GEODEZJA WYŻSZA

WYKŁAD DLA 3. ROKU GEODEZJI BY DR MAREK PLEWAKO

POWIERZCHNIE ODNIESIENIA

Geoida rzeczywista - fizyczna powierzchnia Ziemi, nie da się przedstawić jej modelem matematycznym, więc nie nadaje się do wykorzystania jako powierzchnia odniesienia.

Powierzchnia odniesienia powinna spełniać następujące warunki:

• powinna przebiegać jak najbliżej geoidy rzeczywistej

• powinna dać się wyrazić wzorami matematycznymi, aby można było prowadzić na niej obliczenia

1. geoida zerowa - przedłużenie średniego poziomu mórz i oceanów pod lądami; jest to powierzchnia ekwipotemcjalna (o stałym potencjale), wyznaczana mechanicznie (średni poziom morza wyznacza się za pomocą mareografów); geoida zerowa jest bardzo skomplikowana matematycznie, nie spełnia więc 2. warunku, służy jednak jako poziom odniesienia w niwelacji precyzyjnej.

b) elipsoida trójosiowa

c) elipsoida dwuosiowa (obrotowa) - powstaje wskutek obrotu elipsy wokół małej osi (bb); przekroje południkowe to elipsy, równoleżnikowe to koła; jest to główna elipsoida w geodezji wyższej.

d) kula - wystarcza w niektórych zagadnieniach - zależy od kryteriów dokładnościowych np.:skali (kartografia małoskalowa)

e) płaszczyzna - styczna w środku obszaru - wystarcza dla małych obszarów

[a, b, c, d, e - kolejne przybliżenia powierzchni Ziemi]

GEOMETRIA ELIPSOIDY OBROTOWEJ

Historia:

- elipsoida Bessela 1841, ulubiona w Niemczech

- elipsoida międzynarodowa Hayforda 1909

- elipsoida Krasowskiego 1940, narzucona dla bloku wschodniego, nadal wykorzystywana w Polsce ze względu na dużą ilość istniejących materiałów opartych na elipsoidzie Krasowskiego

- WGS 84, elipsoida międzynarodowa 1984r.

WSPÓŁRZĘDNE GEODEZYJNE I PROSTOKĄTNE

Równanie elipsy:

po podniesieniu do kwadratu i podstawieniu:

otrzymujemy związek między współrzędnymi XY a BL:

SZEROKOŚĆ GEODEZYJNA, GEOCENTRYCZNA, ZREDUKOWANA.

Związki:

wyprowadza się:

w przybliżeniu:

KRZYWIZNA LINII NA POWIERZCHNI, TWIERDZENIA MEUSNIERA I EULERA.

PROMIENIE KRZYWIZNY GŁÓWNYCH PRZEKROJÓW NORMALNYCH ELIPSOIDY ZIEMSKIEJ (OBROTOWEJ)

Na powierzchni elipsoidy obrotowej głównymi przekrojami normalnymi w dowolnym punkcie są:

- przekrój południkowy (ponieważ zawiera normalną w danym punkcie)

- przekrój poprzeczny, zwany też przekrojem pierwszego wertykału,

ŚREDNI PROMIEŃ KRZYWIZNY W DANYM PUNKCIE

PODSTAWOWE FUNKCJE DLA ELIPSOIDY OBROTOWEJ, W, V.

Z definicji:

Oznaczenie:

Sprawdzenie, który przekrój jest większy:

Więc:

gdy
, czyli na biegunie

WYKŁAD 2 17.10.02

OBLICZENIE DŁUGOŚCI ŁUKU POŁUDNIKA

Wynik rozwinięcia w szereg i całkowania:

Współczynniki
obliczamy dla każdej elipsoidy.

Dla krótkich łuków
można stosować wzór uproszczony:

- średni promień krzywizny dla
. Dokładność tego wzoru
(na naszej szerokości
).

Promień krzywizny przekroju

normalnego sięga do osi figury.

- azymut

- krzywa przekroju normalnego

i
są skośne więc łączymy punkty
i

- kąt między
i tym połączeniem

z tego wzoru wyliczamy przez odwrócenie wzoru

ORIENTACJA ELIPSOIDY WZGLĘDEM GEOIDY. ODCHYLENIA PIONU.

Orientacja elipsoidy względem geoidy na całej jej powierzchni wymaga spełnienia trzech warunków:

• środek geometryczny elipsoidy ma się pokrywać ze środkiem ciężkości geoidy

• płaszczyzny równików obydwu brył mają być co najmniej równoległe do siebie

• suma kwadratów odchyleń wysokościowych między obydwiema powierzchniami powinna wynosić minimum

Tak zorientowane elipsoidy nazywamy ogólną elipsoidą ziemską.

WGS 84 - odstępy geoidy od elipsoidy nie przekraczają na całej ziemi 100m (tzw. anomalia geoidy),

w Krakowie 40m

W lokalnym aspekcie zagadnienia ważne będą inne 3 warunki:

• w punkcie przyłożenia obydwie powierzchnie muszą się stykać

• linia pionu (normalna do geoidy) i normalna do elipsoidy w punkcie przyłożenia mają się pokrywać

• azymut jakiegoś kierunku wychodzącego z punktu przyłożenia na elipsoidzue ma być równy azymutowi tego kierunku na geoidzie

WZAJEMNE PRZEKROJE NORMALNE

Szczególne przypadki:

• jeżeli oba punkty leżą na tym samym południku to obydwie normalne leżą w płaszczyźnie południka, a więc oba przekroje normalne pokrywają się ze sobą i z południkiem

• jeżeli oba punkty leżą na tym samym równoleżniku to przekroje normalne pokrywają się ze sobą ale nie z równoleżnikiem. Na półkuli północnej leżą nad równoleżnikiem a na południowej pod nim.

TRÓJKĄT SFEROIDALNY (NA POWIERZCHNI ELIPSOIDY)

Dla elipsoidy o średnim promieniu obliczonym dla:

A na kuli:

Istnieją wzory:

i podstawiamy:

otrzymujemy:

Więc można małe trójkąty sferoidalne obliczać jak sferyczne, a wynikające z tego błędy będą znacznie mniejsze od dokładności pomiarów.

ROZWIĄZYWANIE MAŁYCH TRÓJKĄTÓW SFERYCZNYCH

1. Metoda Legendre'a

2. Metoda Soldnera (additamentów)

Metoda Legendre'a opiera się na twierdzeniu Legendre'a:

„Mały trójkąt sferyczny można rozwiązać z wielkim przybliżeniem jako trójkąt płaski o tych samych bokach i o kątach zmniejszonych o 1/3 nadmiaru sferycznegio.”

