Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej
Całka oznaczona
Dana jest funkcja
. Dzielimy przedział
punktami
tak, że
. W każdym przedziale
o długości
wybieramy dowolny punkt pośredni
. Dla tak zdefiniowanego podziału odcinka
określamy jego średnicę jako
i tzw. sumę częściową
. Na rysunku ?? przedstawiono interpretację geometryczną sumy częściowej.
Rozważmy teraz cały ciąg podziałów(zdefiniowanych jak wyżej). Powiemy, że ciąg taki jest normalny, jeśli
.
!!!!!!!!zly rysunek!!!!!!!!!!!
Definicja (całki oznaczonej). Jeśli dla każdego normalnego ciągu podziałów i dowolnie wybranych punktów pośrednich
istnieje skończona i ta sama granica
, to nazywamy ją całką oznaczoną z funkcji f w przedziale
i oznaczamy
.
Uwagi. Jeśli istnieje
, to mówimy, że f jest całkowalna w
lub
. Zatem
oznacza zbiór wszystkich funkcji całkowalnych w
. Zamiast
będziemy też pisać krótko
. Z definicji widać, że
. Przyjmuje się, że
.
Twierdzenie. Funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna w tym przedziale. Funkcja monotoniczna w przedziale domkniętym także jest całkowalna w tym przedziale.
Twierdzenie. Jeśli funkcje
to
,
oraz
, gdzie
.
Twierdzenie. Jeżeli
oraz
to
.
Twierdzenie. Jeżeli
i
, to
Uwagi. Patrz rys. ??.
Twierdzenie.
, tzn. moduł całki jest niewiększy od całki modułu.
Twierdzenie. Funkcja całkowalna w przedziale
jest także całkowalna w każdym podprzedziale domkniętym
.
Twierdzenie (addytywność całki). Jeżeli
i
, to
i
oraz
.
Uwagi. Przyjmujemy, że
. Dzięki temu możemy powyższe twierdzenie uogólnić: jest ono prawdziwe dla dowolnej kolejności punktów a, b, c (przy założeniu, że funkcja jest całkowalna w odpowiednich przedziałach).
Przykłady.
1. Obliczyć z definicji
.
Całka ta istnieje, bo funkcja podcałkowa jest ciągła w przedziale całkowania. Dzielimy przedział
na n równych części:
. Dla n = 1, 2, ... otrzymujemy oczywiście normalny ciąg podziałów przedziału całkowania. Za punkty pośrednie obieramy punkty początkowe każdego z podprzedziałow:
.
Obliczamy wartości funkcji w tych punktach:
.
Wówczas
,
skąd
2. Obliczyć
z definicji.
Dzieląc przedział
na n równych części i biorąc za wartości pośrednie punkty początkowe podprzedziałów, otrzymujemy:
.
Zatem
.
Ponieważ
, więc
.
Załóżmy, że
. Wówczas, jak wiadomo, istnieje nie tylko całka w całym przedziale, ale również w każdym podprzedziale domkniętym. Zatem dla każdego
określona jest funkcja
.
W szczególności
,
.
Przy założeniu, że
, funkcja
ma określony sens geometryczny (rys. ??). W tej interpretacji
jest polem trapezu krzywoliniowego AB'C'D.
Twierdzenie. Jeśli
, to funkcja
jest ciągła w
.
Twierdzenie (o wartości średniej dla całek). Jeżeli
to istnieje w tym przedziale punkt
, dla którego
.
Dowód. Jeżeli m oznacza najmniejszą wartość funkcji w danym przedziale, a M oznacza wartość największą, to
,
czyli
Jeżeli oznaczymy
to
Stąd wobec ciągłości funkcji i własności Darboux istnieje w przedziale
taki punkt
, że
. Podstawiając za liczbę
podaną wartość dostajemy
. KD.
Twierdzenie. Jeżeli
oraz
, to
jest funkcją różniczkowalną w
i
dla
.
