ROZCIĄGANIE

,
,

warunek wytrzymałościowy:

warunek przemieszczeniowy:

gdzie:

Jednostki

PRZYKŁADY STATYCZNIE WYZNACZALNE

Przykład 1

zaprojektować z warunku wytrzymałościowego przekroje prętów kratownicy

obliczyć pionowe przemieszczenie węzła.

Dane:

Stal:
,

Projektowanie:

określenie wymiaru a kwadratowego przekroju prętów, ( z założenia jest jednakowy dla wszystkich prętów)

wyznaczenie sił przekrojowych w ustroju i sporządzenie wykresów

równowaga węzła A

Naprężenia w prętach:

,

Warunek projektowania dla kratownicy:

Stąd otrzymujemy:

(uwaga na zamianę jednostek)

Analiza planu przemieszczeń.

Każdy z prętów składowych może obrócić się względem swojego środka obrotu oraz wydłużyć się lub skrócić zależnie od znaku siły podłużnej. Złożenie tych dwóch przemieszczeń może odbywać się w dowolnej kolejności dla teorii liniowej i nie ma wpływu na wynik zadania. Plan przemieszczeń dla ustroju wynika z warunku zgodności przemieszczeń dla punktów wspólnych łączących pręty

Dla podanej kratownicy wydłużenia prętów wynoszą:

Przemieszczenie pionowe punktu A obliczamy korzystając z zależności geometrycznych dla planu przemieszczeń. W zależnościach tych występują wartości bezwzględne.

Przykład 2

Wyznaczyć wykres przemieszczeń dla pręta o skokowo zmiennym przekroju obciążonego jak na rysunku.

Pręt wykonany jest ze stali, dla której podano:
,

Zadanie jest statycznie wyznaczalne, stąd przystępujemy do sporządzenia wykresu sił podłużnych:

Dla zadanych przekrojów należy sprawdzić spełnienie warunku wytrzymałościowego dla wszystkich przedziałów charakterystycznych I-J:

Naprężenia w kolejnych przedziałach charakterystycznych wynoszą:

Przemieszczenia punktów charakterystycznych są otrzymywane jako sumy wydłużeń odcinków w kolejnych przedziałach charakterystycznych.

Wykres przemieszczeń w przedziałach charakterystycznych jest liniowy. Wynika to z całkowania stałych odkształceń pochodzących od stałych sił podłużnych.

Przykład 3

Zadaniem jest wyznaczenie przemieszczenia końca pręta obciążonego ciężarem własnym.

Pręt wykonany jest z materiału, dla którego podano:
-ciężar własny,
.

Całkowity ciężar belki wynosi:

gdzie:

F pole przekroju,

l długość belki.

Gęstość obciążenia na jednostkę długości wynosi:

Wykres siły podłużnej w przyjętym układzie współrzędnych ma postać jak na rysunku, a równanie siły podłużnej można zapisać następująco:

Odkształcenie liniowe jest też funkcją zapisaną jak poniżej:

Przemieszczenie końca pręta obliczamy jako całkę z odkształceń:

Przykład 4

Pręt aluminiowy o przekroju kołowym utwierdzony na obu końcach został ogrzany o 60 stopni . Dobrać średnicę przekroju kołowego przekroju, tak aby nie została przekroczona jego wytrzymałość.

Dane:
=100 MPa, E=70 GPa,
.

Ułożenie dwóch podpór uniemożliwia przemieszczenia punktów przypodporowych wzdłuż osi x. Zerowe przemieszczenia punktu B można potraktować jako przemieszczenie będące sumą wydłużenia pręta od podgrzania oraz skrócenia od powstałej siły wewnętrznej N.

Równanie to prowadzi do obliczenia siły podłużnej N (jest to siła ściskająca, gdy pręt jest podgrzewany)

Naprężenie normalne:

otrzymujemy jako niezależne od pola przekroju.

Warunek projektowania jest następujący:

Prowadzimy obliczenia dla powyższych danych:

które wskazują na spełnienie tego warunku niezależnie od wielkości przyjętego przekroju.

Przykład 5

Pręt stalowy o przekroju kołowym o średnicy 2 cm i długości AB'=2.01 m został wepchnięty pomiędzy dwie podpory A i B umieszczone w odległości 2.0 m. Obliczyć powstałą siłę wewnętrzną . Dane dla stali: E=200 GPa.

stąd otrzymujemy: