Temat: Składanie fal o różnych polaryzacjach

Niech dwie fale elektromagnetyczne mają jednakowe częstości (a więc zgodnie ze wzorem (1.7c) także jednakowe liczby falowe i długości fal) i rozchodzą się w tym samym kierunku. To oznacza, że czynniki
są dla nich jednakowe, a więc jedynie E₀ - wektorowe czynniki tych fal mogą różnić się, czyli fale mogą mieć różne polaryzacje i amplitudy. Tylko takie fale będziemy tu rozpatrywać.

Pokażemy, że dowolnie spolaryzowaną falę określoną przez wektor E₀, można przedstawić w postaci superpozycji dwóch fal spolaryzowanych
,

(2.1)

Fale
,
mogą być spolaryzowane liniowo, albo kołowo o przeciwnych obiegach i wreszcie spolaryzowane eliptycznie także o przeciwnych obiegach. To zaś oznacza, że każdy z tych ruchów stanowi bazę fizyczną opisu stanu polaryzacji światła.

Udowodnimy pierwsze z tych twierdzeń, czyli pokażemy, że dowolnie spolaryzowaną falę można przedstawić w postaci superpozycji dwóch fal spolaryzowanych liniowo. Przyjmijmy zatem, że falę określa wektorowa amplituda
. Niech OA i OB będą dwoma nierównoległymi osiami, leżącymi w tej samej płaszczyźnie co wektory E_j (j = 1,2),

Rys. 2.1

przecinającymi się w punkcie O (rys. 2.1). Niech
będzie wektorem leżącym na osi OA, natomiast
- wektorem leżącym na osi OB. Wektory
,
zawsze można wybrać tak, aby wektor E₁ był sumą wektorów
,

. (2.2a)

Podobnie

. (2.2b)

Stąd

(2.3)

Ponieważ
więc fale o amplitudach wektorowych

są liniowo spolaryzowane. Najczęściej przyjmujemy, że osie OA, OB są do siebie prostopadłe. Ponieważ na wektor E₀ i na osie OA, OB nie nakładaliśmy żadnych ograniczeń możemy powiedzieć, że fale spolaryzowane liniowo tworzą bazę fizyczną.

Przyjmijmy, że spełnione są następujące warunki:

,
. (2.4a,b)

Rozpatrzymy wektor

. (2.5)

Zbadajmy odpowiedź na pytanie jakie warunki muszą spełniać wektory
i stałe
aby wektor E (2.5) określał polaryzację liniową, tj. aby spełniona była relacja

. (2.6)

Po podstawieniu równań (2.4a,b) i (2.6) do równania (2.5) otrzymamy związek

. (2.7)

Jest on spełniony jeżeli wszystkie wektory są równoległe
, albo
.

Niech wektory
,
znajdujące się po prawej stronie równania (2.1) odpowiadają polaryzacji kołowej, tzn. zgodnie ze związkami (1.27) ich składowe spełniają warunki

(2.8)

Wektor
(2.1) można teraz przedstawić w postaci

. (2.9)

Jak widać

. (2.10a,b)

Gdy
to zgodnie z warunkiem (1.27a) mamy to fala
jest spolaryzowana kołowo. Natomiast gdy
to warunek (1.27a) nie jest spełniony, a więc fala nie jest spolaryzowana kołowo. By ustalić polaryzację fali odpowiadającej wektorowi
(2.9) zbadamy iloczyn
. Mamy

(2.11)

Gdy wektory
są równoległe to ze wzoru (2.11) wynika, że
. Mamy więc do czynienia z falą kołowo, albo eliptycznie spolaryzowaną. Obliczymy
i
. Mamy
. Obliczyć
jest nieco trudniej

.

Wykorzystamy wzór (1.10a), wtedy

.

Na podstawie wzoru (1.23a,b) stwierdzamy, że gdy
to fala jest spolaryzowana elipty­cznie. Kryterium (1.26) pozwala ustalić obieg. Po wykorzystaniu tożsamości wektorowej (1.10b) i po uwzględnieniu własności prostopadłości wektorów natężenia pola elektrycznego do kierunku propagacji fali otrzymamy

Zatem gdy

Natomiast warunek równoległości składników wektora
prowadzi do następującej relacji

Skąd wynika, że fala będąca złożeniem dwóch fal kołowo spolaryzowanych o przeciwnych obiegach jest liniowo spolaryzowana wtedy gdy

§ 2.2 Wektory Jonesa

Niech wersory
określają kierunki osi x, y i z kartezjańskiego układu współrzędnych. Wybierzemy oś z kartezjańskiego układu współrzędnych tak, by była ona równoległa do kierunku propagacji fali:
, osie x i y leżą w płaszczyźnie stałej fazy i są dowolnie zorientowane. Dla takiego wyboru układu współrzędnych

.