- tutaj przybliżenie i tracimy wyrazy powyżej czwartego rzędu.

Naprawdę powinno być:

Rozszerzone twierdzenie Legendre'a (uwzględnia wyraz czwartego rzędu):

Metoda Soldnera:

Kąt pozostają sferyczne a operacje wykonywane są na bokach:

Wzór sinusowy dla trójkąta sferycznego:

I jego rozwinięcie w szereg Taylora:

oznaczenie:

po zlogarytmowaniu równania *:

jeśli
to:

więc:

ogólnie:

- additament do logarytmu boku

Praktyczne postępowanie:

1. Zmniejszamy bok wyjściowy o jego additament

2. Obliczamy pozostałe logarytmy boków z wzorów sinusowych

3. Do tak wyliczonych logarytmów boków dodajemy additamenty

WYKŁAD 3 24.10.02.

LINIA GEODEZYJNA (ORTODROMA)

Taka krzywa na powierzchni, która:

• jest najkrótszą odległością między dwoma punktami na powierzchni

• gdyby na punkt poruszający się po powierzchni nie działała żadna siła, biegłby on po tej krzywej

• w każdym jej punkcie normalna główna do krzywej jest zarazem normalną do powierzchni w tym punkcie

• płaszczyzna ściśle styczna do krzywej w każdym jej punkcie zawiera normalną do powierzchni w tym punkcie

Na płaszczyźnie ortodroma to linia prosta, na kuli koło wielkie, na walcu każda linia śrubowa (rys.) o dowolnym skoku, na elipsoidzie obrotowej południki tak, równoleżniki nie, inne linie tak, pod warunkiem, że spełniają równanie.

Równanie uwikłane powierzchni:

w teorii powierzchni udowadnia się, że:

(I)

(II)

Dla elipsoidy obrotowej:

liczymy pochodne cząstkowe:

Proporcja z równań (I) i (II):

Całkujemy

Iloczyn promienia równoleżnika i sinusa azymutu linii geodezyjnej jest stały na całej jej długości.

KSZTAŁT LINII GEODEZYJNEJ NA POWIERZCHNI ELIPSOIDY OBROTOWEJ

PRZEBIEG LINII GEODEZYJNEJ WZGLĘDEM WZAJEMNYCH PRZEKROJÓW NORMALNYCH

Dowodzi się, że

PRZENOSZENIE WSPÓŁRZĘDNYCH

Zadanie wprost:

Zadanie odwrotne:

Zadanie przeniesienia współrzędnych dzieli się na 3 działy:

• gdy
  jest małe (do 150km)

• gdy jest średnie (do 800 - 1000km)

• gdy jest dalekie (do 20.000km)

Lub inny podział:

• zadania oparte na metodzie szeregów potęgowych (90%)

• zadania oparte na szeregach geometrycznych

Dokładność:

na ziemi

PRZENIESIENIE WSPÓŁRZĘDNYCH METODĄ SZEREGÓW POTĘGOWYCH

metoda Legendre'a:

itd.

METODA ŚREDNIEJ SZEROKOŚCI GAUSSA

Obieramy punkt pomocniczy
, gdzie:

Jeśli oba te równania raz zsumujemy, a raz odejmiemy, to:

z sumy:

z różnicy:

Ostateczne wzory w podręcznikach.

Rozwiązanie zadania odwrotnego metodą średniej szerokości Gaussa uważa się za najlepsze z istniejących.

METODA SCHREIBERA

(do s= 150km)

METODA KRUGERA

Wymaga obliczeń w dwóch etapach:

• przejście na kulę pomocniczą i dokonanie obliczeń

• powrót na elipsoidę

na kuli:

promień kuli:

Kruger korzysta z szeregu Legendre'a dla kuli znajduje:

METODA CLARKE'A

(dla małych
mniejsze od 30 - 50km)

Łuk południka:

jest nieznane, dlatego traktujemy tę wartość jako przybliżenie

Znając
obliczamy

Metodę tę można stosować w okolicach podbiegunowych, można też stosowa zadania odwrotne, nie potrzeba korzystać z tablic.

PRZENOSZENIE WSPÓŁRZĘDNYCH NA ŚREDNIE I DALEKIE ODLEGŁOŚCI

Na średnie odległości: (800 - 1000km)

Metoda Jordana (na szeregach Legendre'a)

inne metody:

1. met. Bessela

2. H - met. Helmerta

3. L - D - met Levallois

- całka Wallisa

POMIARY STOPNIA - WYZNACZANIE ELEMENTÓW ELIPSOIDY ZIEMSKIEJ METODĄ ASTRONOMICZNO - GEODEZYJNĄ

Redukcja na południk:

Podobnie można wyznaczyć elementy elipsoidy ziemskiej na podstawie równości równoleżników.

ODWZOROWANIA UŻYWANE W POLSKIEJ GEODEZJI

WSPÓŁRZĘDNE IZOMETRYCZNE

Jeżeli dla danej powierzchni będą:

takie, że:

to takie współrzędne
nazywamy izometrycznymi.

Jeżeli

w
to
w obu przypadkach dostanie ten sam przyrost

a) na płaszczyźnie:

to współrzędne izometryczne

b) na kuli

okazuje się, że
nie są współrzędnymi izometrycznymi, zmiana o
jest mnożona przez
a zmiana o
przez
.

Przekształcamy wyrażenie na
:

- współrzędne izometryczne dla kuli

- szerokość izometryczna

- długość izometryczna

dla

c) dla elipsoidy obrotowej

-
nie są współrzędnymi izometrycznymi

- szerokość izometryczna dla elipsoidy obrotowej

Na przykład:

Kula i płaszczyzna - odwzorowanie wiernokątne:

Elipsoida i płaszczyzna:

ODWZOROWANIE GAUSSA - KRUGERA

(zwane w krajach anglosaskich poprzecznym odwzorowaniem Merkatora)

I.
wiernokątnie

II.
wiernokątnie

działamy w zmiennych zespolonych

założenia Gaussa:

1.
- obrazem południka środkowego
jest linia prosta

2.
-
przedstawia wierny obraz południka osiowego, tzn. skala na nim równa się 1

warunki odwzorowawcze:

Funkcję
można rozbijać w szereg Taylora w okolicy części rzeczywistej, przy czym:

Oddzielamy część rzeczywstą od urojonej:

Pierwszy warunek Gaussa
jest spełniony

dla
mamy
, czyli obraz osi
jest osią

Drugi warunek realizuje się poprzez obliczenie pochodnej:

obliczamy

Po podstawieniu pochodnych dostajemy ostateczne wzory Gaussa - Krugera:

długość łuku południka

Zadanie odwrotne w odwzorowaniu Gaussa - Krugera

Dane:

Szukane:

ZBIEŻNOŚĆ POŁUDNIKÓW NA ELIPSOIDZIE

Def.

