RÓWNANIA NAVIERA STOCKESA (+ WARUNEK STOKES'A):

Dla płynów mamy równania:

a) rów. ciągłości:

b) rów. ruchu:

c) rów. konstytutywne Stokes'a:

warunek Stokes'a:

d) rów. energii:

e) kinematyczne równanie stanu: p=p(ρ,T)

f) kaloryczne równanie stanu: ζ=ζ(ρ,T)

g) przewodność cieplna:

h) rów. przewodnictwa:

1) dla płynu ściśliwego:

2) dla płynu nieściśliwego:

Niewia	σij	Vi	hi	ρ	T	ξ	Vij
Liczba	6	3	3	1	1	1	6

RÓWNANIA KONSTYTUTYWNE:

- łączą odkształcenia z naprężeniami dla liniowego zakresu ciała sprężystego

- wyrażają fizyczne (mech.) własności materiałowe

- liniowe ciało sprężyste stałe

- liniowy lepki płyn

Założenia:

- liniowa sprężystość - mała deformacja

Wtedy różnica pomiędzy opisem Lagrangea i Eulera jest pomijalna:

Uogólnione prawo Hooke'a

Tensor współczynników sprężystości C_ijkm ma 3⁴=81 współrzędnych. Symetryczność tensorów
i
pozwala zmniejszyć liczbę współrzędnych tensora

Zmiana zapisu na wygodniejszy:

;
;
;

;

analogicznie jest dla

Ciała izotropowe:

Tensor
musi być tensorem izotropowym czwartego rzędu. Każde odkształcenie ortogonalne tego tensora nie zmienia wartości jego współrzędnych. Można zapisać:

- skalary

z powodu symetrii mamy:

Po rozwiązaniu otrzymujemy: β = -β → β=0

; μ = G

otrzymujemy:

Wstawiamy własności delty Kronecker'a

Ciało izotropowe:

λ, μ - stałe Lamego

Zależność odwrotna, po przekształceniach matemat.:

Znana postać prawa Hooke'a

, gdzie:

E - moduł Younga ; ν - liczba Poissona

;

Moduł Kirchoffa:
;

Moduł sprężystości objętościowej:

Dla Ciała izotropowego i liniowo sprężystego główne kierunki naprężeń i odkształceń pokrywają się.

MODELE CIAŁ STAŁYCH:

Model Maxwela (lepko sprężysty):

F=k(u-u1) ; ; ;

Model Voighta (ciało stałe):

Standardowy model ciała (Kelwina):

α1, α2, ER - stałe materiałowe funkcje płynięcia

Funkcja płynięcia: Odpowiedz modeli na skokowy przyrost siły
(odpowiedź przemieszczenie), siła jest skokiem jednostkowym

MAXWELL (pł)	VOIGHT (pł)
STANDARD (pł)	STANDARD (RELAKSACJA)
	ER- relaksacyjny moduł sprężystości - czas relaksacji - czas płynięcia

Funkcja relaksacji: odpowiedź modeli na skokowy przyrost przemieszczenia (odpowiedzią jest siła), skok jednostkowy

MAXWELL (rel)	VOIGHT (rel)

PŁASKI STAN NAPRĘŻEŃ (dla ciał cienkich płaskich):

Założenia

Pozostają

i,j=1,2

1. równanie równowagi:

2. równanie deformacji:

3. równania Hook'a (równ. wyjściowe):

4. równanie zgodności

PŁASKI STAN DEFORMACJI (dla ciał cylindrycznych pryzmatycznych długich obciążonych poprzecznie):

X2 X1 X3

Założenia:
i

1. równ. równowagi:

2. równ. deformacji:

3. równ. Hooke'a:

4. Podstawienia do równania równowagi (Navier'a-Stokes'a):

DEFORMACJA, ODKSZTAŁCENIA (Miary odkształceń):

- tensor gradientu odkształceń

Zależności odwrotne:

Miary odkształcenia:

różnica kwadratów odległości punktów przed i po odkształceniu.

