Mega ściąga z teorii, Szkoła, Semestr 3, Semestr 3, Mechanika techniczna II, chomika od barta, Mechanika techniczna 2


Kinematyka punktu

Ruch - jest to zjawisko zmiany położenia ciała względem innego ciała uznanego umownie za nieruchome.
Nieruchome ciało nazywamy ciałem odniesienia.

Czas - jest w mechanice klasycznej (Newtona) pojęciem pierwotnym i absolutnym.

-Czas nie zależy od wyboru układu odniesienia i jest taki sam w każdym punkcie przestrzeni.

-Przyjmuje się, że czas jest stale nieujemny t Ⴓ 0
i występuje tylko wtedy gdy występuje ruch.

Układ odniesienia - jest to układ współrzędnych sztywno związany z ciałem odniesienia, który służy do opisu ruchu obiektu (-ów).

Tor ruchu punktu - równanie krzywej, po której następuje ruch tego punktu, np.:
y = y(x) y = 3x2 - 6x + 5

1) KINEMATYKA PUNKTU W UKL. Ozyz

Opis ruchu punktu

Matematycznie ruch punktu opisujemy w postaci wektorowej lub skalarnej. Opisy te są równoważne

Równanie wektorowe ruchu: r = r(t)

Równania skalarne w ukł. Oxyz: x=x(t), y=y(t), z=z(t)

Prędkość punktu w Oxyz

0x01 graphic

0x08 graphic

Wektor prędkości:

0x01 graphic

przy czym 0x01 graphic

Wartość prędkości (długość wektora):

0x01 graphic

Elementarna droga po torze:

0x01 graphic

Jeśli znamy s=s(t) to prędkość możemy obliczyć z zależności:

0x01 graphic

Przyspieszenie punktu w Oxyz

0x08 graphic

Wektor przyspieszenia punktu ma na ogół
inny kierunek niż wektor prędkości !

Wektor przyspieszenia i jego współrzędne:

0x01 graphic

Moduł przyspieszenia (długość wektora przyspieszenia):

0x01 graphic

2) KINEMATYKA PUNKTU W UKŁ. NATURALNYM

Założenia:

- Ruch punktu jest dany w postaci:

0x01 graphic

Początek układu współrzędnych jest związany
z ruchomym punktem A na torze. Układ taki nazywamy naturalnym lub trójścianem Freneta (rys nizej)

0x08 graphic
0x01 graphic

A t n b - układ naturalny

t, n, b - zależą od czasu.

t - wersor ściśle styczny,

n - wersor normalny główny,

b - wersor binormalny b=tႴn

Wektory t i n wyznaczają płaszczyznę
ściśle styczną do toru -p.

0x08 graphic
Przyspieszenie punktu w układzie naturalnym

ၲ - promień krzywizny toru w punkcie A

Kinematyka ciała sztywnego (CS)

1)RUCH CS SWOBODNEGO

Ciało sztywne - zbiór punktów, między którymi wzajemne odległości są stałe.

Ruch CS w przestrzeni E3 jest jednoznacznie opisany

za pomocą trzech punktów sztywno związanych z tym ciałem

i nie leżących na jednej prostej.

0x08 graphic
0x01 graphic

Dla trzech punktów: A(xA, yA, zA), B(xB, yB, zB), C(xC, yC, zC)
mamy równania wektorowe ruchu:

0x01 graphic

Liczba stopni swobody c.s.

Zauważmy, że dla CS odległości między p-tami A, B, C są stałe:

0x01 graphic

Liczba stopni swobody CS - liczba niezależnych współrzędnych określających położenie tego ciała.

W przestrzeni E3 CS w ruchu dowolnym posiada:
k=9-3=6 stopni swobody.

Po nałożeniu na ciało sztywne pewnych ograniczeń

ruchu (więzów), zmniejszamy liczbę stopni swobody;

np. w ruchu obrotowym wokół stałej osi CS ma 1 stopień swobody (kąt obrotu wokół tej osi).

Prędkości dwóch dowolnych p-tów CS

0x08 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic

Twierdzenie o prędkościach dwóch dowolnych p-tów CS

Rzuty wektorów prędkości dwóch dowolnych p-tów CS na

prostą łączącą te punkty są sobie równe.

0x08 graphic

Klasyfikacja ruchów ciała sztywnego

Ogólnym przypadkiem ruchu CS jest ruch dowolny (swobodny) względem nieruchomego układu Oxyz

  1. Ruch dowolny CS; k=6

  2. Ruch postępowy CS; k=3

  3. Ruch obrotowy CS wokół stałej osi; k=1

  4. Ruch płaski CS; k=3

  5. Ruch kulisty CS; k=3

2) RUCH DOWOLNY CS

Do opisu tego ruchu wprowadzimy dwa układy odniesienia:

Oxyz - układ stały (nieruchomy),

O1x1y1z1 - układ ruchomy względem Oxyz.

Interpretacja geometryczna ruchu dowolnego:

Ruch p-tu A჎C1 მ ruch bieguna 01 +

+ ruch wokół bieguna 01

Przyspieszenie dowolnego punktu A

0x08 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
- wektor wodzący punktu A w układzie Oxyz.

0x01 graphic
- wektor wodzący punktu A w układzie O1z1y1z1

0x01 graphic
- wektor wodzący bieguna O1 w układzie Oxyz.

Chwilowy ruch obrotowy ciała C1 (Ruch wokół bieguna 01)

Wektor chwilowej prędkości kątowej ciała C1

0x08 graphic

0x01 graphic
- jest wektorem zmieniającym swój

kierunek lecz zawsze leżącym na chwilowej osi obrotu.

Prędkość p-tu A ciała w jego chwilowym

ruchu obrotowym

Torem punktu A jest łuk okręgu o promieniu h.

h=rsina

0x08 graphic

0x08 graphic

0x01 graphic
- wektor prędkości punktu A ciała sztywnego
w chwilowym ruchu obrotowym

Prędkość dowolnego punktu A

0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic

Przyspieszenie dowolnego punktu A

Przyspieszenie punktu A CS względem Oxyz: 0x01 graphic

0x01 graphic

Podstawiamy:

0x01 graphic

0x01 graphic
- wektor przyspieszenia kątowego, [rad/s2]

0x01 graphic

Gdzie:

0x01 graphic
- przysp. bieguna O1 (początku układu O1x1y1z1)
względem Oxyz,

0x01 graphic
- przyspieszenie obrotowe,

0x01 graphic
- przyspieszenie doosiowe (dośrodkowe)

3) RUCH POSTEPOWY CS

Występuje wtedy, kiedy prosta łącząca dwa dowolne p-ty tego ciała przemieszcza się równolegle względem swego położenia początkowego w czasie ruchu.

0x01 graphic

AB||A1B1 r=const

0x01 graphic

Po zróżniczkowaniu:

0x01 graphic
0x01 graphic

W ruchu postępowym wszystkie punkty ciała sztywnego mają takie same wektory prędkości i przyspieszenia i poruszają się po torach przystających.

Wnioski:

*Ruch postępowy CS jest określony jeżeli znamy ruch dowolnego punktu tego ciała.

Równania ruchu dowolnego punktu A ciała:

xA=xA(t), yA=yA(t), zA=zA(t)

*CS w ruchu postępowym ma 3 stopnie swobody.

4) RYCH OBROTOWY CS WZGL. STAŁEJ OSI

Występuje wtedy kiedy jedna prosta związana z tym ciałem jest nieruchoma.

0x01 graphic
0x01 graphic

Każdy punkt ciała sztywnego w ruchu obrotowym porusza się po okręgu, którego płaszczyzna jest prostopadła do osi obrotu

0x01 graphic

Predkość i przyspieszenie kątowe w ruchu obrotowym

0x08 graphic
0x01 graphic

Wektor prędkości kątowej:

0x01 graphic

Wektor przyspieszenia kątowego:

0x01 graphic
0x01 graphic

Wartości prędkości i przyspieszenia:

0x01 graphic

Prędkość i przyspieszenie dowolnego punktu A

Wektor prędkości dowolnego punktu A

0x01 graphic

Wartość (moduł) wektora prędkości dowolnego punktu A:

0x01 graphic

Wektor przyspieszenia dowolnego punktu A

0x01 graphic

Wprowadzamy oznaczenia:

0x01 graphic
Wartość (moduł) wektora przyspieszenia punktu A:

0x01 graphic

Przyspieszenie styczne i dośrodkowe dowolnego punktu A

0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic
Wniosek:

a - nie zależy od wyboru punktu A

Ruch obrotowy jednostajny i jednostajnie zmienny CS

1. Ruch obrotowy jednostajny: w = const,

Równanie ruchu jednostajnego: (t) = w t + 0

2. Ruch obrotowy jednostajnie zmienny: e = const,

Równania ruchu jednostajnie zmiennego:

(t) = t + 0 , (t) = 0.5 e t2 + w0 t + 0

5) RUCH PŁASKI CS

Ruch, w którym wszystkie punkty

tego ciała poruszają się w nieruchomych płaszczyznach

równoległych do pewnej płaszczyzny ၰo - zwanej

płaszczyzną kierującą .

W ruchu płaskim wszystkie punkty CS leżące na prostej l

mają jednakowe prędkości i przyspieszenia oraz poruszają

się po identycznych torach.

Wniosek:

Ruch płaski CS można zastąpić ruchem figury płaskiej F,

pozostającej w czasie ruchu na płaszczyźnie ၰ.

Do opisu położenia tej figury wystarczy wybrać dwa dowolne

punkty A(xA,yA) i B(xB,yB) a więc 4 współrzędne kartezjańskie.

Liczba stopni swobody CS w ruchu płaskim.

Odległość między p-tami A i B jest dla CS stała, czyli

równanie więzów (wzór na odległość między A i B) ma

postać:

d2 =(xA2 - xB2) + (yA2 - yB2) = const.

Liczba stopni swobody: k = 3;

k = 2n - a = 2 2 - 1 = 3;

n =2 Ⴎ liczba punktów (A i B),

a =1 Ⴎ liczba równań więzów;

Równania ruchu płaskiego

Skoro ruch figury F jest opisany za pomocą dwóch dowolnych
punktów A i B sztywno z nią związanych, to ruch tej figury
zastąpimy odcinkiem AB.

Równania ruchu (k = 3):
xA = xA(t), yA = yA(t), = (t);

Prędkość i przyspieszenie kątowe w ruchu płaskim.

0x01 graphic

0x01 graphic

Prędkość dowolnego punktu A

Korzystamy ze wzoru wektorowego na prędkość dowolnego
p-tu CS w ruchu dowolnym

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Chwilowy środek obrotu figury płaskiej

To taki punkt C sztywno związany z figurą płaską F, którego prędkość w danej chwili czasu jest równa zeru.

*Wokół chwil. środka obrotu C ruch trwa nieskończenie krótko.

*Wraz z ruchem CS (figury F ) zmienia się położenie p-tu C. *Jeśli chwilowy środek obrotu C istnieje, to jego prędkość
w danej chwili czasu jest równa zeru: vC = 0 !

chwilowy środek obrotu chwilowy środek prędkości

Wyznaczanie chwilowego środka obrotu0x01 graphic

0x01 graphic

1) prowadzimy prostą p 0x01 graphic

0x01 graphic

2) obieramy C჎p tak aby

0x01 graphic
0x01 graphic

Stąd otrzymujemy:0x01 graphic

Odległość chwilowego środka obrotu C჎p od bieguna A:

0x01 graphic

Zastosowania

0x01 graphic

Przyspieszenie punktu CS w ruchu płaskim

Korzystamy ze wzoru na przysp. punktu CS w ruchu dowolnym0x01 graphic
0x01 graphic

Wzór na przyspieszenie dowolnego p-tu B figury F ma postać:

0x01 graphic

Oznaczenia wektorów składowych:

0x01 graphic

Wartości przyspieszeń składowych:

0x01 graphic

0x01 graphic

DYNAMIKA

RÓWNANIA RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO

1)PRAWA DYNAMIKI NEWTONA

I prawo (bezwładności):
Istnieje układ odniesienia, w którym punkt materialny porusza się bez przyspieszenia (tzn. jednostajnie i prostoliniowo) gdy z zewnątrz nic na niego nie działa.

Wniosek: Siła jest jedyną przyczyną zmiany ruchu punktu materialnego.

Układ inercjalny - układ odniesienia, w którym można
stwierdzić I prawo dynamiki.

0x08 graphic
0x01 graphic
Jeżeli oraz są w czasie ruchu stale równe zeru to układ 0xiyizi jest układem inercjalnym.

II prawo (podstawowe):

W inercjalnym układzie współrzędnych wektor siły
działającej na punkt materialny jest proporcjonalny
do wektora przyspieszenia.

