Wydzia : |
Imi i nazwisko : Rafa Szuman, Rafa Sikora |
rok II |
Grupa 3 |
Zespó 10 |
||||||
Pracownia fizyczna I |
Temat wiczenia : Drgania elektromagnetyczne obwodu RLC |
wiczenie nr: 61 |
||||||||
Data wykonania: 14.03.00 |
Data oddania: 21.03.00 |
Zwrot do poprawy: |
Data oddania: |
Data zaliczenia: |
Ocena: |
|||||
Cel wiczenia
Obserwacja drga tumionych i przebiegów aperiodycznych w obwodzie LCR. Pomiar i interpretacja parametrów opisujcych obserwowane przebiegi napicia U(t). Badanie obwodu LCR jako modelowej realizacji fizycznej liniowego równania róniczkowego drugiego stopnia.
Wprowadzenie
Zjawisko drga elektromagnetycznych w obwodzie zoonym z idealnej indukcyjnoci L i pojemnoci C jest wyidealizowanym przypadkiem drga obwodu elektrycznego. Czsto takich niegasncych drga dana jest wzorem
(1)
Rzeczywisty obwód posiada niezerow rezystancj R, na który skada si rezystancja cewki i dodatkowej opornicy.
Zachowanie obwodu, nazywanego obwodem LCR, opisuje równanie róniczkowe
(2)
Nie ma atwego sposobu pomiaru zmiennego w czasie adunku q(t), ale moemy mierzy, proporcjonalne do q(t), napicie kondensatora U(t) = q(t)/C. Równanie powysze przepisa mona dla funkcji U(t) w postaci:
. (3)
Równanie to, w zalenoci od wartoci wyznacznika
,
nazwanego rezystancj krytyczn, ma trzy jakociowo róne rozwizania.
1. Dla wartoci R<Rc otrzymujemy rozwizanie w postaci funkcji
, (4)
które reprezentuje gasnce drgania kosinusoidalne. jest wspóczynnikiem tumienia, którego odwrotno odpowiada czasowi po którym amplituda sygnau spadnie o czynnik 1/e. Wartoci i wyraaj si przez:
, 
, (4a)
A jest amplitud niegasncych drga, a jest faz.
2. Dla wartoci R=Rc rozwizaniem jest funkcja
, (5)
która ze wszystkich rozwiza najszybciej maleje do zera (najszybsze wytumienie drgania),
. (5a)
3. Dla R>Rc funkcja ma rozwizanie w postaci
, (6)
gdzie
, 
. (6a)
Gdy spenione jest R>>Rc, to powysz funkcj mona przybliy funkcj
, (7)
gdzie =RC. Na poniszym rysunku zebrane s wszystkie omówione przypadki.
Opracowanie wyników.
1. Drgania gasnce
W tabeli zebrano wyniki pomiarów dla przebiegu gasncego.
Rd=0 []
|
Rd=200 [om] |
||
t [ms] |
U [V] |
t [ms] |
U [V] |
175 |
1,05 |
324,8 |
1,04 |
189,6 |
-0,87 |
339,2 |
-0,78 |
204,8 |
0,65 |
353,6 |
0,54 |
219,2 |
-0,56 |
368 |
-0,41 |
233,6 |
0,39 |
382,4 |
0,26 |
248,8 |
-0,34 |
398,4 |
-0,23 |
263,2 |
0,24 |
412,8 |
0,12 |
277,6 |
-0,23 |
|
|
293,6 |
0,15 |
|
|
308 |
-0,15 |
|
|
321,6 |
0,08 |
|
|
338,4 |
-0,1 |
|
|
Dane w tabeli poniej pogrubionej linii nie s brane pod uwag przy rozwaaniach jakociowych, poniewa ujawnia si tu niedokadno uytego oscyloskopu. Objawia si to podawaniem zawyonych wartoci mierzonego napicia, szczególnie dla napi ujemnych. Wida to wyranie na poniszym wykresie jako rozrzut punktów o wikszym t od prostej.