Kąt zawarty między płaszczyzną południka punktu P a płaszczyzną równoległą do płaszczyzny południka początkowego oznaczamy
i nazywamy zbieżnością południków na elipsoidzie w punkcie P.

Na płaszczyźnie:

- zbieżność południków na płaszczyźnie Gaussa - Krugera

Porównując oba wzory widzimy, że:

SKALA LINIOWA W PUNKCIE P

po przekształceniu

Widać, że:

-
dla wszystkich punktów leżących poza południkiem osiowym

-
dla punktów na południku osiowym (bo
, a więc

II założenie Gaussa)

W odwzorowaniu wiernokątnym skala jest funkcją położenia punktów.

W odwzorowaniu Gaussa - Krugera skala rośnie z kwadratem y. Im dalej od południka osiowego tym jest większa. Inaczej jest blisko równika, inaczej w naszych szerokościach.

REDUKCJE ODWZOROWAWCZE

Redukcje liniowe:

Łuk praktycznie identyfikuje się z cięciwą (linią prostą).

Z wielkości pomierzonych na elipsoidzie uzyskujemy wielkości w odwzorowaniu.

Redukcja dla kierunków i kątów.

W trójkącie jest 6 takich poprawek
, więc:

Odwzorowanie Gaussa - Krugera w strefach 3 stopniowych:

Np.:

ODWZOROWANIE SOLDNERA

W tym odwzorowaniu wykonano wszystkie mapy kopalń z południkiem osiowym Sucha Góra, w okresie międzywojennym wykonano też mapę Warszawy. Odwzorowanie Soldnera nadaje się tylko dla małych obszarów.

jeżeli
leży na wschód od południka centralnego

jeżeli
leży na zachód od południka centralnego

Zadanie wprost
są wzory.

Zadanie odwrotne
.

Odwzorowanie to jest częściowo wiernoodległościowe (tylko południk osiowy i wszystkie igreki), dlatego są zniekształcenia kątów, pól i długości.

różnica kątów (redukcja):

różnica długości (redukcja)

różnica pól

ODWZOROWANIE WIG - QUASI STEREOGRAFICZNE (ROUSSILHE'A)

TRANSFORMACJA WSPÓŁRZĘDNYCH

1. Transformacja afiniczna jest stosowana dla małych obszarów (nie jest wiernokątna) - min. 4 punkty dostosowania.

Jeżeli są 3 punkty wspólne to można przetransformować każdy punkt leżący wewnątrz tzw. trójkąta afinicznego.

Jeżeli obszar jest duży, dzielimy go na trójkąty afiniczne.

Transformacja afiniczna przestrzenna:

2. Przekształcenie rzutowe (używane w fotogrametrii, np. przetwornik, również niewiernokątne), dla małych obszarów o małych deniwelacjach terenu. Jest to przekształcenie płaskie tzn. płaszczyzna w płaszczyznę.

3. Transformacja wiernokątne współrzędnych płaskich.

Po przesunięciu obu układów do pokrycia się można napisać funkcję analityczną zmiennej zespolonej.

Dla małych obszarów można rozwijać funkcję w szeregi:

gdzie:

- wyrażają przesunięcie dlatego można opuścić
przy założeniu nasunięcia obu układów

- wyrażają obrót, skręt i zmianę skali

wobec czego:

Po wymnożeniu i rozdzieleniu części rzeczywistej i urojonej i koniec.

Trzy główne przyczyny wpływają na zmianę wartości g na powierzchni Ziemi:

1. przyśpieszenie odśrodkowe,

2. spłaszczenie Ziemi (odległość od środka masy M),

3. rozkład gęstości mas w skorupie ziemskiej.

Inne przyczyny to czynniki zmienne (przyciąganie Słońca, Księżyca, planet i skład grawimetryczny planet).

Przesunięcie jednorodnej masy kulistej m o dr wbrew sile przyciągania w polu działania siły o masie M wymaga elementarnej pracy dL:

- potencjał siły przyciągania

Potencjał siły odśrodkowej:

Praca wykonana w płaszczyźnie równoleżnika przez siłę odśrodkową f wynosi:

- potencjał siły odśrodkowej

Potencjał siły ciężkości nazywamy funkcją W

( porównaj z równaniem *)

Powierzchnie ekwipotencjalne (jednakowego potencjału):

- geoida, zawiera w sobie powierzchnię mórz i oceanów, przebieg powierzchni ekwipotencjalnych bliska Ziemi jest podobny do elipsoid obrotowych, dwie takie powierzchnie nie stykają się i nie przecinają, przez jeden punkt przechodzi tylko jedna powierzchnia ekwipotencjalna.

przebieg powierzchni ekwipotencjalnych

linie sił ciężkości = linie pionowe

Własność powierzchni ekwipotencjalnej:

- są to powierzchnie obrotowe, gdzie osią obrotu jest oś Ziemi;

- w pobliżu Ziemi są to powierzchnie zamknięte, ciągłe zbliżone do elipsoid obrotowych lub dalej od Ziemi rozciągające się do ∞ powierzchnie walcowe;

- przyspieszenie g jest na powierzchni ekwipotencjalnej najmniejsze na równiku, największe na biegunie;

- gdy g≠0 istnieje tylko jedna normalna linia pionowa do powierzchni ekwipotencjalnej;

- są powierzchniami nierównoległymi, odstępy są większe w pobliżu równika;

- w odległości
zachodzi g'= -c czyli g=0.

Przyśpieszenie siły ciężkości - wzory, pomiary, redukcje.

Wzór Clairaulta.

lub

Wyznaczenie g_a i β:

w n punktach o znanym ϕ wyznaczamy g:

g - wynik pomiaru przyśpieszenia siły ciężkości

γ - oznaczenie przyśpieszenia normalnego, teoretyczne, obliczone ze wzorów typu Clairaulta dla ziemi zregularyzowanej (przyjmując pewien rozkład mas i pewną figurę Ziemi)

np.

- wzór Helmerta (1909r.)

- wzór Cassinis (1936r.)

* wynik pomiaru (g) nie musi zgadzać się z modelem teoretycznym (γ)

Pomiary przyśpieszenia siły ciężkości:

Dzielą się na:

• bezwzględne

• względne

Bezwzględne od dawna były wykonywane wahadłami, w ostatnich trzydziestu latach doszły trzy metody:

1. swobodnego spadku ciała;

2. balistycznego ruchu ciała w aparacie pomiarowym;

3. metoda z wykorzystaniem długiego giętego wahadła.

ad. 1

wahadło fizyczne

Okres:

Okres - to odstęp czasu w jakim wahadło przechodzi przez ustalony punkt toru w tej samej fazie.

