Funkcja kwadratowa i jej własności

W poprzedniej lekcji mówiliśmy o przesuwaniu paraboli. Parabola przesunięta jednocześnie wzdłuż osi x i y przedstawia funkcję opisaną wzorem y = a(x - p)² + q, gdzie p,q oznaczają współrzędne wierzchołka tej paraboli. Jeżeli przekształcimy ten wzór stosując do nawiasu wzór skróconego mnożenia oraz redukcje wyrazów podobnych otrzymamy nową postać tego samego wzoru.

Przykład

y = (x + 3)² - 2

y = x² + 6x + 9 - 2 Oba wzory opisują tę samą funkcję.

y = x² + 6x + 7

Każdą funkcję, której wzór można zapisać w postaci y = ax² + bx + c, gdzie a, b, c ∈ R i a ≠ 0, nazywamy funkcją kwadratową. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Postać y = ax² + bx + c nazywamy postacią ogólną funkcji kwadratowej.

Ćwiczenie A str.226(podręcznik)

Przekształć podane wzory funkcji kwadratowych do postaci ogólnej oraz podaj wartości współczynników a, b, c.

1. y = 5(x - 1)² - 5

2. y =
   x² -3(x + 5)

3. y = -3(x - 2)(x - 3)

4. y = 2x(1 - x) - 2x + 3.

Rozwiązanie

1. y = 5(x² - 2x + 1) - 5

y = 5x² -10x + 5 - 5

y = 5x² - 10x

a = 5 b = -10 c = 0

2. y =
   x² - 3x - 15

a =
b = -3 c = -15

3. y = -3(x² - 3x - 2x + 6)

y = -3x² + 15x - 18

a = -3 b = 15 c = -18

4. y = 2x - 2x² - 2x + 3

y = -2x² + 3.

a = -2 b = 0 c = 3

y = ax² + bx + c, gdzie a, b, c ∈ R i a ≠ 0 to postać ogólna funkcji kwadratowej.

y = a(x - p)² + q, gdzie p,q oznaczają współrzędne wierzchołka tej paraboli to postać kanoniczna funkcji kwadratowej.

Ćwiczenie 1

Rozwiąż zadania : 1, 2 str. 230 z podręcznika.

Jeżeli wzór funkcji kwadratowej zapisany jest w postaci ogólnej to wartość współczynnika c informuje nas, jaka jest druga współrzędna punktu przecięcia wykresu tej funkcji z osią y. Wykres funkcji y = ax² + bx + c przecina oś y w punkcie (0,c).

Np. y = 2x² + 4x - 1

Ćwiczenie 2

Rozwiąż zadania : 3, 4 str. 230 z podręcznika.

Jeżeli wzór funkcji kwadratowej zapisany jest w postaci kanonicznej to wartości p i q informują nas, jakie są współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji.

Np. y = 2(x - 2)² - 1 (żółty) p = 2 q = -1

y = 2(x - 3)² + 1 (zielony) p = 3 q = 1

y = 2(x + 1)² - 3 (czerwony) p = -1 q = -3

y = 2x² (niebieski) p =0 q = 0

Współrzędne (p, q)wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej y =ax² + bx +c można obliczyć korzystając ze wzorów:

(p)

(q)
gdzie Δ = b² - 4ac.

Przykład

Znajdź współrzędne wierzchołka paraboli y =
x² + 3x + 2. Zapisz wzór tej funkcji w postaci kanonicznej.

a =
b = 3 c = 2

=

Δ = b² - 4ac = 3² - 4*(
)*2 = 9 + 3 = 12

=

Współrzędne wierzchołka (12, 8)

Postać kanoniczna y =
(x - 12)² + 8.

Ćwiczenie 3

Rozwiąż zadania: 5, 7 str. 231 z podręcznika.

Aby obliczyć druga współrzędną wierzchołka paraboli, nie musimy korzystać ze wzoru
. Czasami łatwiej obliczyć ją, podstawiając pierwsza współrzędną wierzchołka do wzoru funkcji, czyli korzystając z równości y_w = f(x_w).

Przykład

Naszkicuj wykres funkcji y = x² + 4x - 12 i określ jej monotoniczność.

a = 1 b = 4 c = -12

Ponieważ współczynnik a = 1 jest liczba dodatnią, więc ramiona paraboli są skierowane w górę.

Obliczamy

=

Drugą współrzędną obliczamy podstawiając x_w = -2 do wzoru funkcji

y_w = f(-2) = (-2)² + 4*(-2) - 12 = 4 - 8 - 12 = -16

Mając współrzędne wierzchołka (-2, -16) oraz punktu przecięcia paraboli z osią y (0, -12) zaznaczamy je w układzie współrzędnych i szkicujemy wykres funkcji. Następnie z wykresu odczytujemy przedziały monotoniczności.

Funkcja jest malejąca w przedziale (-∞ ; -2> i jest rosnąca w przedziale <-2 ; + ∞).

Jeżeli a< 0, to funkcja y = ax² + bx + c przyjmuje wartość największą.

Wartość największa funkcji

Argument, dla którego przyjmowana

jest największa wartość

Jeżeli a > 0, to funkcja y = ax² + bx + c przyjmuje wartość najmniejszą.

Najmniejsza wartość funkcji

Argument, dla którego przyjmowana

jest najmniejsza wartość

Ćwiczenie 4

Rozwiąż zadania: 8, 9,10 str. 231 z podręcznika.

Znając wzór funkcji kwadratowej , możemy ustalić jej własności, wykonując odpowiednie obliczenia. Przydaje się przy tym umiejętność rozwiązywania równań kwadratowych. I tak :

1. aby sprawdzić, jakie miejsca zerowe ma dana funkcja , wystarczy rozwiązać równanie

ax² + bx + c = 0

2. aby obliczyć, dla jakich argumentów dana funkcja przyjmuje określoną wartość k, wystarczy rozwiązać równanie

ax² + bx + c = k

3. aby znaleźć współrzędne punktów przecięcia wykresu rozważanej funkcji z wykresem innej funkcji, wystarczy rozwiązać układ równań złożony z równań obu tych funkcji.

Przykłady

1. Ile miejsc zerowych ma funkcja y = 9x² + 12x + 11? Wyznacz je.

2. Dla jakich argumentów funkcja y = 2x² + 15x + 5 przyjmuje wartość -20 ?

3. Oblicz współrzędne punktów przecięcia wykresów funkcji: y = 6x² - 6x - 7 i y = x - 4.

Rozwiązania

1. 9x² + 12x + 11 = 0

a = 9 b = 12 c = 11

Δ = b² - 4ac = 12² - 4*9*11 = 144 - 399 = -255

Ponieważ Δ < 0 , więc funkcja nie posiada miejsc zerowych.

2. 2x² + 15x + 5 = -20

2x² + 15x + 5 + 20 = 0

2x² + 15x + 25 =0

a = 2 b = 15 c = 25

Δ = b² - 4ac = 15² - 4*2*25 = 225 - 200 = 25

Δ >0, więc są dwa rozwiązania

i

Dla x₁ i x₂ funkcja przyjmuje wartość -20.

3)

6x² - 6x - 7 = x - 4

6x² - 6x - 7 - x + 4 = 0

6x² - 7x - 3 = 0

a = 6 b = -7 c = -3

Δ = b² - 4ac = (-7)² - 4*6*(-3) = 49 + 72 = 121

Δ >0, więc są dwa rozwiązania

i

Punkty przecięcia wykresów danych funkcji maja współrzędne : (
) i (
).

Jeżeli liczby x₁ i x₂ są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej, to jej wzór można zapisać w postaci

f(x) = a(x - x₁)(x - x₂).

Taką postać wzoru funkcji kwadratowej nazywamy postacią iloczynową.

Znając miejsca zerowe funkcji możemy obliczyć pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli, który leży na osi symetrii paraboli. Stąd otrzymujemy, że x_w =
.

Ćwiczenie 5

Rozwiąż zadania: 1, 2, 3, 4 str. 234 , 7,8 str. 235 oraz 14 str. 236 z podręcznika

---