STATYSTYKA

Wykładowca - dr Muzalewska

Statystyka - nauka o metodach badania zjawisk masowych

Zbiór nieskończoności _______________________________

Im zbór bardziej liczny tym prawidłowość wyraźniejsza

Zjawiska masowe - zbiorowość statystyczna lub populacja generalna - jest to zbiór jednorodnych elementów objętych badaniem statystycznym

Skład zbiorowości statystycznej :

• jednostki statystyczne są to elementy wchodzące w skład zbioru

Jednostki statystyczne występują w dwóch rodzajach :

1. jednostki proste - są niepodzielnie, nie mogące utworzyć nowej

zbiorowości

2. jednostki złożone - są podzielne - mogące utworzyć nową zbiorowość

statystyczną ( np. województwa Polski w 2003r. -

można wyodrębnić np. miasta i powiaty )

Liczebność - N - jest to liczba jednostek wchodzących w skład

zbioru

CECHY - są to właściwości charakteryzujące jednostki badanej zbiorowości .

OKREŚLANIE PRAWIDŁOWOŚCI

( tylko dla cech zmiennych statystycznych )

Cechy stałe służą do dokładnego określania danej zbiorowości .

przykład :

pracownicy wg wynagrodzenia

____________________________________________________

____________________________________________________

społeczeństwo ubogie

___________________________________________________

społeczeństwo bogate

(x), (y), (z) itp. - zmienne , które można zmierzyć

wariant zmiennej - jest to odmiana zmiennej

zmienna płeć - kobieta lub mężczyzna

zmienna marka samochodu - fiat, mercedes, audi itp.

WARUNKI WYODREBNIANIA ZBIOROWOŚCI STATYSTYCZNEJ

Aby grupę osób, zwierząt lub przedmiotów lub zdarzeń można było nazwać zbiorowością statystyczną muszą być spełnione następujące warunki :

1. Zbiór musi być dostatecznie liczny ( liczebność określa prawo wielkich liczb )

2. Musi występować cecha stała w ujęciu rzeczowym , czasowym, przestrzennym ( trzeba określić kto lub co jest przedmiotem , kiedy i gdzie występuje )

3. Musi występować przynajmniej jedna cecha zmienna ( statystyczna) aby można było dla niej określić prawidłowości

Grupowanie statystyczne wg zmiennej jakościowej niemierzalnej

- grupowanie statystyczne polega na podziale jednostek statystycznych wg przyjętego

kryterium zmienności ( zmienna jakościowa)

• grupując jednostki wg zmiennej jakościowej , budujemy schemat klasyfikacyjny, który jest wyszczególnieniem wariantów zmiennej jakościowej w oparciu o zebrany materiał statystyczny oraz o definicję zmiennej.

Schemat klasyfikacyjny zmiennej jakościowej musi spełniać następujące warunki :

1. przejrzystości - nazwy wariantów muszą być podane w sposób czytelny i zrozumiały dla odbiorcy,

2. rozłącznego podziału - nazwy wariantów w schemacie klasyfikacyjnym muszą wykluczać się wzajemnie

muszą wykluczać się wzajemnie

=

musi występować brak stosunku zamienności pojęć

W schemacie klasyfikacyjnym nie może mieć miejsca stosunek nadrzędności

i podrzędności

np. A- wojewoda

B - urzędnik

tzn. wojewoda jest urzędnikiem, ale nie każdy urzędnik jest wojewodą

3. wyczerpującego podziału - wszystkie jednostki budowanej zbiorowości muszą mieścić się w podanym schemacie klasyfikacyjnym . Jeśli nie mieszczą się w wymienionych nazwach należy wprowadzić wariant tzw. „otwarty” np. „inne” , „pozostałe”

Przykład tabelaryczny

• pracownicy sp jawnej „KOGA” w Poznaniu wg wykształcenia na dzień 30.06.2003r.

wykształcenie	pracowników	Odsetek pracowników
Podstawowe	8	10,2
Zasadnicze zawodowe	12	15,4
Średnie techniczne*	7
Średnie	29	46,2
Wyższe zawodowe*	13
Wyższe	9	28,2
ogółem	78	100 = suma musi być równa 100!!!

* musimy wykreślić te wiersze gdyż nie spełniają one warunku rozłączności podziału - wykształcenie np. wyższe zawodowe zawiera się w zawodowym

Pod tabelą umieszczamy :

Źródło : dane umowne , ćwiczeniowe np. badania własne

CHARAKTERYSTYKA PRZEDMIOTU BADANIA :

• zbiorowość statystyczna - pracownicy sp. jawnej „KOGA” stan na dzień 30.06.2003r.

• jednostka statystyczna - pracownik - jednostka prosta

• liczebność zbioru - N = liczba pracowników = 78

• suma liczebności cząstkowych ni

„i” - numer wariantu od ni do nk

„k” - ostatni numer wariantu

na liczebność zbioru złożyła się suma ∑ liczebności cząstkowych

k

N = ∑ n_i

_i=1

• zmienna - wykształcenie pracowników ( zmienna jakościowa - porządkowa-rangowa)

• * spełniony warunek - rozłącznego podziału - po wprowadzonej korekcie

Wskaźnik struktury :

tj. Odsetka liczebności

n_i

W_s = N x 100 %

Graficzna prezentacja zmiennej jakościowej :

1. Wykres kołowy

legenda : N = 78 - 360^o

n_i = 8 - x

x = 37%

• podstawowe 37%

• zawodowe 55%

• średnie 166%

• wyższe -

GRUPOWANIE STATYSTYCZNE WG ZMIENNEJ ILOŚCIOWEJ - MIERZALNEJ

1. część logiczna - celem jest budowa schematu klasyfikacyjnego zmiennej ilościowej (x)

1. Określenie zbiorowości statystycznej oraz jednostki

2. Określenie cechy zmiennej ilościowej za kryterium klasyfikacji oraz wskazanie postaci liczbowej

3. Określenie liczebności zbioru

4. Obliczenie obszaru zmienności ( rozstęp) R = x_max - x_min

5. Wybór metody grupowania statystycznego :

1. metoda grupowania WARIANCYJNEGO ( wariacyjna) - polega na podziale wartości zmiennych na równe co do wielkości przedziały klasowe dołem i górą zamknięte , w oparciu o przesłanki , w oparciu o przesłanki formalno-matematyczne

np. koszty administracyjne 10-13 tys. zł

14-17 tys. zł

18-21 tys. zł

22-25 tys. zł ( co 4 tys. zł)

klasy te są zamknięte górą i dołem oraz są równej wielkości .

2. metoda grupowania TYPOLOGICZNEGO - polega na podziale wartości zmiennych na nierówne typowe klasy w oparciu o przesłanki społeczno-ekonomiczne

np. wiek ludności (x)

poniżej 18 lat - wiek przedprodukcyjny

18 - 65 lat - wiek produkcyjny

65 lat i więcej - wiek poprodukcyjny

6. Pojęcia i rodzaje przedziałów klasowych oraz zasady ich budowy

przedział klasowy - ( klasa) jest to liczbowa postać wariantów zmiennej ilościowej ( np. 18-65 )

Rodzaje klas :

a)

a.1. wielowariantowe - buduje się dla zmiennej ilościowej ciągłej oraz dla

zmiennej skokowej o bardzo dużym rozstępie

a.2. jednowariantowe - buduje się dla zmiennej ilościowej skokowej o małym

rozstępie

np. ilość popełnionych błędów w teście :

1.............

2.............