Ad. 2

Największe znaczenie ma metoda druga, przeprowadził ja profesor Sakuma w Serve

1970r. ± 0,003 mgala (koło Paryża)

1973r. ± 0,001 mgala

t - czujniki laserowe mierzące momenty czasu

- podlega bezpośredniemu pomiarowi (interferometr laserowy)

W pomiarach względnych potrzebne nam jest nawiązanie do punktów, które wcześniej były wyznaczone metodami bezwzględnymi. Najczęściej wykonuje się te pomiary przy pomocy grawimetrów (przyrządów do pomiaru siły ciężkości). Najdokładniejszy grawimetr to LaCaste - Romberg (od 1930r.) typ G (geodezyjny). W Polsce tworzyło się ciągi grawimetryczne i punkty grawimetryczne (1956 - 1959r. dokładność ±0,2 - 0,3 mgala).

Redukcja pomiarów grawimetrycznych.

1. Redukcja wodnopowietrzna (Redukcja Faye'a)

„+” - tzn. przyspieszenie dla punktów nad

geoidą jest za małe

2. Redukcja Bouguara (Bugie) - uwzględnia masy

`-` - wpływ masy nad geoidą, jest więc za duże przyspieszenie

- gęstość Ziemi pod punktem P

- gęstość średnia Ziemi

3. Redukcja topograficzna - uwzględnia zarówno wzniesienie mas ponad poziom punktu P jak i ich ubytek (zasięg 30 - 40 km)

„t” topografia powoduje, że przyspieszenie jest za małe.

Mapa - sektory

HIPOTEZY IZOSTAZJI

1. Pratt (Hayforda) (1855) „różne gęstości dla różnych wysokości słupów”

2. Airy Heisanen (1856)

Skorupa o mniejszej gęstości SiAl jest zanurzona w podłożu SiMa tym głębiej im jej wzniesienie nad poziom morza jest większe, stąd nazwa „hipoteza korzeni gór”. Gęstość w obrębie słupów jest stała, natomiast zmienne są wysokość słupów, ich masa, głębokość zanurzenia, grubość skorupy.

Anomalie
przyspieszenia siły ciężkości i II twierdzenie Stokes'a

g - wynik pomiaru i redukcji (na geoidę)

- przyspieszenie normalne (teoretyczne) siły ciężkości

- anomalie przyspieszenia siły ciężkości.

wzory wiernokątnego

odwzorowania

płaskiego

transformacja Helmerta ( dla małych obszarów) - wystarczą 2 punkty wspólne -> 4 niewiadome (g_o, h_o, g₁, h₁)

Współrzędne bieguna:
.

Δx, Δy - duże to transformacja Helmerta jest za mało dokładna, dlatego na większych obszarach trzeba mieć więcej niż dwa punkty dostosowania.

4. Transformacja z pasa na pas w odwzorowaniu Gaussa - Kr*gera.

h₂=... g₃, h₃ - odpowiednie

wzory

x₀, y₀ można obliczyć dla danej elipsy.

Tablice Tarczy - Hornocha i Hristowa - są w nich przeliczenia między pasami. Wszystkie tablice zabezpieczają dokładności centymetrowe.

5. Transformacja współrzędnych geodezyjnych (B, L) z jednej elipsy na drugą.

Elipsoida E'	Elipsoida E

„e“ jest inne niż przy z'₁.

przesunięcie współczynniki kierunkowe skale

Transformacja między odwzorowaniami:

GEODEZJA FIZYCZNA ELEMENTÓW

Elementy geodezji dynamicznej.

Prawo Newtona (o wzajemnym przyciąganiu):

Przyspieszenie siły przyciągania, siły ciężkości i odśrodkowej:

- siła przyciągania:

- przyspieszenie siły przyciągania;

- siła odśrodkowa:

F - siła przyciągania ziemskiego

f - siła odśrodkowa

P - siła ciężkości
ρ - promień równoleżnika

υ - prędkość liniowa

ω - prędkość kątowa Ziemi

c - przyspieszenie odśrodkowe.

- siła ciężkości (ciężar)

(*)

Mapy anomalii

II twierdzenie Stokes'a (1849 r.)

(całka po całej Ziemi (0;Π) gdzie: a - promień równika, G - średnia wartość ze wszystkich pomierzonych i zredukowanych wartości
,
- odległość sferyczna między punktem o znanej anomalii
a punktem gdzie wyznaczamy odstęp elipsoidy od geoidy (N), N - odstęp geoidy od elipsoidy,
- anomalie przyspieszenia siły ciężkości,
- funkcja Stokes'a

	0°	10°	30°	60°	90°	120°	180°
	+1,00	+1,21	0,47	-0,90	-1,08	+0,08	0,00

Odchylenie pionu.

- kąt między kierunkiem linii pionu i kierunkiem normalnej do elipsoidy.

z_g - zenit geodezyjny

z_a - zenit astronomiczny

B - biegun geoidy

θ - odchylenie pionu

- składowa południkowa odchylenia pionu

η - składowa w I wertykale odchylenia pionu

ma znak „+” gdy linia pionu odchyla się na północ od normalnej do elipsoidy

ma znak „+” gdy z_a odchyla się na wschód od z_g.

Dla małych rozmiarów trójkąta z_a, z_g, z'

- równanie Laplace'a

Wzory Vehig - Meinesza

Znając anomalie
otrzymamy odchylenia pionu (ich składowe)

NIWELACJA ASTRONOMICZNA

Pozwala wyznaczyć odstępy geoidy od elipsoidy gdy znane są względne odchylenia pionu. W tym celu obserwuje się
na punktach, gdzie B i L znane są z pomiarów geodezyjnych. Mając parami współrzędne na tych samych punktach (astronomiczne i geodezyjne) można obliczyć składowe odchyleń pionów.

- dla skończonych wartości s; na równinach s_i=10 - 20km, w górach s_i=1 - 3km.

Można również wykreślić mapę odstępów n

Można wykreślić też mapę ξ i mapę η.

REDUKCJE NA GEOIDĘ POMIARÓW ASTRONOMICZNO - GEODEZYJNYCH.

