IMIR - wyklad 2, matematyka


Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej

Całka oznaczona

Dana jest funkcja 0x01 graphic
. Dzielimy przedział 0x01 graphic
punktami 0x01 graphic
tak, że 0x01 graphic
. W każdym przedziale 0x01 graphic
o długości 0x01 graphic
wybieramy dowolny punkt pośredni 0x01 graphic
. Dla tak zdefiniowanego podziału odcinka 0x01 graphic
określamy jego średnicę jako 0x01 graphic
i tzw. sumę częściową 0x01 graphic
. Na rysunku ?? przedstawiono interpretację geometryczną sumy częściowej.

Rozważmy teraz cały ciąg podziałów(zdefiniowanych jak wyżej). Powiemy, że ciąg taki jest normalny, jeśli 0x01 graphic
.

!!!!!!!!zly rysunek!!!!!!!!!!!

0x01 graphic

Definicja (całki oznaczonej). Jeśli dla każdego normalnego ciągu podziałów i dowolnie wybranych punktów pośrednich 0x01 graphic
istnieje skończona i ta sama granica 0x01 graphic
, to nazywamy ją całką oznaczoną z funkcji f w przedziale 0x01 graphic
i oznaczamy 0x01 graphic
.

Uwagi. Jeśli istnieje 0x01 graphic
, to mówimy, że f jest całkowalna w 0x01 graphic
lub 0x01 graphic
. Zatem 0x01 graphic
oznacza zbiór wszystkich funkcji całkowalnych w 0x01 graphic
. Zamiast 0x01 graphic
będziemy też pisać krótko 0x01 graphic
. Z definicji widać, że 0x01 graphic
. Przyjmuje się, że 0x01 graphic
.

Twierdzenie. Funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna w tym przedziale. Funkcja monotoniczna w przedziale domkniętym także jest całkowalna w tym przedziale.

Twierdzenie. Jeśli funkcje 0x01 graphic
to 0x01 graphic
, 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
.

Twierdzenie. Jeżeli0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
to 0x01 graphic
.

0x01 graphic

Twierdzenie. Jeżeli0x01 graphic
i 0x01 graphic
, to 0x01 graphic

Uwagi. Patrz rys. ??.

Twierdzenie. 0x01 graphic
, tzn. moduł całki jest niewiększy od całki modułu.

Twierdzenie. Funkcja całkowalna w przedziale 0x01 graphic
jest także całkowalna w każdym podprzedziale domkniętym 0x01 graphic
.

Twierdzenie (addytywność całki). Jeżeli 0x01 graphic
i 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
i 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
.

Uwagi. Przyjmujemy, że 0x01 graphic
. Dzięki temu możemy powyższe twierdzenie uogólnić: jest ono prawdziwe dla dowolnej kolejności punktów a, b, c (przy założeniu, że funkcja jest całkowalna w odpowiednich przedziałach).

Przykłady.

1. Obliczyć z definicji0x01 graphic
.

Całka ta istnieje, bo funkcja podcałkowa jest ciągła w przedziale całkowania. Dzielimy przedział 0x01 graphic
na n równych części:

0x01 graphic
. Dla n = 1, 2, ... otrzymujemy oczywiście normalny ciąg podziałów przedziału całkowania. Za punkty pośrednie obieramy punkty początkowe każdego z podprzedziałow: 0x01 graphic
.

Obliczamy wartości funkcji w tych punktach: 0x01 graphic
.

Wówczas 0x01 graphic
,

skąd

0x01 graphic

2. Obliczyć 0x01 graphic
z definicji.

Dzieląc przedział 0x01 graphic
na n równych części i biorąc za wartości pośrednie punkty początkowe podprzedziałów, otrzymujemy:

0x01 graphic
.

Zatem

0x01 graphic
.

Ponieważ 0x01 graphic
, więc 0x01 graphic
.

Załóżmy, że 0x01 graphic
. Wówczas, jak wiadomo, istnieje nie tylko całka w całym przedziale, ale również w każdym podprzedziale domkniętym. Zatem dla każdego 0x01 graphic
określona jest funkcja

0x01 graphic
.

W szczególności 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Przy założeniu, że 0x01 graphic
, funkcja 0x01 graphic
ma określony sens geometryczny (rys. ??). W tej interpretacji 0x01 graphic
jest polem trapezu krzywoliniowego AB'C'D.

0x01 graphic

Twierdzenie. Jeśli 0x01 graphic
, to funkcja 0x01 graphic
jest ciągła w 0x01 graphic
.

