Wykład Matematyka doc. Andrzej Drozdowicz

Własności funkcji jednej zmiennej

1. Parzystość i nieparzystość

2. Określoność

3. Monotoniczność

4. Ograniczoność

5. Różnowartościowość y=f(x) jest różnowartościowa w zbiorze X jeżeli dla każdego x₁ x₂ zawierającego się w X f(x₁)≠f(x₂)

• Np.

6. Funkcja złożona jeżeli funkcja f odwzorowuje zbiór X w Y a funkcja g odwzorowuje zbiór Y w Z to funkcja h(x)=g(f(x)) odwzorowuje zbiór X w Z. Funkcję taką nazywamy złożoną przy czym f jest funkcją wewnętrzną a g funkcją zewnętrzną

• Np.
  

Funkcja odwrotna jest to przyporządkowanie określające na elementach zbioru wartości funkcji różnowartościowej f pewną nową funkcję, dla której zbiór wartości jest zbiorem X nazywamy funkcję odwrotną i oznaczamy f^-1. Funkcje f i f^-1 stanowią parę funkcji wzajemnie odwrotnych

y=2x+4

2x=y-4

x=0,5y-2 funkcja odwrotna do wyjściowej

y=0,5x-2

Wykres funkcji odwrotnej do wykresu danej funkcji jest symetryczny względem prostej y=x

• Funkcja logarytmiczna i wykładnicza stanowią parę funkcji odwrotnych

Logarytm przy podstawi a z liczby dodatniej b nazywamy potęgę, do której należy podnieść podstawę a aby otrzymać wyrażenie logarytmowane

WAŻNE !!!

• Funkcje cyklometryczne są to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych

Rozważmy funkcję

Tabela wartości podstawowych dla tej funkcji to:

x	-1				0				1
y					0

Sin i arc sin to funkcje wzajemnie odwrotne

Rozważmy

Tabela wartości podstawowych funkcji podobnie jak dla y=sinx

Rozważmy

x	-∞		-1		0		1		∞
y					0

Rozważmy

Przestrzeń metryczna

Zbiór X nazywamy przestrzenią metryczną, jeśli każdej parze jego elementów (punktów) P(p₁,p₂,…,p_n) i Q(q₁,q₂,…,q_n) przyporządkowana jest jednoznacznie liczba rzeczywista nieujemna d(P,Q) spełniająca warunki:

1. 
   

2. 
   

3. 
   jest to nierówność trójkąta

Wielkość d(P,Q) jest metryką przestrzeni metrycznej

Przykłady:

1. 
   

2. 
   

Niech
będzie ciągiem przestrzeni p

Mówimy, że punkt p₀ jest granicą ciągu p_n lub, że ciąg p_n jest zbieżny do p₀ co zapisujemy

, jeżeli odległości d(p_n,p₀) stanowią ciąg zbieżny do 0

Jeżeli
jest ciągiem punktów na osi liczbowej R to

x_n=a_n x₀=g

Przykłady liczenia granic - zajęcia wyrównawcze

Pewne ciągi specjalne:

1. 
   

2. 
   

3. 
   

Jest to liczba niewymierna przestępna tzn. taka, że nie może być pierwiastkiem żadnego równania algebraicznego o wykładnikach wymiernych

Matematyka wykład doc. Andrzej Drozdowicz 10.11.2009r.

---