Zastosowanie rachunku prawdopodobieństwa w transporcie kolejowym

Matematyka stosowana

Model obliczeń prawdopodobieństwa wykolejeń z przyczyn związanych z torami oraz taborem.

Przyczyny wykolejeń pociągów:

• Przyczyny wykolejeń mogą wynikać z nadmiernej prędkości lub wady technicznej toru albo wagonu.

• Wykolejenie pociągów towarowych może być następstwem nieprawidłowego załadowania wagonu, a nawet złego ustawienia kolejności wagonów w składzie. Wagony cięższe zawsze powinny poprzedzać wagony lżej załadowane oraz jadące bez ładunku.

• Szczególnie niebezpiecznym generatorem wykolejeń są duże skrajności temperatur.

• Pęknięcia szyn mogą być spowodowane zarówno bardzo silnymi mrozami, jak i nadmiernymi upałami.

• Wykolejenia zależą od wielu czynników, takich jak stan pojazdu szynowego, stan nawierzchni, prędkość pociągu oraz nacisk osi.

Nawierzchnia kolejowa, a zwłaszcza rozjazdy, należą do złożonych konstrukcji inżynierskich. Jej najważniejsze cechy to:

• różnorodność stosowanych materiałów (stal, beton lub drewno, kruszywa i polimery),

• podatność na zmiany temperatur, wilgotności i różnych oddziaływań pojazdów szynowych,

• niejednorodność pod względem sztywności podłoża.

Właściwości nawierzchni kolejowej ulegają zmianie pod wpływem oddziaływania pociągów i sił przyrody. Zmiany te wpływają na stan nawierzchni, który należy rozumieć jako ogół jej cech mierzalnych i niemierzalnych. W ujęciu ogólnym nawierzchnia kolejowa może

się znajdować w trzech stanach:

• pełnej zdatności eksploatacyjnej E(1),

• ograniczonej zdatności eksploatacyjnej E(2),

• niezdatności eksploatacyjnej E(0).

Podstawą zaliczenia każdego szczegółowego stanu nawierzchni Ei do jednego z trzech stanów ogólnych jest stosunek prędkości pociągów vt, z jaką mogą one jechać po analizowanym torze ze względu na jego stan, do prędkości maksymalnej vmax ustalonej stosownie do jego układu geometrycznego i konstrukcji.

Model obliczeniowy prawdopodobieństwa wykolejeń na sekcji torów
poddawanych systematycznym inspekcjom.

Sekcja poddawana inspekcjom może ulec uszkodzeniom na wiele sposobów. Uszkodzenie takie może nie być wykryte natychmiast albo naprawa może nie być podjęta natychmiast po wykryciu. Stosując oznaczenia:

l - strumień uszkodzeń sekcji2,

T - czas pomiędzy inspekcjami lub pomiędzy wystąpieniem uszkodzenia a rozpoczęciem

naprawy,

R T - średni czas naprawy uszkodzenia,

Q - prawdopodobieństwo błędu człowieka prowadzącego do nieodizolowania sekcji

toru poddanej naprawie lub naruszenie zakazu przejazdu po tej sekcji przez pociąg.

Można pokazać, że jeśli ,

to średnia niedostępność sekcji toru

jest wyrażona następującą zależnością:

Jeżeli rozpatrywana sekcja jest poddawana dodatkowo systematycznym prewencyjnym konserwacjom, scharakteryzowanym przez następujące parametry:

m f - częstość prewencyjnych konserwacji,

m T - średni czas prewencyjnych konserwacji,

Q∗ - prawdopodobieństwo błędu człowieka powodującego, że po przeprowadzonej konserwacji tor jest niesprawny,

5 Q - prawdopodobieństwo nieodizolowania sekcji torów poddawanej konserwacji,

to ogólną niedostępność rozpatrywanej sekcji toru wyraża wzór:

Powyższe równania tworzą bazę do obliczeń niedostępności każdej sekcji torów. Każda z czterech głównych przyczyn wykolejenia pociągu związana z torami (utrata geometrii toru, uszkodzenie szyny, błąd zwrotnicy i obcy przedmiot na torze) może być ilościowo określona, przy tym prewencyjna konserwacja toru dodaje nowe człony w formułach do takich obliczeń.

Człon U jest zastąpiony przez sumę czterech członów w następujący sposób:

gdzie:

i l - strumień wystąpienia uszkodzenia typu i,

i T - czas pomiędzy inspekcjami dla wykrycia możliwego uszkodzenia typu i,

Ri T - średni czas naprawy uszkodzenia typu i,

i Q - prawdopodobieństwo błędu człowieka prowadzącego do nieodizolowania części

toru przy jego naprawie, przy czym:

Jak wyżej wspomniano, wystąpienie zdarzenia powodującego wykolejenie zależy od specjalnych cech sekcji torów i w ogólności od zlokalizowania takiej sekcji. Aby wziąć pod uwagę taką właściwość w modelu, całą rozważaną drogę przejazdu należy podzielić na sekcje w ten sposób, że każda sekcja różni się od pozostałych przynajmniej jedną cechą charakterystyczną, która może wpłynąć na wystąpienie zdarzenia awaryjnego.

Do takich celów użyteczna może być zamieszczona niżej tabela. Dla każdej sekcji toru i (każda kolumna odpowiada sekcji) elementy są następujące:

Model obliczeniowy prawdopodobieństwa wykolejeń w związku z wielkością
przewożonych ładunków

Znaczna liczba mechanizmów uszkodzeń prowadzących do wykolejenia, może być powiązana z ogólnymi procesami zmęczeniowymi materiałów. Zgodnie z tym zjawiskiem stała ekspozycja torów na przewożone ładunki w powiązaniu z warunkami atmosferycznymi generuje kumulujące się naprężenia różnych elementów torów do momentu, w którym przekroczą one wartości krytyczne dla toru, powodując jego uszkodzenie.

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa i dystrybuanta rozkładu całkowitej wytrzymałości toru:

Naprężenie elementów torów s wyraża się całkowitą liczbą ton przewożoną przez rozważaną sekcję toru do momentu przekroczenia wartości krytycznych dla danego toru. Jest zatem wielkością losową, z funkcją rozkładu prawdopodobieństwa. Dystrybuanta rozkładu dla wartości np. ( 0 s ), ( ) 0 G s daje prawdopodobieństwo tego, że element toru uszkodzi się, jeżeli całkowite obciążenie przekroczy wartość s0 . Wielkość G(s) może być uważana jako kruchość elementu toru w odniesieniu do całkowitego tonażu ładunku przewożonego przez pociągi.

W większości przypadków funkcja kruchości przyjmuje formę rozkładu Weibull'a lub

gdzie:
a i b - stałe zależne od typu torów i rozważanego mechanizmu uszkodzenia.

Model obliczeniowy prawdopodobieństwa wykolejeń podczas prac konserwacyjnych i naprawczych

Środki bezpieczeństwa:

Jedną z bezpośrednich przyczyn wykolejenia pociągu jest jego wjazd na odcinek toru poddawany konserwacji. Istnieją dwa typy środki bezpieczeństwa, które mają zapobiegać takiej sytuacji:

1) tor powinien być zamknięty dla ruchu i odizolowany,

2) tor może być otwarty dla ruchu w pewnych kontrolowanych warunkach.

Model obliczeniowy prawdopodobieństwa wykolejeń na torach zamkniętych dla ruchu

Drzewo zdarzeń służące do obliczeń prawdopodobieństwa wykolejeń z powodu niepowodzenia odizolowania toru podczas prac konserwacyjnych i naprawczych, w wypadku gdy tor jest zamknięty dla ruchu, przedstawiono na rysunku z symbolami zdefiniowanymi w następujący sposób:

l (x) - prawdopodobieństwo zdarzenia początkującego (strumień), przyjmuje się przy tym, że analizowany odcinek jest wyłączony z ruchu w celu wykonania konserwacji lub prac konstrukcyjnych, w następujących sytuacjach wymagane jest, aby tory zostały wyłączone z ruchu w celu wykonania konserwacji i napraw:

● jeżeli geometria torów jest zmieniana w wyniku prowadzonych prac,

● jeżeli sprzęt lub narzędzia są przymocowane do torów,

● jeżeli na torze są użyte ciężkie maszyny i nie mogą być szybko usunięte,

● jeżeli skrajnia3 ładunku może być przekroczona przez dźwigi lub inne pojazdy użyte do wykonywanych napraw,

● jeżeli prowadzone są prace na liniach zasilania elektrycznego;

P - prawdopodobieństwo tego, że odcinek torów poddawany naprawom lub budowany, w odniesieniu do którego jest wymagane zamknięcie torów, jest przerwany lub zatarasowany w pewnym okresie;