0x01 graphic

m-masa bezwładna (jest równoważna masie grawitacyjnej)

Bezwładność - właściwość obiektu polegająca na przeciwstawianiu się zmianom ruchu tego obiektu.

Dynamiczne równania ruchu w postaci skalarnej mają postać: *W układzie inercjalnym Oxyz:

0x01 graphic

W układzie naturalnym (Freneta):

0x01 graphic

III prawo (akcji i reakcji):

Siły wzajemnego oddziaływania dwóch punktów
materialnych są równe co do wartości, mają przeciwne zwroty i wspólną linię działania.0x01 graphic

III prawo jest słuszne w układach inercjalnych i nieinercjal- nych ponieważ nie zawiera ono pojęć kinematycznych takich jak prędkość lub przyspieszenie.

Zgodnie z III prawem Newtona warunkiem powstania siły jest występowanie co najmniej dwóch ciał.

2) ZADANIE PROSTE I ODWROTNE DYNAMIKI

Zadanie proste:

Dane są równania ruchu np.: x=x(t), y=y(t), z=z(t)
(tzn. lewe strony dynamicznych równań ruchu)

Wyznaczamy współrzędne siły: Fx, Fy, Fz
(tzn. prawe strony dynamicznych równań ruchu)

Zadanie odwrotne:

Dane są siły (współrzędne siły): Fx, Fy, Fz
(tzn. prawe strony dynamicznych równań ruchu);

oraz warunki początkowe ruchu (dla t=0).

Wyznaczamy równania ruchu: x=x(t), y=y(t), z=z(t)
(tzn. lewe strony dynamicznych równań ruchu).

3)RÓWNANIA RUCHU PUNKTU MAT. W UKŁ. NIEINERCJALNYM

Wprowadzamy:

0x01 graphic
0x01 graphic
Na punkt A o masie m działa siła F.

Równanie ruchu p-tu A w układzie stałym (inercjalnym):

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Wektorowe równanie ruchu p-tu A w układzie
nieinercjalnym 01x1y1z1:

0x01 graphic
lub0x01 graphic

Wprowadzono oznaczenia:

0x01 graphic

0x01 graphic
- nazywamy siłami fikcyjnymi (pozornymi),
ponieważ nie są one wynikiem oddziaływań
z innymi obiektami w takim znaczeniu jak siły F.

4)SIŁA BEZWŁADNOŚCI I ZASADA D'Alamberta

Siła bezwładności

Z II prawa dynamiki Newtona:0x01 graphic

Jeżeli wektor -m·a potraktujemy jako pomyślaną siłę, to równanie powyżej możemy rozpatrywać jako warunek równowagi siły F działającej na punkt materialny i siły -m·a

B = -m·a - siła bezwładności (tzw. siła fikcyjna);

II prawo dynamiki można przedstawić jako równanie
równowagi
wypadkowej sił rzeczywistych F i siły
bezwładności B w czasie ruchu punktu. 0x01 graphic

F - wypadkowa sił rzeczywistych (akcji i reakcji),

B - siła bezwładności;

Zasada d'Alamberta

Jeżeli w inercjalnym układzie współrzędnych do wszystkich sił rzeczywistych F1, F2,..., Fn dołączymy

siły bezwładności B1, B2,..., Bn to otrzymany układ sił

spełnia formalnie statyczne warunki równowagi.

lub

Wypadkowa sił rzeczywistych działających na punkt materialny równoważy się w każdej chwili z siłą bezwładności tego punktu.

ZASADY ZMIENNOŚCI W DYNAMICE PUNKTU MATERIALNEGO

1)Pęd punktu materialnego(ilość ruchu PM)

0x01 graphic

0x01 graphic

Moduł wektora pędu: 0x08 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Jednostka pędu:

0x01 graphic

Związek wektora pędu PM z siłą działającą

na ten punkt i z II prawem dynamiki Newtona

0x01 graphic

0x01 graphic

Różniczkowa zasada zmiany wektora pędu:

Pochodna po czasie wektora pędu PM jest równa wektorowi siły działającej na ten punkt.

Różniczkową zasadę zmiany pędu możemy również przedstawić:

0x01 graphic

0x01 graphic
-impuls siły lub popęd (t1ြt2)

0x01 graphic

Całkowa zasada zmiany pędu:

Zmiana wektora pędu w skończonym przedziale czasu (t2-t1)

jest równa impulsowi wektora siły w tym przedziale.