0x01 graphic

Twierdzenie (o wartości średniej dla całek). Jeżeli 0x01 graphic
to istnieje w tym przedziale punkt 0x01 graphic
, dla którego 0x01 graphic
.

Dowód. Jeżeli m oznacza najmniejszą wartość funkcji w danym przedziale, a M oznacza wartość największą, to

0x01 graphic
,

czyli 0x01 graphic
Jeżeli oznaczymy 0x01 graphic
to 0x01 graphic
Stąd wobec ciągłości funkcji i własności Darboux istnieje w przedziale 0x01 graphic
taki punkt 0x01 graphic
, że 0x01 graphic
. Podstawiając za liczbę 0x01 graphic
podaną wartość dostajemy

0x01 graphic
. KD.

Twierdzenie. Jeżeli 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
jest funkcją różniczkowalną w 0x01 graphic
i 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
.

Dowód. Niech 0x01 graphic
. Wówczas

0x01 graphic

0x01 graphic
,

gdzie c leży między x i x+h. Skorzystaliśmy tu m. in. z twierdzenia o wartości średniej dla całek i z założenia o ciągłości f .

Definicja. G nazywamy funkcją pierwotną dla f w 0x01 graphic
, jeśli 0x01 graphic
.

Uwagi. Pokazaliśmy zatem, że każda funkcja ciągła w domkniętym przedziale ma w nim funkcję pierwotną.

Twierdzenie (zasadnicze rachunku całkowego, związek całki oznaczonej z nieoznaczoną). Jeśli 0x01 graphic
i istnieje funkcja F pierwotna dla f w 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
.

Uwagi. Notacja alternatywna: 0x01 graphic
.

Całka nieoznaczona

Funkcją pierwotną dla danej funkcji f nazywaliśmy funkcję różniczkowalną F taką, że 0x01 graphic
. Ponieważ dla dowolnej stałej C, 0x01 graphic
więc każda funkcja różniąca się od danej funkcji pierwotnej o dowolna stałą też jest funkcją pierwotną dla f. Zatem dana funkcja f wyznacza klasę swych funkcji pierwotnych, które różnią się między sobą o stałą. Na przykład funkcją pierwotną dla funkcji 0x01 graphic
w dowolnym przedziale jest funkcja 0x01 graphic
x3/3, a klasą wszystkich funkcji pierwotnych dla f jest zbiór 0x01 graphic

Definicja. Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych dla danej funkcji 0x01 graphic
nazywamy całką nieoznaczoną z f . Całkę nieoznaczoną funkcji 0x01 graphic
oznaczamy symbolem 0x01 graphic
. Zatem

0x01 graphic
.

Uwagi. Różniczkowanie, czyli obliczanie pochodnej jest działaniem jednoznacznym, natomiast działanie odwrotne, całkowanie, czyli szukanie funkcji pierwotnej jest działaniem wieloznacznym z dokładnością do stałej. W symbolu całki nieoznaczonej 0x01 graphic
funkcję 0x01 graphic
nazywamy funkcją podcałkową. Z poprzednich twierdzeń wynika, że każda funkcja ciągła (w określonym przedziale) ma funkcję pierwotną, a więc dla każdej funkcji ciągłej istnieje również całka nieoznaczona.

Z definicji całki wynika, że różniczkowanie i całkowanie są operacjami do siebie odwrotnymi, a dokładniej:

0x01 graphic
, 0x01 graphic
,

Przykłady.

0x01 graphic
, bo 0x01 graphic
.

0x01 graphic
, bo 0x01 graphic
.


0x01 graphic
, bo 0x01 graphic
.

0x01 graphic
, bo 0x01 graphic
.

0x01 graphic
, bo 0x01 graphic
.

0x01 graphic
, bo 0x01 graphic
.

Wzory podstawowe dla całek nieoznaczonych (dowód polega na zróżniczkowaniu prawych stron: wynikiem powinna być funkcja podcałkowa z lewej strony):

0x01 graphic
dla dowolnej liczby rzeczywistej 0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
dla dowolnej liczby rzeczywistej 0x01 graphic
,

Uwagi. Prawdziwe są następujące wzory:

0x01 graphic
, bo 0x01 graphic

0x01 graphic
bo 0x01 graphic

0x01 graphic

Przykłady.

1. 0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
.

2. 0x01 graphic
.

3. 0x01 graphic
0x01 graphic
.