1. Redukcje bazy na geoidę.

Pomiary geodezyjne na fizycznej powierzchni Ziemi, gdzie są różne wzniesienia nad geoidą, a obliczeni są na elipsoidzie odniesienia, stąd redukcje w dwóch etapach:

I. na geoidę po liniach pionowych;

II. na elipsoidę po normalnych dla elipsoidy odniesienia.

2. Redukcja szerokości astronomicznych na geoidę.

Przez punkt P na wysokości H nad geoidą poprowadzona jest linia siły ciężkości (wklęsła ku biegunowy) i przecina ona geoidę w punkcie G. Kierunek prostej pionowej w pkt. P różni się od kierunku prostej pionowej w pkt. G. Zatem kąty jakie tworzą te proste z płaszczyzną równika, czyli szerokości ϕ_P , ϕ_G są różne. Wyprowadza się wzór:

dla R=6371km, β=0,0053

Redukcja równa się 0 dla ϕ=90° i ϕ=0° (biegun i równik), ponieważ linie sił są tam proste. Dla ϕ=45° redukcja jest największa, dla H=5830m redukcja wyniosła by 1”.

1” - 30m 0,1” - 3m

3. Redukcje azymutu astronomicznego.

3.1 Redukcja azymutu ze względu na wzniesienie celu ponad geoidę.

S - stanowisko instrumentu (na geoidzie elipsoidy)

P - cel na wysokości H nad geoidą

P' - rzut normalny pkt. P na geoidę

BS, BP' - łuki południków punktów P i S

N_s,N_P - przecięcia normalnych z S i P z osią figury,

normalne s i p są wichrowate.

Prowadząc przez N_s i P płaszczyznę normalną otrzymamy przekrój normalny SP”, którego azymut A'=BSP” jest azymutem zmierzonym. Wyprowadza się :

np. dla H=1km max redukcji wynosi 0,11”.

Ponieważ azymut obarczony jest większymi błędami obserwacyjnymi, to jeśli cel nie był bardzo wysoko często redukcję można zaniedbać.

3.2 Redukcja azymutu ze względu na wzniesienie stanowiska.

P - stanowisko na wysokości H nad geoidą;

P' - rzut punktu P po linii pionu;

P” - rzut punktu P po stycznej do linii pionu;

α - azymut zredukowany;

α' - azymut zmierzony punktu B (kąt pionowy z P)

wtedy:

.

Przeważnie h w sieciach poziomych jest małe i redukcję można zaniedbać. Dodatkowo jeśli celowa znajduje się w płaszczyźnie południka to redukcja równa się 0.

4. Redukcja kątów poziomych na geoidę.

Kąt poziomy jest różnicą azymutów:

, z pominięciem wzniesienia stanowiska.

H_L, H_K - wzniesienia punktów celowych nad geoidą.

NIWELACJA PRECYZYJNA

Systemy wysokościowe precyzyjnej niwelacji geometrycznej.

Zmiana potencjału W o dW wiąże się ze zmianą wysokości H o dh.

czyli

gdzie: W - potencjał siły ciężkości

h - kierunek pionowy zwrócony do zenitu

g - przyspieszenie siły ciężkości

Ciąg niwelacji od punktu O (stacja mareograficzna) do punktu B:

(1)

dla zaobserwowanych dh i g możemy obliczyć całkę (1) tzn. różnicę potencjałów dla zaobserwowanych ciągów

1) wysokość dynamiczna i poprawka dynamiczna zaobserwowanego wzniesienia:

„Wysokością dynamiczną punktu B nazywamy ujemną różnicę potencjału siły ciężkości w rozważanym punkcie i w poziomie morza, podzielona przez normalną wartość przyspieszenia siły ciężkości w poziomie morza dla

-

(2)

dla wzniesienia dynam. Z punktu B nad punktem A otrzymujemy

przechodząc od różniczki dh do przyrostów skończonych otrzymamy:

Jak widać niezbędne są oprócz pomiarów wysokości pomiary g.

Własności wysokości dynamicznych:

1. Wysokości dynamiczne nie zależą od drogi niwelowania.

2. Wysokości dynamiczne punktów tej samej powierzchni poziomej są jednakowe.

2) Wysokość ortometryczna i poprawka ortometryczna zaobserwowanego wzniesienia.

„Wysokością ortometryczną punktu nazywamy jego odległość od geoidy (poziomu morza) mierzona po linii pionowej.”

(4)

- zmienna wartość przyśpieszenia siły ciężkości we wnętrzu Ziemi na odcinku linii pionowej B₀ B

- przeciętna wartość tego przyspieszenia na tej samej linii B₀ B

Różnicę potencjału na geoidzie i punktu B możemy przedstawić jako całkę po linii pionowej od punktu B₀ do B.

(4)=(1)

takie przyjęcie
uniemożliwia dokładne wyznaczenie wysokości ponieważ trzeba znać wartość
w każdym punkcie pionu B₀ B.

Własności wysokości ortometrycznych:

1. Wysokość ortometryczna nie zależy od drogi niwelacji do punktu B i będzie różna dla

różnych punktów tej samej powierzchni ekwipotencjalnej przechodzącej przez punkt B.

nie są równe (W_A i W_B - nie są to dwie równoległe powierzchnie)

Wzniesienie ortometryczne punktu B nad punktem A:

Wzniesienie ortometryczne punktu A nad punktem B:

Ponieważ powierzchnie nie są równoległe
ciąg od A do B

- suma wzniesień ortometrycznych w zamkniętej pętli niwelacyjnej
0

- „rozwartość ciągu”

• teoretyczny błąd zamknięcia ortometrycznego pętli niwelacyjnej związany z pojęciem błędu zamknięcia wynikający z niedokładności pomiarów niwelacyjnych

i=1, 2, ... n - poszczególne stanowiska w ciągu niwelacyjnym między punktami A i B

Poprawka ortometryczna:

1. wzniesienia:
   

poprawka ortometryczna wzniesienia zależy od średniej wysokości ciągu, od średniej szerokości ciągu oraz od ukierunkowania (ϕ_B - ϕ_A)

b) wysokość punktu B:

3) Wysokość normalna (geopotencjalna) i poprawka normalna zaobserwowanego wzniesienia

Wprowadził ją Rosjanin M. S. Mołodieński w latach 40-tych.

Biorąc pod uwagę trudności określenia poprawnych wysokości ortometrycznych i ścisłego wyznaczenia geoidy wynikające z nieznajomości rozkładu mas zakłócających w skorupie ziemskiej M. S. Mołodieński opracował metodę wyznaczenia figury fizycznej powierzchni Ziemi na podstawie obserwowanych tylko na powierzchni Ziemi „wartości potencjału siły ciężkości i jego gradientu „g”.

W metodzie tej rezygnuje się z wyznaczenia geoidy, otrzymuje się natomiast ściśle określona powierzchnię, bliską geoidy tzw. quasigeoidę, od której liczone odległości fizycznej powierzchni Ziemi nazywamy wysokościami normalnymi lub potencjalnymi.