Zał. symbol Kronecker'a

TENSORY:

a) tensor Greena:

Tensor odkszt. Greena:

b) tensor Lagrange'a:

Tensor Lagrange'a odkszt. skończonych:

Tensor odkszt. Lagrange'a:

- tensor jednostkowy zależności

zapis w Eulerze:

c) tensor Cauchy'ego:

d) tensor odkształceń Eulera:

Tensor Eulera odkszt. skończonych:

- wszystkie tensory są symetryczne.

Linearyzacja:

Gdy odkształcenia są małe to można pominąć wielkości drugiego rzędu. Mamy do czynienia z tzw. infitezymalnym (nieskończenie małym) tensorem odkształceń:

;
;

Interpolacja geometryczna:

- współrzędna jednost wektora
w kierunku

po linearyzacji:

zakładamy że przemieszczenia są prostopadłe czyli

gdzie
-tensor Eulera

Odkształcenie liniowe jest niewielkie:

czyli:

Odkształcenia płaskie:

1) wydłużenie w kierunku osi x1 x2 U1 dx2 dx1 x1	U2=0
2) skrócenie w kierunku osi x1 x2 U1 dx2 dx1 x1
3) czyste odkształcenie postaciowe x2 dx2 dx1 x1
x2 dx2 dx1 x1	brak odkształceń liniowych

Pola prędkości:

dx P P'

Rozkładamy gradient na część symetryczną i antysymetryczną:

Składowa prędkości:

Wektor prędkości obrotowej

Gdy
znamy obrót z prędkością
jak ciała sztywnego

Równania zgodności:

Rozważamy płaski układ deformacji

dzielimy obustr. przez

dzielimy obustr. przez

dzielimy obustr. przez

1)
2)

3)

Warunki zgodności:

warunki dla płaskiego

Warunki równowagi dla ciała:

x3 dS dV x2 x1

Ciało o objętości V. Na element dV działają siły masowe
. Na element powierzchni ds. działają siły powierzchniowe

Pęd ciała w kierunku osi I:
, i=1, 2, 3

S - zamknięta powierzchnia ograniczająca

V - objętość

Z twierdzenia Gaussa:

przy czym:

Równanie ciągłości:

dla t=0,
, jeżeli m=const to

to
,

gdzie:

Jeżeli ciało nieściśliwe to w układzie materialnym w każdym punkcie ρ=const to

Pochodna materialna całki objętościowej:

→

dla A=const

tw. Gaussa →

MES

Ciało o nieskończonej ilości punktów zamieniamy na skończoną liczbę Esów. Każdy element skończony zbudowany jest ze ścian, krawędzi i wierzchołków (więzów). Mamy skończoną liczbę elementów. Przemieszczenia nieskończonej ilości punktów uzależniamy od przemieszczeń skończonej liczby Esów które zależą od przemieszczeń swoich więzów.

- więzy mają swoja numerację

Procedura MES:

a) wybór równania przemieszczeń w celu wyznaczenia macierzy K,M

b) rozwiązanie układu równań liniowych - otrzymanie przemieszczenia węzłów

c) obliczenia deformacji i naprężeń

Zad.1

Wyznaczyć:

1. trajektorię cząstki X (1,2,1)

2. prędkość i przyspieszenie tej cząstki dla t=2s

ad. A)

X (1,2,1)

ad. B)

Zad. 2.

Odwrócić równania ruchu i obliczyć współrzędne prędkości i przyspieszenia dla
i t=2s

Zad. 3

Dany jest ruch w opisie Lagrenge'a. Przejść do Eulera.

Zad. 4

Obliczyć prędk. i przyspiesz zadania 3 w zapisie Eulera.

Lagrange:

Eulera

Zad. 5

Określ pole prędkości w układzie Eulera i pochodną substancjalną temperatury

---