Dowód. Niech
. Wówczas
,
gdzie c leży między x i x+h. Skorzystaliśmy tu m. in. z twierdzenia o wartości średniej dla całek i z założenia o ciągłości f .
Definicja. G nazywamy funkcją pierwotną dla f w
, jeśli
.
Uwagi. Pokazaliśmy zatem, że każda funkcja ciągła w domkniętym przedziale ma w nim funkcję pierwotną.
Twierdzenie (zasadnicze rachunku całkowego, związek całki oznaczonej z nieoznaczoną). Jeśli
i istnieje funkcja F pierwotna dla f w
, to
.
Uwagi. Notacja alternatywna:
.
Całka nieoznaczona
Funkcją pierwotną dla danej funkcji f nazywaliśmy funkcję różniczkowalną F taką, że
. Ponieważ dla dowolnej stałej C,
więc każda funkcja różniąca się od danej funkcji pierwotnej o dowolna stałą też jest funkcją pierwotną dla f. Zatem dana funkcja f wyznacza klasę swych funkcji pierwotnych, które różnią się między sobą o stałą. Na przykład funkcją pierwotną dla funkcji
w dowolnym przedziale jest funkcja
x3/3, a klasą wszystkich funkcji pierwotnych dla f jest zbiór
Definicja. Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych dla danej funkcji
nazywamy całką nieoznaczoną z f . Całkę nieoznaczoną funkcji
oznaczamy symbolem
. Zatem
.
Uwagi. Różniczkowanie, czyli obliczanie pochodnej jest działaniem jednoznacznym, natomiast działanie odwrotne, całkowanie, czyli szukanie funkcji pierwotnej jest działaniem wieloznacznym z dokładnością do stałej. W symbolu całki nieoznaczonej
funkcję
nazywamy funkcją podcałkową. Z poprzednich twierdzeń wynika, że każda funkcja ciągła (w określonym przedziale) ma funkcję pierwotną, a więc dla każdej funkcji ciągłej istnieje również całka nieoznaczona.
Z definicji całki wynika, że różniczkowanie i całkowanie są operacjami do siebie odwrotnymi, a dokładniej:
,
,
Przykłady.
, bo
.
, bo
.
, bo
.
, bo
.
, bo
.
, bo
.
Wzory podstawowe dla całek nieoznaczonych (dowód polega na zróżniczkowaniu prawych stron: wynikiem powinna być funkcja podcałkowa z lewej strony):
dla dowolnej liczby rzeczywistej
,
,
,
,
dla dowolnej liczby rzeczywistej
,
Uwagi. Prawdziwe są następujące wzory:
, bo
bo
Przykłady.
1.
.
2.
.
3.
.
Twierdzenie (całkowanie przez części). Jeśli
, to
.
Dowód. Należy pokazać, że
. Obliczamy pochodną
, skąd wynika teza. KD.
Przykłady.
1.
.
2.
. Ponadto
. Zatem
.
3. Obliczyć
.
Wiadomo, że
. Dla
mamy
.
Zatem
Stąd
i ostatecznie dostajemy wzór rekurencyjny
.
Twierdzenie (całkowanie przez podstawianie). Jeżeli
,
,
, to
.
Przykłady.
1. Obliczamy całkę
.
Wprowadźmy nową zmienną całkowania t za pomocą podstawienia
Wówczas
. Otrzymujemy:
.
2.
.
3.
.
4.
.
Obliczamy
, a zatem
.
Często wygodnie jest stosować następujące wzory:
(88)
.
Ich prawdziwość można udowodnić różniczkując wzory stronami.
5.
6.
,
(ZD).
Dla całki
wyprowadzimy teraz wzór rekurencyjny.
(5)
,
gdzie
.
Całkujemy przez części, przyjmując:
.
Podstawiamy do (5) i otrzymujemy:
.
Ostatecznie wzór rekurencyjny ma postać:
(99)
.
W ten sposób omówiliśmy ogólne metody całkowania. Metody całkowania pewnych klas funkcji (wymiernych, niewymiernych i trygonometrycznych) zamieszczono w Dodatku 1.
Definicja całki niewłaściwej
Definicja. Niech
/
/. Punkt b /a/ jest punktem
osobliwym tej funkcji, jeśli (
i
) albo
/(
i
) albo
/.
Rys. ?? Rys. ??
Rys. Rys.
Na rysunku ?? są zilustrowane te przypadki, gdy b lub a są skończonymi punktami osobliwymi, natomiast rys. ?? dotyczy przypadku gdy
. Może się również zdarzyć, że równocześnie a i b są punktami osobliwymi. Będzie tak wówczas, gdy
i
1.
albo
,
2.
albo
.
Rysunek ?? ilustruje przypadek, gdy a i b są skończonymi punktami osobliwymi funkcji.
Podamy teraz definicję całki niewłaściwej.
Definicja. Jeżeli b [a] jest punktem osobliwym funkcji
, to całką niewłaściwą tej funkcji w przedziale
nazywamy
,
o ile granica ta jest skończona.
Uwagi. Jeżeli a i b są punktami osobliwymi funkcji, to całką niewłaściwą nazywamy
, o ile obie granice są skończone.
Jeśli w szczególności
,
to
.
Interpretacja geometryczna: jeśli
i a lub b są osobliwe, to
całka niewłaściwa
jest równa polu figury (nieograniczonej w poziomie lub w pionie) pod wykresem f (patrz rysunki ??).
Przykłady.
a)
.
b)
.
c)
. Ponieważ
, to
.
Zastosowania geometryczne całek oznaczonych
Pole figury płaskiej
Rozpatrzmy figurę ABCD określoną w następujący sposób:
(rys ??). Jak widać, pole tej figury
czyli
.
Rys. Rys.
Przykłady. Obliczyć pole figury płaskiej wyciętej przez elipsę
.
Z równania elipsy znajdujemy równanie górnej połowy elipsy:
.
Szukane pole wynosi
. Można teraz obliczać
, ale prościej jest zauważyć, że
jest równa połowie pola koła
. Zatem
.
Objętość bryły
Rozpatrzmy bryłę zawartą między dwiema płaszczyznami prostopadłymi do osi OX i przecinającymi tę oś odpowiednio w punktach
i
(rys. ??). Przypuśćmy, że znamy pole przekroju tej bryły dowolną płaszczyzną prostopadłą do osi OX. Pole to jest więc daną funkcją
określoną i ograniczoną w przedziale
. Można pokazać, że wtedy
.
Przykłady.
Obliczyć objętość elipsoidy (rys. ??).
Powierzchnia elipsoidy ma równanie
. Jej przekrój płaszczyzną
Rys.
prostopadłą do osi OX w dowolnym punkcie jest elipsą o równaniu
, czyli
Ponieważ półosie tej elipsy są równe
więc pole przez nią wycięte wynosi
przy czym
. Szukana objętość jest równa
.
Dla
otrzymujemy kulę, a jej objętość
.
Pole figury obrotowej
Przypuśćmy, że figura ABCD ograniczona krzywą o równaniu
, osią OX i prostymi x=a oraz x=b (a < b), obraca się dookoła osi OX (rys ??).
Wtedy przekrój tej bryły dowolną płaszczyzną prostopadłą do osi OX przechodzącą przez punkt
jest kołem o promieniu
, pole tego
Rys. ??
przekroju
a stąd otrzymujemy wzór na objętość bryły obrotowej
lub krócej
.
Przykłady.
1. Jeżeli elipsa o równaniu
obraca się około osi OX, to powstaje elipsoida obrotowa wydłużona. Z równania elipsy mamy
a więc
Gdy obrót odbywa się około osi OY wtedy powstaje elipsoida obrotowa spłaszczona. Ponieważ
więc
2. Oblicz objętości torusa, tj. obręczy kołowej powstałej przez obrót okręgu o promieniu r około prostej leżącej w płaszczyźnie tego koła i nie przecinającej go (rys. 1.40).