Wysokość normalna w stosunku do wysokości ortometrycznej:

gdzie:
- przeciętna wartość przyśpieszenia normalnego na odcinku B₀'B i może być obliczona ze wzoru:

Wysokości normalne punktów położonych w jednakowych szerokościach geograficznych są równe, ponieważ obliczone
jest funkcją ϕ.
to stałe. Quasigeoida niewiele odbiega od geoidy (maksymalnie w górach 1-2 m), obie powierzchnie pokrywają się na obszarach oceanów i mórz oraz wszędzie tam gdzie
. Na równinach różnice wynoszą kilka centrymetrów.

Jak wyznaczyć geoidę?

dh - przewyższenie zaobserwowane na łatach

gdzie:
- są zredukowane wolnopowietrznie na quasigeoide

- jest anomalią wolnopowietrzną na quasigeoidzie

- wysokość punktu bieżącego linii całkowania (ciągu niwelacyjnego)

Wpływ krzywizny powierzchni ekwipotencjalnej na wyniki niwelacji

- w przypadku niwelowania ze środka wpływ ten jest zaniedbywalny, ale w geodezji nie zawsze niweluje się ze środka.

dla

Refrakcja w niwelacji precyzyjnej (Lallemand)

wg Guy Rusacka

- współczynnik rozszerzalności gazu

- temperatura w ^oC

- gęstość powietrza wyjściowa

- ciśnienie

logarytmuje a następnie różniczkuje ⇒

największy wpływ na zmianę gęstości powietrza ma temperatura

zmiana gęstości

I prawo Lallemanda

„Warstwy powietrza o jednakowej gęstości są równoległe nie do powierzchni ekwipotencjalnej, ale do terenu.”

II prawo Lallemanda

gdzie: a, b, c - stałe

t - temperatura

w - wysokość od Ziemi

„Jeżeli wysokość nad Ziemią zmienia się w postępie geometrycznym to temperatura zmienia się w postępie arytmetycznym.”

- łączy wpływ refrakcji na stanowisku

E_p - wpływ refrakcji na łacie w przód

E_t - wpływ refrakcji na łacie wstecz

gdzie:

s - spadek terenu

t_t - temperatura na łacie wstecz

t_p - temperatura na łacie w przód

Niwelowanie jednego i tego samego odcinka w kierunku przeciwnych nie usunie z wyniku refrakcji.

Wpływ refrakcji wg T. J. Kukkamäki

gdzie: a, b, c - stałe

t - temperatura ^oC

z - wysokość od Ziemi

R - refrakcja

gdzie:

(t₂-t₁) - różnica temperatur w ^oC między wysokościami 0,5m a 2,5m na Lacie 3 metrowej

d - długość celowej w m

h - różnica wysokości wyrażona w pół centymetrach (pomierzona)

γ - stała zależna od stałej c, skomplikowany wzór

Refrakcja ma czasem charakter systematyczny, aby zmniejszyć jej wpływ trzeba skracać długość celowych. W nocy refrakcja jest przeciwnego znaku, ale wartości tylko połowy dziennej. Najkorzystniejsze dla pomiaru są okresy: ranny (1 - 1,5 godziny po wschodzie Słońca) i wieczorny (1 godzina przed zachodem Słońca), wtedy refrakcja ma najmniejszy wpływ.

Różnica między niwelatorem precyzyjnym i niwelatorem technicznym.

1. powiększenie lunety: w precyzyjnym jest większe 40x, 50x, w technicznym 20x, 25x.

2. czułość libeli

3. krzyż nitek: w precyzyjnym

w technicznym

4. układ mechaniczno - optyczny z płytką płaskorównoległą przed obiektywem połączoną z wyskalowaną śrubą mikrometryczną.

Wielkość przesunięcia pionowego można odczytać na bębenku śruby mikrometrycznej. Odczyt w niwelacji precyzyjnej jest sześciocyfrowy: 3 cyfry z łaty i 3 cyfry z bębenka śruby.

Łata do niwelacji precyzyjnej:

Znaki w niwelacji precyzyjnej;

W niwelacji precyzyjnej stosuje się znaki wiekowe osadzone na litych skałach (znaki I i II rzędu), są to tzw. „Pola Staussa”. I dalej są jeszcze 4 rodzaje znaków wysokościowych stabilizuje się je głęboko poniżej strefy zamazania gruntu.

Zasady wykonywania niwelacji precyzyjnej:

Niwelację wykonuję się 2 razy „tam” i dwa razy „z powrotem” na kilku klinach i ze zmianą wysokości osi celowej. Kolejność odczytów powinna być t p p t - program „A” (t- wstecz, p- w przód) t₁ t₂ p₁ p₂ - program „C”

W niwelacji mierzy się temperaturę i ciśnienie oraz rozmierza się dokładnie ruletką odległość od łat do instrumentu z dokładnością do 1 dm

Dawny Zabór Pruski ma punkt zerowy, poziom odniesienia odniesiony do mareografu w Amsterdamie (+11 cm)

W Zaborze Austriackim to średnia z poziomu trzech mórz: Bałtyku, Czarnego i Azowskiego.

Współcześnie poziomem odniesienia jest mareograf w Kronsztadzie.

Błędy niwelacji precyzyjnej:

1. systematyczne

2. przypadkowe lub

1. błędy instrumentalne

-bł. łaty

-bł. instrumentu

2. błędy na stanowisku

- bł. obserwacji

-bł. Obserwatora

Bł. łaty:

-wygięcie pod wpływem wilgotności

- niepionowość spowodowana wadliwą libelą

-zmiana długości łaty pod wpływem temperatury

Bł. instrumentu:

-niepoziomośc nitki poziomej

-nierównoległość osi libeli do osi celowej

-martwy ruch śruby mikrometrycznej

-błędy samej śruby mikrometrycznej

-błędy samej śruby mikrometrycznej

-nierównoległość ścian płytki płaskorównoległej

-bezwładność pęcherzyka i gęstości cieczy

Bł. obserwatora:

-celowanie i nastawianie na ostrość

-doprowadzanie libeli do poziomu

-odczytywanie na łacie lub nastawianie na środek kreski

-błąd w pomiarze odległości instrument - łata

Bł: inne ( ze strony środowiska):

-grunt w którym mamy wbite kliny i osadzamy legistratywy

1. osiadanie instrumentu i łaty

2. wypychanie instrumentu i łat przez sprężysty grunt

3. wpływ wiatru

4. wpływ zmian temperatury na instrument i łaty

5. wibracja czyli drganie powietrza

6. wpływ refrakcji

Ilość stanowisk powinna być parzysta, aby wyeliminować błąd zera łaty.