W szczególności, jeśli F = 0:0x01 graphic

Zasada zachowania pędu punktu materialnego:

Jeżeli wypadkowy wektor sił działających na PM
jest równy zeru to wektor pędu jest stały.

Uwaga: w praktyce może mieć miejsce sytuacja, np.:

0x01 graphic
wówczas

0x01 graphic

2)PRACA I MOC SILY, ENERGIA KIN. PM

0x08 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

1[N]თ1[m]=1[J]

Moc siły

0x01 graphic

Pracę wykonaną przez siłę w ciągu jednostki
czasu nazywamy mocą tej siły.Moc oznaczamy przez N

0x01 graphic

Energia kinetyczna i zasada równoważności pracy
i energii kinetycznej

0x01 graphic

0x01 graphic

Energia kinetyczna p.m.: 0x01 graphic

Zasada równoważności:

Zmiana energii kinetycznej PM w skończonym przedziale czasu jest równa sumie prac, które wykonały w tym samym czasie wszystkie siły działające na ten punkt.

Zasada zachowania energii mechanicznej PM

Zasada zachowania jest szczególnym przypadkiem zasady

równoważności pracy i energii kinetycznej PM

*Załóżmy, że w pewnym obszarze przestrzeni ၗ działa pole sił: 0x01 graphic

*Jeśli w każdym punkcie przestrzeni ၗ to takie pole nazywamy jednorodnym. 0x01 graphic

*Jeśli: 0x01 graphic

to takie pole nazywamy potencjalnym.

V=V(x,y,z) - jest potencjałem pola sił lub energią potencjalną PM

*Wtedy pracę L w potencjalnym polu sił przedstawimy:

0x01 graphic

Wniosek:

Praca w potencjalnym polu sił nie zależy od drogi lecz tylko od położenia początkowego i końcowego.

Zasada zachowania energii mechanicznej PM:

Po podstawieniu powyższego wzoru na pracę L do prawej strony wzoru wyrażającego zasadę równoważności pracy i energii kinetycznej otrzymamy: 0x01 graphic

Em = E + V -nazywamy energią mechaniczną

3)KRĘT(MOMENT PĘDU) PM

0x01 graphic
; 0x01 graphic

Zasada zmiany krętu p.m.: 0x01 graphic

Zasada zachowania krętu p.m.: Jeśli M = 0 dla tႳ0 to mamy

0x01 graphic

4)PODSTAWY TEORII MOMENTÓWBEZWŁADNOŚCI

Środek masy i środek ciężkości UPM i CS

Założenia:

*Weźmy pod uwagę układ n punktów materialnych o
masach mi (i=1,...,n)

*Położenie tych punktów w stosunku do punktu
odniesienia O określone jest wektorami ri

0x01 graphic
; 0x01 graphic

Punkt C nazywamy środkiem masy UPM.

Środek masy UPM w układzie Oxyz

0x01 graphic
0x01 graphic

Pojęcie środka masy ma charakter ogólny i może być zastosowane do dowolnego UPM, niezależnie od tego czy układ jest sztywny czy nie, czy jest w ruchu czy w spoczynku oraz czy znajduje się w polu sił.

Środek masy ciała sztywnego ciągłego

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Gęstość CS ciągłego

Gęstość CS dowolnego: 0x01 graphic

Gęstość CS jednorodnego: 0x01 graphic

Gęstość CS dwuwymiarowego: 0x01 graphic

(powłoki, cienkie płyty)

Gęstość CS jednowymiarowego: 0x01 graphic

(pręty, liny, belki)

Środek ciężkości

Na obiekty znajdujące się w polu przyciągania Ziemi, działają siły ciążenia. Siły te zastępujemy wypadkową siłą ciężkości. Przy założeniu, że rozmiary obiektu są małe w porównaniu do rozmiarów Ziemi można siły ciężkości uznać za równoległe i wyznaczyć środek równoległych sił ciężkości. Punkt taki nazywamy środkiem ciężkości obiektu (UPM lub CS).

Środek ciężkości UPM:

0x01 graphic

Ciężar właściwy CS: 0x01 graphic

Środek masy CS jednorodnego

Wzory na środek masy CS upraszczają się gdy mamy do czynienia z ciałem jednorodnym tzn. takim, w którym masa jest rozłożona równomiernie w całej jego objętości.

