Rozkłady zmiennych losowych ciągłych:

Rozkład normalny:

Rozkład zależy od dwóch parametrów: μ i σ, które są jednocześnie wartością oczekiwaną i

odchyleniem standardowym (pierwiastkiem z wariancji) tego rozkładu. Funkcja gęstości tego rozkładu:

Liczba e jest stałą matematyczną i w przybliżeniu wynosi 2,72.

Reguła trzech sigm

Standaryzacja zmiennej losowej:

Jeśli

X ~ . (μ, σ)

to zmienna (X- μ)/σ ~ .. (0,1).

W przypadku zmiennej losowej normalnej zestandaryzowana zmienna też ma rozkład normalny i jest oznaczana zwykle literą U lub z. My będziemy oznaczać literą U.

Rozkład U jest stablicowany. Z tablic można odczytać prawdopodobieństwa dla różnych przedziałów oraz wartości graniczne dla zadanych z góry prawdopodobieństw.

Rozkład chi-kwadrat (χ²).

Niech U₁, U₂, ..., U_k będą niezależnymi standaryzowanymi normalnymi zmiennymi losowymi. Wówczas zmienną losową

χ²(k) = (U₁)²+(U₂)² + ... +(U_k)²

nazywać będziemy zmienną o rozkładzie chi-kwadrat. Zmienna ta przyjmuje tylko wartości dodatnie i ma rozkład niesymetryczny uzależniony tylko od jednego parametru k, zwanego stopniami swobody:

E[χ²(k)]=k, Var[χ²(k)]=2k.

Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu chi-kwadrat

gdzie Γ jest funkcją gamma Eulera,

Γ(z) =
, Γ(
) =
, Γ(k)=(k-1)!.

Rozkład t-Studenta

Niech zmienne U i zmienna χ²(k) będą zmiennymi niezależnymi. Wówczas zmienną losową

nazywać będziemy zmienną losową o rozkładzie t-Studenta (z k- stopniami swobody).

Jest to rozkład symetryczny: E(t_k)=0, Var(t_k)= k/(k-2).

Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu Studenta

Rozkład Studenta zbliża się do rozkładu normalnego N(0, 1), staje się coraz mniej spłaszczony dla rosnących k i dla k=∞ pokrywa się z nim.

Rozkład F Snedecora

Niech zmienne χ²(k₁) i zmienna χ²(k₂) będą zmiennymi niezależnymi. Wówczas zmienną losową

nazywać będziemy zmienną o rozkładzie F Snedecora z parą stopni swobody (k₁,k₂). Zmienna ta przyjmuje tylko wartości dodatnie i ma rozkłada niesymetryczny:

E[F(k_1,k₂)]=k₂/(k₂-2) , Var[F(k_1,k₂)]= 2(k₂)²(k₁ +k₂+2)/[k₁(k₂-2)² (k₂-4)

Gęstość prawdopodobieństwa tego rozkładu:

---