Suma geometryczna, wypadkowa i wektor główny - geometryczne przedstawienie.

Suma geometryczna.

UWAGA!!! Plan sił rysujemy zawsze z zachowaniem skali.

- suma geometryczna

Aby uzyskać sumę geometryczną sił należy zbudować wielobok sił, w którym wektory sił odkładamy równolegle do ich lini działania traktując jako wektory swobodna, dodając kolejno do siebie.

Siła wypadkowa - jest to suma geometryczna wszystkich sił układu posiadająca określoną linię działania na planie sił ( ma zastąpić siły działające ).

Wielobok sznurowy.

1, 2, 3, 4 - promienie

- wypadkowa

W celu znalezienia wypadkowej na wieloboku sił wybieramy dowolny punkt O. Wyznaczamy sumę geometryczną, początki i końce sił łączymy z punktem zero. Korzystamy z twierdzenia o trzech siłach, promień 1 przenosimy na plan sił tak aby przecinał linie działania siłę
, w punkty w którym promień 1 przecina siłę
przykładamy promień 2 ( tak aby jednocześnie przecinał siłę
), a w punkcie w którym ten promień przecina siłę
przykładamy promień 3 tak aby przecinał siłę
i tak dalej. W punkcie przecięcia promienia 2 i 3 otrzymujemy punkt przyłożenia wypadkowej.

Wektor główny - jest równy sumie geometrycznej wszystkich sił układu działających w biegunie redukcji.

-	TA SAMA WARTOŚĆ
SUMA GEOMETRYCZNA	NIE MA UMIEJSCOWIONEGO POŁOŻENIA DZIAŁANIA
SIŁA WYPADKOWA	DZIAŁA W PUNKCIE , W KTÓRYM RÓWNOWAŻY DZIAŁANIE SIŁ
WEKTOR GŁÓWNY	DZIAŁA W BIEGUNIE REDUKCJI

Wykreślne wyznaczanie reakcji oraz momentu utwierdzenia przey pomocy wieloboku sznurowego.

Kod postępowania przy wykreślnym wyznaczaniu reakcji:

1. Obieramy skale długości dla planu sił i rysujemy plan sił z uwzględnieniem tej skali.

2. Przyjmujemy skalę sił i wykreślamy wielobok sił zewnętrznych czynnych.

q=2kN/m

Q=4kN

F=5kN

Skala sił: 1cm=1m; 1cm=1kN

3. Odczytać wartości reakcji i kąt nachylenia w odpowiedniej skali.

Wykreślne wyznaczanie reakcji momentu utwierdzenia:

Skala: 1cm=1m; 1cm=1kN

Moment utwierdzenia:

M_u=h·u, gdzie:

h [N] - głębokość wieloboku sił,

u [m] - głębokość wieloboku sznurowego.

Twierdzenie o przegubie obrotowym:

Moment wszystkich sił zewnętrznych czynnych i biernych względem przegubu obrotowego jest równa zero.

Przegub daje nam jedno dodatkowe równanie, dzięki czemu możemy mieć dodatkową jedną niewiadomą.

I sposób: II sposób: III sposób:

L: P:

Reakcje w przegubie dla sposobu III:

Przykładowy podział na strony w układzie z dwoma przegubami:

L - lewa strona przegubu C

L - lewa strona przegubu D

P - prawa strona przegubu D

Przykładowe równania:

Siły wewnętrzne w prętach.

Prętem nazywamy ciało, którego jeden wymiar zdecydowanie dominuje nad pozostałymi.

Pręty dzielimy w zależności od ich przekroju i przebiegu w przestrzeni na:

• o stałym i zmiennym przekroju,

• 
  płaskie i proste w przestrzeni.

Siły
są siłami zewnętrznymi działającymi na pręt.

Pręt jest w równowadze jeżeli wektor główny i moment główny, ( czyli suma wszystkich sił i suma wszystkich momentów ) równa jest zero.

Jeżeli dokonamy myślowego przekroju α-α przez pręt wówczas:

Strona lewa ma postać, gdzie:

- suma momentów wszystkich sił zewnętrznych działających po lewej stronie pręta.

- suma wszystkich sił działających na lewą stronę pręta.

Strona prawa ma postać, gdzie:

- suma momentów wszystkich sił zewnętrznych działających po prawej stronie pręta.

- suma wszystkich sił działających na prawej stronę pręta.

Suma wszystkich sił zewnętrznych lewej strony jest równa sumie wszystkich sił zewnętrznych prawej strony. Suma momentów wszystkich sił działających po lewej stronie pręta jest równa sumie momentów wszystkich sił działających po prawej stronie pręta.

Rozkład sił wewnętrznych w pręcie.

- siła podłużna

- siła poprzeczna, styczna do przekroju

- moment skręcający

- moment gnący, styczny do przekroju

daje para sił przyłożona do pręta. Moment skręcający działa tylko na pręty w układzie przestrzennym.

Działanie na pręt wektora momentu gnącego przedstawia poniższy rysunek.

Siły wewnętrzne w prętach płaskich i prostych.

Pręty płaskie - leżą na płaszczyźnie ( nie mają przekroju ).

W prętach płaskich wyróżniamy jedynie siły wzdłużne
, siły poprzeczne
i moment gnący
.

Aby wyznaczyć siły wewnętrzne należy dokonać myślowego przekroju i obliczyć siły i momenty dla jednej strony.

Siłą wzdłużną inaczej normalną
w danym przekroju α-α, nazywamy sumę rzutów wszystkich sił znajdujących się po jednej stronie przekroju na kierunek styczny do osi przekroju.

Siłę wzdłużną uważamy za dodatnią jeżeli działa od rozważanego przekroju, czyli powoduje rozciąganie pręta. Natomiast siła działająca do przekroju pręta jest siłą ujemną powodującą ściskanie pręta.

A więc dla rysunku obok dla lewej strony:

=

natomiast dla prawej:

Siłą poprzeczną przekroju α-α, nazywamy sumę rzutów wszystkich sił znajdujących się po jednej stronie przekroju na kierunek prostopadły do stycznej do osi pręta lub prostopadły do osi pręta w przypadku prętów prostych.

Siłę poprzeczną uważamy za dodatnią jeżeli rozpatrując lewą część pręta siła będzie skierowana do góry, w pozostałych siła będzie miała znak przeciwny. Po stronie prawej siła skierowana do góry znak ujemny, a siła skierowana na dół dodatni. Znak siły zależy od strony dla której badamy przekrój.

Momentem gnącym w danym przekroju α-α nazywamy sumę momentów wszystkich sił znajdujących się po jednej stronie przekroju, liczonych względem tego przekroju.

Moment gnący uważamy za dodatni jeżeli powoduje wygięcie pręta wypukłością w dół, natomiast za ujemny jeżeli powoduje wygięcie pręta wypukłością do góry. Znak momentu nie zależy od wyboru strony rozważanego przekroju.

Wyznaczanie momentu: myślowo utwierdzamy belkę

Wzory Schedlera - zależności różniczkowe między siłami w pręcie:

Pochodna momentu gnącego względem współrzędnej osi pręta jest równa sile poprzecznej:

Druga pochodna momentu gnącego względm współrzędnej osi pręta jest równa natężeniu obciążenia ciągłego:

Pochodna siły poprzecznej względm wsółrzędnych osi pręta równa się natężeniu obciążenia ciągłego:

Wykresy sił wewnętrznych w prętach.

F=10kN

Q=10kN/m

M=10Nm

a=1m

Wyznaczamy reakcje podpór.

Skala dla sił:

1cm=5kN

Skala dla długości:

1cm=0,5m

Reakcje wynoszą:

R_A=5kN

R_B=15kN

0≤x₁≤a, a≤x₂≤2a, 2a≤x₃≤3a

PRZEDZIAŁ I

0≤x₁≤a

N=0

T=R_Ay dla: x₁=0
T=R_Ay=15kN

dla: x₁=a
T=R_Ay=15k

M_g=R_Ay·x₁ dla: x₁=0
M_g=0

dla: x₁=a
M_g=R_Ay·a=15kNm

PRZEDZIAŁ II - gdy w przedziale jest obciążenie ciągłe nie można go zastąpić do obliczeń ( w tym przedziale ) wypadkową, dopiero w następnych można zastąpić siłą wypadkową.

a≤x₂≤2a

N=0

T=R_Ay-F-q(x₂-a) dla: x₂=a
T=R_Ay-F-q(a-a)=15-10-0=5kN

dla: x₂=2a
T=R_Ay-F-q(2a-a)=15-10-10=-5kN

M_g=R_Ay·x₂-F(x₂-a)-
dla: x₂=a
M_g= R_Ay·a-F(a-a)-
=                =15-0-0=15kNm

dla: x₂=2a
M_g= R_Ay·2a-F(2a-a)-
=                                                                                                                                           =30-10-5=15kNm