Twierdzenie (całkowanie przez części). Jeśli 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
.

Dowód. Należy pokazać, że 0x01 graphic
. Obliczamy pochodną 0x01 graphic
, skąd wynika teza. KD.

Przykłady.

1. 0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
.

2. 0x01 graphic
. Ponadto 0x01 graphic
. Zatem 0x01 graphic
.

3. Obliczyć 0x01 graphic
.

Wiadomo, że 0x01 graphic
. Dla 0x01 graphic
mamy

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
.

Zatem 0x01 graphic
Stąd 0x01 graphic
i ostatecznie dostajemy wzór rekurencyjny

0x01 graphic
.

Twierdzenie (całkowanie przez podstawianie). Jeżeli 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
.

Przykłady.

1. Obliczamy całkę 0x01 graphic
.

Wprowadźmy nową zmienną całkowania t za pomocą podstawienia 0x01 graphic
Wówczas 0x01 graphic
. Otrzymujemy: 0x01 graphic
.

2. 0x01 graphic
0x01 graphic
.

3. 0x01 graphic

0x01 graphic
.

4. 0x01 graphic
.

Obliczamy 0x01 graphic
, a zatem 0x01 graphic
.

Często wygodnie jest stosować następujące wzory:

(88) 0x01 graphic
.

Ich prawdziwość można udowodnić różniczkując wzory stronami.

5. 0x01 graphic

0x01 graphic

6. 0x01 graphic
, 0x01 graphic
(ZD).

Dla całki 0x01 graphic
wyprowadzimy teraz wzór rekurencyjny.

(5) 0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
.

Całkujemy przez części, przyjmując:

0x01 graphic

0x01 graphic
.

Podstawiamy do (5) i otrzymujemy:

0x01 graphic
.

Ostatecznie wzór rekurencyjny ma postać:

(99) 0x01 graphic
.

W ten sposób omówiliśmy ogólne metody całkowania. Metody całkowania pewnych klas funkcji (wymiernych, niewymiernych i trygonometrycznych) zamieszczono w Dodatku 1.

Definicja całki niewłaściwej

Definicja. Niech 0x01 graphic
/0x01 graphic
/. Punkt b /a/ jest punktem

osobliwym tej funkcji, jeśli (0x01 graphic
i 0x01 graphic
) albo 0x01 graphic
/(0x01 graphic
i 0x01 graphic
) albo 0x01 graphic
/.

0x01 graphic
0x01 graphic

Rys. ?? Rys. ??

0x01 graphic
0x01 graphic

Rys. Rys.

Na rysunku ?? są zilustrowane te przypadki, gdy b lub a są skończonymi punktami osobliwymi, natomiast rys. ?? dotyczy przypadku gdy 0x01 graphic
. Może się również zdarzyć, że równocześnie a i b są punktami osobliwymi. Będzie tak wówczas, gdy 0x01 graphic
i

1. 0x01 graphic
albo 0x01 graphic
,

2. 0x01 graphic
albo 0x01 graphic
.

Rysunek ?? ilustruje przypadek, gdy a i b są skończonymi punktami osobliwymi funkcji.

Podamy teraz definicję całki niewłaściwej.

Definicja. Jeżeli b [a] jest punktem osobliwym funkcji 0x01 graphic
, to całką niewłaściwą tej funkcji w przedziale 0x01 graphic
nazywamy 0x01 graphic
,

o ile granica ta jest skończona.

Uwagi. Jeżeli a i b są punktami osobliwymi funkcji, to całką niewłaściwą nazywamy 0x01 graphic
, o ile obie granice są skończone.

Jeśli w szczególności 0x01 graphic
, 0x01 graphic
to 0x01 graphic
.

Interpretacja geometryczna: jeśli 0x01 graphic
i a lub b są osobliwe, to

całka niewłaściwa 0x01 graphic
jest równa polu figury (nieograniczonej w poziomie lub w pionie) pod wykresem f (patrz rysunki ??).

Przykłady.

a) 0x01 graphic
.

b) 0x01 graphic
.

c) 0x01 graphic
. Ponieważ 0x01 graphic
, to

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
.

Zastosowania geometryczne całek oznaczonych

Pole figury płaskiej

Rozpatrzmy figurę ABCD określoną w następujący sposób:

0x01 graphic
(rys ??). Jak wid, pole tej figury

0x01 graphic
czyli 0x01 graphic
.

0x01 graphic
0x01 graphic

Rys. Rys.