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Podsumowanie

*Ze wzorów na środek masy wynika, że jego
położenie w jednorodnym CS zależy tylko od
jego geometrii.

Ogólne własności jednorodnego CS:

* Jeżeli ciało ma płaszczyznę symetrii to środek
masy leży na tej płaszczyźnie.

*Jeżeli ciało ma oś symetrii to środek masy leży na
tej osi.

*Jeżeli ciało ma środek symetrii to środek masy
leży w tym środku.

5)MOMENTY STATYCZNE

Momentem statycznym UPM względem płaszczyzny nazywamy sumę iloczynów mas każdego punktu przez ich odległości od tej płaszczyzny.

Np. względem płaszczyzny 0xy:

0x01 graphic

Momenty statyczne a środek masy

Współrzędne środka masy można określić za pomocą momentów statycznych względem płaszczyzn układu Oxyz:

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

6)MOMENTY BEZWŁADNOŚCI

Momenty bezwładności względem płaszczyzn Oxyz

Dla UPM:

0x01 graphic

Dla CS:

0x01 graphic

Momenty bezwładności względem osi 0xyz

Dla UPM: 0x01 graphic

Dla CS:

0x01 graphic

Moment bezwładności względem bieguna 0

Dla UPM: 0x01 graphic

Dla CS: 0x01 graphic

Ważne zależności

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

Momenty dewiacyjne (mieszane) w układzie Oxyz

Dla UPM: 0x01 graphic
Dla CS:0x01 graphic
0x01 graphic
;0x01 graphic

Macierz bezwładności (tensor bezwładności)

I = 0x01 graphic

I - opisuje własności bezwładnościowe CS lub UPM

Moment bezwładności względem dowolnej osi l

l - dowolna prosta przechodząca przez początek układu 0

0x01 graphic

Po przekształceniach moment bezwładności względem osi l wynosi:

0x01 graphic

Osie główne centralne i momenty bezwładności
względem nich

Lokując początek układu współrzędnych w środku masy ciała mamy centralny układ osi Cxyz.

Jeżeli tak zorientujemy w przestrzeni osie układu Cxyz, że
Dxy=Dxz=Dyz=0, to takie osie nazywamy głównymi centralnymi.
Układ takich osi oznaczamy: C123.

Momenty bezwładności względem osi głównych centralnych
oznaczamy odpowiednio: I1, I2, I3 i nazywamy
głównymi centralnymi momentami bezwładności c.s.

Moment bezwładności względem dowolnej osi l, wyrażony
w układzie głównym centralnym C123 ma postać:

0x01 graphic

Momenty bezwładności względem osi równoległych

Twierdzenie Steinera

Moment bezwładności CS względem dowolnej osi l1 jest równy sumie momentu bezwładności względem osi do niej równoległej l przechodzącej przez środek masy tego ciała oraz iloczynu masy ciała i kwadratu odległości między tymi osiami.

0x01 graphic
0x01 graphic

ZASADY ZMIENNOŚCI W DYNAMICE UPM i CS

1)Pęd układu punktów materialnych(pęd główny)

0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic

To jest sumowanie wektorów a więc sumowanie geometryczne

Zasada zmiany pędu głównego:

0x01 graphic

Suma wektorów sił wewnętrznych:

0x01 graphic

Zgodnie z III prawem dynamiki Newtona:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Fz - wektor główny sił zewnętrznych (wektor wypadkowy)

Różniczkowa zasada zmiany pędu głównego:

Pochodna po czasie wektora pędu głównego jest równa wektorowi głównemu sił zewnętrznych działających na UPM.

Podobnie jak dla pojedynczego punktu, można wyprowadzić

całkową zasadę pędu głównego.

Zasada ruchu środka masy UPM

Z równości momentu statycznego środka masy UPM i sumy

momentów statycznych wszystkich punktów tego układu:

0x01 graphic

0x01 graphic

M - całkowita masa u.p.m.

0x01 graphic
- wektor przyspieszenia środka masy UPM

Środek masy u.p.m. porusza się tak jak punkt o masie M pod

wpływem wszystkich sił zewnętrznych działających na ten układ.