2 P - jeżeli wymaga się, aby odcinek torów był zamknięty, należy być pewnym, że odpowiednie zwrotnice nie są czynne w czasie zamknięcia torów; fizyczne nałożenie oznakowanych przykryć przełączników na zwrotnice może spełniać to zadanie; 2 P oznacza prawdopodobieństwo tego, że takie przykrycia zostały zastosowane i nieusunięte;

P3 , P3′ - prawdopodobieństwa tego, że zwrotnica jest przełączona na czynny tor. Przyjmuje się, że prawdopodobieństwa 3 P i 3 P′ są różne, w zależności od poprzedzającego zdarzenia. 3 P jest większe od 3 P′ , ponieważ założenie przykryć zapobiega przypadkowej zmianie pozycji zwrotnicy (np. po zmianie ekipy remontowej); tym niemniej, przykrycia nie mogą w pełni zapobiec temu, że zwrotnica jest przełączona na niesprawny tor, ponieważ zwrotnica mogła być już w niewłaściwej pozycji w momencie nakładania przykryć.

W celu zabezpieczenia sekcji torów poddawanej konserwacji, poza zastosowaniem urządzenia sygnalizacyjnego, można wyróżnić trzy inne metody zabezpieczenia miejsca konserwacji lub budowy w zależności od lokalnych warunków. Oto jedna z metod, która może być użyta. Prawdopodobieństwo wykonania wyżej wymienionych zabezpieczeń oznaczmy odpowiednio przez P4 P5 P6 , gdzie:

P4 - prawdopodobieństwo tego, że miejsce robót jest zabezpieczone przez tymczasowy

znak sygnalizacji STOP, w odległości wystarczającej dla wyhamowania pociągu;

P5 - prawdopodobieństwo tego, że miejsce robót jest zabezpieczone przez sztuczne

zajęcie torów. W tym celu można zastosować specjalne urządzenie na wyłączonym

torze symulujące, że pociąg znajduje się w danej sekcji. Powoduje to zapaleniesię czerwonego światła w głównym systemie sygnalizacji;

P6 - prawdopodobieństwo tego, że obszar prac jest zabezpieczony przez odłączenie

dostawy energii elektrycznej;

P7- prawdopodobieństwo tego, że maszynista zauważył sygnał STOP i skutecznie

zahamował;

P8 - prawdopodobieństwo tego, że system automatycznego zabezpieczenia pociągu (ATP) jest zainstalowany, funkcjonuje i zadziała na sygnał z głównego systemu sygnalizacji, stanowiący dodatkowe zabezpieczenia w przypadku, gdy maszynista nie zareaguje na czerwony sygnał STOP;

P9 - prawdopodobieństwo tego, że pociąg wjeżdżający na niesprawny odcinek toru jest ciągniony przez elektrowóz; jest to istotne w przypadku, gdy jest wyłączona energia elektryczna do remontowanego odcinka torów.

Model obliczeniowy prawdopodobieństwa wykolejeń w wyniku przegrzania
hamulców i łożysk

Drzewo zdarzeń dla rozpatrywanego przypadku jest przedstawione na rysunku poniżej.

W celu wyjaśnienia symboli tego drzewa zdefiniowano dodatkowe wielkości:

t - czas, w którym zablokują się hamulce lub łożyska zaczną się przegrzewać,

x - pozycja pociągu mierzona wzdłuż toru,

v - prędkość pociągu.

0 t - czas potrzebny na to, aby zablokowane hamulce zaczęły przegrzewać się do tego stopnia, że nastąpi wykolejenie; 0 t będzie zależeć od masy brutto pociągu i jego prędkości;

0 x - dystans, jaki pociąg przejedzie zanim nastąpi wykolejenie, górne ograniczenie tego dystansu wynosi x0 = vt0 ;

1 t - czas pomiędzy wykryciem problemu przez maszynistę i zatrzymaniem pociągu;

1 x - dystans, jaki przejedzie pociąg pomiędzy wykryciem problemu przez maszynistę i zatrzymaniem pociągu, górne ograniczenie tego czasu wynosi 1 1 x = vt ;

T = t - t - maksymalny czas, jaki upłynie pomiędzy zapoczątkowaniem przegrzania hamulców (łożysk) a jego wykryciem, aby uniknąć uszkodzenia (wykolejenia);

l = x0 - x1 - maksymalna odległość pomiędzy punktem, gdzie zaczęło się przegrzanie a lokalizacją następnego urządzenia detekcyjnego lub podjęciem działań, które umożliwiają wykrycie oraz skuteczne i bezpieczne zatrzymanie pociągu,

inaczej mówiąc jest to maksymalna odległość (w kierunku nadjeżdżającego

pociągu) od umiejscowienia urządzenia sygnalizującego (lub miejsca podjęcia

działań), gdzie uszkodzenie może nastąpić i być skutecznie wykryte.

• P1 - prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia: wykrycia problemu przez maszynistę, zdarzenie jest bardziej związane z zablokowaniem hamulców niż przegrzaniem się łożysk w trakcie toczenia się pociągu, ponieważ zwykle nie ma możliwości ostrzegania lub wykrycia tej drugiej sytuacji;

• P2 (x) - prawdopodobieństwo zdarzenia: istnienie detektorów typu HBD (Hot BearingDetector) do wykrywania przegrzania łożysk; to zdarzenie odnosi się do problemu, czy zdarzenie inicjujące znajduje się w lokalizacji x w zasięgu wykrywania następnego punktu detekcji na torze.

P3′, P3′′ - prawdopodobieństwa związane ze skutkami zdarzenia, urządzenie HBD, może być w trzech stanach: (i) sprawne, (ii) uszkodzenie nie wykryte, (iii) niesprawne, poddane naprawie,

P4 - prawdopodobieństwo zdarzenia: ustalenie czy czas naprawy jest większy niż 48 godzin, jest to ważne ponieważ należy spodziewać się, że czas naprawy będzie większy niż 48 godzin, wtedy obserwacja na następnej stacji jest konieczna (znajdującej się za miejscem zamontowania HBD), jeżeli taka stacja istnieje przed kolejnym miejscem HBD; [ ] 4 P = exp -48 / TR ;

P5 x - prawdopodobieństwo zdarzenia, że na następnej stacji problem zostanie skutecznie zauważony; prawdopodobieństwo to zależy od lokalizacji i wyraża się zależnością, P5(x) = u(x-xS-1) - u(x-xS), gdzie s x jest lokalizacją stacji położonej za naprawianym urządzeniem HBD; ta zależność obowiązuje, jeżeli stacja jest zlokalizowana przed następnym miejscem HBD;

P6 - prawdopodobieństwo zdarzenia: wygenerowania alarmu i jego wykrycie w nastawni, związanego z wykryciem przegrzania przez HBD;

P7 - prawdopodobieństwo zdarzenia: pomyślne zakomunikowanie potrzeby natychmiastowego zatrzymania pociągu przez maszynistę; 7 P jest prawdopodobieństwem tego, że powiadomienie będzie rzeczywiście wysłane, a maszynista go otrzyma;

P8 - prawdopodobieństwo zdarzenia: maszynista otrzyma powiadomienie, zrozumie je i zatrzyma pociąg

Model obliczeniowy prawdopodobieństwa kolizji ze strukturą stacjonarną

Można wyróżnić trzy ogólne kategorie zdarzeń, które mogą prowadzić do zderzenia ze strukturą stacjonarną. We wszystkich tych zdarzeniach następuje naruszenie dopuszczalnej wielkości przekroju poprzecznego obszaru nad torem, pozwalającego na swobodny przejazd pociągu. Taka sytuacja występuje, jeżeli:

1) pociąg (wagon) jest załadowany niewłaściwie, tzn. rozmiary ładunku przekraczają dopuszczalną wielkość przekroju poprzecznego obszaru nad torem;

2) pociąg jest właściwie załadowany, ale nie zastosowano rozwiązań zabezpieczających przed zmianami geometrii pociągu podczas transportu (część ładunku może być wyrzucona lub drzwi wagonu mogą się otworzyć);

3) obiekt związany z torem jest uszkodzony w ten sposób, że naruszona zostaje dopuszczalna wielkość przekroju poprzecznego obszaru nad torem.

W tych rozważanych wypadkach częstość zderzeń ze stacjonarną strukturą w punkcie x toru - l (x), wyraża się wzorem:

Bibliografia

1. Janusz Dyduch, Jarosław Moczarski - "Podstawy eksploatacji systemów sterowania ruchem kolejowym",

2.Andrzej Zajączkowski, Włodzimierz Olendrzyński, Krystyna Kalicińska - "Elektryczne urządzenia zabezpieczenia ruchu kolejowego",

3.Włądysław Wyrzykowski - "Ruch kolejowy",

4.Tadeusz Ważynski - "Sterowanie ruchem kolejowym",

5. Bałuch H. - "Wykolejenia pociągów związane ze stanem nawierzchni i metody ich badań". XXIV Konferencja Naukowo-Techniczna "Awarie budowlane". Szczecin-Międzyzdroje, 26-29 maja 2009 r.

---