Wyrównanie sieci niwelacyjnej zazwyczaj metoda pośredniczącą.

Podstawowa sieć pionowa w Polsce.

Początki niwelacji precyzyjnej to druga połowa XIX w.

1867r. Szwajcaria (CH)

1871r. Prusy, Rosja

1874r. Francja

Pierwsze ciągi były wzdłuż linii kolejowej.

1875 - 1894 Austria ok. 3 tys. Punktów z poziomem odniesionym do Triestu.

Były trzy rożne poziomy odniesienia, więc i trzy różne niwelacje po 1918r. Czyli po odzyskaniu niepodległości.

1926 - 1938 - polska sieć niwelacji precyzyjnej z poziomem odniesienia do Amsterdamu, było siedem punktów fundamentalnych 36 oczek, niwelatorem Zeiss-a, z nasadką zawierającą płytkę płaskorównoległą , łaty były inwarowe, ilość linii: 121, średnia odległość między znakami w sieci I rzędu to 1,7 km. Wyrównanie metoda warunkową, długości oczek od czterech do kilkanaście km.

Punkt główny był na ratuszu w Toruniu

1931r. - mareograf w Gdyni (polski);

uzyskiwany błąd to ±1mm/1km podwójnej niwelacji przy błędzie systematycznym ±0,2mm

1945 - 1947r. - inwentaryzacja

do 1952r. - niwelacja o dokładności 1,5mm/1km - 4 400km tej niwelacji z zach i płn

1953 - Konferencja w Sofii odnośnie standardów niwelacji we wszystkich państwach w Europie, zarządziła ona warunki identyczne dla wszystkich:

a - pomiar ze środka z celowa ograniczona do 40m (nie krótsza niż 8m)

b - na czterech klinach ma się odbywać niwelacja

c - obowiązuje podwójna niwelacja tam i z powrotem

d - wysokość celowej nad terenem do 0,5m nie niżej

e - wspólne wyrównanie, duże oczka

f - identyczne typy znaków zalecone do osadzenia

g - system wysokości normalnych i poziom odniesienia „Kronsztad”

Takie podejście korzystne jeśli chodzi o badanie współrzędnych ruchów skorupy ziemskiej.

1953 - 1956r. - robiono w Polsce pomiar sieci niwelacyjnej precyzyjnej uzupełnionej o pomiary niwelacją grawimetryczną. Na terenie kraju realizowano osnowy 1 rzędu dokładność - 1mm/km

1955 - 1959r. - dalsze rzędy osnowy: 2 rzędu (dokładność 2mm/km), 3 rzedu (7mm/km), 4 rzędu (20mm/km).

1971r. - II Konferencja w Sofii - zażądano ponownego pomiaru sieci KDL

1974 - 1979r. - powtórny pomiar 1 rzędu (10 400km linii), około 170 linii o sredniej długości 50 - 60 km, odcinek niwelacji około 1km; stosowano: tppt pttp; średni błąd wyznaczony z odchyłek zamknięć poligonów to ±0,94mm/km; stosowano niwelatory Zeiss Ni 002 i opton Ni 1.

Niwelacja trygonometryczna.

d ± 1mm α ± 3^cc

Inne techniki:

ML - Motorized Levelling

MTL - Motorized Trigonometring Levelling

FL - Food Levelling

BL - Bice Levelling

W ciągu sezonu pomiarowego można wykonać 1 400km ML, a 304km FL, 504km BL.

41

Przekroje: południkowy i równoleżnikowy mają kształt elips. Elipsoida trójosiowa jest dobrym przybliżeniem, jednak jest bardzo skomplikowana matematycznie, więc jest używana tylko w pracach naukowo-badawczych "najwyższej próby".

a

b

c

Spłaszczenie p:
, dla Ziemi

I mimośród e:
,

II mimośród e':

Aby określić elipsoidę obrotową wystarczy znać dwie z następujących wielkości: a, b, p, e², e'²

Oficjalnie
ale właściwie wartość ta znana jest dokładniej (elipsoida WGS 84 - wyznaczona na podstawie badań satelitarnych)

a

b

a

- szerokość geodezyjna

- tangens nachylenia stycznej do osi X

- z równania elipsy

- szerokość geodezyjna

- szerokość geocentryczna

promieniem
zakreślam łuk kołowy i odrzutowuję punkt
prostopadle do równika

- szerokość zredukowana

Krzywa przechodzi przez punkt
i leży na powierzchni, więc można powiedzieć, że powstała przez przecięcie powierzchni z płaszczyzną (a przynajmniej każdy nieskończenie mały element krzywej). Wśród krzywych leżących na powierzchni i przechodzących przez punkt
można wyróżnić:

1° - krzywe powstałe przez przecięcie płaszczyznami zawierającymi normalną do powierzchni w tym punkcie (tzw. przekroje normalne)

2° - wszystkie inne krzywe to przekroje skośne

Twierdzenie Meusniera: promień krzywizny przekroju skośnego równa się rzutowi na płaszczyznę ściśle styczną tego przekroju promienia krzywizny przekroju normalnego przechodzącego przez styczną do przekroju skośnego.

- kąt, pod którym się rzuca

Twierdzenie Eulera. Euler zauważył, że dwa przekroje normalne mają ekstremalną krzywiznę. Nazwał je przekrojami minimalnym (
) i maksymalnym (
). Są one wzajemnie prostopadłe, a wszystkie inne mają promień krzywizny z tego przedziału. W dodatku każdy z pozostałych przekrojów:

- kąt między obliczanym przekrojem normalnym
a promieniem krzywizny o minimalnej wartości
.

- promień krzywizny przekroju normalnego

Równoleżnik jest przekrojem skośnym (oprócz równika).

Przekrój poprzeczny leży w płaszczyźnie prostopadłej do kartki, a przekrój południkowy w płaszczyźnie kartki.

- promień krzywizny przekroju południkowego (jest przekrojem minimalnym)

- promień pierwszego wertykału

Rzucamy na płaszczyznę równoleżnika:

.
- elipsoida lokalna

- geoida

- elipsoida obrotowa

- normalna do elipsoidy lokalnej

- normalna do elipsoidy obrotowej

- względne odchylenie pionu

- bezwzględne odchylenie pionu

Odchylenie pionu w Krakowie: kilka sekund (w ogóle kilkadziesiąt sekund, a w najwyższych górach nawet minuta).

