POLITECHNIKA WROCŁAWSKA
LABORATORIUM TEORII OBWODÓW
Ć W I C Z E N I E 12
PRZEKSZTAŁCENIE CAŁKOWE FOURIERA
WYKONAŁ: Grzegorz Franikowski
Marek Szczerek
Grupa 7
Termin ćwiczeń: czwartek 8.30 - 10.45
97.10.16
PROWADZĄCY: dr J. Matacz
Celem ćwiczenia jest:
wyznaczenie ch-ki jednostkowej k(t) na podstawie ch-ki widmowej H(jω),
obserwacja zmiany kształtu odpowiedzi impulsowej w zależności od szerokości pasma filtru dolnoprzepustowego o regulowanej szerokości pasma przepustowego.
Wstęp teoretyczny.
Funkcja transmitacyjna H(s) określa wszystkie własności transmitancje układu przy dowolnym pobudzeniu i zerowych warunkach początkowych.
Ch-kę częstotliwościową układu ściśle stabilnego może być zapisana w postaci:
H(jω) = A(ω) ej θ(ω) = V(ω) + jX(ω).
W szczególności możliwe jest wyznaczenie ch-ki jednostkowej kH(t) na podstawie rzeczywistej ch-ki widmowej V(ω).
Wykorzystana w ćwiczeniu metoda wyznaczania odpowiedzi jednostkowej układu na podstawie aproksymacji rzeczywistej ch-ki widmowej opracowana została przez Sołodownikowa. Istota wspomnianej metody polega na graficznej aproksymacji ch-ki V(ω). Jeżeli V(ω) rozłoży się na trapezy otrzyma się:
, gdzie
Aproksymację należy przeprowadzić w taki sposób, aby pola pod krzywą rzeczywistą i wynikającą z aproksymacji były w przybliżeniu równe przy identycznych wartościach maksymalnych funkcji aproksymowanej i aproksymującej.
Z własności przekształcenia Fouriera wynika, że:
Oznacza to, że zmianie skali na osi czasu odpowiada odwrotna zmiana skali częstotliwości. Im mniejsza częstotliwość graniczna filtru, tym dłuższy czas narastania odpowiedzi impulsowej.
1. Pomiar rzeczywistej charakterystyki widmowej filtru wg schematu:
Przełączniki ustawione były w następujące położenia: 1A 2A 3A 4A.
Wyniki zostały przedstawione na rys.1
2. Na podstawie ch-ki widmowej dokonaliśmy aproksymacji przebiegu przy pomocy trapezów. Charakterystyczne wielkości roi, ωoi, ωdi przedstawia poniższa tabelka:
roi |
fdi [kHz] |
foi [kHz] |
Hi= fdi/foi |
1,58 |
0,70 |
1,81 |
0,386 |
-1,49 |
2,21 |
4,45 |
0,496 |
0,76 |
4,69 |
5,03 |
0,932 |
-0,14 |
5,45 |
6,27 |
0,869 |
3. Na podstawie powyższych wartości program komputerowy wyznaczył ch-kę jednostkową filtru kH(t), która jest przedstawiona na wydruku komputerowym jako rys.3.
4. Tę samą ch-kę jednostkową odczytaliśmy z ekranu oscyloskopu - rys.2.
5. Zmieniając szerokość pasma filtru, obserwowaliśmy na ekranie oscyloskopu kształty charakterystyk jednostkowych.
a) pierwsza zmiana szerokości pasma, po zmianie położenia przełączników wg układu (rys.4): 1B 2B 3B 4B
b) druga zmiana szerokości pasma, po zmianie położenia przełączników wg układu (rys.5): 1C 2C 3C 4C
Dla tych dwóch przebiegów wyznaczyłem czasy narastania - tj. czas, w którym odpowiedź jednostkowa wzrasta z wartości 10% do 90% wartości maksymalnej.
Wynoszą one odpowiednio:
- dla przebiegu z rys.4 czas narastania tn = 0,09 [ms],
- dla przebiegu z rys.5 czas narastania tn = 0,16 [ms];
Na podstawie otrzymanych czasów narastania obliczyłem częstotliwość graniczną wg wzoru: , gdzie
f - częstotliwość przy, której dokonaliśmy pomiar, f = 80 [Hz]
Tak więc częstotliwości graniczne wynoszą odpowiednio:
- dla tn = 0,09 [ms], fgr = 888,88 [Hz];
- dla tn = 0,16 [ms], fgr = 500 [Hz];
6. Zwiększając częstotliwość powtarzania impulsów obserwowaliśmy zmiany odpowiedzi filtru na pobudzenie falą prostokątną.
Gdy zwiększaliśmy częstotliwość generowanych impulsów prostokątnych zaobserwowaliśmy na ekranie oscyloskopu skracanie się impulsów. Miało to miejsce do częstotliwości f = 600 [Hz]. Przebieg ten przedstawia rys.6.
Następnie zanikały kolejne harmoniczne do częstotliwości f = 1,1 [kHz]. Przebieg ten przedstawia rys.7.
Przy częstotliwości f = 1,5 [kHz] zaobserwowaliśmy zwiększenie się amplitudy sygnału. Przebieg ten przedstawia rys.8.
Dla częstotliwości f = 1,9 [kHz] przebieg na wyjściu filtru był już praktycznie sinusoidą. Przebieg ten przedstawia rys.9.
Wnioski.
Zmierzyliśmy charakterystykę widmową filtru V(ω). Pomiary staraliśmy się przeprowadzić z dużą dokładnością, dzięki czemu udało nam się później aproksymować ten przebieg przy pomocy trapezów. Widać, iż wykres na wydruku komputerowym prawie dokładnie pokrywa się z przebiegiem przerysowanym z ekranu oscyloskopu. Różnice są małe, tak więc można je praktycznie uznać za spowodowane przez błędny odczyt wartości z oscyloskopu
W miarę wzrostu częstotliwości generowania impulsów mogliśmy zauważyć zanikanie kolejnych składowych. Ponieważ filtr ma pewne określone pasmo, zatem musi wytłumiać harmoniczne powyżej swojej częstotliwości granicznej. Dla niskich częstotliwości ma to niewielkie znaczenie, gdyż układ przeniesie wystarczająco wiele składowych dla dokładnego odwzorowania przebiegu. Jednak dla wyższych częstotliwości może się zdarzyć, iż już np. trzecia składowa zostanie całkowicie wytłumiona, co z pewnością spowoduje duże zniekształcenie sygnału. W trakcie pomiarów zaobserwowaliśmy, iż dla f = 1,9 kHz przebieg był już praktycznie sinusoidalny).
Przy zmianie szerokości pasma filtru otrzymaliśmy dwa przebiegi, dla których wyznaczyliśmy czasy narastania i częstotliwości graniczne. Dla mniejszego czasu narastania otrzymujemy większą częstotliwość graniczną. Jest to poprawne, ponieważ im szybciej sygnał osiąga wartość ustaloną, tym szybciej może się zmieniać. Gdy sygnał zmienia się zbyt szybko, to przebieg sygnału na wyjściu układu może być zupełnie różny od przebiegu dla niskich częstotliwości.
Grzegorz Franikowski
PROBLEMY DO OPRACOWANIA
Realizowalność układu - kryterium Paleya-Wienera.
Twierdzenie Paleya-Wienera mówi, iż układ jest realizowalny wtedy, gdy
Przykład zastosowania:
Sprawdźmy, czy istnieje układ o A(ω)=e-a|ω|.
Oznacza to, iż układ o takiej charakterystyce A(ω) nie istnieje.