Wykład6

T: Wybrane charakterystyki funkcji produkcji

Def

Krańcowa wydajność i-tego nakładu w wektorze nakładów x nazywamy

ME- marginal efficiency

Definicja

Elastyczność produkcji względem i-tego nakładu w wektorze x nazywamy wielkość

Mówi o ile % w przybliżeniu wzrośnie produkcja jeżeli i-ty nakład w wektorze x wzrośnie o 1%

Definicja

Krańcowa stopa substytucji i-tego nakładu przez j-ty nakład nazywamy

Mówi o jaką ilość nakładu j należy zastąpić w wektorze x jednostkowy spadek nakładu i aby wielkość produkcji nie zmieniła się

Definicja

Elastyczność substytucji i-tego nakładu przez j-ty nakład nazywamy

Mówi o ile % powinien zwiększyć się j-ty nakład w wektorze x, aby przy zmniejszeniu i-tego nakładu o 1% wielkość produkcji się nie zmieniła

T: Izokwanty funkcji produkcji

F: R^k₊R¹₊ (funkcja produkcji) .

y₀-nieujemna liczba rzeczywista .

y₀≥0

Definicja

Zbiór postaci:

Nazywamy izokwantą (funkcji) produkcji

Przykład funkcji produkcji .

F:R²₊R¹₊

Y=f(x)=f(x₁, x₂)

Q= f (K,L)

Q-produkcja

K-kapitał

L-praca

Definicja

Technicznym uzbrojeniem pracy nazywamy iloraz:

1. 
   Funkcja produkcji Cobba-Douglasa (1927-28)

Funkcja produkcji f:R²₊R¹₊ spełniająca warunki 1-4 oraz warunek:

1. Krańcowa stopa substytucji pracy przez kapitał zależy wyłącznie od technicznego uzbrojenia pracy i jest liniową, rosnącą, funkcją tego uzbrojenia czyli:

Ma postać

W której: A>0,

Są parametrami

1. parametr wydajności, uwzględnia postęp techniczny (techniczno-organizacyjny)

Parametry α i β są odpowiednio:

-elastycznością produkcji Q względem kapitału K oraz elastycznością produkcji Q względem pracy L

Funkcja Cobba-Douglasa jest funkcją dodatnio jednorodną stopnia r=β+γ β+γ≤1

r- parametr efektu skali

W przypadku gdy współczynnik efektu skali r=1 można wyprowadzić następujące zależności:

a)w-wydajność pracy

w=w(u)=An^β

b) tzw. Efektywność kapitału od technicznego uzbrojenia pracy

e=e(u)=Au^γ

A>0

α_1, α₂,... α_k>0

2. Funkcja produkcji CES(1962)

(Constant Elasticity of Substitution)

SMAC-pierwsza nazwa (1961) od nazwisk 4 autorów

Funkcja produkcji f:R²₊R¹₊ spełniająca warunki 1-4 oraz warunek 5^I:

Krańcowa stopa substytucji pracy przez kapitał jest potęgową funkcją technicznego uzbrojenia pracy czyli:

Gdzie α i δ>0 ma postać

Gdzie A>0

Elastyczność krańcowej stopy substytucji pracy przez kapitał względem techicznego uzbrojenia pracy u jest stałą.

Funkcja produkcji Cobba-Douglasa jest szczególnym przypadkiem funkcji CES.

A>0

T:Elementy teorii przedsiębiorstwa

Przedsiębiorstwo w warunkach doskonałej konkurencji

Założenia:

1. Przedsiębiorstwo wytwarza 1 towar, zużywając w tym celu k innych towarów (nakłady, czynniki produkcji)

2. Działalność produkcyjną opisuje skalarna k czynnikowa funkcja produkcji .

Y=f(x) y=f(x₁, x₂,..x_k) f: R^k₊R₊

3. Przypisujemy, że jedynym celem przedsiębiorstwa jest max. Zysku

4.Przedsiębiorstwo nie ma wpływu na ceny towarów

5.Przed. Nie ma problemu ze zbytem produkcji

6.Pozostałe działające na rynku przeds. Są w stanie natychmiast zaspokoić zmieniające się zapotrzebowanie producenta na towary będące nakładami

Zadanie1

Wyznaczyć wektor nakładów x tak aby,

Pf(x)-<v,x>max (1)

Przy ograniczeniach

x ≥ Θ (2)

gdzie:

p-cena wytworzonego dobra

v= (v₁,...v_k) wektor nakładów

Twierdzenie

Jeżeli funkcja produkcji f spełnia warunki 1-3 a ceny p i v spełniają warunki:

p>0

to:

1. istnieje jeden wektor x*>Θ maksymalizujący dochód

2. wektor ten spełnia układ równań

Wykład7

τ
(x,p,v)=Θ (**)

Jeżeli f∈C²_Df to rozwiązanie układu (**) można w otoczeniu każdego punktu

(x,p,v)> Θ przedstawić jako funkcję:

x=ξ(p,v)

Wynika to z tzw. Twierdzenia o funkcjach uwikłanych

Funkcja produkcyjnego popytu na towaru ξ(ksi)

ξ=(ξ₁, ξ2,... ξ_k)

Funkcja ksi wyraża zależność optymalnego popytu x na towary od ceny p towaru wytwarzanego i cen v nakładów.