Przykłady. Obliczyć pole figury płaskiej wyciętej przez elipsę 0x01 graphic
.

Z równania elipsy znajdujemy równanie górnej połowy elipsy: 0x01 graphic
.

Szukane pole wynosi 0x01 graphic
. Można teraz obliczać 0x01 graphic
, ale prościej jest zauważyć, że 0x01 graphic
jest równa połowie pola koła 0x01 graphic
. Zatem 0x01 graphic
.

Objętość bryły

Rozpatrzmy bryłę zawartą między dwiema płaszczyznami prostopadłymi do osi OX i przecinającymi tę oś odpowiednio w punktach 0x01 graphic
i 0x01 graphic
(rys. ??). Przypuśćmy, że znamy pole przekroju tej bryły dowolną płaszczyzną prostopadłą do osi OX. Pole to jest więc daną funkcją 0x01 graphic
określoną i ograniczoną w przedziale 0x01 graphic
. Można pokazać, że wtedy

0x08 graphic
0x01 graphic
.

Przykłady.

Obliczyć objętość elipsoidy (rys. ??).

0x08 graphic
Powierzchnia elipsoidy ma równanie 0x01 graphic
. Jej przekrój płaszczyzną

Rys.

prostopadłą do osi OX w dowolnym punkcie jest elipsą o równaniu 0x01 graphic
, czyli

0x01 graphic
Ponieważ półosie tej elipsy są równe 0x01 graphic
więc pole przez nią wycięte wynosi 0x01 graphic
przy czym 0x01 graphic
. Szukana objętość jest równa 0x01 graphic
.

Dla 0x01 graphic
otrzymujemy kulę, a jej objętość 0x01 graphic
.

0x08 graphic

Pole figury obrotowej

Przypuśćmy, że figura ABCD ograniczona krzywą o równaniu 0x01 graphic
, osią OX i prostymi x=a oraz x=b (a < b), obraca się dookoła osi OX (rys ??).

Wtedy przekrój tej bryły dowolną płaszczyzną prostopadłą do osi OX przechodzącą przez punkt 0x01 graphic
jest kołem o promieniu 0x01 graphic
, pole tego

Rys. ??

przekroju 0x01 graphic
a stąd otrzymujemy wzór na objętość bryły obrotowej

0x01 graphic
lub krócej 0x01 graphic
.

Przykłady.

1. Jeżeli elipsa o równaniu 0x01 graphic
obraca się około osi OX, to powstaje elipsoida obrotowa wydłużona. Z równania elipsy mamy 0x01 graphic
a więc

0x01 graphic

Gdy obrót odbywa się około osi OY wtedy powstaje elipsoida obrotowa spłaszczona. Ponieważ 0x01 graphic
więc

0x01 graphic

2. Oblicz objętości torusa, tj. obręczy kołowej powstałej przez obrót okręgu o promieniu r około prostej leżącej w płaszczyźnie tego koła i nie przecinającej go (rys. 1.40).

0x08 graphic
Niech R będzie odległością osi obrotu od środka koła obracającego się i R > r. Obracający się okrąg ma w przyjętym układzie współrzędnych równanie 0x01 graphic
Stąd górny półokrąg ma równanie 0x01 graphic
a dolny 0x01 graphic
Niech 0x01 graphic
0x01 graphic
Objętość powstałej bryły

0x01 graphic

0x01 graphic
.

Rys. 1.40

3. Objętość bryły powstałej przez obrót cosinusoidy około osi OX w przedziale 0x01 graphic
wynosi

0x01 graphic

0x08 graphic
4. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót hiperboli równoosiowej 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
(rys. ??).

Powstała bryła jest nieograniczona. Jej objętość 0x01 graphic

Długość krzywej

Niech dana będzie płaska krzywa w postaci parametrycznej

0x01 graphic
.

Można udowodnić następujące

Twierdzenie. Jeżeli 0x01 graphic
, to krzywa K posiada długość

0x01 graphic
.

Przykłady.

1. Obliczyć długość okręgu 0x01 graphic
.

Okrąg ten ma równania parametryczne

0x01 graphic
,

a zatem jego długość jest równa

0x01 graphic
.

2. Obliczamy długość krzywej K o równaniach 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
. Ponieważ 0x01 graphic
, więc 0x01 graphic

Przypuśćmy, że krzywa K jest określona równaniem funkcyjnym 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
, przy czym 0x01 graphic
. Wówczas równania 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
równaniami parametrycznymi tej krzywej. Do obliczenia jej długości zastosujemy wobec tego wzór 0x01 graphic
czyli

0x01 graphic
0x01 graphic

Przykłady.