Funkcja kwadratową, przebieg jej nie jest liniowy, musimy obliczyć punkt WD, jest on dla T=0:

T= R_Ay-F-q(x₂-a)=0
0=15-10-10(x₂-1)
0=5-10x₂-10
0=-10x₂-5
x₂=0,5

Korzystamy z wzoru Schwedlera:

M_g=16,25kN/m

PRZEDZIAŁ III

2a≤x₃≤3a

N=0

T=R_Ay-F-Q ( niezależne od x₃ dlatego tylko jedno równanie )

dla: 2a≤x₃≤3a
T=15-10-10=-5kN

M_g=R_Ay·x₃-F·(x₃-a)-q·(x₃-1,5a)-M

dla: x₃=2a
M_­g=R_Ay·2a-F·(2a-a)-q·(2a-1,5a)-M=30-10-5-10=5kNm

dla: x₃=3a
M_g=R_Ay·3a-F·(3a-a)-q·(3a-1,5a)-M=45-20-15-10=0kNm

Wykresy sił wewnętrznych:

Drugi sposób obliczania reakcji w III przedziale - od prawej strony.

N=0

T=-R_B­

M_g=R_B·x*

dla: x*=0
M_g=0

dla: x*=a
M_g=5kNm

WNIOSKI !!!!!

Jeżeli na pewnym odcinku belki występuje obciążenie ciągłe q to wykresem sił poprzecznych T na tym odcinku jest prosta nachylona pod kątem do osi belki, natomiast wykresem momentów gnących jest parabola.

Jeżeli na pewnym odcinku belki nie występuje obciążenie ciągłe to wykresem sił poprzecznych T jest prosta równoległa do osi belki i T=const. Natomiast wykresem momentów gnących jest prosta nachylona pod kątem do osi pręta.

Moment gnący osiąga ekstremalne wartości w miejscach zerowania siły poprzecznej.

W miejscu działania siły skupionej na wykresie sił poprzecznych wystąpi nieciągłość siły poprzecznej objawiająca się skokiem o wartość siły skupionej. W przekroju w punkcie przyłożenia momentu skupionego na wykresie M_g wystąpi skok o wartość momentu.

Jeżeli na brzegach belki nie występuje moment skupiony - to wartość momentu w punktach brzegowych jest równa zero.

γγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγ

Kratownica - układ prętów połączonych przegubowo, leżących w jednej płaszczyźnie i podpartych oraz obciążonych tyko w przegubach. Kratownice przestrzenne spełniają też ten warunek.

Pręt - element konstrukcyjny ( np. kratownicy ) mieszczący się pomiędzy jej wiązaniami i zakończony możliwością przegubowego połączenia z innym prętem.

Węzeł ( przegub ) - miejsce w którym schodzą się pręty kratownicy. Do utworzenia każdego następnego węzła potrzebne są dwa pręty.

Pręt ściskany: Pręt rozciągany:

Warunek statycznej wyznaczalności kratownicy.

Kratownicę nazywamy wewnętrznie statycznie wyznaczalną jeżeli równania statyki umożliwiają wyznaczenie sił we wszystkich prętach.

Jeżeli liczbę prętów oznaczymy przez „p”, liczbę węzłów przez „w” wówczas warunek konieczny wewnętrznej statycznej wyznaczalności kratownicy płaskiej jest następujący: p=2w-3

Metody wyznaczania sił w prętach:

1. Metoda analityczna węzłów.

2. Metoda wykreślna węzłów.

3. Metoda Cremony.

4. Metoda Culmana.

5. Metoda Rottera.

6. Metoda Maxwella - Bowa - Cremony ( wykreślna metoda pól ).

Wyznaczanie sił w prętach kratownicy.

1. Sprawdzamy czy kratownica jest statycznie wyznaczalna

p=2·w-3

p=2·5-3

p=7

2. Wyznaczamy reakcje w podporach - korzystamy z metody równowagi trzech sił metody trójkąta. ( znamy kierunek siły P oraz reakcji R_B - jest to podpora przegubowa ruchoma - reakcje te muszą być w równowadze, więc: )

Metoda analityczna:

Węzeł A:

Σ
Fx=0, -S₁cos45˚-S₂=0

ΣFy=0, S₁sin45˚-P=0

Węzeł E: Węzeł D:

ΣFx=0, S₂-S₄=0 ΣFx=0, S₁cos45˚-S₆-S₂cos45˚=0

ΣFy=0, S₃=0 ΣFy=0, -S₅cos45˚-S₁cos45˚=0

Wykreślne wyznaczanie sił:

Analityczno wykreślna metoda Rittera.

Metodę tą wykorzystuje się do obliczania sił wewnętrznych prętów w przekroju przez kratownicę.

1. Dokonujemy myślowego przekroju kratownicy.

2. Zaznaczamy siły oraz punkty w których te siły się przecinają ( punkty Rittera ).

3. Piszemy równania równowagi - równania momentów dla punktów Rittera.

P·a-S₆·h₁=0

S₅·h₂=0

P·(b+a)+S₄·h₃=0

Kryteria wyznaczania prętów zerowych w kratownicy.

Tarcie.

Tarciem - nazywamy zjawisko powstania sił stycznych do powierzchni styku dwóch ciał. Siły te są siłami oporu i możemy je zdefiniować jako siły zapobiegające ruchowi, który powstał by przy więzach idealnych ( gdyby tarcia nie było ), w przypadku tarcia spoczynkowego albo jako siły oporu zmniejszające prędkość ruchu w przypadku tarcia kinetycznego.

Tarcie spoczynkowe - przeciwdziała sile która działa na ciało i chce je wyprowadzić ze stanu spoczynku.

Tarcie kinetyczne - występuje tylko w czasie ruchu.

Zależności pomiędzy wielkościami:

I. Siła tarcia jest niezależna od wielkości powierzchni stykających się ze sobą i zależy tylko od ich rodzaju.

II. Wartość siły tarcia dla ciała znajdującego się w spoczynku może zmieniać się od zera do granicznej wartości proporcjonalnej do całkowitego nacisku ciała.

III. Gdy ciało ślizga się po powierzchni siła tarcia jest przeciwnie skierowana do kierunku ruchu i jest mniejsza od wartości granicznej.

Wykres zależności wartości tarcia od przyłożonej do ciała siły.

I - tarcie statyczne ( wzrasta proporcjonalnie do siły nacisku ).

II - tarcie kinetyczne.

W zależności od ruchu tarcie kinetyczne dzielimy na:

1. tarcie posuwiste,

2. tarcie toczne,

3. tarcie wiercenia.

Jeżeli ciało pozostaje w spoczynku to T≤μN, gdzie: μ - współczynnik tarcia ślizgowego ( statycznego ) i zależy od chropowatości i rodzaju materiałów dwóch stycznych ciał.

Jeżeli siła tarcia osiąga graniczną wartość to przyjmujemy znak równania T-μN.

Doświadczenie Columba.

Przy założeniu, że ciało jest w równowadze równania równowagi mają następującą postać:

Σ F_X=0, F-T=0

Σ F_Y=0, N-G=0

Stożek tarcia.

Jeżeli siłą działająca na ciało znajduje się w środku stożka to ciało pozostanie w spoczynku.

Współczynnik tarcia statycznego wynosi od 0,6( skórza po drewnie )÷0,03( stal po lodzie ).

T=tgα·N T≤μN

tgα=μ

Tarcie kinetyczne. Jeżeli ciało się ślizga to wartość tarcia jest równa: T=μN, gdzie: μ - jest współczynnikiem tarcia kinetycznego i zależy od prędkości z jaką ciało się porusza.

Wartość od 0,5÷0,015.

Warunek samohamowności równi.

Warunek równowagi:

T≥m·g·sinα

μ·m·g·cosα≥m·g·sinα

Tarcie toczne.

Tarciem tocznym nazywamy opór powstały przy przetaczaniu bryły po poziomej płaszczyźnie.

Ilustracja tarcia tocznego.

Równania równowagi:

Równanie momentu nie jest spełnione.

Teoretyczny model tarcia tocznego.

Podstawiamy równania sił Fix i Fiy do równania momentu:

Współczynnik tarcia tocznego f jest współczynnikiem wymiarowym [ jednostka długości ].

Wielkością charakterystyczną tarcia tocznego jest moment tarcia tocznego równy współczynnikowi tarcia tocznego f pomnożonego przez nacisk: M_f=f·N[m·N]. Współczynnik tarcia tocznego wynosi od 0,06÷0,003[cm].

26

---