Zapiszemy wektor E w postaci macierzowej

Oczywiście można zastąpić ten wektor przez wektor dwuelementowy, dla którego wprowadzimy specjalne oznaczenie
, zatem

.

Wektor
będziemy nazywali zupełnym wektorem Jonesa [1]. Natomiast gdy w składowych pominiemy wspólny czynnik fazowy to będziemy mówili o wektorze Jonesa, dla którego będziemy używali oznaczenia Diraca
, zatem

. (2.12a)

Dla wektora otrzymanego z
w wyniku operacji sprzężenia hermitowskiego wprowadzimy nowe oznaczenie:
. Zgodnie z tym określeniem

. (2.12b)

Górny wskaźnik T oznacza operację transponowania, natomiast * oznacza sprzęganie liczb zespolonych.

Rozpatrzymy dwa wektory
i
, można im przyporządkować skalar - formę biliniową

(2.13)

Jak widać, zgodnie z równaniem (1.11b), gęstość energii dla fali reprezentowanej przez wektor
jest proporcjonalna do iloczynu

(2.14)

Ponieważ
znika wtedy i tylko wtedy gdy znika wektor pola elektrycznego, więc
wtedy i tylko wtedy gdy
. Zatem biliniowa forma (2.14) określa iloczyn skalarny. Łatwo zauważyć, że falom odpowiadającym wektorom

,
,

odpowiadają te same gęstości energii. Iloczyn
określa normę
wektora
. Nie znikający wektor Jonesa
jest unormowany do jedności.

Dla wektorów Jonesa będziemy także używali innego oznaczenia

.

§ 2.3 Przykłady wektorów Jonesa

Rozpatrzymy przykłady wektorów Jonesa dla różnych polaryzacji.

1. Znajdziemy wektor Jonesa dla światła spolaryzowanego kołowo prawoskrętnie. Dla jego oznaczenia użyjemy skrótu RCP (od angielskich słów right circular polarized). Ponieważ w tym przypadku dla wybranego przez nas układu współrzędnych związek (1.27a) przyj­muje postać

,

to wektorowi
odpowiada wektor Jonesa

Ostatni wektor można przekształcić

gdzie
jest odpowiednią składową wektora pola elektrycznego w bazie stanów kołowo spolaryzowanych. Wektor
jest unormowany do jedności

Drugi wektor bazy stanów kołowo spolaryzowanych -
ma postać

.

Bez trudu można sprawdzić, że wektory
i
są ortogonalne, tj.
.

2. Zajmiemy się następnie zadaniem odwrotnym do powyżej rozpatrzonego. Określimy polaryzację fali odpowiadającej wektorowi Jonesa

. (2.15)

Odpowiadają mu następujące składowe wektora pola elektrycznego:
;
,
Zatem wektorowi Jonesa (2.15) odpowiadają wektory
,
. Sprawdzamy rodzaj polaryzacji jaka odpowiada temu wektorowi. Obliczymy iloczyn wektorowy znalezionych wektorów

Z kryterium (1.26a) wynika, że fala nie jest liniowo spolaryzowana. Jak widać mamy do czynienia z polaryzacją kołową albo eliptyczną. Łatwo sprawdzić, że
oraz, że
,
. Zatem
. Na podstawie kryterium (1.23) stwierdzamy, że mamy do czynienia z falą spolaryzowaną eliptycznie. Zbadajmy kierunek obiegu tej elipsy. Ponieważ
na podstawie kryterium (1.26b,c) stwierdzamy, że mamy do czynienia z falą prawoskrętnie, eliptycznie spolaryzowaną, dla której użyjemy symbolu ERP:
. Oczywiście powinniśmy jeszcze określić charakterystyki odpowiedniej elipsy. Jednak nie będziemy tu zajmowali się tym zagadnieniem (por. [2])

C) Trzecie zagadnienie jest bardziej ogólne. Pokażemy, że wektory

,
. (2.16a,b)

określają fale eliptycznie spolaryzowane o przeciwnych skrętnościach albo dwie fale liniowo spolaryzowane w kierunkach prostopadłych. W tym celu znajdziemy wektory natężenia pola elektrycznego odpowiadające wektorom Jonesa

1) Niech
, wtedy

Zbadajmy iloczyny
. Mamy

,
.