Za pomocą ostatniego wzoru obliczymy jeszcze raz obwód koła. Z równania okręgu 0x01 graphic
otrzymujemy rownanie jego górnej połówki 0x01 graphic
.

Stąd 0x01 graphic
i 0x01 graphic
.

Podobnie jak w przypadku płaskim mamy dla krzywej przestrzennej następujące

Twierdzenie. Jeżeli 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, to krzywa przestrzenna K ma długość i wyraża się ona wzorem:

0x01 graphic
.

Przykłady.

1. Długość linii śrubowej o równaniach 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
wynosi 0x01 graphic
.

Pole powierzchni obrotowej

Gdy krzywa o równaniach 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
obraca się dookoła osi Ox, wówczas zakreśla pewna powierzchnię obrotową, której pole można obliczyć za pomocą całki oznaczonej. Jeśli 0x01 graphic
, to pole to istnieje i jest równe:

(1) 0x01 graphic
.

Jeżeli obracająca się krzywa ma równanie 0x01 graphic
, przy czym 0x01 graphic
, to wzór (1) przyjmuje postać:

(1') 0x01 graphic
.

Przykłady.

1. Obliczyć pole powierzchni torusa (rys. 1.40). Z równań okręgu tworzącego w wyniku obrotu torus otrzymujemy: 0x01 graphic

0x01 graphic
Pole 0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Zatem

0x01 graphic
.

Możemy to zadanie rozwiązać też innym sposobem. Równania parametryczne obracającego się okręgu są następujące: 0x01 graphic
. Stąd 0x01 graphic
i pole 0x01 graphic
.

0x08 graphic
2. Wyprowadzimy wzór na pole powierzchni czaszy kuli (rys. 1.45).

Rozpatrujemy łuk 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
Obliczamy 0x01 graphic
, skąd

0x01 graphic

Z ostatniego wzoru dla 0x01 graphic
dostajemy wzór na pole kuli: 0x01 graphic
.

Przybliżone obliczanie całek oznaczonych - metoda trapezów

!!!!!!!!!!BRAK RYSUNKU !!!!!!!!!

Metoda trapezów polega na tym, że figurę ABCD zastępujemy figurą złożoną z trapezów wpisanych (rys. 1.59), tzn. krzywą aproksymujemy linią łamaną w nią wpisaną. Przedział całkowania dzielimy przy tym na równe części. Oznaczmy 0x01 graphic
. Wówczas pole figury złożonej z trapezów wynosi

0x01 graphic

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
.

Stąd otrzymujemy wzór przybliżony w metodzie trapezów:

0x01 graphic
.

Można pokazać następujące oszacowanie błędu tej metody:

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
.

Dodatek 1. Całkowanie pewnych klas funkcji.

Całkowanie funkcji wymiernych

Do obliczenia jest całka 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
są wielomianami zmiennej x stopnia n i m odpowiednio. Jeśli 0x01 graphic
, to należy podzielić wielomiany w wyniku czego dostaniemy 0x01 graphic
. Zatem zawsze do obliczenia zostaje całka postaci

(22) 0x01 graphic
.

Znajdujemy wszystkie miejsca zerowe wielomianu 0x01 graphic
. Wówczas wielomian ten da się zapisać w postaci iloczynowej, czyli iloczynu czynników 1. stopnia lub 2. stopnia 0x01 graphic
, przy czym niektóre czynniki mogą występować wielokrotnie (np. czynnik 0x01 graphic
oznacza, że a jest s-krotnym pierwiastkiem wielomianu 0x01 graphic
).

Twierdzenie (o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste). Funkcja wymierna postaci 0x01 graphic
da się zapisać w postaci sumy tzw. ułamków prostych, które odpowiadają czynnikom w rozkładzie iloczynowym mianownika według następującej tabeli:

Czynnik Odpowiadające mu ułamki proste

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Zatem całka (22) sprowadza się do sumy całek z ułamków prostych. Zauważmy, że 0x01 graphic
.

Całkę 0x01 graphic
obliczamy sprowadzając trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej. Podobnie obliczamy całkę 0x01 graphic
, dodatkowo stosując wzór rekurencyjny (99) (patrz przykłady niżej).

Wniosek. Każdą funkcję wymierną można zcałkować.

Przykłady.

1. 0x01 graphic

0x01 graphic
.