OBLICZENIE DŁUGOŚCI ŁUKU DOWOLNEGO PRZEKROJU NORMALNEGO

- łuk równoleżnika - łuk kołowy

OBLICZENIE DŁUGOŚCI ŁUKU RÓWNOLEŻNIKA

Jest to wzór ścisły umożliwiający obliczenie długości łuku południka o dowolnej długości. Ponieważ jednak jest to całka eliptyczna niemożliwa do przedstawienia funkcjami elementarnymi, dlatego obliczamy ją rozwijając funkcję podcałkową w szereg i całkując wyraz po wyrazie. Rozwiązanie jest tym dokładniejsze im więcej wyrazów całkujemy.

Dwoistość przekrojów normalnych:

- przekrój wprost

- przekrój odwrotny

- skośne

nie leżą na tym samym południku ani

równoleżniku

N

S

równoleżnik

przekrój normalny

przekrój normalny

równoleżnik

Dowodzi się, że

- największy rozstęp liniowy

- średnia azymutów

- długość przekroju normalnego

-łączymy wzajemnymi przekrojami normalnymi

A

B

C

c a

b

B'

A' C'

c a

b

*

- additamenty liniowe, które oznaczamy:

additamenty boków logarytmiczne

ortodroma

normalna do krzywej

równanie parametryczne krzywej na powierzchni

normalna do powierzchni

Kawałek krzywej

rzutujemy na płaszczyznę
i otrzymujemy

Element pola:

równanie Clairaut

- szerokość zredukowana

- duża półoś elipsoidy inna postać równania

- południki linie

- równik geodezyjne

równoleżniki nie spełniają 1., 3. i 4. definicji...

szukane:

,

+ wyrazy małe drugiego rzędu

- wyrazy małe drugiego rzędu

Dane:

Szukane:

- obliczamy z twierdzenia sinusów w tym trójkącie

.

ortodroma

równoleżnik

obliczone

.

bo jest to mały kąt

mały kąt

.

dł. łuku w Peru

dł. łuku w Laponii

2 równania z 2 niewiadomymi:

to

nowa wsp. izom. ozn.

ozn.

odwzorowanie Merkatora dla kuli

odwzorowanie Merkatora dla elipsoidy zwane też odwzorowaniem Gaussa

- długość pewnego południka środkowego

te wzory różnią się wyrazami trzeciego rzędu

- redukcja długości

szczeciński

8°

bydgoski

18°

warszawski

21°

białostocki

24°

- soldnerowska zbieżność południków

azymut

geodezyjny

azymut

soldnerowski

G' B' D'

F' A' C'

G B D

F A C

Wiedeń Bielsko - Biała Lwów

Lwów

WCI 4000 OCII OCIII X

Y

mapy katastralne:

1:2880

w małych miastach 1:1440

1:2000

skala 0,9995

184km

22°E

52°N

koło bez zniekształceń

układ pierwotny (stary)

układ wtórny (nowy)

6 niewiadomych - 3 punkty wspólne

12 niewiadomych - 4 punkty wspólne

8 niewiadomych - 4 punkty wspólne nie leżące na jednej prostej

układ pierwotny

układ wtórny

- łuk od

Kąty zachowują się między krzywymi na elipsoidzie i kuli, a nas interesują kąty między prostymi na płaszczyźnie.

r

m

dr

∞

M

100m

ΔH_biegun

ΔH_równik

45^o

Ziemia

P

prosta pionowa (pion)

P

linia pionowa

prosta pionowa jest tylko styczną

do zakrzywionej linii pionowej

g=0

R

przyśpieszenie

na Ziemi

w punkcie

pod szerokością

geograficzną

przyśpieszenie

siły

ciężkości

na równiku

spłaszczenie grawimetryczne

na biegunie

n równań dla 2 niewiadomych (g_a i β)

ϕ

g

C

B

A

l

+α

-α

C

B

A

klosz próżniowy

t₁

t₂

t₃

t₄

S₁

S₂

pow. Ziemi

R

geoida

g

g₀

H

P

H

P'

100 - 110 km

powierzchnia izostatyczna (równowaga hydrostatyczna)

100 - 110 km

powierzchnia izostatyczna (równowaga hydrostatyczna)

SiAl

SiMa

y₀

x₀

x₀'

P₀ (x₀', y₀')

γ₀'

γ₀

m

M

R

Ziemia

F

f

P

ρ

oś obrotu

N

ν₂

ν₃

θ

A

S

N

90°-B

z'

η

z_o

A

θ

90°-ϕ

z_a

λ-L

B

ξ

Θ'

geoida

elipsoida

N₁

N₂

normalna do elipsoidy

normalna do geoidy

ds

-10km

P

b'

K

H

H_P

H_K

Powierzchnia fizyczna

geoida - kula

elipsoida obrotowa

N

P₀

pion

K₀

K

P

b

b'

pion

P'

K'

Θ₁

Θ₂

redukcja ze względu na odchylenie pionu

redukcja bazy z geoidy na elipsoidę

redukcja bazy na geoidę

geoida

ϕ_G

ϕ_P

G

H

P

linia pionowa lekko zakrzywiona

styczna do zakrzywionej linii pionu

P

A

A'

N_s

N_P

P'

P”

H

S

B””

normalna w pkt. P

linia pionu

(zakrzywiona)

prosta styczna

geoida

pow. ekwipotencjalna

H

α'

α

B

P'

P”

P

P'_L

P'_K

K'

S'

K

P_L

P_K

S

Kąt poziomy (wszystkie punkty nad geoidą)

Rzut na geoidę

W=W_i

W=W_B

B

g

dh

W=W_i+dW

W=W_A

W=W₀

potencjał

A

poziom geoidy

zaobserwowane przewyższenie

poprawka dynamiczna

do wielkości pomierzonych

W=W_B

A'

B

dh

W=W_i+dW

g

H_B^ortom

W=W_i

B'

A

W=W_A

A₀

geoida

B₀

W=W_A

W=W₀

0

quasigeoida

W=W_B

B

A

B'

B'₀

geoida

A'

B''₀

C

D

B

E

A

H_A^norm

H_B^norm

H_C^norm

H_D^norm

H_E^norm

normalne

quasigeoida

geoida

poprawka normalna

d

warstwy gęstości pow.

równoległe do terenu

pow.

ekwipotencjalna

₂

₁

łata wstecz

łata w przód

E_t

E_p

służy do naprowadzania kreski podziału miedzy te dwa wąsy

kreska podziału łaty

taśma inwarowa z naniesionym podziałem

5mm - kreska

5mm - odstęp

3m

Zakres mikrometru pozwala na odczyt tylko jednej kreski podziału, podział może być główny i kontrolny przysunięty o pewną stałą wielkość.

d₁≈d₂ ± 0,1m

d < 35m

d₁

d₂

nogi statywu na stanowiskach

2-3m

---