DYNAMIKA:

Punkt o masie m zsuwa się z wysokości h wzdłuż równi pochyłej nachylonej pod kątem * do poziomu , a następnie porusza się po prostej poziomej. Obliczyć jaka drogę zo przebędzie ten punkt do chwili zatrzymania się , wiedząc , że ruch punktu rozpoczął się z punktu A bez prędkości początkowej a współczynnik tarcia na obu częściach toru wynosi *.

Zgodnie z drugim prawem Newtona równanie ruchu ma postać:

Gdzie a jest wektorem przyspieszenia.

Można przyjąć układ współrzędnych Axy kierując oś Ax wzdłuż linii największego spadku równi pochyłej. Rzutując wektory równania na osie układu współrzędnych otrzymamy równania , wiążące z sobą siły działające na punkt.

Przy zsuwaniu się punktu z równi siła tarcia wynosi:

Powyższe równanie można podstawić do równania

Stąd wynika , że ruch jest jednostajnie przyspieszony.

Rozpoczął się bez prędkości początkowej z punktu A gdzie przyjęliśmy początek układu

współrzędnych więc równanie ruchu ma postać:

a prędkość będzie określana wzorem:

Przez tb oznaczmy czas w którym zsuwający się punkt osiągnie punkt B.

Przebyta w tym czasie droga wynosi:

Prędkość jaką ma punkt w punkcie B:

Prędkość ta będzie prędkością początkową punktu w jego ruchu po prostej BC , wzdłuż której przyjmiemy oś Bz. Rzutując na tę oś wektory równania

Jak wynika z powyższego wyrażenia przyspieszenie az ma stałą wartość i jest ujemne a więc ruch punktu po prostej BC jest jednostajnie opóźniony.

Jeśli przyjmiemy że ruch punktu zaczął się w chwili t2 = 0 to równanie ruchu ma postać:

A prędkość jego określa wzór:

Przyjmijmy ,że po upływie czasu tc od chwili minięcia punktu B, punkt materialny zatrzyma się w punkcie C:

Poszukiwana długość zo odcinka BC określona jest wzorem:

Punkt zatrzyma się zatem w odległości:

Przez kołek K przerzucono wiotki sznur , na którego jednym końcu zawieszono ciało o masie m1 a drugi koniec przymocowano do ciała o masie m2 , leżącego na płaszczyźnie poziomej.

Wyznaczyć siłę S napięcia sznura i wartość przyspieszenia z jakim poruszać się będą obydwa ciała.

Do każdego z ciał oddzielonych od siebie myślowo przykładam siły:

Siły ciężkości i siły reakcji. Przedstawia to rysunek b.

Równania dynamiczne ruchu ciał:

Z równań tych znajdujemy wartość napięcia sznura:

I wartość przyspieszenia z jakim będą poruszać się dwa ciała:

Na końcach wiotkiej , nierozciągliwej i nieważkiej linki przerzuconej przez gładki kołek

zawieszono dwa ciała o masach m i m1 przy czym w położeniu początkowym ciało o masie m znajdowało się na wysokości h nad płaszczyzną ab. Przyjmując , że m>m1 obliczyć po jakim czasie t i z jaką prędkością V ciało o masie m opadnie na tę płaszczyznę.

Linka jest nierozciągliwa , więc przyspieszenia ciał będą takie same.

Na ciała działają siły przedstawione na rysunku b.

Równania ruchu ciał będą wyglądały następująco:

Z otrzymanego wyrażenie wiadomo, że ciała poruszają się ruchem jednostajnie przyspieszonym. Wysokość h można określić wzorem.

Po uwzględnieniu warunku początkowego

Z wyrażenia powyższego określimy czas t po jakim ciało o masie m opadnie na płaszczyznę ab.

0x08 graphic
Prędkość jaką będzie wtedy miało:

Na powierzchni chropowatego stożka o kącie nachylenia * do poziomu obracającego się ze stałą prędkością kątową *o znajduje się punkt o masie m. Wyznaczyć największą odległość

rmax od osi obrotu w jakiej może pozostawać ten punkt , aby nie nastąpił jego poślizg po powierzchni stożka wiedząc , że współczynnik tarcia między punktem a powierzchnią stożka równy jest *. Rozpatrzyć przypadek szczególny gdy punkt spoczywa na powierzchni płaskiej tarczy.

Na punkt znajdujący się na powierzchni stożka działają siły przedstawione na rysunku b. Punkt ma pozostawać w jak największej odległości od osi obrotu aby nie nastąpił jego poślizg po powierzchni stożka.

Wypadkowa sił skierowana jest wzdłuż promienia rmax koła zakreślanego przez punkt i wynosi:

Wypadkowa ta ma być równa iloczynowi masy i przyspieszenia dośrodkowego punktu otrzymamy:

W przypadku szczególnym gdy punkt spoczywa na płaskiej tarczy poziomej tzn. gdy kąt

Z równi pochyłej nachylonej do poziomu pod kątem

zsuwa się prostopadłościan. W chwili początkowej prostopadłościan znajdował się w spoczynku w położeniu A0. Obliczyć prędkość prostopadłościanu po przebyciu drogi

A0A=s=3m jeśli współczynnik tarcia między prostopadłościanem a równią pochyłą

W przypadku tym przyrost energii kinetycznej jest równy sumie prac wykonanych przez wszystkie siły.

Można rozpatrzyć da położenia prostopadłościanu

Gdzie m to masa prostopadłościanu.

Położenie A , w którym szukamy prędkości prostopadłościanu

Gdzie V jest szukaną prędkością.

Przyrost energii kinetycznej w czasie w którym prostopadłościan przebył drogę A0A=s

Jest równy sumie prac wykonanych przez siły działające na prostopadłościan:

Gdzie h oznacza różnicę poziomów między położeniami A0 i A

* Siła reakcji normalnej równi N

Suma prac wszystkich sił jest równa:

Prędkość prostopadłościanu otrzymamy porównując równania:

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymamy:

Pocisk o masie m=0,008 kg uderza z prędkością V1= 200m/s w deskę o grubości d =5 cm

przebija ją i porusza się dalej z prędkością V2 =50m/s. Obliczyć opór deski i czas przelotu pocisku przez deskę. Opór deski przyjąć jako stały i w czasie przebicia jej przez pocisk.

Energia kinetyczna pocisku wynosi:

Ubytek energii został zamieniony na pracę potrzebna do przebicia deski, paca ta jest równa

Z twierdzenia o przyroście energii kinetycznej wynika równanie:

Stąd policzymy wartość siły oporu deski:

Czas przebicia policzymy z równania ruchu pocisku:

Stąd mamy czas przelotu pocisku przez deskę:

Winda opuszcza się ze stałą prędkością Vo=0,5 m/s . Masa windy wraz z ładunkiem wynosi m=1500kg.Winda ma hamulec który w razie zerwania liny ma zatrzymać ją.

Obliczyć jaką siłę tarcia ma rozwinąć hamulec bezpieczeństwa , aby zatrzymać windę na odcinku s=10m.

Energia kinetyczna windy w chwili zerwania liny:

Podczas hamowania na windę działa siła ciężkości G=mg i siła tarcia F.

0x08 graphic
Krążek o promieniu r ustawiono na torze znajdującym się w płaszczyźnie pionowej i mającym pętle o promieniu R. Obliczyć , na jakiej wysokości h należy ustawić środek krążka aby opisał on pętle nie odrywając się od toru.

Krążek nie oderwie się od toru wtedy gdy siła nacisku na tor nie będzie mniejsza od zera.

Siła ta będzie miała najmniejszą wartość w chwili gdy krążek znajdzie się w najwyższym punkcie pętli.

Środek masy krążka porusza się po okręgu koła o promieniu R-r ,więc przyspieszenie normalne środka krążka wynosi:

Nacisk zanika w przypadku gdy N=0

Taka musi być minimalna prędkość w górnym punkcie toru by krążek nie oderwał się od pętli.

Energia jaką ma wtedy krążek wynosi:

0x08 graphic
Energia ta powstanie kosztem zmniejszenia się energii potencjalnej.

Porównując ubytek energii potencjalnej do przyrostu kinetycznej otrzymamy:

Jednorodny pełny krążek o promieniu r i masie M osadzony jest na osi. Krążek opasuje nitka , której jeden koniec przyczepiony jest krążka a na drugim końcu zawieszono ciężarek o masie m . Obliczyć przyspieszenie kątowe krążka.

Równanie ruchu krążka ma postać:

Gdzie I z jest momentem bezwładności krążka względem osi obrotu z czyli

* - oznacza przyspieszenie kątowe krążka

to suma momentów wszystkich sił zewnętrznych działających na krążek względem osi obrotu.

Równanie dynamiczne poruszającego się ciężarka:

Nitka jest nierozciągliwa więc a=*r czyli:

dynamiczne równanie ruchu obrotowego wygląda:

z równania tego wyliczamy przyspieszenie kątowe :

Przez pełny chropowaty krążek o masie 3m i promieniu a osadzony na gładkiej osi przerzucono wiotki i nierozciągliwy sznurek na którego końcach zaczepione są ciała A i D o masach m i 2m .

Znaleźć siły napięcia sznurka po obu stronach krążka , przy założeniu że między sznurkiem a krążkiem nie występuje poślizg.

Sznurek jest nierozciągliwy więc przyspieszenia obu ciał mają taką samą wartość.

Przyspieszenia ciała A skierowane jest do góry , ciała D na dół.

Zadanie rozwiązujemy metodą d'Alemberta . Aby zagadnienie dynamiki sprowadzić do zagadnienia statyki trzeba przyłożyć do poruszających się ciał odpowiednie siły bezwładności

skierowane przeciwnie niż przyspieszenia.

Do ciała A trzeba przyłożyć skierowana do dołu siłę:

Do ciała B trzeba przyłożyć skierowana do góry siłę: