Rozdział 10

Liczby zespolone

W rozdziale tym przedstawimy liczby zespolone i ich podstawowe własności.

W zbiorze liczb rzeczywistych
, jak wiemy, równanie
nie posiada rozwiązania. Zbiór
można jednak rozszerzyć i utworzyć nowy zbiór
, w którym istnieje taka liczba, która jest rozwiązaniem równania
. Liczbę tę nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy symbolem
. Jednostka urojona pomnożona przez dowolną liczbę rzeczywistą
tworzy następne liczby urojone.

Liczbę
łączymy z liczbami rzeczywistymi, otrzymując liczby postaci
(gdzie
), które nazywamy liczbami zespolonymi (w postaci algebraicznej). Do elementów tego nowego zbioru
stosują się zwykłe własności czterech podstawowych działań (dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie) znane dla liczb rzeczywistych. W szczególności, w zbiorze liczb zespolonych
obowiązują także wzory skróconego mnożenia, wzór dwumianowy Newtona, czy wzory na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego.

10.1. Postać algebraiczna

Zadanie 1

Wykonać poniższe działania:

a)
, b)
,

c)
, d)
.

Rozwiązanie

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych w postaci algebraicznej wykonujemy tak, jak dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów zmiennej
, pamiętając o warunku
.

Przy dzieleniu przez liczbę zespoloną
(gdzie
), należy dzielną i dzielnik pomnożyć przez liczbę
, aby w mianowniku uzyskać liczbę rzeczywistą.

Ad a)

Mamy

.

Ad b)

.

Ad c)

Ad d)

Zadanie 2

Wyznaczyć
oraz
, jeżeli
.

Rozwiązanie

Jeżeli liczba zespolona dana jest w postaci
(gdzie
), to liczbę
nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej
, co zapisujemy
, zaś liczbę
jej częścią urojoną, co zapisujemy
.

Należy więc daną liczbę zespoloną zapisać w postaci algebraicznej:

Stąd otrzymujemy, że
,
.

Zadanie 3

Znaleźć liczby rzeczywiste
spełniające równanie

Rozwiązanie

Mamy tutaj

.

Dwie liczby zespolone w postaci algebraicznej są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są równe ich części rzeczywiste i urojone.

Porównując więc części rzeczywiste i urojone obu stron powyższego równania otrzymamy układ równań

.

Rozwiązaniem tego układu jest para liczb
,
.

Zatem liczbami spełniającymi równanie
są:

,
.

Zadanie 3

Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb
spełniających podane warunki:

a)
b)
.

Rozwiązanie

Ad a)

Liczby zespolone postaci
(gdzie
) interpretujemy jako punkty
płaszczyzny (płaszczyzna zespolona).

Niech więc
, gdzie
, będzie dowolną liczbą zespoloną.

Wówczas

Poszukiwany zbiór jest półpłaszczyzną (otwartą), bez prostej
, przedstawioną na poniższym rysunku.

Ad b)

Niech
, gdzie
, będzie dowolną liczbą zespoloną.

Wtedy

Szukany zbiór jest przedstawiony na poniższym rysunku.

Zadanie 4

W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równania:

a)
, b)
.

Rozwiązanie

Ad a)

Niech
, gdzie
. Liczbę postaci
nazywamy sprzężeniem liczby
.

Jeżeli teraz podstawimy do lewej strony danego równania
oraz
, to przybierze ona postać:

.

Porównując części rzeczywiste i urojone obu stron równania:

otrzymamy układ równań

,

którego rozwiązaniem jest para liczb
,
.

Zatem równanie

ma rozwiązanie

.

Ad b)

Metoda 1

Wyrażenie
sprowadzamy najpierw do postaci kanonicznej, a następnie zapisujemy jako różnicę kwadratów.

Mamy wtedy

.

Stąd

lub
,

więc

,
.

Metoda 2

Stosujemy tradycyjny sposób rozwiązywania równań kwadratowych. Wykorzystamy więc poniższe wzory na pierwiastki równania kwadratowego
(gdzie
):

.

We wzorach tych liczba
jest jedną z liczb zespolonych spełniających warunek
.

Dla równania

obliczamy
.

Zatem

.

Zadanie 5

Korzystając z definicji pierwiastka obliczyć
.

Rozwiązanie

Dla dowolnej liczby naturalnej
pierwiastkiem stopnia
z liczby zespolonej
nazywamy liczbę zespoloną w spełniającą równość
Zbiór pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej
oznaczamy przez

Niech
(gdzie
) będzie szukanym pierwiastkiem.

Z definicji pierwiastka mamy

.

Stąd

,

a po skorzystaniu z własności równości dwóch liczb zespolonych otrzymujemy układ równań:

.

Z drugiego równania tego układu wyznaczamy
(dla
).

Wykorzystując tą zależność w pierwszym równaniu układu dostajemy

.

Otrzymane równanie mnożymy obustronnie przez
.

Mamy wtedy

.

Aby rozwiązać otrzymane równanie dwukwadratowe podstawiamy
, co daje równanie:

.

Ponieważ
więc
.

Stąd
oraz
. Pierwsza równość daje równanie

, które nie posiada pierwiastków
.

Druga, daje równanie

, które posiada dwa rozwiązania rzeczywiste
,
.

Rozwiązaniem powyższego układu są więc pary liczb:

Zatem

=
.

ZADANIA

1. Wykonać podane działania:

a)
, b)
, c)
,

d)
, e)
, f)
.

2. Wyznaczyć
oraz
jeżeli:

a)
, b)
, c)
.

3. Obliczyć
, jeżeli:

a)
, b)
, c)
.

4. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równania:

a)
, b)
,

c)
, d)
,

e)
, f)

ODPOWIEDZI

1. a)
, b)
, c)
, d)
,

e)
, f)
.

2. a)
,
, b)
,
,

c)
,
.

3. a)
, b)
,

c)
.

4. a)
, b)
,
, c)
,
,
,
,

d)
,
, e)
,
, f)
,
.

10.2. Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Zadanie 1

Znaleźć moduł i argument główny podanych liczb zespolonych:

a)
, b)
.

Rozwiązanie

Modułem liczby zespolonej
, gdzie
, nazywamy liczbę rzeczywistą
określoną wzorem
. Geometrycznie moduł
jest odległością punktu
od początku układu współrzędnych. Jest on uogólnieniem wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej.

Argumentem liczby zespolonej
, gdzie
, nazywamy każdą liczbę rzeczywistą
spełniającą układ równań:
.

Argumentem głównym liczby zespolonej
nazywamy argument
tej liczby spełniający nierówności
. Jest on najmniejszą miarą kąta zorientowanego utworzonego przez dodatnią część osi rzeczywistej i wektor wodzący tej liczby.

Czasami wygodnie jest przyjąć, że
.

Przyjmujemy, że argumentem głównym liczby
jest
.

Argument główny liczby
oznaczamy także przez
. Każdy argument
liczby zespolonej
ma więc postać
gdzie
jest dowolną liczbą całkowitą.

Ad a)

Z interpretacji geometrycznej modułu i argumentu otrzymujemy:

oraz

Ad b)

Dla liczby zespolonej
mamy

oraz

Zatem
(
- zbiór liczb całkowitych), jest rozwiązaniem układu. Mamy więc

Zadanie 2

Przedstawić liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej:

a)
, b)
, c)
.

Rozwiązanie

Daną liczbę zespoloną
należy przedstawić w postaci
,

gdzie
jest modułem, a
argumentem liczby
.

Ad a)

Dla
mamy

oraz
.

Stąd

Podstawiając obliczone wartości
,
do wzoru
dostajemy, że

.

Ad b)

Dla
mamy

oraz

Zatem

.

Ad c)

Ponieważ

, więc
.

Ponadto

,

stąd porównując tę uzyskaną postać z postacią trygonometryczną dowolnej liczby zespolonej
, otrzymamy wartości funkcji trygonometrycznych:

oraz
.

Mając te wartości wyznaczamy argument główny, czyli
.

Zatem

.

Oczywiście, korzystając z interpretacji geometrycznej modułu i argumentu liczby zespolonej łatwo dostajemy postać trygonometryczną liczby
.

Zadanie 3

Obliczyć
.

Rozwiązanie

Metoda 1

W rozwiązaniu wykorzystamy wzór de
:
,

gdzie
jest modułem,
argumentem liczby
oraz
.

Najpierw zapisujemy liczbę
w postaci trygonometrycznej.

Mamy więc

oraz
,

stąd

.

Następnie, korzystając ze wzoru de
, okresowości funkcji trygonometrycznych oraz wzorów redukcyjnych, otrzymujemy:

Metoda 2

Skorzystamy z własności mnożenia oraz zastosujemy wzory skróconego mnożenia.

Mamy tutaj

Zadanie powyższe można także rozwiązać stosując wzór dwumianowy Newtona.

Zadanie 4

Obliczyć pierwiastki:

a)
, b)
.

Rozwiązanie

W rozwiązaniu wykorzystamy wzór de
na pierwiastki stopnia
z liczby zespolonej
:

gdzie k= 0,1,...,n-1.

Pierwiastki te leżą na okręgu o promieniu
i środku w początku układu współrzędnych. Dla
są one wierzchołkami
kąta foremnego wpisanego w ten okrąg. Kąty między promieniami wodzącymi sąsiednich wierzchołków
kąta są równe
. Liczba różnych pierwiastków z danej liczby zespolonej
jest równa liczbie stopnia pierwiastka.

Ad a)

Dla
mamy
oraz

Zatem

Dla
mamy

.

Dla
otrzymujemy

.

Zaś dla
mamy

.

Stąd

.

Interpretacja geometryczna:

Ad b)

Dla
mamy

,

oraz

,

więc

Zatem

Dla
otrzymamy odpowiednio:

,

,

,

.

Stąd

.

ZADANIA

1. Znaleźć moduł i argument główny podanych liczb zespolonych:

a)
, b)
, c)
, d)
.

2. Przedstawić liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej:

a)
, b)
, c)
.

3. Obliczyć:

a)
, b)
, c)
, d)
.

4. Obliczyć
,
, gdzie
,
są pierwiastkami równania
.

5. Obliczyć
, gdy

jest pierwiastkiem równania
o dodatniej części urojonej.

6. Korzystając ze wzoru de
wyrazić:

a)
za pomocą
,

b)
za pomocą
i
.

7. Obliczyć i narysować na płaszczyźnie zespolonej podane pierwiastki:

a)
, b)
, c)
, d)
.

ODPOWIEDZI

1. a)

,
, b)
,
,

c)
,
, d)
,
.

2. a)
, b)
,

c)
.

3. a)
, b)
, c)
, d)
.

4.
,
.

5.
.

6. a)
, b)
.

7. a)
, b)
,

c)
, d)
.

Autor opracowania: Krystyna Gozdalska

18

---