3............. w jednej klasie tylko jeden wariant

R= 3-1 = 2

a.3. mieszane - buduje się dla zmiennej ilościowej skokowej o dużym rozstępie

np. (x) - absencja chorobowa 2,3,4,5dni, 6-15dni,16-40 dni - przedziały

mieszane - obok przedziałów jednowartościowych przedziały o jakimś rozstępie

b) pojęcia związane z przedziałem klasowym wielowariantowym :

b.1. dolna granica klasy x_Di

i - numer klasy = 1 .....k ( aż po „k-tą” klasę )

• jest to zmienna, która rozpoczyna klasę

b.2. górna granica klasy x_Gi

jest to zmienna, która kończy , zamyka klasę

b.3. środek klasy x'_i

jest to zmienna, która znajduje się dokładnie w środku klasy

b.4. wielkość klasy C_i

jest to rozpiętość między granicami klas ( nie jest to różnica tylko

rozpiętość)

c) zasady budowy przedziałów klasowych wielowariantowych :

c.1. zasada statystyczna : tworzy się granice wynikowe, które cechują się tym ,

że górna granica przedziału klasowego poprzedniego nie jest taka sama jak

dolna granica przedziału następnego . Granice wynikowe służą do

tabelarycznego przedstawiania danych

Obliczanie środka klasy X`_i

i wielkości klasy C_i dla zmiennej ilościowej ciągłej

X_Di + X_Di+1

X'_i = ____________

2

C_i =X_Di+1- X_Di

Lp		X'i	Ci
1	10-13	12	4
2	14-17	16	4
3	18-21	20	4
4	22-25	24	4

Obliczenie : X'_i C_i

1 (10+14 ):2=12 14-10=4

2 (14+18 ):2=16 18-14=4

3 (18+22 ):2=20 22-18=4

4 (22+26 ):2=24 26-22=4

Obliczanie środka klasy X_i'

i wielkości klasy C_i dla zmiennej ilościowej skokowej

X_Di + X_Gi

X'_i = ____________

2

C_i =X_Di+1- X_D

Lp	Liczba zatr. pracowników	X'i	Ci
1	1-7	4	7
2	8-14	11	7
3	15-21	18	7
4	22-28	25	7

Obliczenie : X'_i C_i

1 (7+1 ):2=4 8-1=7

2 (8+14 ):2=11 15-8=7

3 (15+21 ):2=18 22-15=7

4 (22+28 ):2=25 29-22=7

c.2. zasada matematyczna - tworzy granice dokładne ( matematyczne) , które cechują się tym, że górna granica przedziału klasowego poprzedniego musi być taka sama jak dolna granice przedziału następnego .

Granice dokładne służą do graficznej prezentacji wyniku grupowania oraz do analizy statystycznej.

Obliczanie środka klasy X_i'

i wielkości klasy C_i dla zmiennej ilościowej skokowej i ciągłej

X_Di + X_Gi

X'_i = ____________

2

C_i =X_Gi- X_Di

Lp	Koszty adm.w tys. zł	X'i	Ci
1	10-14	12	4
2	14-18	16	4
3	18-22	20	4
4	22-26	24	4

Obliczenie : X'_i C_i

1 (10+14 ):2=12 14-10=4

2 (14+18 ):2=16 18-14=4

3 (18+22 ):2=20 22-18=4

4 (22+26 ):2=25 26-22=4

7 .Określenie liczby klas „k” oraz obliczenie wielkości klasy C_i ( przedziały klasowe

jeszcze nie zostały utworzone)

Liczba klas k - zależy od liczebności zbioru N oraz od żądanej dokładności wyników

opracowania

4 < k < 5 log N

liczba klas powinna być większa lub co najmniej równa 4 ( minimalna liczba klas dla ustalenia szeregu statystycznego) i mniejsza lub równa 5 logarytmów dziesiętnych liczebności zbioru K = N

R ( rozstęp)

C_i = ______

k ( zaproponowana liczba klas)

1. Obliczenie dolnej granicy pierwszego przedziału klasowego X _Di

X_min > X_Di > X_min - ½ C_i

Np. x_min = 10

C_i = 4

10-1/2 x4 < X_Di < 10

8 < X_Di< 10

X_{Di =}  8,9,10 

2. Wykorzystując ustalenia i obliczenia punktów 1-8 budujemy przedziały klasowe tj. schemat klasyfikacyjny zmiennej ilościowej

II . CZĘŚĆ TECHNICZNA :

1. Budowa makiety tablicy roboczej w oparciu o zbudowany schemat klasyfikacyjny zmiennej ilościowej .

2. Zaliczanie i zliczanie jednostek w poszczególnych przedziałach klasowych

3. Budowa tablicy wynikowej tj. szeregu rozdzielczego o cesze ilościowej

4. Graficzna prezentacja wyników grupowania za pomocą histogramu i diagramów

y

0 5 10 15 20 x

wykres słupkowy

Budowę szeregu akceptujemy wówczas, gdy rozkład liczebności cząstkowych n zbliżony jest do rozkładu normalnego tzn. posiada jedno maximum zlokalizowane mniej więcej w środku szeregu .

Akceptujemy

Nie akceptujemy gdy :

• występują dwa lub więcej maxima obok siebie

• wartość max znajduje się w pierwszej lub w ostatniej klasie - wykres wygląda następująco :

K, C_i , X_Di - są to elementy , które mogą ulegać zmianie , aby uzyskać rozkład zbliżony do

normalnego

SZEREGI STATYSTYCZNE I ICH KLASYFIKACJA

Z PUNKTU WIDZENIA BUDOWY

Szereg statystyczny - zawiera informacje o jednej zbiorowości statystycznej wg jednego kryterium zmienności

Szeregi statystyczne wg budowy

szereg statystyczny prosty szereg statystyczny rozdzielczy

( szczegółowy, wyliczający) ( strukturalny )

- taki, w którym kolejno wyszczególnione - taki, który powstał w wyniku grupowania

są wszystkie jednostki zbioru od jednostki statystycznego , przedstawia strukturę zbioru

pierwszej po ostatnią n-tą

np. 1

2

3

.

.

.

n-ta

jakościowy ilościowy jakościowy ilościowy

- każdej jednostce - każdej jednostce

statyst. przyporząd- statyst. przyporządko-

kowany jest jeden wany jest wariant

wariant zmiennej zmiennej ilościowej

jakościowej

np. 1 - LO 1.- 28 lat jednowariantowy mieszany

2 - Technikum 2.- 32 lata

3 - LO 3 - 18 lat

. . wielowariantowy

. .

n-ta - LO n-ta - 19 lat

wariancyjny typologiczny

- zbudowany metodą grupowania - zbudowany metodą

wariancyjnego grupowania typolo-

gicznego

w oparciu o zasadę w oparciu o zasadę w oparciu o zasadę w oparciu o zasadę

matematyczną statystyczną matematyczną statystyczną

Przykłady szeregów statystycznych w oparciu o budowę

Przyklad 1.

Banki w Szczecinie wg ilości oddziałów na dzień 1 .09.2003r.

Banki	ilość oddziałów Xi
1 2 3 4 5 6	2 4 5 3 2 2

źródło : dane ćwiczeniowe

Charakterystyka przedmiotu badania :

1. zbiorowość statystyczna - banki w Szczecinie stan nadzień 01.09.2003r.

2. jednostka statystyczna - bank - jednostka złożona

3. liczebność zbioru N=6

4. zmienna x_i - ilość oddziałów - zmienna ilościowa skokowa

5. budowa szeregu - szereg prosty ilościowy

Przykład 2

Banki w Warszawie wg ilości oddziałów na dzień 30.06.2003r.

ilość oddziałów xi	liczba banków ni	skumulowane liczebności ni
1 2 3 4 5 6	2 4 5 3 2 2	2 6 11 14 16 18
ogółem :	18

źródło : dane ćwiczeniowe

Charakterystyka przedmiotu badania :

1. zbiorowość statystyczna - banki w Warszawie na dzień 30.06.2003r.

2. jednostka statystyczna - bank - jednostka złożona - n_i

3. liczebność zbioru - N = 18

4. zmienna - x_i - ilość oddziałów - zmienna ilościowa skokowa

5. budowa szeregu - szereg rozdzielczy ilościowy jednowariantowy

Przykład 3.

Nakłady inwestycyjne spółek jawnych powiatu poznańskiego w pierwszym półroczu 2003r.

nakłady inwestycyjne w tys. zł xi	odsetki spółek jawnych ni	środek klasy xi'	wielkość klasy ci	skumulowane liczebności ni
1	2	3	4	5
31 - 36 37 - 42 43 - 48 49 - 54 55 - 60	8 12 30 35 15	34 40 46 52 58	6 6 6 6 6	8 20 50 85 100
ogółem :	N = 100

źródło : dane ćwiczeniowe

Polecenie :

1. Przeprowadzić charakterystykę przedmiotu badania

2. Obliczyć środki klas i wielkości klas

3. skumulować liczebności cząstkowe i przedstawić je graficznie.

ad. 1.

Charakterystyka przedmiotu badania :

1. zbiorowość statystyczna - spółki jawne powiatu poznańskiego w I półroczu 2003r.

2. jednostka statystyczna - spółka jawna - jednostka złożona

3. liczebność zbioru N= 100

4. zmienna - nakłady inwestycyjne - zmienna ilościowa ciągła

5. budowa szeregu - szereg rozdzielczy ilościowy wielowariantowy wariancyjny grupowany w oparciu o zasadę statystyczną ( tzn. dolna granica przedziału następnego jest większa od górnej granicy przedziału poprzedzającego - patrz rubryka 1 tabeli)

ad 2.

Obliczenia środków klas dla zmiennej ilościowej ciągłej :

X_Di + X_Di+1

X_i'= -----------------

2

środek klasy dla zmiennej ilościowej ciągłej = suma dolnej granicy umownego przedziału i dolnej granicy przedziału następnego - podzielona przez dwa

(31 + 37 ) : 2 = 34

(37 + 43) : 2 = 40

( 43 + 49) : 2 = 46

( 49 + 55) : 2 = 52

( 55 + 61*) : 2 = 58

* 61 - dolna granica następnego przedziału umownie otwartego

Obliczenia wielkości klas dla zmiennej ilościowej ciągłej :

C_i = X_Di+1 - X_Di

wielkość klasy dla zmiennej ilościowej ciągłej = różnicy dolnej granicy umownego przedziału i dolnej granicy przedziału go poprzedzającego

37 - 31 = 6

43-37 = 6

49-43 = 6

55 - 49 = 6

61* - 55 = 6

* 61 - dolna granica następnego przedziału umownie otwartego

ad 3. Graficzne przedstawienie skumulowanych odsetek sp. jawnych

l. skum

odsetek

sp. jawn. 100

85

50

20

8

0 31 37 43 55 61 nakłady inwestycyjne

źródło : tabela wynikowa

uwagi techniczne :

na osi OX - umownie przerywamy przedział 0 - 31

1. na osi OX - oznaczamy dolne granice przedziałów , jako ostatnia oznaczamy dolną granicę przedziału umownie otwartego tj. 61

2. punkty zaznaczamy na końcach przedziałów tj. 37 - 8

43- 20

55 - 50 itd.

3. punkty łączymy krzywą

Przykład 4.

Pracownicy sp. jawnej w miejscowości A wg stażu pracy na koniec 2003r.

staż pracy w latach xi	liczba prac. ni	wielkość klasy ci	uwagi
0 - 5	3	5	zasada matematyczna 5-0=5
5 - 12	8	8	zasada statystyczna 13 - 5 = 8
13 - 20	15	7	zasada matematyczna 20 - 13 = 7
20 - 30	6	10	zasada matematyczna 30 - 20 = 10
30 i więcej	4		wielkości klasy nie można obliczyć , gdyż jest to przedział górą otwarty
ogółem :	36

źródło : dane ćwiczeniowe

Polecenie : Przeprowadzić charakterystykę przedmiotu badania

1. zbiorowość statystyczna - pracownicy spółki jawnej w miejscowości A na koniec 2003r.

2. jednostka statystyczna - pracownik - jednostka prosta

3. liczebność zbioru - N= 36

4. zmienna - staż pracy - zmienna ilościowa ciągła ( staż pracy stale wzrasta )

5. budowa szeregu - szereg statystyczny rozdzielczy ilościowy wielowariantowy typologiczny ( klasy mieszane tj. budowane w oparciu o zasadę matematyczną i zasadę statystyczną - trzeba obliczyć wielkości klas zgodnie z zasadą w oparciu której była one budowane )

c_i - dla zasady matematycznej dla zmiennej ilościowej ciągłej

C_i = X_Gi - X_Di

c_i - dla zasady statystycznej dla zmiennej ilościowej ciągłej

C_i= X_Di+1 - X_Di

ANALIZA STRUKTURY :

07.03.2004 - wykład

Analiza struktury - dotyczy jednej zbiorowości statystycznej wg jednego kryterium zmienności

Szeregi proste :

- analiza przeciętna

- analiza dyspersji ( zmienności lub zróżnicowania)

- rozkład normalny

___________________________________________

analiza rozkładu ( asymetrii) - o ile nasz rozkład różni się od rozkładu normalnego

Szeregi rozdzielcze :

- analiza przeciętna

- analiza dyspersji

- analiza rozkładu

Analiza struktury szeregów prostych

Miary analizy struktury stosowane w szeregach prostych ( miary proste )

zakres analizy	szeregi proste ilościowe
analiza przeciętna	średnie klasyczne ___ X , Ch przeciętne pozycyjne Me, D
analiza dyspersji ( zmienności )	miary absolutne R , s miary względne V

średnie klasyczne - obliczane są w oparciu o wszystkie wartości zmienne badanej populacji

( jest ich bardzo wiele)

___

a) X - średnia arytmetyczna ( X „ z daszkiem”)

• informuje o wartości średniej badanej populacji

_N

∑ x_i

___ _i=1....n

X = --------------

N N - liczebność zbioru

b) Ch - średnia chronologiczna

- stosowana do określania poziomu średniego jednostek czasowych

1/2 x₁+ x₂+ .........+1/2 x_n

Ch = --------------------------------

N - 1

Przeciętne pozycyjne - uwzględniają wartości zmienne, stojące na określonych pozycjach , miejscach

a) Me - mediana - jest to ta zmienna, która znajduje się na pozycji środkowej , znajduje się w środku

_________ Me___________

wartości < Me < wartości

mniejsze/równe większe/równe

Aby wyznaczyć medianę w szeregach prostych należy uporządkować rosnąco lub malejąco wartości zmienne a następnie wyznaczyć numer ( miejsce) mediany

- w szeregu o nieparzystej liczbie jednostek znajduje się tylko jedna zmienna - ma tylko 1 numer

N + 1

Nr mediany Nr Me = -------

2

Medianą będzie ta wartość zmienna x, która znajduje się w szeregu uporządkowanym na tym właśnie miejscu

Me = X _N+1

2

- w szeregu o parzystej liczbie jednostek w środku znajdują się dwie zmienne - wyznaczamy dwa numery

N

Nr 1 i Nr 2 mediany Nr ₁ Me = ------

2

N

Nr ₂ Me = ------ + 1

2

Mediana - to średnia arytmetyczna zmiennych z miejsc Nr₁ i Nr₂

X_N + X _N +1

2 2

Me =----------------------

2

W szeregu uporządkowanym parzystym - średnia arytmetyczna dwóch zmiennych , które są dokładnie w pierwszym ( Nr 1 ) i drugim ( Nr 2) miejscu

b) D - dominanta - modalna - jest to ta zmienna , która znajduje się na pozycji dominującej tzn. zmienna , która jest najczęściej najliczniej spotykana

MIARY ABSOLUTNE

1. R = X _max - X _min rozstęp

b) s - odchylenie standardowe

- najdokładniejsza miara

- określa absolutne zróżnicowanie wartości zmiennych ( empirycznych)

w porównaniu ze średnią arytmetyczną

- ma zawsze wartość dodatnią

N

∑ x_i²

i=1....n __

s = -------------- - ( x )²

N

MIARY WZGLĘDNE

V - współczynnik zmienności

s

V = ------- x 100 %

X

V - współczynnik zmienności informuje o (%) procentowym zróżnicowaniu wartości zmiennych w stosunku do średniej arytmetycznej oraz o stopniu jednorodności badanej zbiorowości

V < 35 % - populacja jest jednorodna

35 % < V < 65 % - populacja jest średniojednorodna

V > 65 % - populacja nie jest jednorodna

Przykłady na analizę struktury w szeregach prostych :

Przykład 1.

Przestępstwa drogowe w 2002r. w podregionach województwa wielkopolskiego

podregiony	liczba przestępstw drogowych - xi	uporządkowane xi	( xi)^2
pilski poznański kaliski koniński Miasto Poznań	206 612 431 222 336	206 222 336=Me 431 612	42 436 374 544 185 761 49 284 112 896
∑	1 807	x	764 921

Przeprowadzić analizę kompleksową liczby przestępstw drogowych w podregionach województwa wielkopolskiego

Charakterystyka przedmiotu analizy :

zbiorowość statystyczna - podregiony województwa wielkopolskiego w 2002r.

jednostka statystyczna - podregion - jednostka złożona

liczebność zbioru : n = 5

zmienna - liczba przestępstw drogowych - jest to zmienna ilościowa skokowa

budowa szeregu - jest to szereg prosty ilościowy

cel analizy : analiza kompleksowa liczby przestępstw drogowych w podregionach woj.

wielkopolskiego

cele szczegółowe -

1. Analiza przeciętna liczby przestępstw drogowych w woj. wielkopolskim

2. Analiza dyspersji - zróżnicowania liczby przestępstw drogowych w wielkopolsce

Miary analizy :

ad 1. X, Me, D

ad 2. s, V

ad. 1 .

_N

∑ x_i

___ _i=1....n

X = --------------

N

__ 1807

X = -------- = 361,4 = 361

5

komentarz : średnio w podregionie woj. wielkopolskiego w 2002r. popełniono

361 przestępstw drogowych

N + 1

Nr Me = -------

2

Nr Me =6/2=3

tj. Me = x₃= 336

komentarz : w połowie podregionów woj. wielkopolskiego popełniono 336 przestępstw

drogowych i mniej, a w połowie podregionów woj. wielkopolskiego popełniono

336 przestępstw i więcej.

D - dominanty wyznaczyć nie można , ponieważ żadna wartość zmiennej nie wystąpiła więcej niż 1 raz.

Ad 2.

s

N

∑ x_i²

i=1....n __

s = ------------ - ( x )²

N

764 921

S = -------------- - ( 361,4 )² = 149,58 ( tylko dla celów interpretacji

5 możemy tę liczbę zaokrąglić do 150)

komentarz : liczba przestępstw drogowych popełnionych w podregionach województwa wielkopolskiego w 2002 r. różniła się średnio od średniej liczby przestępstw drogowych tj. średniej arytmetycznej o 150 przestępstw drogowych

V

s

V = ------- x 100 %

X

149,58

V = ------- x 100 % = 41,39 % 35% < 41,39 < 65%

361

komentarz : Podregiony województwa wielkopolskiego ze względu na liczbę przestępstw drogowych stanowiły populację średniojednorodną , ponieważ procentowe zróżnicowanie liczby przestępstw drogowych w stosunku do średniej liczby przestępstw drogowych wynosiło 41,39%

Przykład 2

Produkcja w spółce jawnej KORA w koninie w latach 1993-1999 kształtowała się następująco :

lata	produkcja w mln ton
1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999	38 34 31 33 36 40 42

Obliczyć średnią produkcję w roku w badanej spółce

Charakterystyka przedmiotu analizy :

1. zbiorowość statystyczna - lata 1993-1999 w spółce KORA w Koninie

2. jednostka statystyczna - 1 rok - jednostka złożona

3. liczebność zbioru N= 7

4. zmienna - produkcja w mln ton - zmienna ilościowa ciągła

5. budowa szeregu - szereg prosty ilościowy

cel analizy - obliczenie średniej rocznej produkcji w badanej spółce za lata 1993-99

miara analizy - jednostki są jednostkami czasowymi

Ch - średnia chronologiczna

1/2 x₁+ x₂+ .........+1/2 x_n

Ch = --------------------------------

N - 1

˝ x 38+34+31+33+36+40+1/2x42

Ch= ----------------------------------------- = 35,67 mln t

7 - 1

komentarz : średnia roczna wielkość produkcji w badanej spółce w latach 1993-99 wynosiła 35,67 mln t

Przykład 3

Gminy północne woj.wielkopolskiego wg miesięcznych wydatków na kulturę w tys. zł w styczniu 2000r.

gminy	miesięczne wydatki na kulturę w tys.zł - xi	uporządkowane xi
A B C D E F G H	18 20 17 21 15 17 19 17	15 17 17 D=17 17 18 19 20 21

polecenie :

Przeprowadzić analizę przeciętną za pomocą miar przeciętnych pozycyjnych w zakresie miesięcznych wydatków na kulturę

Charakterystyka przedmiotu analizy :

1. zbiorowość statystyczna - gminy północne województwa wielkopolskiego w 2000r.

2. jednostka statystyczna - gmina - jednostka złożona

3. liczebność zbioru N= 8

4. zmienna - miesięczne wydatki na kulturę - zmienna ilościowa ciągła x_i

budowa szeregu - szereg prosty ilościowy

cel analizy : określenie poziomu przeciętnego miesięcznych wydatków na kulturę

miary analizy : Me,

Me N 8

Nr 1 i Nr 2 mediany Nr ₁ Me = ----= --- = 4

2 2

N 8

Nr ₂ Me = ------ + 1= ------ +1= 5

• 2

x₄ + x₅ 17 +18

Me = ------------------ = ----------- = 17,5 tys. zł

• 2

komentarz : w połowie gmina północnych województwa wielkopolskiego wydatki na kulturę w styczniu 200r. wynosiły 17,5 zł i mniej, a połowie gmin 17,5 tys. zł i więcej

D = 17 tys. zł

komentarz : dominującą kwotą przeznaczoną na kulturę w gminach północnych woj. wielkopolskiego to 17 tys. zł ( tylko jedna wartość może dominować !!!)

ANALIZA STRUKTURY SZEREGÓW ROZDZIELCZYCH

Miary analizy struktury stosowane w szeregach rozdzielczych ( miary ważone)

Zakres analizy	Szeregi rozdzielcze ilościowe
		z przedziałami jednowartościowymi z przedziałami wielowartościowymi-wariancyjne	typologiczne(wielowariantowe) z przedziałami mieszanymi
	analiza przeciętna	średnie klasyczne ____ X - ważona	średnie klasyczne ------------------*
		przeciętne pozycyjne Me, Q1, Q3, D	przeciętne pozycyjne # Me, Q1,Q3 , D*
	analiza dyspersji ( zmienności, zróżnicowania)	miary absolutne s	miary absolutne Q
		miary względne s V = ------ x 100% X	miary względne Q V = --------- x 100% Me
analiza rozkładu (asymetrii)	__ X - D As = ----------- S	Q1 + Q3 - 2 Me As = ------------------------ 2 Q

* żadna

X - średnia arytmetyczna ważona

wagami są odpowiadające liczebności cząstkowe , które wskazują ile razy dana wartość zmienna się powtórzyła

xi	wagi n
x1 x2 . . . xK	n1 n2 . . . nK

i = 1, ..... k

wartość zmienna x₁ powtórzyła się n₁ razy

średnia arytmetyczna ważona :

k

∑ x_i . n_i

i=1....k

X = --------------

N

N

Me - mediana

¾ ¼

½ Me ½

______ _______________________________

1/4 3/4

Mediana należy do grupy miar zwartych :

kwartyle ( z łac. kwarta - ¼)

Q₁- kwartyl I - dzieli zbiór na ¼ i ¾ ¼ < Q₁ < ¾

Q₃ - kwartyl III - znajduje się na pozycji ¾ ¾ < Q₃ < ¼

decyl -dzieli zbiór na części dziesiąte

centyl - dzieli zbiór na części setne

Aby wyznaczyć medianę i kwartyle w szeregu rozdzielczym należy skumulować liczebności cząstkowe a następnie wyznaczyć pozycję parametrów

N

pozycja Q_{1 = -------}

4

N

pozycja Me = -----

2

3N

pozycja Q₃= ------

4

nie ma w tym szeregu znaczenia czy N jest parzyste czy nie

*W szeregu rozdzielczym ilościowym z przedziałami jednowartościowymi

medianą Me i Q_1, Q₃ kwartylami są te wartości zmienne, które odpowiadają skumulowanym liczebnościom zawierającym pozycję parametrów

*W szeregu rozdzielczym ilościowym wielowariantowym wariancyjnym

medianę Me i Q₁, Q₃ kwartyle należy oszacować wzorami interpolacynymi szacunkowymi

N - skumulowana liczebność n _-1

2

Me = X_{Do + ------------------------------------------------------------------------- x} C_o

( lub X_{Di- dolna} n_o

_{granica przedziału mediany)}

skumulowana liczebność n _-1

n_o - liczebność przedziału mediany

D_o - dolna granica przedziału mediany

N

• tj. pozycja mediany

skumulowana liczebność poprzedzająca przedział mediany

n_o - liczebność przedziału mediany

c_o- wielkość przedziału mediany

Wzór interpolacyjny na Q₁ i Q₃

N - n_{-1,1 ( tj. skumulowaną liczebność poprzedzającą przedział klasowy,}

4 _{w którym znajduje się Q1)}

Q₁= X_D1 + ---------------------------------------------------------------- . C₁

n₁

3 N - n_{-1,3 ( tj. skumulowaną liczebność poprzedzającą przedział klasowy,}

4 _{w którym znajduje się Q3)}

Q₃= X_D3 + ---------------------------------------------------------------- . C₃

n₁

Graficzne wyznaczenie mediany i kwartyli

Aby wyznaczyć graficznie medianę i kwartyle należy sporządzić wykres skumulowanych liczebności :

skum.

n_i

40

30 -------------------------------------------

20 ---------------------------

10------------

0 Q₁ 4 Me 8 Q₃ 12 16 x

N 40

poz. Me = ---- = -------= 20

• 2

N 40

poz. Q₁ = ---- = -------= 10

4 4

3 N 3 x 40

poz. Q₃ = ---- = -------= 30

4 4

D - dominanta - w szeregu rozdzielczym ilościowym jednowariantowym dominantą jest ta wartość zmienna , która powtórzyła się w zbiorowości najwięcej razy tzn. odpowiada największej liczebności cząstkowej.

- w szeregu rozdzielczym ilościowym z przedziałami wielowariantowymi dominantę należy oszacować wzorem interpolacyjnym ( szacunkowym) :

n_o - n -₁

D = X_Do + ----------------------------- . C_o

( n_o - n₁ ) + ( n_o - n ₊₁)

X_Do - dolna granica przedziału dominującego

n_o - liczebność przedziału dominującego

n _-1 - liczebność przedziału poprzedzającego przedział dominujący

n ₊₁ - liczebność przedziału następnego po przedziale dominującym

c_o - wielkość przedziału dominującego

Dominantę można wyznaczyć graficznie

Graficzne wyznaczanie dominanty

n

• 
  x

D

n - liczebności cząstkowe

najwyższy słupek - słupek dominujący

z jego wierzchołków wyprowadzamy przekątne do wierzchołków sąsiadujących - punkt ich przecięcia - prostopadła do osi x - UWAGA !!! - dominanta znajduje się na osi x ( to jest wartość zmiennej na osi X)

ANALIZA DYSPERSJI

Miary absolutne

s - odchylenie standardowe ważone

_k

∑ x₁² . n₁

_{i = 1 ----}

s = --------------------- - ( X) ²

N

Miary względne

s

V = ----- . 100 % ( wzór znajduje się też w tablicy )

X

Analiza rozkładu asymetrii

As - średnia asymetryczna

-

W rozkładzie normalnym średnia arytmetyczna = dominanta = mediana

As= Me = D

As = 0 jeśli nie ma symetrii

As < 0 ( ujemny)

Me

- X < D

rozkład lewostronny - po lewej stronie znajduje się większa część powierzchni pola

As > 0 ( dodatni )

Me

- D < X

- rozkład prawostronny - po prawej stronie większa część powierzchni po prawej stronie

# dominantę w szeregach rozdzielczych ilościowych z przedziałami wielowariantowymi typologicznymi i mieszanymi stosujemy wówczas, gdy wielkość przedziału dominującego i dwóch sąsiadujących jest tej samej wielkości

x1	ni
5-10	3	c-1 = 6
11-16	10	co= 6
17-22	5	c+1= 6
23 i więcej	4

11- 16 przedział dominujący - można wyznaczyć dominantę

x1	ni
1-5	1	c-1 = 7
6-12	3	co= 3
13-15	4	c+1= ?
16 i powyżej	2

13-15 przedział dominujący - dominanty nie można wyznaczyć

Miary absolutne

Q - odchylenie ćwiartkowe

-informuje o przeciętnym zróżnicowaniu wartości zmiennych w porównaniu z medianą tj. wartością środkową

Q₃ - Q₁

Q =

2

Miary względne

Q

V = --------- . 100 %

Me

Analiza rozkładu

Q₁ + Q₂ - 2 Me

A_s = ----------------------

2Q

Przykłady na analizę struktury w szeregach rozdzielczych

Przykład I

Biblioteki w powiecie złotowskim z podziałem na gminy wg stanu na dzień 30.09.2003r.

Liczba xi bibliotek	odsetek gmin w % ni	Xi . ni	skumulowane ni	Xi^2	Xi^2 . ni
3	8	24	8	9	72
4=Q1	23	92	31	16	368
D=5=Me	34	170	65	25	850
6=Q3	21	126	86	36	756
7	14	98	100	49	686
Ogółem	100=N	510	x	x	2732

Przeprowadzić analizę kompleksową liczby bibliotek w gminach powiatu złotowskiego na dzień 30.09.2003r.

Charakterystyka :

zbiorowość statystyczna - Gminy powiatu złotowskiego na dzień 30.09.2003r.

jednostka statystyczna - Gmina - jednostka złożona- liczebność zbioru N = 100

zmienna - liczba bibliotek - zmienne ilościowa skokowa

budowa szeregu - jest to szereg rozdzielczy ilościowy jednowariantowy ( ponieważ w jednej

klasie - tylko jeden wariant)

cel analizy - analiza kompleksowa liczby bibliotek w gminach powiatu złotowskiego

cel szczegółowy analizy :

1. analiza przeciętna liczby bibliotek w gminach powiatu złotowskiego

2. analiza dyspersji - zróżnicowania liczby bibliotek w gminach powiatu złotowskiego

3. analiza rozkładu gmin wg liczby bibliotek

Miary analizy :

__

X - średnia arytmetyczna ważona

ad.1 - Me, Q₁ , Q₃ , D

ad 2 - s V

ad. 3 - As

___

ad1. X

k

∑ x_i . n_i

i=1....k 510

X = -------------- = -------- = 5,1 ( zmienna skokowa do interpretacji można ja zaokrąglić)

N 100

komentarz : średnio w gminach powiatu złotowskiego było 5 bibliotek ( stan na dzień

30.09.2004r)

Me

N 100 (sprawdzamy w skumulowanych liczebnościach i przyrównujemy do

Me = ---- = ----- = 50 wartości X_i)

2 2 Me = 5

komentarz : W połowie gmin powiatu złotowskiego było 5 bibliotek i mniej , a w połowie

gmin 5 bibliotek i więcej

Q₁

N 100 ( lokalizujemy w skumulowanych liczebnościach

poz. Q₁ = ---- = -------= 20 i przyrównujemy do wartości X_i)

• 4

Q₁= 4 biblioteki

komentarz : W jednej czwartej gmin powiatu złotowskiego były 4 biblioteki i mniej , a w ¾ gmin były 4 biblioteki i więcej

3 N 3 x 100

poz. Q₃ = ---- = -------= 75 ( postępujemy j.w.)

• 4

Q₃ = 6 bibliotek

komentarz : W ¾ gmin powiatu złotowskiego było 6 i mniej bibliotek ,a w ¼ gmin było 6 bibliotek i więcej

D

( sprawdzić w tabeli - rubryka liczebności cząstkowych )

Najwięcej razy powtórzyło się 5 bibliotek

D = 5

komentarz : Najwięcej razy w gminach powiatu złotowskiego było 5 bibliotek

ANALIZA DYSPERSJI :

s

_k

∑ x₁² . n₁

_{i = 1 ----}

s = --------------------- - ( X) ²

N

2732

s = --------------------- - ( 5,1) ² = 1,14 bibl. ( zmienna skokowa do interpretacji można ją

100 zaokrąglić )

komentarz : Liczba bibliotek w gminach powiatu złotowskiego różniła się średnio od średniej

liczby bibliotek w gminach tj. średniej arytmetycznej o około 1 bibliotekę

V współczynnik zmienności

Q

V = --------- . 100 %

Me

1,14

V = --------- . 100 % = 22,35 %

5,1

komentarz : Gminy powiatu złotowskiego ze względu na liczbę działających bibliotek stanowiły zbiorowość ( populację ) jednorodną , ponieważ średnie procentowe zróżnicowanie liczby bibliotek w stosunku do średniej arytmetycznej liczby bibliotek wynosiło 22,35%

A_s miara rozkładu

__

X - D

A_s = -----------

S

5,1 + 5

A_s = --------- = 0,09 = 0,1 A_{s > 0}

1,14

________________________________________________

__

D = 5 X =5,1

5< 5,1

Rozkład gmin powiatu złotowskiego ze względu na liczbę bibliotek jest nieznacznie prawostronny, co oznacza, że dominująca liczba gmin miała bibliotek mniej niż średnia liczba bibliotek

ANALIZA KORELACJI - WSPÓŁZALEŻNOŚCI

zmienne X , Y

związek korelacyjny - jest to niepełny związek przyczynowo-skutkowy ,

który cechuje się tym , że wartościom jednej zmiennej

przyporządkowane są średnie wartości drugiej zmiennej

Rodzaje związków korelacyjnych :

1 Związek zgodności - korelacja dodatnia

y

y₂

y₁

x₁ x₂

Pasmo punktów rozrzutu pochylone jest w kierunku prawym

zmienna X - maleje - to następuje średni spadek zmiennej Y

zmienna X - wzrasta - to następuje średni wzrost zmiennej Y

obliczony współczynnik korelacji będzie dodatki

X X Y

Y X Y

2. związek niezgodności - przeciwieństwa - korelacja ujemna

- wzrostowi zmiennej X towarzyszy średni spadek zmiennej Y

y

y₄

y₃

y₂

y₁

x₄ x₃ x₂ x₁

pasmo punktów rozrzutu pochylone jest w kierunku lewym

zmienna X maleje - następuje średni wzrost zmiennej Y

zmienna X rośnie - to następuje średni spadek zmiennej Y

obliczony współczynnik korelacji będzie ujemny

X X Y

Y X Y

3. związek niezależności - zmienna X i Y nie maja ze sobą nic wspólnego

y

x

Pasmo rozrzutu praktycznie nie istnieje - układ punktów rozrzutu jest koncentryczny

X nie mają żadnego punktu styczności

Y

METODY ANALIZY KORELACJI

1. Współczynnik r Pearsona

i analiza regresji

Współczynnik r Pearsona - stosuje się dla dwóch zmiennych ilościowych , gdy pasmo punktów rozrzutu wygładza funkcja prostoliniowa

y

x

dwie zmienne są ilościowe i wygładza pasmo rozrzutu linia prosta

to współczynnik r Pearsona :

1

------ Σ x y - x y

N

r _{(x,y) =} r _{(y,x) = ---------------------------------------------}

s_x s_y

Współczynnik korelacji przyjmuje wartości z przedziału :

<( -1 ; 1)>

r _(x,y) = 1 - jest to korelacja doskonała , idealna , pełna

• gdy współczynnik korelacji wynosi +1 - jest to korelacja doskonała dodatnia

punkty rozrzutu na linii prostej pochylonej w stronę prawą

r=1

45^o

45^o

• gdy współczynnik korelacji wynosi -1 - jest to doskonała korelacja ujemna

pasmo na linii prostej pochylone w kierunku lewym

45⁰ r = - 1

45⁰

r _(x,y) = 0 - zmienne są niezależne

0, 7 < r _(x,y) < 1 - jest to bardzo silna korelacja

gdy „-„ bardzo silna korelacja ujemna

gdy „+” bardzo silna korelacja dodatnia

0, 5 < r _(x,y) < 0,7 - jest to silna korelacja

gdy „-„ silna korelacja ujemna

gdy „+” silna korelacja dodatnia

0, 3 < r _(x,y) < 0,5 - jest to słaba korelacja

gdy „-„ słaba korelacja ujemna

gdy „+” słaba silna korelacja dodatnia

0 < r _(x,y) < 0,3 - jest to bardzo słaba niewyraźna korelacja

gdy „-„ bardzo słaba niewyraźna korelacja ujemna

gdy „+” bardzo słaba niewyraźna korelacja dodatnia

Współczynnik determinacji d :

• informuje w jakim stopniu zmienna x wyjaśnia zmienną y i odwrotnie

d= r_(x,y) ² . 100 %

przeciwieństwem determinacji jest :

Współczynnik indeterminacji i :

• określa w jakim stopniu na zmienną x lub y wpłynęły inne zmienne, które w tym badaniu nie miały miejsca

i = 100 % - d

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona informuje o charakterze i sile związku między badanymi zmiennymi natomiast nie pozwala określić jaki będzie poziom jednej zmiennej przy określonym poziomie wartości drugiej zmiennej . Nie określa również o ile średnio zmienia się wartość jednej zmiennej, gdy druga zmienna wzrośnie o jednostkę.

Na te pytania odpowiedzi udziela ANALIZA REGRESJI

tj. ANALIZA REGRESJI - określa jaki będzie poziom jednej zmiennej przy określonym poziomie wartości drugiej zmiennej , określa o ile średnio zmienia się wartość jednej zmiennej , gdy druga zmienna wzrasta o jednostkę .

y'- teoretyczna wartość zmiennej y , przy znanej wartości zmiennej x

y'_(x) = a_y + b_y . x

s_y

parametr kierunkowy b_y b_y = r_(x,y) . -----

s_x

wyraz wolny a_y a_y = y - b_y . x

standardowy błąd szacunku regresji zmiennej y przy znanej zmiennej x

s_y/x = s_y 1 - r_(x,y) ²

x'_(y) - teoretyczna wartość zmiennej x przy znanej zmiennej y

x'_(y) = a_x + b_x . y

s_x

parametr kierunkowy b_x b_x = r_(x,y) . -----

s_y

wyraz wolny a_x a_x = x - b_x . y

standardowy błąd szacunku regresji zmiennej x względem y

s_x/y = s_x 1 - r_(x,y) ²

Przykład :

Rodziny w Kaliszu w ramach badania budżetów rodzinnych wg dochodów miesięcznych na członka rodziny i wydatków na zakup prasy w I 2003r.

Tablice dwóch szeregów prostych :

Rodziny	dochód na 1 osobę x	wydatki na zakup prasy y	x . y	x^2
rodzina1	320	4,50	1440	102400
rodzina2	240	4,00	960	57600
rozdina3	380	3,50	1330	144400
rodzina4	690	6,30	4347	476100
rodzina5	920	10,50	9660	846400
rodzina6	390	3,80	1482	152100
rodzina7	1100	12,20	13420	1210000
todzina8	750	6,90	5175	562500
rodzina9	830	7,20	5976	688900
rodzina10	630	4,00	2520	396900
rodzina11	670	14,40	9715	448900
ogółem	6620	77,40	56025	5086200

Polecenie :

Wykorzystując podane informacje :

1. Zbadać zależność między dochodami i wydatkami na prasę badanej grupie rodzin

2. Określić w jakim stopniu wydatki na prasę wyjaśnione są uzyskiwanymi dochodami

3. Oszacować wydatki i dochody dla zmiennych minimalnych i maxymalnych oraz wyznaczyć linię regresji

4. Oszacować wydatki na prasę, gdy dochody na członka rodziny wynoszą 200 zł

5. Obliczyć standardowy błąd oszacowania dochodów i wydatków

Charakterystyka przedmiotu analizy :

1. Zbiorowość statystyczna - rodziny objęte badaniem budżetów rodzinnych w Kaliszu w I 2003r.

2. Jednostka statystyczna - rodzina - jednostka złożona

3. Liczebność zbioru N=11

4. Zmienne :

1 - dochody na osobę - zmienne ilościowa ciągła X

2. wydatki na prasę - zmienna ilościowa ciągła Y

5. Budowa tablicy - tablica zespołu dwóch szeregów prostych

Cel analizy zawarty w poleceniach .

ad.1 - sporządzamy pasmo punktów rozrzutu

Y

25

15

12 Y' - teoretyczna wartość

zmiennej Y dla zmiennej X = 1100

9

6

3

200 400 600 800 1000 1100 1200 X

Współczynnik korelacji będzie dodatni

1

------ Σ x y - x y

N

r _{(x,y) =} r _{(y,x) = ---------------------------------------------}

s_x s_y

1 1

------ = ----------

N 11

Σ x y = 56.025

__ Σ x 6620

X = ------ = ---------- = 601,82

N 11

__ Σ y 77,70

Y = ------ = ---------- = 7,04

N 11

Σ x²

S_{x =} ------------------ - ( X )² =

N

5.086.200

S_{x =} ------------------ - ( 601,82 )² = 316,54

11

S_y= 3,60

r _(x,y) = 0,75

Komentarz : Między dochodami na osobę , a wydatkami na zakup prasy zachodziła bardzo silna korelacja dodatnia co oznaczało, że rosnącym dochodom odpowiadały średnio wyższe wydatki na zakup prasy .

ad. 2 - wyznaczamy współczynnik determinacji :

d = ( 0,57)² x 100 % = 56,25%

i = 100 - 56,25 % = 43,75 %

komentarz : Wydatki na zakup prasy w 56,25% wyjaśnione były dochodami na osobę w rodzinie , natomiast na poziom wydatków na zakup prasy 43,75 % wpłynęły inne zmienne, które w tym badaniu nie wystąpiły

ad. 3 -

y'_{x=min= 240} = a_y +b_{y . 240}

s_{y 3,60}

b_y = r_(x,y) . _{-------- = 0,75 . ------- = 0,0085}

s_x 316,54

__ __

a_y = y - b_y x = 7,04 - 0,0085 . 601,82 = 1,92

y'_x=240 = 1,92 + 0,0085 . 240 = 3,96 y'_x=max=1100 = 11,27 ( obliczenie j.w.)

Obliczyć : x'_y=max , x'_{y=min ( linie muszą się przeciąć)}

_{Obliczyć standardowe błędy oszacowania}

KORELACJA DWÓCH ZMIENNYCH JAKOŚCIOWYCH

1. współczynnik zbieżności φ ( fi) Pearsona

• stosuje się dla dwóch zmiennych jakościowych przy czym każda ze zmiennych posiada tylko dwa warianty, układ tablicy jest czteropolowy

I zmienna	II zmienna		Σ
		1		2
1	a	b	a+b
2	c	d	c+d
Σ	a+c	b+d

N = liczebność zbioru

a . d - b . c

φ = ------------------------------

( a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

φ - przyjmuje wartości - 1 < φ < +1

nie interpretuje się kierunku ( znaku ) przy zmiennej jakościowej tylko siłę związku

2. współczynnik kontyngencji C

• stosuje się do zbadania zależności dwóch zmiennych jakościowych , przy czym jedna ze zmiennych lub obie zmienne mają więcej niż dwa warianty, układ tablicy jest wielopolowy tj. posiada więcej niże 4 pola

n - liczba cząstkowa

I zmienna	II zmienna			Σ
		1	2		3
1	n1,1	n1,2	n1,3	^k=3 Σ =n1,j j=1
2	n2,1	n2,2	n2,3	^k Σ =n2,j j=1
Σ	^2 Σ =ni,1 i=1	^2 Σ =ni,2 i=1	^2 Σ =ni,3 i=1	N

numery wierszy = i= 1,......r

numery kolumn = j = 1,.......k

N - liczebność zbioru

χ²

C = ---------------

χ² + N

χ²( hi) - wartość statystyki ( nie jest liczbą )

χ² = Σ ( n_i,j - n'_i,j)²

n'

n_i,j - liczebności empiryczne i-tego wiersza j-tej kolumny (konkretne wartości n z tablicy)

n'_i,j - liczebności teoretyczne i-tego wiersza

Liczebności teoretyczne - oblicza się w oparciu o sumy brzegowe wierszy , sumy brzegowe kolumn oraz liczebność zbioru

C_s- skorygowany współczynnik kontyngencji

C

C_skor = -----------

C_max ( współczynnik kontyngencji maxymalny)

C_{max r} + C_{max k}

C_max = -----------------------

2

r - 1

C_{max r} = --------

r

k - 1

C_{max k} = --------

k

0 < C_skor < 1 ( nie mówimy o korelacji dodatniej- nie interpretuje się kierunku tylko siłę związku dla zmiennej jakościowej )

Przykład 1 .

Zbadano 1240 osób odwiedzających Urząd Miasta w Koninie w ciągu pierwszego tygodnia marca 2003r.. Wyniki tego badania przedstawiono w tablicy :

Ocena pracy urzędu	wiek odwiedzających urząd		Σ
		młodzi		dojrzali i starsi
pozytywna	610 a	50 b	660
negatywna	200 c	380 d	580
Σ	810	430	1240

Zbadać zależność oceny pracy urzędu od wieku osób korzystających z usług tego urzędu :

a . d - b . c

φ = ------------------------------

( a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

610 . 380 - 50 . 200

φ = ------------------------------ = 0,61 - współczynnik zbieżności

( 660)(580)(810)(430)

Ocena pracy urzędu przez petentów zależy od wieku petentów w stopniu silnym , bo

φ = 0,61 tj. wiek petenta w silnym stopniu decyduje o ocenie pracy urzędu

Przykład 2

Studentów pewnego kierunku AB poddano badaniu w zakresie wyników sesji egzaminacyjnej i metody przygotowania się do sesji , wyniki były następujące :

wynik sesji egzaminacyjnej	metoda nauki			Σ
		przed egzam.	system		brak stałej metody
pozytywny	7 1,1	35 1,2	10 1,3	52
negatywny	16 2,1	5 2,2	6 2,3	27
Σ	23	40	16	79

Zbadać zależność między wynikami sesji egzaminacyjnej a metodą nauki :

χ²

C = ---------------

χ² + N

χ² = Σ ( n_i,j - n'_i,j)²

n'_i,j

nr wierszy i kolumn	ni,j	n'i,j	( ni,j - n'i,j)^2	( ni,j - n'i,j)^2 n'i,j
1,1	7	15,1	-8,1	4,3450
1,2	35	26,3	8,7	2,8779
1,3	10	10,5	-0,5	0,0238
2,1	16	7,9	8,1	8,3051
2,2	5	13,7	-8,7	5,5248
2,3	6	5,5	0,5	0,0455
Σ	79 =	79	0	21,1221

musi = 0

Obliczenie : n'_i,j

n'_1,1 = ( 52x23) : 79 = 15,1

n'_1,2 = ( 52 x 40):79= 26,3

n'_1,3 = ( 52x16):79= 10,5

n'_2,1 = (27x23):79= 7,9

n'_2,2 = (27x40):79= 13,7

n'_2,3= (27x16):79= 5,5

suma n _i,j = sumie n'_i,j suma empirycznych liczebności jest taka sama jak suma liczebności teoretycznych

( 8,1)² : 15,1 = 4,3450

wartość statystyki χ² = 21,1221

χ²

C = --------------- = 0,4593

χ² + N

C 0,4593

C_skor = ----------- = ------------------ = 0,60

C_max 0,7615

Obliczenie :

r - 1 2-1

C_{max r} = -------- = ------------- = 0,707

r 2

k - 1 3 - 1

C_{max k} = -------- = ------------- = 0,816

k 3

współczynnik kontyngencji maxymalny

C_{max r} + C_{max k} 0,707 + 0,816

C_max = ----------------------- = ------------------- = 0,7615

2 2

Komentarz :

Wynik sesji egzaminacyjnej badanej populacji studentów w silnym stopniu zależał od metody przygotowywania się do sesji egzaminacyjnej.

Zastosowanie współczynnika korelacji punktowodwuseryjnej

r_{p bis}

r_{p bis} - stosuje się dla dwóch zmiennych przy czym zmienna jakościowa posiada dwa warianty, natomiast zmienna ilościowa występuje w postaci przedziałów jednowariantowych lub wielowariantowych wariancyjnych

r_{p bis =} x _p - x _{q . p . q}

s_x gdy : p + q = 1

N _p - liczba jednostek wariantu pierwszego

p = -------

N - liczba jednostek całej zbiorowości statystycznej

N _q - liczba jednostek wariantu drugiego

q = -------

N - liczba jednostek całej zbiorowości statystycznej

Przyjmuje wartości z przedziału :

- 1 < r_{p bis} < +1

• nigdy nie interpretujemy kierunku zależności ( tam gdzie pojawia się zmienna jakościowa ) - interpretujemy tylko siłę związku

Przykład 1.

Bezrobotni zarejestrowani w powiatowym urzędzie pracy w miejscowości A w lutym 2003r. wg płci i wieku :

Zbadać zależność pomiędzy wiekiem i płcią bezrobotnych .

Charakterystyka :

zmienna ilościowa x

• przedziały klasowe wielowariantowe wariancyjne

płeć	Wiek ( x)				Σ
		18 - 29	30- 41	42 - 53		54- 65
K (p)	38	53	52	21	164
M (q)	37	41	43	20	141
Σ	75	94	95	41	305
x'( śr.klas)	24	36	48	60
x' . n(p)	24x38=912	36x53=1908	48x52=2496	60x21=1260	6576
x' . n(q)	24x37=888	36x41=1476	48x43=2064	60x20=1200	5628
x'^2	576	1296	2304	3600
x'^2. ni	576x75=43200	1296x94= 121824	23304x95= 218880	3600x41= 147600	531504

N = 305

N _p

p = ------- = 164:305 = 0,54

N

- spełniony jest warunek p+q= 1 ( 0,54 + 0,46)

N _q

q = ------- = 141:305 = 0,46

N




x = (6576+5628) :305 = 40,01






r_{p bis =} x _p - x _{. p . q}

s_x

Σ x' . n (p)


x (p) = --------------------- = 6576:164=40,1

N(p)

Σ x' . n (q)


x (q) = --------------------- = 5628:141= 39,91

N(q)






Σ x²

S_{x =} ------------------ - ( X )² =

N






531504

S_{x =} ------------------ - ( 40,01 )² = 11,91

305









r_{p bis =} x _p - x_{q . p . q = (40,1-39,91):11,91 x 0,54x0,46=0,008}

s_x

komentarz :

W badanej populacji bezrobotnych między płcią a wiekiem zachodziła śladowa ( nieznaczna) korelacja( zależność)

ANALIZA DYNAMIKI

• dotyczy badania zjawiska w czasie

• pokazuje jak zmienia się dana zmienna w czasie

Y - zmienna analizy dynamiki

n - okres badany

o - okres podstawowy ( bazowy)

Mierniki analizy dynamiki :

1. INDEKSY - informują o procentowych zmianach zjawiska w czasie

• jednopodstawowe ( o podstawie stałej „i”_n/o tj. indeks jednopodstawowy okresu

badanego do okresu podstawowego)

Y

i _n/o = -------- . 100 %

Y_o

• łańcuchowy ( o podstawie zmiennej „i”_n/n-1 tj. indeks łańcuchowy okresu badanego

do okresu poprzedzającego okres badany)

Y_n

i _n/n-1 = -------- . 100 %

Y_n-1

i - 100 = (+) tzn. mamy do czynienia ze wzrostem badanej zmiennej Y

i - 100 = (-) tzn. mamy do czynienia ze spadkiem , zmniejszeniem wartości Y

2. ŚREDNIE TEMPO ZMIAN - informuje o zmianach w czasie w ujęciu procentowym w poszczególnych okresach czasu

• można obliczać dwoma sposobami

SPOSÓB 1.

__ Σ log i _n/n-1

log Δ = ---------------

__ N - 1

Δ - średni przyrost

__

średnie tempo zmian T = Δ - 100 = ... % ( procent średniego tempa zmian)

SPOSÓB 2.

Wykorzystujemy wielkości empiryczne dla ostatniego i pierwszego okresu

Y_n

log -----

__ Y₁

log Δ = ---------------

N - 1

Y_n - wartość zmienna w okresie ostatnim zmiennym

Y₁ - wartość zmienna w okresie pierwszym

__

Δ - średni przyrost

___

średnie tempo zmian T = ( Δ - 1) . 100 % = ...% ( średnie tempo procentowe zmian)

Przykład :

Pracujący w gospodarce narodowej w miastach województwa kuj.-pom. w latach 1996-2002 stan na 31.12

lata	pracuj. w tys.	in/o 1996=100	i n/n-1 rok poprzedni=100	log in/n-1
podst. 1996	377,9	100,0	--------------	-------------
1997	385,1	101,9	101,9	2,0082
1998	400,1	105,9	103,9	2,0166
1999	402,9	106,6	100,7	2,0030
2000	401,3	106,2	99,6	1,9983
2001	401,6	106,3	100,1	2,0004
2002	400,2	105,9	99,7	1,99987
Σ				12,0252

Polecenie :

Na podstawie podanych inf. przeprowadzić analizę dynamiki za pomocą indeksów jednopodstawowych przyjmując za podstawę dane z roku 1996 , indeksów łańcuchowych oraz obliczyć średnie roczne tempo zmian poziomu zatrudnienia w miastach woj. kuj. -pom. w latach 1996-2002

Y

i _n/o = -------- . 100 %

Y_o

i _{n/o 1997} - ( 385,1: 377,9)x 100 = 101,9

1. ( 400,1: 377,9)x100 = 105,9

2. ( 402,9 : 377,9) x 100 = 106,6 itd.

Komentarz -


W miastach woj. kuj.-pom. liczba zatrudnionych w latach 1997-2002 był wyższa o : 1,9%, 5,9%, 6,6%, 6,2%, 6,3%, 5,9% w porównaniu z zatrudnionymi w 1996r.

i _n/n-1

Y_n

i _n/n-1 = -------- . 100 %

Y_n-1

1996 - nie możemy obliczyć , bo nie mamy danych z 1995r.

• - ( 385,1: 377,9)x 100% = 101,9

• - ( 400,1 : 385,1)x 100% = 103,9

• - ( 402,9 : 400,1 ) x 100% = 100,7 itd.

Komentarz :

W latach 1997-1999 z roku na rok w miastach woj. kuj.-pom. wzrastała liczba pracujących w gospodarce o : 1,9%, 3,9%, 0,7%.

Natomiast w roku 2000 w porównaniu z rokiem 1999 spadła liczba zatrudnionych o ( 99,6 - 100%) 0,4% z kolei w roku 2001 odnotowano wzrost zatrudnionych w porównaniu z zatrudnieniem roku 2002 o 0,1% , by

w roku 2002 w porównaniu z rokiem poprzednim odnotować spadek zatrudnionych o 0,3%.

SPOSÓB 1.

__ Σ log i _n/n-1

log Δ = --------------- = 12,0252 : (7-1) = 2,0042 ( 7 tj. liczba lat)

N - 1

wykonać działanie odwrotne do log :

__

Δ = 100,97

__

T = ( Δ - 1) . 100 % = 100,97 - 100 = 0,97%

Komentarz :

W miastach woj. kuj.-pom. Liczba pracujących średniorocznie w latach 1996- 2002 wzrastała o 0,97%

SPOSÓB 2

Y_n

log -----

__ Y₁

log Δ = --------------- =( log 400,2:377,9) : (7-1) = 0,0249 :6 = 0,00415

N - 1

__

Δ = 1,0097

__

T = ( Δ - 1) . 100 % = ( 1,0097 - 1) x 100 % = 0,0097 x 100% = 0,97 %

komentarz : j.w.

11

CECHY

CECHY STAŁE :

- właściwości wspólne dla wszystkich jednostek budowanej zbiorowości,

CECHY ZMIENNE

- cechy statystyczne- są to właściwości różniące jednostki między sobą

STAŁE RZECZOWE

( przedmiotowe ) odpowiadają na pytanie : kto ? , co?

jest przedmiotem zbioru , definiują jednostkę w zbiorze

STAŁE CZASOWE

odpowiadają na pytanie : kiedy?

Określają czas, występowanie zbioru

Cecha wspólna dla każdej jednostki zbioru

STAŁE PRZESTRZENNE

( geograficzne)

odpowiadają na pytanie gdzie ? określają miejsce występowania zbioru np. Akad.Bydg. dla każdego studenta

ZMIENNE JAKOŚCIOWE

( niemierzalne)

-właściwości opisane słowem ( nie można ich zważyć, zmierzyć, ani przedstawić za pomocą liczby )

ZMIENNE ILOŚCIOWE

- właściwości wyrażone liczbą , można je zważyć, zmierzyć

JAKOŚCIOWE NOMINALNE -

-opisane słowem w skali nominalnej ( skala najniższego rzędu) np. kierunek kształcenia : administracja , medycyna

-nie występuje hierarchia ważności

JAKOŚCIOWE PORZĄDKOWE

( rangowe) - mają pewien porządek (rangę- skala wyższego rzędu) np. wykształcenie :

- podstawowe,

- zasadnicze zawodowe

- średnie

- wyższe

ILOŚCIOWE SKOKOWE -

-właściwości zmieniające się w sposób skokowy tzn. nie przyjmują wartości pośrednich np. zaliczony rok studiów I, II lub III lub IV itd.

ILOŚCIOWE CIĄGŁE

- właściwości przyjmujące wartości z przedziału liczbowego np. wiek studentów 19-35 , np. wynagrodzeni , koszty itd.

A

B

A

B

---