Gdy
obydwie fale charakteryzowane przez wektory Jonesa
są spolaryzowane eliptycznie. Zbadajmy jeszcze kierunki obiegów (skrętności). Ponieważ

skrętności są przeciwne. Ostatecznie stwierdzamy, że gdy
to

Obliczymy jeszcze iloczyn skalarny wektorów

W ten sposób doszliśmy do ważnego wniosku: Wektory o przeciwnych skrętnościach odpo­wiadające tej samej polaryzacji są do siebie prostopadłe.

2) Natomiast gdy
to
. To oznacza, że obydwu wektorom
odpowiadają fale liniowo spolaryzowane, a więc spełnione są relacje
,
, co równoważne jest następującym związkom, które spełniają liczby m₁, m₂, n₁, n₂:
Łatwo sprawdzić, że
- odpowiednie fale są liniowo spolaryzowane w kierunkach prostopadłych do siebie. Liczby m₁, m₂, n₁, n₂ są zgodne z warunkiem
. Stwierdzamy więc, że w przypadku polaryzacji liniowej dwóm ortogonalnym wektorom Jonesa odpowiadają prostopadłe do siebie kierunki polaryzacji (wektory
są prostopadłe).

§ 2.4 Liniowa przestrzeń Jonesa

Wektory Jonesa tworzą 2D przestrzeń liniową
nad ciałem liczb zespolonych, bowiem spełnione są następujące warunki:

1. Dla
   operacja dodawania jest przemienna:
   

2. Dla
   operacja dodawania ma własność łączności:

.

3. Dla dowolnych liczb zespolonych a, b i dowolnego wektora
   spełnione jest pierwsze prawo rozdzielności:

.

4. Dla dowolnej liczby zespolonej a, oraz
   spełnione jest drugie prawo roz­dzielności:
   .

5. Dla dowolnych liczb zespolonych a, b oraz
   zachodzi związek
   .

Dla wektorów należących do
zdefiniowaliśmy iloczyn skalarny (2.13). Dlatego
jest przestrzenią unitarną. Będziemy przestrzeń
nazywali przestrzenią Jonesa. Niezależnym ruchom fizycznym odpowiadają niezależne liniowo wektory z przestrzeni Jonesa. Ponieważ każdą bazę w
można zortogonalizować, będziemy używać baz ortogonalnych.

§ 2.5 Uogólnienie

Zauważymy, że między sprzężonymi wektorami
i
(2.8a) i (2.8b) istnieje antyliniowy związek
taki, że [3]

,
.

W dalszym ciągu każdemu stanowi
układu kwantowego (w naszym konkretnym przypadku - stanowi polaryzacji) będziemy przypisywać wektor stanu
(nazwany przez Paula Diraca „bra”) i wektor
(nazwany przez niego „ket”, bracket to po angielsku nawias). Wektory stanu należą do przestrzeni liniowych (skończenie albo nieskończenie wy­miarowych - te ostatnie nazywane są przestrzeniami Hilberta).

Opis dwóch stanów
i
związany jest z wektorami bra
i
i wektorami ket
,
, z których można utworzyć trzy iloczyny skalarne:

(a)
liniowy w
i antyliniowy w
; (b)
liniowy w
i antyliniowy w
; (c)
- liniowy w
i antyliniowy w
. Odwzorowanie F określone przez definicję (2.12a) wiąże możliwość (a) i (c):
. Stąd wynika, że gdy
to
, tj.
jest liczbą rzeczywistą. Nałożymy jeszcze dodatkowy warunek by
gdy
.

Każdej parze wektorów
i
reprezentującej stan
przypiszemy normę
. Wprowadzenie normy pozwala zmniejszyć dowolność istniejącą między stanami układów kwantowych, a reprezentującymi je wektorami stanu. Przyjmiemy, że wektory stanu są unormowane do jedności
. Jak widać pozostaje jedynie dowolność wyboru czynnika fazowego
.

Literatura

[1] R.M.A. Azzam, N.M. Bashara, Ellipsometry and polarized light, North Holland , Amsterdam, 1977 (tłum. na j. ros. Ellipsometria i polarizowannyj swet, Mir, Moskwa, 1981, § 1.6.2.

[2] F.I. Fedorow, Optika anizotropnych sred, Izdatielstwo Akademii Nauk BSSR, Minsk, 1958, R. III.

[3] B. W. Medwedew, Naczała teoreticzeskoj fiziki, Nauka, Moskwa, 1977, R. III.

1

Szukasz gotowej pracy ?

To pewna droga do poważnych kłopotów.

Plagiat jest przestępstwem !

Nie ryzykuj ! Nie warto !

Powierz swoje sprawy profesjonalistom.

---