2) Praca i energia kinetyczna UPM

0x08 graphic
0x01 graphic
C - środek masy u.p.m

0x01 graphic
;

0x01 graphic
0x01 graphic

Po przekształceniach otrzymujemy (twierdzenie Königa):

0x01 graphic

0x01 graphic
- energia kinetyczna środka masy u.p.m

Ew - energia kinetyczna u.p.m. w jego ruchu względem środka masy C

Twierdzenie Königa:

Energia kinetyczna u.p.m. jest równa sumie energii kinetycznej
jaką miałby p.m. o masie całego układu, poruszający się z prędkością środka masy, oraz energii kinetycznej tegoż układu w jego ruchu względem środka masy.

3)Kręt główny (kręt UPM)

0x01 graphic

0x01 graphic

Zasada zmiany krętu głównego:

0x01 graphic

Z ostatniego równania wynikają następujące równania
na współrzędne wektora krętu w układzie Oxyz:

0x01 graphic

Mx, My, Mz - momenty sił zewnętrznych względem
odpowiednich osi współrzędnych

Jeśli na układ nie działają żadne siły zewnętrzne to
Mx =My= Mz =0. Wówczas ma miejsce zasada zachowania
krętu:0x01 graphic

4)Pęd ciała sztywnego

0x01 graphic

m - masa ciała sztywnego,

Vc - prędkość środka masy c.s.

Zasada zmiany pędu CS

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
- wektor wypadkowy sił zewnętrznych
działających na środek masy c.s.

Zasada zmiany pędu c.s.:
Pochodna względem czasu wektora pędu c.s. jest równa
wektorowi wypadkowemu sił zewnętrznych działającemu
na środek masy tego ciała.

5)Energia kinetyczna CS i praca

0x01 graphic

Energia kinetyczna CS w ruchu dowolnym

0x01 graphic

0x01 graphic

Il=const w ruchu obrotowym wokół stałej osi obrotu.

Energia kinetyczna CS w ruchu postępowym

0x01 graphic

Energia kinetyczna CS w ruchu obrotowym wokół stałej osi:

0x01 graphic

Energia kinetyczna CS w ruchu płaskim:

0x01 graphic

0x01 graphic

6)Kręt (moment pędu) ciała sztywnego

0x08 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Współrzędne wektora krętu w układzie C123:

K1 =I11 ; K2 =I2 2 ; K3 =I3 3

Zasada zmiany wektora krętu CS

0x01 graphic

Kręt CS w ruchu obrotowym wokół stałej osi

Jeśli prosta z jest osią obrotu CS to jego kręt (współrzędna)
wynosi:

0x01 graphic
0x01 graphic

Zasada zmiany kretu

0x01 graphic

Jeśli Mz = 0 to otrzymujemy zasadę zachowania krętu CS:

0x01 graphic

6) Dynamiczne równania ruchu CS

Dynamiczne równania CS w ruchu dowolnym

0x01 graphic

0x01 graphic
- suma sił czynnych i reakcji działających na CS.

Dynamiczne równania CS w ruchu postępowym

0x01 graphic

Wniosek
Ruch postępowy ciała sztywnego jest równoważny
ruchowi punktu.

Ciało sztywne swobodne w ruchu postępowym ma k=3 stopnie swobody (tak jak punkt).

Dynamiczne równania ruchu obrotowego wokół stałej osi.

0x08 graphic
0x01 graphic

l - dowolna stała oś obrotu c.s

C.s. w ruchu obrotowym wokół stałej osi ma k=1 st. swobody

Z zasady zmiany krętu CS dla ruchu obrotowego wokół stałej
osi otrzymamy:

0x01 graphic

0x01 graphic

Stąd dynamiczne równanie ruchu obrotowego wokół dowolnej
stałej osi l :

0x01 graphic

Powyższe równanie nie zależy od sił reakcji w łożyskach lecz tylko od sił czynnych zewnętrznych.

Dwa przypadki wyrównoważenia

1. Wyrównoważenie dynamiczne: RA=RB=0, czyli kiedy oś
obrotu jest jedną z głównych centralnych osi bezwładności,
nazywamy ją wówczas osią swobodną.

2. Wyrównoważenie statyczne: xc=yc=0 ale Dxz 0 i Dyz 0,
oś obrotu jest wtedy osią centralną lecz nie główną.
Reakcje dynamiczne natomiast tworzą parę sił :

0x01 graphic

Wzory pomocnicze przy obliczaniu reakcji dynamicznych

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka