ROZCIĄGANIE
,
,
warunek wytrzymałościowy:
warunek przemieszczeniowy:
gdzie:
Jednostki
PRZYKŁADY STATYCZNIE WYZNACZALNE
Przykład 1
zaprojektować z warunku wytrzymałościowego przekroje prętów kratownicy
obliczyć pionowe przemieszczenie węzła.
Dane:
Stal:
,
Projektowanie:
określenie wymiaru a kwadratowego przekroju prętów, ( z założenia jest jednakowy dla wszystkich prętów)
wyznaczenie sił przekrojowych w ustroju i sporządzenie wykresów
równowaga węzła A
Naprężenia w prętach:
,
Warunek projektowania dla kratownicy:
Stąd otrzymujemy:
(uwaga na zamianę jednostek)
Analiza planu przemieszczeń.
Każdy z prętów składowych może obrócić się względem swojego środka obrotu oraz wydłużyć się lub skrócić zależnie od znaku siły podłużnej. Złożenie tych dwóch przemieszczeń może odbywać się w dowolnej kolejności dla teorii liniowej i nie ma wpływu na wynik zadania. Plan przemieszczeń dla ustroju wynika z warunku zgodności przemieszczeń dla punktów wspólnych łączących pręty
Dla podanej kratownicy wydłużenia prętów wynoszą:
Przemieszczenie pionowe punktu A obliczamy korzystając z zależności geometrycznych dla planu przemieszczeń. W zależnościach tych występują wartości bezwzględne.
Przykład 2
Wyznaczyć wykres przemieszczeń dla pręta o skokowo zmiennym przekroju obciążonego jak na rysunku.
Pręt wykonany jest ze stali, dla której podano:
,
Zadanie jest statycznie wyznaczalne, stąd przystępujemy do sporządzenia wykresu sił podłużnych:
Dla zadanych przekrojów należy sprawdzić spełnienie warunku wytrzymałościowego dla wszystkich przedziałów charakterystycznych I-J:
Naprężenia w kolejnych przedziałach charakterystycznych wynoszą:
Przemieszczenia punktów charakterystycznych są otrzymywane jako sumy wydłużeń odcinków w kolejnych przedziałach charakterystycznych.
Wykres przemieszczeń w przedziałach charakterystycznych jest liniowy. Wynika to z całkowania stałych odkształceń pochodzących od stałych sił podłużnych.
Przykład 3
Zadaniem jest wyznaczenie przemieszczenia końca pręta obciążonego ciężarem własnym.
Pręt wykonany jest z materiału, dla którego podano:
-ciężar własny,
.
Całkowity ciężar belki wynosi:
gdzie:
F pole przekroju,
l długość belki.
Gęstość obciążenia na jednostkę długości wynosi:
Wykres siły podłużnej w przyjętym układzie współrzędnych ma postać jak na rysunku, a równanie siły podłużnej można zapisać następująco:
Odkształcenie liniowe jest też funkcją zapisaną jak poniżej:
Przemieszczenie końca pręta obliczamy jako całkę z odkształceń:
Przykład 4
Pręt aluminiowy o przekroju kołowym utwierdzony na obu końcach został ogrzany o 60 stopni . Dobrać średnicę przekroju kołowego przekroju, tak aby nie została przekroczona jego wytrzymałość.
Dane:
=100 MPa, E=70 GPa,
.
Ułożenie dwóch podpór uniemożliwia przemieszczenia punktów przypodporowych wzdłuż osi x. Zerowe przemieszczenia punktu B można potraktować jako przemieszczenie będące sumą wydłużenia pręta od podgrzania oraz skrócenia od powstałej siły wewnętrznej N.
Równanie to prowadzi do obliczenia siły podłużnej N (jest to siła ściskająca, gdy pręt jest podgrzewany)
Naprężenie normalne:
otrzymujemy jako niezależne od pola przekroju.
Warunek projektowania jest następujący:
Prowadzimy obliczenia dla powyższych danych:
które wskazują na spełnienie tego warunku niezależnie od wielkości przyjętego przekroju.
Przykład 5
Pręt stalowy o przekroju kołowym o średnicy 2 cm i długości AB'=2.01 m został wepchnięty pomiędzy dwie podpory A i B umieszczone w odległości 2.0 m. Obliczyć powstałą siłę wewnętrzną . Dane dla stali: E=200 GPa.
stąd otrzymujemy: