKOŚCIOWE → WSPÓŁCZYNNIK Q - KENDALLA; T - CZUPROWA; C - PEARSONA

Dane muszą być przedstawione w formie tablicy.

PRZYKŁAD:
Czy płeć determinuje posiadanie karty bankomatowej?

karta bankomatowa	płeć
		K		M
posiada	20	a	90	b	110
nie posiada	110	c	30	d	140
	130		120		250

Jeśli obie cechy są dwudzielne to tablica nazywa się dwa na dwa - przyjmujemy wtedy współczynnik asocjacji (Kendalla) Q:


dla


INTERPRETACJA:
- słabe / umiarkowane powiązanie


- wyraźne powiązanie


- silne powiązanie


- mamy wyraźną zależności płci i posiadania karty bankomatowej, karty posiadają gł. mężczyźni

współczynnik asocjacji jest najmniej dokładny, lepiej liczyć

współczynnik kontyngencji (Pearsona ) C:


dla
- jest najdokładniejszy

lub

współczynnik Czuprowa T


dla
gdzie: n - liczba obserwacji
w - liczba wierszy tablicy
k - liczba kolumn tablicy




Statystyka dla tablicy 2×2 i n>40:


→


Otrzymujemy: T = 0,6 i C = 0,51 → zależność umiarkowana

21

STATYSTYKA WYKŁADY

Utworzony przez Ania Marzec

1 szereg

2 szereg

Symetria normalna

Symetria spłaszczona

Symetria wysmukła

Asymetria zdecydowana lewostronna (ujemna)

Asymetria skrajna lewostronna (ujemna)

Asymetria umiarkowana lewostronna (ujemna)

Asymetria zdecydowana prawostronna (dodatnia)

Asymetria skrajna prawostronna (dodatnia)

Asymetria umiarkowana prawostronna (dodatnia)

Rozkład u-towy (siodłowy)

Rozkład równomierny

Rozkład bimodalny




























D

Me

Rozkład wielomodalny

Rozkład jednopunktowy

D Me





Rozkład dwupunktowy (dla cechy dwudzielnej)

10%


Me D

100%

10%




100%

krzywa koncentracji

a

b

linia równomiernego rozkładu = brak koncentracji


w%

(
w%)_sk

Im dalej od przekątnej leży krzywa koncentracji tym większa koncentracja

III

II

I







D

Me

D Me






Me D




asymetria lewostronna (ujemna)

asymetria prawostronna (dodatnia)

rozkład symetryczny

I rozkład spłaszczony = platokurtyczny

II rozkład wysmukły = leptokurtyczny

III rozkład spłaszczony jak rozkład normalny

30




s

-s

p.p.

p.p.

20

10

10

8

6

4

2

x_i

n_i

D

Me

n_i

x_i

2

4

6

8

10

10

20

30

70

60

40,5

80

k = 2

(dwie cechy)

skale pomiarowe

obie cechy są jakościowe

skale nominalne

cechy ilościowe i jakościowe wyrangowane

skale porządkowe

obie cechy są ilościowe

skala interwałowa i ilorazowa

cecha jakościowa i ilościowa

współczynniki korelacji

T - Czuprowa

Q - Kendalla (asocjacji)

C - Pearsona (kontyngencji)

są jeszcze 2 - nie zajmujemy się nimi

r_s - Spearmana

są jeszcze 2 - nie zajmujemy się nimi

r - Pearsona

jest jeszcze 1 - nie zajmujemy się nim

są 2 Pearsona nie zajmujemy się nimi

h)

g)

f)

e)

d)

c)

b)

a)

r=-0,9

r=0,6

r=0,4

1. x rośnie i y rośnie - korelacja prostoliniowa dodatnia

2. x rośnie y maleje - korelacja prostoliniowa ujemna

3. x rośnie y nie wykazuje wyraźnych zmian - korelacji brak

4. korelacja prostoliniowa ujemna ale słabsza niż w przypadku b) - im większy rozrzut pkt-ów tym słabsza korelacja

5. korelacja prostoliniowa dodatnia - słabsza niż w przypadku a)

6. korelacja prostoliniowa ujemna - silniejsza niż w d) słabsza niż w b)

7. korelacja prostoliniowa dodatnia - bardzo słaba

8. korelacja krzywoliniowa

r=-0,8

40


- nr rangowy x


- nr rangowy y


- różnica w rangach x i y

r=1

r=-1

korelacja liniowa ujemna

6

7

8

n_i

x_i

1

3

2

4

5

10

20

30

r=0

---