2. 0x01 graphic

0x01 graphic
.

3. 0x01 graphic

0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

Ze wzoru rekurencyjnego (99) mamy 0x01 graphic
.

Wstawiamy do wzoru 0x01 graphic
.

Całkowanie funkcji niewymiernych

Ogólna metoda całkowania funkcji niewymiernych polega na zastosowaniu odpowiedniego podstawienia, po którym sprowadzamy daną całkę z funkcji niewymiernej do całki z funkcji wymiernej. Umiemy całkować tylko niektóre typy funkcji niewymiernych. Tutaj podamy podstawienia dla następujących typów funkcji:

(A) 0x01 graphic
,

gdzie R jest funkcją wymierną k+1 zmiennych, 0x01 graphic
, W - zbiór liczb wymiernych oraz 0x01 graphic
, do której stosujemy podstawienie

0x01 graphic
,

przy czym n jest najmniejszą wspólną wielokrotnością mianowników liczb 0x01 graphic
;

(B) 0x01 graphic
,

gdzie 0x01 graphic
, sprowadzamy do całki z funkcji wymiernej w następujących przypadkach:

a) 0x01 graphic
, Z - zbiór liczb całkowitych, podstawiamy 0x01 graphic
, gdzie k jest wspólnym mianownikiem ułamków r i s,

b) 0x01 graphic
, podstawiamy 0x01 graphic
, gdzie n jest mianownikiem ułamka p,

c) 0x01 graphic
, podstawiamy 0x01 graphic
, gdzie n jest mianownikiem ułamka p.

(C) 0x01 graphic
,

po sprowadzeniu trójmianu kwadratowego Y do postaci kanonicznej dostajemy całkę, którą można obliczyć natychmiast stosując wzory podstawowe dla całek nieoznaczonych;

(D) 0x01 graphic
,

stosujemy tu wzór 0x01 graphic
, z którego po zróżniczkowaniu obu stron i pomnożeniu ich przez 0x01 graphic
otrzymujemy równość dwóch wielomianów, obliczamy współczynnik A oraz współczynniki wielomianu 0x01 graphic
, zaś całkę 0x01 graphic
obliczamy jak w (C).

Przykłady.

1. Obliczyć całkę 0x01 graphic
. Mamy tu 0x01 graphic
więc n=6. Zatem 0x01 graphic
, 0x01 graphic

0x01 graphic
.

2. 0x01 graphic

0x01 graphic

3. 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
.

4. 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
.

Różniczkując obie strony dostajemy

0x01 graphic
.

Po pomnożeniu obu stron przez 0x01 graphic
mamy 0x01 graphic
, skąd obliczamy

0x01 graphic
. Zatem

0x01 graphic
. Obliczamy jeszcze całkę

0x01 graphic

0x01 graphic
.

5. Obliczyć całkę 0x01 graphic
(ZD)

(Wskazówka: 0x01 graphic
).

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

Ogólna metoda całkowania funkcji trygonometrycznych polega na zastosowaniu odpowiedniego podstawienia, po którym sprowadzamy daną całkę z funkcji trygonometrycznej do całki z funkcji wymiernej. Umiemy całkować tylko niektóre typy funkcji trygonometrycznych. Tutaj podamy podstawienia dla następujących typów funkcji:

(E) 0x01 graphic
.

gdzie R jest funkcją wymierną. Stosujemy poniższe podstawienie 0x01 graphic
, skąd 0x01 graphic
, 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

(F) 0x01 graphic
,

stosujemy tu podstawienie 0x01 graphic
, skąd 0x01 graphic
, 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

(Ga) 0x01 graphic
,

(Gb) 0x01 graphic
,

W przypadku (Ga) podstawiamy 0x01 graphic
, skąd 0x01 graphic
, zaś w przypadku (Gb) podstawiamy 0x01 graphic
, skąd 0x01 graphic
.

Przykłady.

1. Całkę 0x01 graphic
można obliczyć trzema sposobami: (E), (F) i (Ga).

(E): podstawiamy 0x01 graphic
, skąd 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Zatem

0x01 graphic
(ZD).

(F): 0x01 graphic
, podstawiamy 0x01 graphic
, skąd 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Zatem 0x01 graphic

0x01 graphic
.

(Ga): 0x01 graphic
, zatem podstawiamy 0x01 graphic
, skąd 0x01 graphic
. Mamy więc 0x01 graphic
(ZD).

Jak widać, metoda (F) okazała się najprostsza.

1

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka