Pochodna funkcji ( Część 3 )

Teoria:

Oznaczenia:

¨                              - zbiór liczb całkowitych,
¥                            - zbiór liczb wymiernych,
§                            - zbiór liczb rzeczywistych,
£                            - zbiór liczb naturalnych,
( a, b )                     - przedział otwarty,
[ a, b ]                     - przedział domknięty,
f, g, h, ...                 - funkcje,
f(x), g(x), h(x), ...   - funkcje zmiennej x,
A, B, C, ...              - przedziały, zbiory,
f'(x₀)                     - pochodna funkcji f w punkcie x₀,
f o g                        - złożenie funkcji g z funkcją f ,  ( f o g = f(g(x)) ).

Definicja ( pochodna funkcji ): Niech  f(x)  oznacza funkcję określoną na przedziale G = ( a, b )  ( gdzie a > b i a 5 §, b 5 § ) oraz niech otoczenie punktu x₀, U = ( x₀ - r, x₀ + r ) ( gdzie r > 0;  x₀5 § , r 5 § ) należy do dziedziny funkcji  f , ( U Ð G ), wówczas pochodną funkcji  f :  G → § w punkcie x₀ nazywamy liczbę  f'(x₀)  równą wartości granicy

, o ile ta granica istnieje.

Wyrażenie
nazywamy ilorazem różnicowym funkcji  f  w punkcie x₀ .

Zauważmy, że jeśli w powyższych wzorach podstawimy h = x - x₀,  ( to, gdy x → x₀ , to h → 0 ), czyli: x = h + x₀ otrzymujemy

,

a wyrażenie
  będziemy nazywać ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x₀ dla przyrostu h.

Podstawienia h = x - x₀ dokonujemy dlatego, że czasem łatwiej jest liczyć granicę przy h dążącym do zera.

Jeśli mamy policzyć pochodną funkcji z definicji wówczas musimy policzyć jedną z powyższych granic.

Możemy mieć 3 przypadki:  

             a) f'(x₀) jest liczbą skończoną i wtedy mówimy, że funkcja f(x) jest różniczkowalna w punkcie x₀,

             b)  f'(x₀) może nie istnieć, 

             c) f'(x₀) może równać się + ∞, lub - ∞, wówczas mówimy, że pochodna funkcji f w punkcji x₀ jest niewłaściwa.

Pochodna funkcji  f'(x₀) jest granicą ilorazu różnicowego funkcji  f w punkcie x₀, gdy zmienna x dąży do punktu x₀, lub alternatywnie pochodna funkcji  f'(x₀) jest granicą ilorazu różnicowego funkcji  f w punkcie x₀, gdy przyrost h zmiennej x dąży do 0.

Pochodną n-tego rzędu oznaczamy f ⁽ⁿ⁾(x) i piszemy, że f ⁽ⁿ⁾(x) = (f ^(n-1)(x))' , dla n =2,3,4, ... .

Aby wykazać, że pochodna funkcji nie istnieje należy pokazać, że nie istnieje jedna z dwóch granic:

 
, lub 
.

Liczymy pochodne jednostronne f'(x₀-) i f'(x₀+).

 ,

 

f'(x₀-)  - nazywamy lewostronną pochodną funkcji f w punkcie x₀,

f'(x₀+)  - nazywamy prawostronną pochodną funkcji f w punkcie x_0.

Stwierdzenie: Pochodna funkcji  f'(x₀) istnieje jeśli istnieją obydwie pochodne jednostronne funkcji i są sobie równe.

Stwierdzenie odwrotne do powyższego też jest prawdziwe, a mianowicie: Jeśli obydwie pochodne jednostronne funkcji istnieją i są sobie równe, to istnieje pochodna funkcji f'(x₀) .

Zatem jeśli  f'(x₀+) ≠ f'(x₀-), to nie istnieje  f'(x₀).

Następujące twierdzenia ułatwiają liczenie pochodnych:

Twierdzenie 1 ( o działaniach arytmetycznych na pochodnych ): Jeżeli funkcje  f(x) i  g(x) są różniczkowalne, to

                    a) (a * f(x))' =a * f'(x),  gdzie c jest liczbą rzeczywistą , ( stałą wyłączamy przed pochodną)

                    b) ( f(x) +  g(x) )' = f'(x) + g'(x), ( pochodna sumy dwóch funkcji różniczkowalnych równa jest sumie pochodnych tych funkcji ),

                    c)( f(x) - g(x) )' = f'(x) - g'(x), ( pochodna różnicy dwóch funkcji różniczkowalnych jest równa różnicy pochodnych tych funkcji ),

                    d) ( f(x) *  g(x) )' = f'(x)*g(x) +   f(x) * g'(x),

                    e)
 , gdy g(x) ≠ 0.

Korzystając z punktu b) w powyższym twierdzeniu, gdy funkcje  f(x),  g(x) i  h(x) są różniczkowalne, to możemy zapisać, że

( f(x) *  g(x) * h(x))' =  ( f(x) *  g(x) )' * h(x) + h'(x) * f(x) * g(x), czyli

( f(x) *  g(x) * h(x))' = f'(x) * g(x) * h(x) +   f(x) * g'(x) * h(x) + f(x) * g(x) * h'(x)

Twierdzenie ( pochodna funkcji złożonej ): Jeśli funkcja f(u) jest różniczkowalna w przedziale U, funkcja g(x) jest różniczkowalna w przedziale X oraz zbiór wartości funkcji g(x) należy do przedziału U ( g(X) Ð U ) , to

[f(g(x))]' =  f'(g(x)) * g'(x).

( Pochodna funkcji złożonej  f o g = f(g(x)) jest równa pochodnej funkcji f w punkcie którym jest funkcja g razy pochodna funkcji g.)

Przeważnie w zadaniach funkcje, których pochodne liczymy składają się z większej ilości funkcji dlatego rozpiszmy powyższe twierdzenie dla trzech trzech funkcji:

Jeśli funkcje f(u), g(v), h(x) są różniczkowalne odpowiednio w przedziałach U, V,  X oraz h(X) Ð V,  g(V) Ð U, to

[f(g(h(x)))]' =  f'(g(h(x))) * g'(h(x)) * h'(x).

Mamy następujące wzory służące do liczenia pochodnych funkcji elementarnych:

Tabela 1

Lp.	Funkcja	Pochodna	Uwagi
1	f(x) = c	f'(x) =  0	stała c 5 §
2	f(x) = x^n	f'(x) = n * x^n-^1	x > 0, n 5 §
3	f(x) = a^x	f'(x) =  a^x * ln a	a > 0, x 5 §
4	f(x) = e^x	f'(x) =  e^x	e jest stałą Eulera, x 5 §
5	f(x) = logax		x > 0, a > 0, a ≠ 1
6	f(x) = ln x		x > 0
7	f(x) = sin x	f'(x) = cos x	x 5 §
8	f(x) = cos x	f'(x) = - sin x	x 5 §
9	f(x) = tg x		, k 5  ¨
10	f(x) = ctg x		x ≠ kp i k 5  ¨
11	f(x) = arc sin x		x 5 (-1, 1)
12	f(x) = arc cos x		x 5 (-1, 1)
13	f(x) = arc tg x		x 5 §
14	f(x) = arc ctg x		x 5 §

Interpretacja geometryczna:

Pochodna funkcji w punkcie x₀ jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do wykresu funkcji w punkcie x₀.

Równanie stycznej do wykresu funkcji f(x) w punkcie x₀ ma postać:

y - y₀ = m (x - x₀), gdzie m =  f'(x₀).

Powyższe równanie może przyjąć postać y = f'(x₀)x - f'(x₀)x₀ + y_0, (czyli otrzymaliśmy funkcję y zmiennej x, y(x) = f'(x₀)x - f'(x₀)x₀ + y₀ ).

Zatem  f'(x₀) jest współczynnikiem kierunkowym stycznej y(x) do funkcji  f(x) w punkcie x₀, co oznacza, że  f'(x₀)  jest tangensem kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji i osi X,  tj. f'(x₀) = tg , ( gdzie  jest kątem nachylenia stycznej  y(x) i osi X.)

 Wnioski z twierdzenia Lagrange`a:

Załóżmy, że liczby a, b 5 § i a < b.

Jeśli funkcja f(x) jest funkcją ciągłą i określoną w przedziale domkniętym [a, b] i różniczkowalną w przedziale otwartym (a, b), to

a) funkcja f(x) jest ściśle rosnąca w przedziale [a, b] jeśli f'(x₀) > 0 dla  x 5 (a, b),

b) funkcja f(x) jest ściśle malejąca w przedziale [a, b] jeśli f'(x₀) < 0 dla  x 5 (a, b),

c) funkcja f(x) jest stała  w przedziale [a, b]  jeśli f'(x₀) = 0 dla dla  x 5 (a, b).

Za pomocą tych wniosków możemy badać monotoniczność funkcji f(x).

Uwaga: Powyższe wnioski są prawdziwe jeśli przedział na którym funkcja jest określona jest domknięty, lub nie jest domknięty, skończony, lub nieskończony.

Zatem powyższe wnioski możemy przepisać następująco: a)  funkcja f(x) określona na przedziale X ( domkniętym, lub otwartym ) jest w tym przedziale rosnąca, wtedy i tylko wtedy gdy pochodna funkcji f'(x) > 0 wewnątrz przedziału X (na przedziale otwartym X).

Podobnie dla funkcji malejącej, lub funkcji stałej:

b) funkcja f(x) określona na przedziale X ( domkniętym, lub otwartym ) jest w tym przedziale malejąca, wtedy i tylko wtedy gdy pochodna funkcji f'(x) < 0 wewnątrz przedziału X (na przedziale otwartym X),

c ) funkcja f(x) określona na przedziale X ( domkniętym, lub otwartym ) jest w tym przedziale stała, wtedy i tylko wtedy gdy pochodna funkcji f'(x) = 0 wewnątrz przedziału X (na przedziale otwartym X),

Ekstremum funkcji:

Funkcja f(x) określona i ciągła na przedziale [a, b], ma ekstremum w punkcie  x₀ 5 (a, b) jeśli spełnione są dwa warunki istnienia ekstremum funkcji: warunek konieczny i warunek dostateczny.

Warunek konieczny: Jeśli funkcja f(x) określona i ciągła na przedziale [a, b], różniczkowalna w punkcie  x₀ ma ekstremum w punkcie  x₀ 5 (a, b), to

f'(x₀) = 0.

Warunek dostateczny: Jeśli

a)  w punkcie x₀ 5 (a, b) pochodna funkcji zmienia znak z plusa na minus  i f'(x₀) = 0, to

 w punkcie x₀ funkcja f(x) ma maksimum,

b)  w punkcie x₀ 5 (a, b) pochodna funkcji zmienia znak z minusa na plus i f'(x₀) = 0, to w punkcie x₀ funkcja f(x) ma minimum,

Zadanie 1: Dana jest funkcja f(x) = (3 - 5x)⁴ + cos⁴x. Oblicz  f''(0).

Korzystając ze wzoru na pochodną sumy funkcji ( ( f(x) +  g(x) )' = f'(x) + g'(x) ) i funkcji złożonej ( [f(g(x))]' =  f'(g(x)) * g'(x) ) mamy

f(x)' = 4(3 - 5x)^{4 -1} * (3 - 5x)' + 4 cos^{4 -1}x * (cos x)'.

Następnie korzystamy ze wzorów ( (xⁿ)' = n * x^n-1 i (cos x)' = - sin x ) mamy

f(x)' = 4(3 - 5x)³ * (-5) + 4 cos³x * (- sin x ) = -20(3 - 5x)³ - 4 cos³xsin x.

Liczymy drugą pochodną funkcji  f(x). Skorzystamy dodatkowo ze wzoru na pochodną iloczynu dwóch funkcji

( ( f(x) *  g(x) )' = f'(x)*g(x) +   f(x) * g'(x) ). Czyli

f(x)'' = -[20(3 - 5x)³ + 4 cos³xsin x]' =

          = - [ 20 * 3(3 - 5x)^3-1 * (3 - 5x)' + 4 ( (cos³x)' * sin x + (sin x)' * cos³x) ] =

          = - [ 20 * 3(3 - 5x)^3-1 * (-5) + 4(3cos^3-1x * (cos x)' * sin x + cos x * cos³x) ] =

          = - [-300(3 - 5x)² + 4(3cos²x * (-sin x) * sin x  + cos⁴x)] =

          = -[ -300(3 - 5x)² + 4((-3) * cos²x * sin²x + cos⁴x)  ] = 300(3 - 5x)² - 12cos²x * sin²x + 4cos⁴x.

Teraz możemy już policzyć f(0)'' mamy

f(0)'' = 300(3 - 5*0)² - 12cos²0 * sin²0 + 4cos⁴0 = 300 * 9 - 0 + 4 = 2704.

Odpowiedź: Druga pochodna funkcji  f(x) w punkcie x₀ = 0 jest równa 2704.

Zadanie 2:Wykorzystując pochodne odpowiedniej funkcji udowodnić, że sin² x + cos² x = 1.

Ad a) Wiemy, że pochodna funkcji stałej jest równa 0, zatem jeśli policzymy pochodną funkcji i okaże się, że ta pochodna jest równa 0, to funkcja, której pochodną liczymy jest stała, czyli wystarczy policzyć wartość tej funkcji w dowolnym punkcie i ta funkcja będzie przyjmować tą samą wartość we wszystkich punktach swojej dziedziny.

Rozważmy funkcję f(x) = sin² x + cos² x, liczymy f'(x) korzystamy ze wzoru na pochodną sumy dwóch funkcji (  ( f(x) +  g(x) )' = f'(x) + g'(x) ), ze wzoru na pochodną funkcji złożonej ( [f(g(x))]' =  f'(g(x)) * g'(x) ) oraz wzorów na pochodną funkcji sinus ( (sin x)' = cos x) i pochodną funkcji cosinus ( (cos x)' = - sin x ) mamy

 f'(x) = (sin² x + cos² x)' = 2 sin x * (sin x)' + 2 cos  x * (cos x)' =

          =  2 sin x * cos x +  2 cos  x * (- sin x) = 2 sin x * cos x - 2 cos  x *  sin x = 0.

Ponieważ f'(x) = 0, zatem funkcja f(x) jest funkcją stałą, czyli wystarczy policzyć jej wartość w jednym dowolnym punkcie i tym samym otrzymamy jej wartość w każdym punkcie. Policzmy wartość funkcji f(x) na przykład w punkcie x = 0, czyli

f(0) = sin² 0 + cos² 0 = 0 * 0 + 1 * 1 = 1. (Gdyż sin 0 = 0 i cos 0 = 1 ).

Stąd dla funkcji f(x) jako funkcji stałej mamy  f(x) = sin² x + cos² x = 1, dla x 5 §, czyli

 sin² x + cos² x = 1 co należało wykazać.

Zadanie 3: Udowodnić następującą równość
, dla  x 5 § \ { 0 }.

Ad b) Pochodna funkcji stałej jest równa 0, zatem jeśli policzymy pochodną funkcji i okaże się, że ta pochodna jest równa 0, to funkcja, której pochodną liczymy jest stała, czyli wystarczy policzyć wartość tej funkcji w dowolnym punkcie i ta funkcja będzie przyjmować tą samą wartość we wszystkich punktach swojej dziedziny.

Rozważmy funkcję
, liczymy f'(x) korzystamy ze wzoru na pochodną sumy dwóch funkcji (  ( f(x) +  g(x) )' = f'(x) + g'(x) ), ze wzoru na pochodną funkcji złożonej ( [f(g(x))]' =  f'(g(x)) * g'(x) ) oraz wzorów na pochodną funkcji wielomianowej ( (xⁿ)' = n * x^n-1 ) i pochodną funkcji arc tg x (
,)  mamy

Czyli f'(x) = 0, zatem funkcja f(x) jest funkcją stałą. Policzmy jej wartość w punkcie x = 1.

.

Na mocy tego, że funkcja f(x) jest funkcją stałą otrzymujemy

czyli
, co należało dowieść.

Zadanie 4: Obliczyć pochodną funkcji danej wzorem f(x) = x^x dla x > 0 oraz obliczyć  f'(e).

Ponieważ funkcja f(x) jest postaci g(x) ^h(x), to najpierw przekształcimy ją do postaci funkcji, której pochodną potrafimy łatwo policzyć, w tym celu wykorzystamy wzór własności funkcji logarytmicznej postaci

 
,  gdzie a >0, a ® 1, x >0, jeśli przyjmiemy za a stałą Eulera e, wówczas wzór przyjmie postać

 
, czyli
. Z tego ostatniego wzoru teraz skorzystamy, czyli

 

Korzystając ze wzoru  własności funkcji logarytmicznej postaci ln a^b = b* ln a , ( gdzie a >0, b dowolne) mamy

, pochodną tej funkcji już możemy liczyć. Najpierw korzystamy ze wzoru na pochodną funkcji wykładniczej ( (e^x)' = e^x ) oraz ze wzoru na pochodną funkcji złożonej ( [f(g(x))]' =  f'(g(x)) * g'(x)), czyli

Następnie skorzystamy ze wzoru na pochodną iloczynu dwóch funkcji ( ( f(x) *  g(x) )' = f'(x)*g(x) +   f(x) * g'(x) ) oraz ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej  ( (xⁿ)' = n * x^n-1 ) i pochodną logarytmu (
), stąd

uwzględniając wzór
możemy napisać f'(x) = x^x(1 + ln x).

Stąd f'(e) = e^e(1 + ln e) = e^e(1 + 1) = 2e^e. Dla utrwalenia zapiszmy jeszcze raz wszystkie przekształcenia

Odpowiedź: Pochodna funkcji f(x) jest równa  f'(x) = x^x(1 + ln x),  f'(e) = 2e^e.

Zadanie 5:Zbadać różniczkowalność funkcji
.

Korzystając z definicji wartości bezwzględnej (
) mamy

Czyli

Obliczmy pochodną funkcji f(x) dla x < 3. Korzystamy ze wzoru na pochodną iloczynu dwóch funkcji ( ( f(x) *  g(x) )' = f'(x)*g(x) +   f(x) * g'(x) ) oraz ze wzoru na pochodną wielomianu ( (xⁿ)' = n * x^n-1 ) ) mamy

Zauważmy, że powyższy wzór zawodzi w punkcie x = 0 ( w mianowniku pochodnej funkcji f(x) byśmy mieli 0, co jest niedopuszczalne ). Pochodną funkcji f(x) w punkcie x = 0 będziemy musieli policzyć z definicji, ale najpierw policzmy pochodną funkcji f(x) dla  x ³ 3, podobnie jak dla x < 0 pochodną funkcji f(x) dla x ³ 3 liczymy korzystając ze wzoru na pochodną iloczynu dwóch funkcji ( ( f(x) *  g(x) )' = f'(x)*g(x) +   f(x) * g'(x) ) oraz ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej ( (xⁿ)' = n * x^n-1 ) mamy

Czyli otrzymaliśmy

Policzymy z definicji pochodną funkcji f(x) w punktach x = 0 i x = 3. Najpierw policzymy pochodne jednostronne funkcji f(x) w punkcie x₀ = 0. Pochodną prawostronną funkcji f(x) w punkcie x₀ = 0 obliczamy ze wzoru

, mamy

.

Ponieważ pochodna prawostronna funkcji f(x) w punkcie x₀ = 0 jest niewłaściwa, czyli jest równa + 1, to pochodna  funkcji f(x) w punkcie x₀ = 0 nie istnieje.

 ( Zauważmy, że pochodna lewostronna funkcji f(x) w punkcie x₀ = 0 też jest równa + 1, gdyż w mianowniku wyrażenia
jest przyrost h podniesiony do kwadratu, a zatem niezależnie od tego, czy zbliżamy się do 0 wartościami dodatnimi, czy ujemnymi otrzymamy wartości dodatnie i wyrażenie
będzie dążyło do + 1, gdy h dąży do 0^-, czyli
.)

Obliczmy pochodną funkcji f(x) w punkcie x₀ = 3. Najpierw policzymy pochodną prawostronną skorzystamy ze wzoru

, mamy

Policzymy pochodną lewostronną funkcji f(x) w punkcie x₀ = 3 mamy

Zatem f'(3^-) ® f'(3⁺) co oznacz, że pochodna funkcji f(x) w punkcie x₀ = 3 nie istnieje.

Odpowiedź: Funkcja f(x) jest różniczkowalna w zbiorze liczb rzeczywistych z wyjątkiem punktów x = 0 i x = 3, w których pochodna funkcji nie istnieje.

Zadanie 6: Zbadaj monotoniczność funkcji danej wzorem
.

Badając monotoniczność sprawdzamy, czy funkcja f(x) jest rosnąca, czy jest malejąca.

Policzymy pierwszą pochodną funkcji f(x) i zbadamy czy jest ona dodatnia, czy jest ujemna, jeśli f'(x) > 0, to funkcja f(x) jest rosnąca, jeśli f'(x) < 0, to funkcja jest malejąca.

Obliczając pochodną funkcji f(x) korzystamy ze wzoru na pochodną sumy trzech funkcji ( ( f(x) +  g(x) + h(x) )' = f'(x) + g'(x) + h'(x)) i pochodną funkcji potęgowej postaci (xⁿ)' = n * x^n-1 mamy

f'(x) > 0 , x⁴ + 2x² + 4 > 0. Dwa składniki sumy są nieujemne Każdy z dwóch składników sumy  ( x⁴  ³ 0, 2x² ³ 0 ) trzeci składnik sumy jest dodatni ( 4 >0 ), zatem mamy sumę trzech liczb, w których dwie są nieujemne, a jedna jest dodatnia, czyli taka suma jest dodatnia, stąd f'(x) > 0 dla x 5 §, co oznacza, że funkcja f(x) jest rosnąca.

Dla formalności zapisujemy

Odpowiedź: funkcja f(x) jest rosnąca w całym zbiorze liczb rzeczywistych.

Zadanie 7: Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji  f(x) = x⁴ + 2x² + 4 .

Wyznaczając przedziały monotoniczności funkcji wyznaczamy przedziały, w których ta funkcja jest rosnąca i w których ta funkcja jest malejąca.  

Dziedziną funkcji f(x) jest zbiór liczb rzeczywistych.

Policzymy pierwszą pochodną funkcji f(x) i zbadamy w jakich przedziałach jest ona dodatnia, a w jakich jest ujemna, jeśli f'(x) > 0 dla x 5 (a, b), a < b, a, b5 §, to funkcja f(x) jest rosnąca na przedziale (a, b), jeśli f'(x) > 0 dla x 5 (a, b), a < b, a, b 5 §, to funkcja f(x) jest malejąca na przedziale (a, b).

Obliczając pochodną funkcji f(x) korzystamy ze wzoru na pochodną sumy trzech funkcji ( ( f(x) +  g(x) + h(x) )' = f'(x) + g'(x) + h'(x)) i pochodną funkcji potęgowej postaci (xⁿ)' = n * x^n-1 mamy

f'(x) = (  x⁴ + 2x² + 4 )' = 4x^4-1 + 4x = 4x³ + 4x= 4x(x² + 1).

f'(x) > 0 , 4x(x² + 1) > 0 , x > 0. ( Wiemy, że wyrażenie 4(x² + 1) jest zawsze dodatnie, zatem znak pochodnej funkcji zależy od od znaku zmiennej x )

f'(x) < 0 , 4x(x² + 1) < 0 , x < 0.

Stąd wynika, że funkcja f(x) jest rosnąca dla x > 0 i malejąca dla x < 0.

Zadanie 8:  Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji
.

Dziedziną funkcji f(x) jest zbiór §\{0}.

Wyznaczając przedziały monotoniczności funkcji wyznaczamy przedziały, w których ta funkcja jest rosnąca i w których ta funkcja jest malejąca.  

Policzymy pierwszą pochodną funkcji f(x) i zbadamy w jakich przedziałach jest ona dodatnia, a w jakich jest ujemna.

( Jeśli f'(x) > 0 dla x 5 (a, b), a < b, a, b5 §, to funkcja f(x) jest rosnąca na przedziale (a, b), jeśli f'(x) > 0 dla x 5 (a, b), a < b, a, b 5 §, to funkcja f(x) jest malejąca na przedziale (a, b), jeśli  f'(x) = 0 dla każdego x 5 (a, b), a < b, a, b5 §, to funkcja f(x) jest stała na przedziale (a, b). )

 

Zatem f'(x) > 0  , -2(2 + x³) > 0 , -2 - x³ > 0.

Rozwiążmy równanie -2 - x³ = 0 mamy

 

Liczba -H2 dzieli zbiór liczb rzeczywistych na dwa przedziały (-1 ,-H2 ) i (-H2, +1), w każdym z tych przedziałów zbadamy znak wyrażenia -2 - x³ . ( Znak pochodnej funkcji f(x) ).

Badamy znak pochodnej funkcji f(x) w przedziale (-1, -H2), wybieramy dowolną liczbę z przedziału (-1, -H2), np. -2 i wstawiamy ją do wyrażenia -2 - x³, mamy -2 - (-2)³ = -2-(-2)*(-2)*(-2) = -2 + 8 = 6 > 0. Czyli  f'(x) > 0 dla x 5 (-1 ,-H2 ).

Badamy znak pochodnej funkcji f(x) w przedziale (-H2, +1), wybieramy dowolną liczbę z przedziału (-H2, +1), np. 0 i wstawiamy ją do wyrażenia -2 - x³, mamy -2 - 0³ = -2 = -2 < 0. Czyli  f'(x) < 0 dla x 5 (-H2, +1).

Podsumowując: Funkcja f(x) jest rosnąca w przedziale (-1, -H2) i malejąca w przedziale (-1, -H2).

Wykres funkcji f(x) narysowano na czerwono:

Zadanie 9: Wykazać, że dla każdego x > 0 spełniona jest nierówność:
.

Przenosząc wszystkie składniki nierówności na jedną stronę konstruujemy funkcję

. Zauważmy, że f(0) = 0. Jeśli wykażemy, że funkcja f(x) jest rosnąca, czyli dla x = 0 osiągnie najmniejszą wartość na przedziale (0, +1), to otrzymamy, że
i nierówność będzie udowodniona.

(
).

Funkcja  f(x) będzie rosnąca jeśli jej pochodna będzie przyjmowała tylko wartości dodatnie, czyli gdy f'(x) > 0. Policzmy zatem f'(x),

.

Zatem  f'(x) > 0 dla x 5 §, czyli funkcja f(x) jest rosnąca, w przedziale [0, +1) najmniejszą wartość osiąga dla x = 0. Ponieważ f(0) = 0, to

Zadanie 10: Wykazać, że dla każdego x > e spełniona jest nierówność:  x ln² x + 2x > 2x ln x + e  ( e jest stałą Eulera ).

Przenosząc wszystkie składniki nierówności na jedną stronę konstruujemy funkcję

f(x) = x ln² x - 2x ln x + 2x. Zauważmy, że f(e) = e ln² e - 2e ln e + 2e = e * 1 - 2 * e + 2 * e = e. Jeśli wykażemy, że funkcja f(x) jest rosnąca, czyli dla x = e osiągnie najmniejszą wartość na przedziale (e, +1), to otrzymamy, że

 f(x) = x ln² x - 2x ln x + 2x > f(e) = e i nierówność będzie udowodniona.

Obliczając pochodną funkcji f(x) skorzystamy ze wzoru na pochodną sumy trzech funkcji ( ( f(x) +  g(x) + h(x) )' = f'(x) + g'(x) + h'(x) ), czyli

.

Następnie skorzystamy ze wzoru na pochodną iloczynu dwóch funkcji ( ( f(x) *  g(x) )' = f'(x)*g(x) +   f(x) * g'(x) ) i ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej ( (xⁿ)' = n * x^n-1 ) oraz ze wzoru na pochodną logarytmu naturalnego(
) stąd

 

Zatem  f'(x) > 0 dla x 5 §, czyli funkcja f(x) jest rosnąca, w przedziale [e, +1) najmniejszą wartość osiąga dla x = e. Ponieważ f(e) = e, to  f(x) = x ln² x - 2x ln x + 2x > f(e) = e.

Zadanie 11: Obliczyć pochodne następujących funkcji:
                   

Ad a) Korzystamy ze wzoru na pochodną funkcji złożonej [h(g(x))]' = h'(g(x)) * g'(x) u nas funkcja h(g(x)) = g(x)²⁰⁰⁸ , gdzie g(x) = x + x + 1.

Ponieważ funkcja f(x) jest złożeniem funkcji g(x) = x + x + 1 z funkcją potęgową x²⁰⁰⁸, to najpierw skorzystamy ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej (xⁿ)' = n * x^n-1 mamy

Wystarczy jeszcze skorzystać ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej i otrzymujemy

Ad b) Korzystamy ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej i ze wzoru na pochodną funkcji złożonej

[h(g(x))]' = h'(g(x)) * g'(x) , u nas

 

Ponieważ pochodna funkcji wykładniczej (e^x)' = e^x, zatem mamy

( Zapis
oznacza pochodną funkcji  e^x w punkcie x². )

Ad c) Pochodna funkcji stałej jest równa 0, z koli funkcja f(x) jest funkcją stałą, dlatego f'(x) = 0.

Zadanie 12: Oblicz pochodną funkcji danej wzorem
.

Wykorzystując własności potęgi przekształcimy funkcję f(x) do prostszej postaci

 

Skorzystamy ze wzoru na pochodną funkcji złożonej (  [h(g(x))]' = h'(g(x)) * g'(x) ) i ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej ( (xⁿ)' = n * x^n-1 ) mamy

.

Zadanie 13: Wykazać, że dla każdego x > 0 spełniona jest nierówność:
.

Przenosząc wszystkie składniki nierówności na jedną stronę konstruujemy funkcję

. Zauważmy, że f(0) = 0. Jeśli wykażemy, że funkcja f(x) jest rosnąca, czyli dla x = 0 osiągnie najmniejszą wartość na przedziale (0, +1), to otrzymamy, że
  i nierówność będzie udowodniona.

Funkcja  f(x) będzie rosnąca jeśli jej pochodna będzie przyjmowała tylko wartości dodatnie, czyli gdy f'(x) > 0. Policzmy zatem f'(x), korzystamy ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej (xⁿ)' = n * x^n-1 mamy

.

Zbadajmy znak pochodnej, w tym celu podstawmy za x³ = t otrzymujemy

 
.

Policzmy deltę: A = 1000 - 4 * 26 = 100 - 104 = -4 < 0, czyli funkcja g(t) nie ma miejsc zerowych. Przedstawimy funkcję g(t) w postaci kanonicznej. ( Jeśli trójmian kwadratowy jest postaci f(x) = ax² +bx + c, gdzie  a, b, c 5 §, a ® 0, to postać kanoniczna trójmianu f(x) wyraża się wzorem
, gdzie 3 =  b² -4ac.  ) Stąd 
. Ponieważ f'(x) = g(t), dla t = x³ , to mamy

.

Zatem  f'(x) > 0 dla x 5 §, czyli funkcja f(x) jest rosnąca, w przedziale [0, +1) najmniejszą wartość osiąga dla x = 0. Ponieważ f(0) = 0, to

Zadanie 14: Wykazać, że dla każdego x > 0 spełniona jest nierówność:
.

Przenosząc wszystkie składniki nierówności na jedną stronę konstruujemy funkcję

. Zauważmy, że f(0) = 0. Jeśli wykażemy, że funkcja f(x) jest rosnąca, czyli dla x = 0 osiągnie najmniejszą wartość na przedziale (0, +1), to otrzymamy, że
i nierówność będzie udowodniona.

Funkcja  f(x) będzie rosnąca jeśli jej pochodna będzie przyjmowała tylko wartości dodatnie, czyli gdy f'(x) > 0. Policzmy zatem f'(x), korzystamy ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej (xⁿ)' = n * x^n-1 mamy

.

Zbadajmy znak pochodnej, w tym celu podstawmy za x² = t otrzymujemy

Policzmy deltę: A = 3600 - 4 * 45 * 25 = 3600 - 4500 = -900 < 0, czyli funkcja g(t) nie ma miejsc zerowych. Przedstawimy funkcję g(t) w postaci kanonicznej. ( Jeśli trójmian kwadratowy jest postaci f(x) = ax² +bx + c, gdzie  a, b, c 5 §, a ® 0, to postać kanoniczna trójmianu f(x) wyraża się wzorem
, gdzie 3 =  b² -4ac.  ) Stąd 

 
.

Ponieważ f'(x) = g(t), dla t = x² , zatem

Zatem  f'(x) > 0 dla x 5 §, czyli funkcja f(x) jest rosnąca, w przedziale [0, +1) najmniejszą wartość osiąga dla x = 0. Ponieważ f(0) = 0, to

14

---