Lewandowski Karol 2FD C6 L11

Małek Grzegorz czwartek, 26 października 2000

Mazur Jacek

Oczoś Łukasz

Ćwiczenie nr 2.

Symulacja sygnałów w układach opisanych równaniem stanu.

Tematy zadań

Zadanie 1. W obwodzie, którego schemat znajduje się poniżej, oblicz wartości prądów i₁(t) oraz i₃(t), wiedząc, że: e(t) = E = 10 V; R₁ = 8 Ω; R₂ = 4 Ω; L₁ = 1 H; L₃ = 3 H. Do symulacji obwodu należy użyć programu PSpice. Zadanie rozwiąż metodą zmiennych stanu, przy wykorzystaniu wzoru Sylvester'a. Porównaj wyniki otrzymane w symulacji komputerowej oraz obliczeniach własnych.

Zadanie 2. W obwodzie, którego schemat znajduje się poniżej, oblicz wartości: prądu i_L(t) oraz napięcia u_C(t), wiedząc, że: e(t) = E = 10 V; R = 2 Ω; C = 1 F;L = 25 H. Do symulacji obwodu należy użyć programu MathCAD. Zadanie rozwiąż metodą zmiennych stanu, przy wykorzystaniu wektorów własnych. Porównaj wyniki otrzymane w symulacji komputerowej oraz obliczeniach własnych.

Analiza komputerowa

Schemat układu z zadania 1. dla programu PSpice:

Analityczne rozwiązanie zadań

Zadanie 1.

Dane: e(t) = E = 10 V; R₁ = 8 Ω; R₂ = 4 Ω; L₁ = 1 H; L₃ = 3 H.

Wielkości do wyznaczenia: i₁(t); i₃(t).

Oznaczam zmienne stanu:

Warunki początkowe - prądy obydwu cewek są zerowe:
.

Stan ustalony obwodu - obydwie cewki przy wymuszeniu stałym tworzą zwarcie, więc:
, czyli w zapisie macierzowym:
.

Przyjmuję: X(t) = X_u(t) + X_p(t), więc dla składowej przejściowej mam:

Podstawowe równania obwodu, którymi posłużę się do wyznaczania równań stanu:

1. 
   ; - II prawo Kirchhoffa,

2. i₁(t) = i₂(t) + i₃(t) ; - I prawo Kirchhoffa,

3. 
   ; - prawo indukcji elektromagnetycznej dla cewki,

4. u_R(t) = R i(t) ; - prawo Ohma dla opornika,

5. 
   ; - równość napięć na połączonych równolegle R₂ i L₃, II prawo Kirchhoffa.

Używając w równaniu 1) zależności 3) oraz 4) oraz wiedząc, że spadek napięcia na oporniku R₂ można przedstawić wykorzystując własności 2) i 4) jako (i₁ - i₃) R₂, co daje:

,

teraz dzieląc przez L₁ oraz odpowiednio grupując otrzymuję pierwsze równanie stanu:

.

Dla uzyskania drugiego równania stanu określę prąd i₂ wykorzystując zależności 4), 5), 3) a później 2):

,
,

teraz mnożąc przez
i porządkując stronami otrzymuję drugie równanie stanu:

.

Równania stanu dla danego obwodu przybiera postać:

,

czyli w postaci macierzowej:

, gdzie

macierz
, uwzględniając dane:
,

macierz
, podstawiając dane:
;

oznaczając odpowiednio zmienne stanu można równania stanu zapisać jako:

.

Wartości własne macierzy A obliczam z równania charakterystycznego:
, które w danym obwodzie przyjmuje postać:
,

czyli uwzględniając dane:
, co rozpisuję na:

Rozwiązań poszukuję wyliczając wyróżnik równania kwadratowego:

, oraz jego pierwiastek
; wyznaczam wartości własne macierzy A:

;
;

Macierz
policzę stosując wzór Sylvester'a:

Składową przejściową liczę następująco:

Ostatecznie wyznaczam X(t), korzystając z równości: X(t) = X_u(t) + X_p(t) =

Otrzymany wynik można zapisać jako:

.

Wykres szukanych prądów dla przedstawionego powyżej wzoru:

Zadanie 2.

Dane: e(t) = E = 10 V; R = 2 Ω; C = 1 F;L = 25 H.

Wielkości do wyznaczenia: i_L(t); u_C(t).

Oznaczam zmienne stanu:

Warunki początkowe - prąd cewki oraz napięcie kondensatora są zerowe:
.

Stan ustalony obwodu - cewka przy wymuszeniu stałym tworzy zwarcie, kondensator stanowi rozwarcie więc:
, czyli w zapisie macierzowym:
.

Przyjmuję: X(t) = X_u(t) + X_p(t), więc dla składowej przejściowej mam:

Podstawowe równania obwodu, którymi posłużę się do wyznaczania równań stanu:

1. 
   ; - II prawo Kirchhoffa,

2. i (t) = i_L(t) + i_C(t) ; - I prawo Kirchhoffa,

3. 
   ; - prawo indukcji elektromagnetycznej dla cewki,

4. u_R(t) = R i(t) ; - prawo Ohma dla opornika,

5. 
   ; - równość napięć na połączonych równolegle L i C, II prawo Kirchhoffa,

6. 
   ; - definicja prądu pojemności.

Dla uzyskania pierwszego równania stanu rozpocznę od zależności 5) wykorzystując 3):

teraz dzieląc przez L i porządkując stronami otrzymuję pierwsze równanie stanu:

.

Używając w równaniu 1) zależności 5), 4) oraz 2), a następnie 6) otrzymuję kolejno:

teraz dzieląc przez RC oraz odpowiednio grupując otrzymuję drugie równanie stanu: 

.

Równania stanu dla danego obwodu przybiera postać:

,

czyli w postaci macierzowej:

, gdzie

macierz
, uwzględniając dane:
,

macierz
, podstawiając dane:
;

oznaczając odpowiednio zmienne stanu można równania stanu zapisać jako:

.

Wartości własne macierzy A obliczam z równania charakterystycznego:
, które w danym obwodzie przyjmuje postać:
,

Rozwiązań poszukuję wyliczając wyróżnik równania kwadratowego:

, oraz jego pierwiastek
; wyznaczam wartości własne macierzy A:
;
;

Aby uzyskać macierz e^At wyznaczam macierz wektorów własnych U macierzy A, korzystając z równości
, gdzie k oznacza kolumnę macierzy.

Wyznaczam pierwszą kolumnę:

;
;
;
; przyjmując że u₁₁ = -0,4 otrzymuję:
.

Wyznaczam drugą kolumnę:

;
;
;
; przyjmując że u₁₂ = -0,1 otrzymuję:
.

Macierz U ma postać:
.

Teraz wyznaczę macierz odwrotną do U :
, gdzie detU ≠ 0 - wyznacznik macierzy wektorów własnych, U^D - macierz dopełnieniowa do macierzy U, (U^D)^T - macierz transponowana do macierzy U^D.

DetU =
= -0,3 ≠ 0, zatem istnieje macierz odwrotna do U.

U^D =
, (U^D)^T = 
;

ostatecznie
.

Wyliczam macierz e^At korzystając z równości:

Składową przejściową liczę następująco:

Ostatecznie wyznaczam X(t), korzystając z równości: X(t) = X_u(t) + X_p(t) =

Otrzymany wynik można zapisać jako:

.

Wykres szukanych wielkości dla przedstawionego powyżej wzoru:

Zestawienie wyników

Zadanie 1.
t[s]	PSpice		Zm. stanu
		i1[A]	i3[A]	i1[A]	i3[A]
0,07	0,466	≈0,03	0,476	0,025
0,7	0,985	≈0,5	0,985	0,512
1,4	1,104	≈0,8	1,104	0,845
1,96	1,160	≈1,0	1,160	0,999
3,5	1,226	≈1,2	1,226	1,183

Zadanie 2.
t[s]	MatCAD		Zm. stanu
		iL[A]	uC[V]	iL[A]	uC[V]
0,5	0,023	2.208	0,023	2,208
2	0,29	6,159	0,291	6,157
4,5	1,022	7,878	1,025	7,872
16	3,652	3,35	3,657	3,337
28	4,592	1,021	4,595	1,013

Wnioski

Metoda zmiennych stanu jest nieco łatwiejsza w użyciu niż metoda klasyczna, ponieważ omija problem rozwiązywania układu równań różniczkowych; poza tym jest metodą dokładną (choć da się zauważyć pewne rozbieżności przy t0, dla z. 1.) oraz łatwą do implementacji w oprogramowaniu komputerowym (rachunki na macierzach); mimo to jest to metoda dosyć czasochłonna przy obliczeniach wykonywanych samemu - wynika to z dużej liczby przekształceń. Ponadto im więcej przekształceń tym większa możliwość popełnienia błędu w obliczeniach, oraz narastający błąd numeryczny związany z zaokrąglaniem bądź obcinaniem wyników (niezgodności w z. 2. wynikają prawdopodobnie z zaokrąglenia wielkości do trzech miejsc po przecinku w programie MatCAD).

R₁

t = 0 s

i₁

R₂

i₃

L₃

L₁

e

R

t = 0 s

i_L

L

E

i

C

i_C

R1

R2

L3

L1

VE1

1

2

VDI1

3

4

VDI3

5

0

R₁

t = 0 s

i₁

R₂

i₃

L₃

L₁

e

i₂

i_C

C

i

E

L

i_L

t = 0 s

R

---