Na podstawie danych z tabeli obliczono okres jako:
,
gdzie t oznacza czas kolejnego ekstremum, a n i m jego numer. Uzyskano wynik
T= 29,32±0,1 [ms], 
"214[Hz]. Za bd pomiaru okresu przyjto najmniejsz dziak czasu, a bd czstoci pominito ze wzgldu na jego bardzo ma warto. Nastpnie obliczono ln|Ui| i narysowano wykres zalenoci |ln|Ui|| od t. Dla poprawienia czytelnoci wykresu przesunito pierwszy punkt wykresu do wartoci t=0.
Rd=0 [] |
Rd=200 [om] |
||
t [ms] |
|ln|U|| [V] |
t [ms] |
|ln|U|| [V] |
0 |
0,048790 |
0 |
0,039221 |
14,6 |
0,139262 |
14,4 |
0,248461 |
29,8 |
0,430783 |
28,8 |
0,616186 |
44,2 |
0,579818 |
43,2 |
0,891598 |
58,6 |
0,941609 |
57,6 |
1,347074 |
73,8 |
1,078810 |
73,6 |
1,469676 |
88,2 |
1,427116 |
88 |
2,120264 |
102,6 |
1,469676 |
|
|
118,6 |
1,897120 |
|
|
133,0 |
1,897120 |
|
|
146,6 |
2,525729 |
|
|
163,4 |
2,302585 |
|
|
Proste (y=ax+b)s prostymi dopasowanymi metod najmniejszych kwadratów. Wspóczynnik nachylenia a jest wspóczynnikiem tumienia . Do oblicze uyto wzorów:
,
,
,
,
, (8)
Std otrzymano wynik (po zamianie ms na s) =15,4±0,8 dla obwodu bez dodatkowej rezystancji i =23,0±1,1 dla obwodu z rezystancj Rd=200 .
2. Przebieg aperiodyczny
W tabelce zebrano wyniki pomiarów dla przebiegów aperiodycznych i dane przygotowane do wyrysowania wykresu.
R=Rc=8 [k] |
Rc<<R=15 [k] |
||||||
t [ms] |
U [V] |
t [ms] |
U [V] |
||||
26,48 |
0,66 |
20,8 |
0,67 |
||||
26,64 |
0,66 |
21,6 |
0,66 |
||||
26,8 |
0,66 |
24 |
0,62 |
||||
26,82 |
0,65 |
28 |
0,58 |
||||
27,52 |
0,63 |
34,4 |
0,52 |
||||
28,4 |
0,61 |
38,4 |
0,49 |
||||
29,2 |
0,57 |
42,4 |
0,45 |
||||
29,76 |
0,54 |
50,4 |
0,4 |
||||
31,36 |
0,44 |
58,4 |
0,37 |
||||
33,2 |
0,33 |
66,4 |
0,34 |
||||
34,64 |
0,26 |
80,8 |
0,28 |
||||
36,4 |
0,16 |
96 |
0,24 |
||||
37,12 |
0,14 |
121,6 |
0,19 |
||||
38,96 |
0,08 |
132,8 |
0,17 |
||||
41,12 |
0,04 |
164,8 |
0,13 |
||||
42,56 |
0,01 |
208 |
0,09 |
||||
43,63 |
0 |
272,8 |
0,05 |
||||
|
|
464 |
0,01 |
||||
|
|
464,4 |
0 |
||||
Rc<<R=15 [k] |
R=Rc=8 [k] |
||||||
t [ms] |
|lnU| [V] |
t [ms] |
|lnU| [V] |
||||
0 |
0,400478 |
0 |
0,415515 |
||||
0,8 |
0,415515 |
0,16 |
0,415515 |
||||
3,2 |
0,478036 |
0,32 |
0,415515 |
||||
7,2 |
0,544727 |
0,34 |
0,430783 |
||||
13,6 |
0,653926 |
1,04 |
0,462035 |
||||
17,6 |
0,71335 |
1,92 |
0,494296 |
||||
21,6 |
0,798508 |
2,72 |
0,562119 |
||||
29,6 |
0,916291 |
3,28 |
0,616186 |
||||
37,6 |
0,994252 |
4,88 |
0,820981 |
||||
45,6 |
1,07881 |
6,72 |
1,108663 |
||||
60 |
1,272966 |
8,16 |
1,347074 |
||||
75,2 |
1,427116 |
9,92 |
1,832581 |
||||
100,8 |
1,660731 |
10,64 |
1,966113 |
||||
112 |
1,771957 |
12,48 |
2,525729 |
||||
144 |
2,040221 |
14,64 |
3,218876 |
||||
187,2 |
2,407946 |
16,08 |
4,60517 |
||||
252 |
2,995732 |
|
|
||||
443,2 |
4,60517 |
|
|
||||
Dla przebiegu aperiodycznego R>>Rc rozwizanie jest sum dwóch funkcji wykadniczych (6), przy czym skadnik z mniejsz wartoci zanika wolniej. Znajduje to odbicie w wyniku eksperymentu, gdy wykres pocztkowo nie jest prost, przechodzi w ni dopiero dla wikszych t. Std wspóczynnik nachylenia prostej, liczony analogicznie jak w przypadku 1, jest wspóczynnikiem 2 równania (6). Warto tego wspóczynnika liczono na podstawie wzorów (8) wynosi 2=0,0095±0,0005, przy czym w obliczeniach pominito pierwszych 7 punktów.
Krzyw teoretyczn dla R=Rc liczono na podstawie wzoru (5), wstawiajc 
, U0=0,67 [V] i przyjmujc czas z przedziau 0 do 25 [ms]. Wyliczone wartoci zestawiono w tabelce.
t [ms] |
U [V] |
t [ms] |
U [V] |
0 |
0,6 |
13 |
0,098874 |
1 |
0,584101 |
14 |
0,081533 |
2 |
0,545878 |
15 |
0,067026 |
3 |
0,495985 |
16 |
0,054947 |
4 |
0,441455 |
17 |
0,044932 |
5 |
0,386781 |
18 |
0,03666 |
6 |
0,334695 |
19 |
0,029848 |
7 |
0,286727 |
20 |
0,024257 |
8 |
0,243604 |
21 |
0,019678 |
9 |
0,205528 |
22 |
0,015938 |
10 |
0,172378 |
23 |
0,01289 |
11 |
0,143838 |
24 |
0,010411 |
12 |
0,119489 |
25 |
0,008397 |
Teoretycznie wyliczone wartoci , i 2, obliczone wg. wzorów (1), (4a), (5a) i (6a) wynosz odpowiednio:
W tabelce zestawiono wartoci eksperymentalne i teoretyczne.
|
Teoretycznie |
Eksperymentalnie |
|
250 |
214 |
Rd=0 |
23,4375 |
15,4 |
Rd=200 |
29,6875 |
23,0 |
2 |
68,22 |
9,53 |
Zaskakujco duy bd dla parametru 2 wzi si prawdopodobnie z mylnego odczytania wartoci rezystora dodatkowego. Gdy podstawimy zamiast R=10.000 warto R=100.000 , otrzymamy warto 2=9,94, co znacznie lepiej pokrywa si z wynikiem eksperymentu.
Wnioski:
Wyniku eksperymentu w znacznym stopniu pokrywaj si z oczekiwaniami teoretycznymi. Trudno jednoznacznie oceni w jakim stopniu, poniewa nie posiadalimy danych o bdach pomiarów indukcyjnoci, pojemnoci i rezystancji cewki. Podane wartoci s „okrge”, co upraszcza obliczenia, ale moe by ródem rozbienoci. Tez t potwierdza pomiar czstoci, który by bardzo dokadny, a da inny ni teoretyczny wynik. Podsumowujc, eksperyment w zadowalajcym stopniu potwierdzi suszno teoretycznych rozwaa.
Wyszukiwarka