4. GRANICA CIĄGU. GRANICA FUNKCJI.
Zad 4.1.
Funkcję
nazywamy ciągiem liczbowym, a jej wartości a(1), a(2),..., a(n),.... wyrazami ciągu. Ciąg oznaczamy symbolicznie {an}.
Liczbę g nazywamy granicą funkcji w punkcie
, co zapisujemy
, jeżeli istnieją granice lewostronna i prawostronna w punkcie
i obie są równe liczbie g, tzn. jeżeli
.Gdy
lub gdy
, mówimy, że funkcja f w punkcie
ma granicę niewłaściwą.Gdy
należy do dziedziny funkcji, do wzoru funkcji w miejsce x podstawiamy
i wyliczamy wartość funkcji.
Gdy
nie należy do dziedziny funkcji - jeśli jest to możliwe, to przekształcamy tak ułamek, aby
należał do dziedziny wyrażenia przekształconego, a następnie do wzoru funkcji w miejsce x podstawiamy
i wyliczamy wartość funkcji.Przydatne wzory:
,
,
Gdy
nie należy do dziedziny funkcji i nie jest możliwe takie przekształcenie ułamka, aby
należał do dziedziny wyrażenia przekształconego, otrzymujemy granicę niewłaściwą funkcji f w punkcie
tzn.
lub gdy
.Należy wtedy sprawdzić, czy granica lewostronna równa się granicy prawostronnej
W przypadku gdy we wzorze funkcji znajduje się wielomian, zawsze wyłączamy przed nawias zmienną w najwyższej potędze
Przydatne wzory:
,
Przydatne wzory
0
0
1
0
2
2
1
0
1
4
2
0
3
0
2
0
10
1
0
0
3
0
1
1/3
1
1
1/2
0
0
-5/4
0
1
8
2/3
2/3
5
11
3/4
7
4
1/4
21/2
1
2
5/16
-9
P
,L
P
,L
P 0,L
P
,L
P 0, L 3
P
,L
P 0,L
P
,L 0P
,L
P
,L
P
,L 0P
,L
P
,L
P
,L
P
,L 0P
,L
P
,L
-4
-1
1/2
1/4
-1/2
3/2
3/2
1
-
3/2
6/5
8/3
3/4
2a/b
a
0
0
e-10
1/4
-1
e4
e3
1/10
5
-2
1/2
0
-1/4
9/8
-1/3
3
16/9
8/27
e31/e
1/e
e3
e2
e10e
e6
e-3
e4e
e-2
e2
e813
11/5
1/8
1
-1
2/8
65/64
2/4
2/5
-15
27
1/6
1/20
16
Jeśli a>0 |
Jeśli a<0 |
a( |
a( |
a( |
a( |
|
|
|
|
|
|
Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym:
Zad 4.2
|
|
|
|
||
|
|
Symbole nieoznaczone |
|||
Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym:
Zad 4.3
Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym:
Zad 4.4
Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym:
Zad 4.5
Tw. O trzech ciągach
Jeżeli 
oraz ciągi skrajne są zbieżne 
to ciąg 
.
Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym:
Zad 4.6
Zad 4.7
Oblicz granicę ciągu o wyrazie ogólnym, wykorzystując następujący wzór:
, 
Zad 4.8
Oblicz granicę funkcji w punkcie
Zad 4.9
Liczbę g nazywamy granicą funkcji f przy 
, jeżeli dla każdego ciągu argumentów 
rozbieżnego do
odpowiadający mu ciąg wartości funkcji (f
) jest zawsze ciągiem zbieżnym do g, co zapisujemy: 
. Podobnie definiujemy granicę funkcji, gdy 
.
Oblicz granicę funkcji w nieskończoności.
Zad 4.10
Oblicz granicę funkcji w nieskończoności.
Zad 4.11
Oblicz granicę funkcji w punkcie
|
Zad 4.1. Zad 4.2
Zad 4.4
Zad 4.3
Zad 4.6
Zad 4.5
Zad 4.7 Zad 4.8
Zad 4.8
Zad 4.9
Zad 4.11
Zad 4.10 |
|||
Opracowała: K. Sokołowska 5
Wyszukiwarka