Niech R będzie odległością osi obrotu od środka koła obracającego się i R > r. Obracający się okrąg ma w przyjętym układzie współrzędnych równanie
Stąd górny półokrąg ma równanie
a dolny
Niech
Objętość powstałej bryły
.
Rys. 1.40
3. Objętość bryły powstałej przez obrót cosinusoidy około osi OX w przedziale
wynosi
4. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót hiperboli równoosiowej
dla
(rys. ??).
Powstała bryła jest nieograniczona. Jej objętość
Długość krzywej
Niech dana będzie płaska krzywa w postaci parametrycznej
.
Można udowodnić następujące
Twierdzenie. Jeżeli
, to krzywa K posiada długość
.
Przykłady.
1. Obliczyć długość okręgu
.
Okrąg ten ma równania parametryczne
,
a zatem jego długość jest równa
.
2. Obliczamy długość krzywej K o równaniach
dla
. Ponieważ
, więc
Przypuśćmy, że krzywa K jest określona równaniem funkcyjnym
dla
, przy czym
. Wówczas równania
dla
są równaniami parametrycznymi tej krzywej. Do obliczenia jej długości zastosujemy wobec tego wzór
czyli
Przykłady.
Za pomocą ostatniego wzoru obliczymy jeszcze raz obwód koła. Z równania okręgu
otrzymujemy rownanie jego górnej połówki
.
Stąd
i
.
Podobnie jak w przypadku płaskim mamy dla krzywej przestrzennej następujące
Twierdzenie. Jeżeli
,
, to krzywa przestrzenna K ma długość i wyraża się ona wzorem:
.
Przykłady.
1. Długość linii śrubowej o równaniach
dla
wynosi
.
Pole powierzchni obrotowej
Gdy krzywa o równaniach
dla
obraca się dookoła osi Ox, wówczas zakreśla pewna powierzchnię obrotową, której pole można obliczyć za pomocą całki oznaczonej. Jeśli
, to pole to istnieje i jest równe:
(1)
.
Jeżeli obracająca się krzywa ma równanie
, przy czym
, to wzór (1) przyjmuje postać:
(1')
.
Przykłady.
1. Obliczyć pole powierzchni torusa (rys. 1.40). Z równań okręgu tworzącego w wyniku obrotu torus otrzymujemy:
Pole
gdzie
,
.
Zatem
.
Możemy to zadanie rozwiązać też innym sposobem. Równania parametryczne obracającego się okręgu są następujące:
. Stąd
i pole
.
2. Wyprowadzimy wzór na pole powierzchni czaszy kuli (rys. 1.45).
Rozpatrujemy łuk
dla
Obliczamy
, skąd
Z ostatniego wzoru dla
dostajemy wzór na pole kuli:
.
Przybliżone obliczanie całek oznaczonych - metoda trapezów
!!!!!!!!!!BRAK RYSUNKU !!!!!!!!!
Metoda trapezów polega na tym, że figurę ABCD zastępujemy figurą złożoną z trapezów wpisanych (rys. 1.59), tzn. krzywą aproksymujemy linią łamaną w nią wpisaną. Przedział całkowania dzielimy przy tym na równe części. Oznaczmy
. Wówczas pole figury złożonej z trapezów wynosi
,
gdzie
.
Stąd otrzymujemy wzór przybliżony w metodzie trapezów:
.
Można pokazać następujące oszacowanie błędu tej metody:
,
gdzie
.
Dodatek 1. Całkowanie pewnych klas funkcji.
Całkowanie funkcji wymiernych
Do obliczenia jest całka
, gdzie
są wielomianami zmiennej x stopnia n i m odpowiednio. Jeśli
, to należy podzielić wielomiany w wyniku czego dostaniemy
. Zatem zawsze do obliczenia zostaje całka postaci
(22)
.
Znajdujemy wszystkie miejsca zerowe wielomianu
. Wówczas wielomian ten da się zapisać w postaci iloczynowej, czyli iloczynu czynników 1. stopnia lub 2. stopnia
, przy czym niektóre czynniki mogą występować wielokrotnie (np. czynnik
oznacza, że a jest s-krotnym pierwiastkiem wielomianu
).
Twierdzenie (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste). Funkcja wymierna postaci
da się zapisać w postaci sumy tzw. ułamków prostych, które odpowiadają czynnikom w rozkładzie iloczynowym mianownika według następującej tabeli:
Czynnik Odpowiadające mu ułamki proste
|
|
|
|
|
|
|
|
Zatem całka (22) sprowadza się do sumy całek z ułamków prostych. Zauważmy, że
.
Całkę
obliczamy sprowadzając trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej. Podobnie obliczamy całkę
, dodatkowo stosując wzór rekurencyjny (99) (patrz przykłady niżej).
Wniosek. Każdą funkcję wymierną można zcałkować.
Przykłady.
1.
.
2.
.
3.
,
gdzie
,
.
Ze wzoru rekurencyjnego (99) mamy
.
Wstawiamy do wzoru
.
Całkowanie funkcji niewymiernych
Ogólna metoda całkowania funkcji niewymiernych polega na zastosowaniu odpowiedniego podstawienia, po którym sprowadzamy daną całkę z funkcji niewymiernej do całki z funkcji wymiernej. Umiemy całkować tylko niektóre typy funkcji niewymiernych. Tutaj podamy podstawienia dla następujących typów funkcji:
(A)
,
gdzie R jest funkcją wymierną k+1 zmiennych,
, W - zbiór liczb wymiernych oraz
, do której stosujemy podstawienie
,
przy czym n jest najmniejszą wspólną wielokrotnością mianowników liczb
;
(B)
,
gdzie
, sprowadzamy do całki z funkcji wymiernej w następujących przypadkach:
a)
, Z - zbiór liczb całkowitych, podstawiamy
, gdzie k jest wspólnym mianownikiem ułamków r i s,
b)
, podstawiamy
, gdzie n jest mianownikiem ułamka p,
c)
, podstawiamy
, gdzie n jest mianownikiem ułamka p.
(C)
,
po sprowadzeniu trójmianu kwadratowego Y do postaci kanonicznej dostajemy całkę, którą można obliczyć natychmiast stosując wzory podstawowe dla całek nieoznaczonych;
(D)
,
stosujemy tu wzór
, z którego po zróżniczkowaniu obu stron i pomnożeniu ich przez
otrzymujemy równość dwóch wielomianów, obliczamy współczynnik A oraz współczynniki wielomianu
, zaś całkę
obliczamy jak w (C).
Przykłady.
1. Obliczyć całkę
. Mamy tu
więc n=6. Zatem
,
.
2.
3.
.
4.
, gdzie
.
Różniczkując obie strony dostajemy
.
Po pomnożeniu obu stron przez
mamy
, skąd obliczamy
. Zatem
. Obliczamy jeszcze całkę
.
5. Obliczyć całkę
(ZD)
(Wskazówka:
).
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
Ogólna metoda całkowania funkcji trygonometrycznych polega na zastosowaniu odpowiedniego podstawienia, po którym sprowadzamy daną całkę z funkcji trygonometrycznej do całki z funkcji wymiernej. Umiemy całkować tylko niektóre typy funkcji trygonometrycznych. Tutaj podamy podstawienia dla następujących typów funkcji:
(E)
.
gdzie R jest funkcją wymierną. Stosujemy poniższe podstawienie
, skąd
,
oraz
,
.
(F)
,
stosujemy tu podstawienie
, skąd
,
oraz
,
,
.
(Ga)
,
(Gb)
,
W przypadku (Ga) podstawiamy
, skąd
, zaś w przypadku (Gb) podstawiamy
, skąd
.
Przykłady.
1. Całkę
można obliczyć trzema sposobami: (E), (F) i (Ga).
(E): podstawiamy
, skąd
,
,
. Zatem
(ZD).
(F):
, podstawiamy
, skąd
,
. Zatem
.
(Ga):
, zatem podstawiamy
, skąd
. Mamy więc
(ZD).
Jak widać, metoda (F) okazała się najprostsza.
1