ξ- ma ciągłe pochodne cząstkowe w otoczeniu każdego punktu (p,v)> Θ-jest jednorodne stopnia zerowgo

ξ(λp, λv)= ξ(p,v)

Funkcja

Y=f(x)=f [ξ (p,v)]=y (p,v)

Nazywa się funkcją podaży towaru

Funkcja podaży towaru przyjmuje wartości rzeczywiste nieujemne. Funkcja y(eta) ma takie same własności jak funkcja ξ

Reakcja przedsiębiorstwa na zmianę cen:

Pochodna

Opisuje reakcję optymalnej wielkości produkcji na zmianę ceny p wytwarzanego towaru

Wzrost ceny p wytwarzanego zawsze prowadzi do zwiększenia optymalnej wielkości produkcji.

Wzrost ceny niektórych czynników produkcji (nakładów) powoduje spadek optymalnej wielkości produkcji

Wzrost ceny wytwarzanego towaru prowadzi do zwiększenia popytu na niektóre czynniki produkcji

Optymalna wielkość nakładów na zmianę ceny p

Wpływ zmiany ceny i-tego nakładu na popyt na j-ty nakład jest taki sam jak wpływ zmiany ceny j-tego nakładu na popyt na i-ty nakład

(Zależność między wektorami) Wzrost ceny produkowanego towaru powoduje wzrost popytu na i-ty czynnik produkcji, gdy zwiększenie ilości tego czynnika prowadzi do obniżenia optymalnego poziomu produkcji

Założenie

Gdy ceny są ustalone p i v a przedsiębiorstwo zdecydowało się na y-wielkość produkcji (jaką przedsięb. Otrzyma) to może ono być zainteresowane minimalizacją kosztów produkcji

Minimalizacja kosztów produkcji

Zadanie1

Wyznaczyć wektor nakładów x tak aby <v,x> min przy ograniczeniach .

F(x)=y x≥Θ

Można dowieść, że jeśli funkcja produkcji jest funkcją silnie wklęsłą to dla każdej wartości y>0 zadanie powyższe ma dokładnie jedno rozwiązanie x*

Funkcje: c:R¹₊R¹₊

Która przyporządkowuje poziomowi produkcji y>0 minimalny koszt otrzymanie takiej produkcji tj.

Y=f(x) x≥Θ

Nazywamy funkcją kosztów przedsiębiorstwa

Funkcja kosztów c jest:

A)ciągła

b)dodatnio jednorodna stopnia 1-ego

Znając funkcję kosztów c można wyznaczyć optymalną wielkość produkcji dla przedsiębiorstwa rozwiązując następujące zadanie.

Zadanie2

Wyznaczyć taką wielkość produkcji y , że: py-c(y)max

Przy ograniczeniu y≥0

Jeżeli funkcja kosztów c jest różniczkowalna to y*>0 jest optymalną wielkością produkcji ⇔gdy

1. p=c^II (y*)

2. c^II(y*)>0

Strategia krótkookresowa w przedsiębiorstwach

Omawiając strategię długookresową przyjmowaliśmy, że przedsięb może w każdej chwili wybrać i otrzymać dowolny wektor nakładów x≥Θ

W krótkich okresach czasu może tobyć niemożliwe np. niektóre z towarów zużywanych w procesie produkcji mogą być dostępne jedynie w ograniczonych ilościach

Zadanie3 (maksymalizacji zysku)

Wyznaczyć taki wektor nakładów x, że pf(x)-<v,x>max przy ograniczeniach y(x)= Θ (g(x)≤ Θ) x≥Θ

Przedsiębiorstwo w warunkach monopolu

Założenie

1. Przedsięb mające monopol na wytwarzany towar ma pływ na cenę p tego towaru, w tym wypadku p=p(y)

Przyjmujemy że .

P^I(y)<0

Monopolista jest gotowy obniżyć cenę a zwiększyć sprzedaż

2. Pozostałe przedsięb działające na rynku mają wpływ na ceny v_i (i=1,...k) tych nakładów

3.

⇓

v = v(x₁,...x_k)=(v₁(x₁),...,v_k(x_k))

⇓

Nasz producent jest skłonny zapłacić wyższą cenę za dodatkowe niezbędne mu nakłady

Zadanie4(maksymalizacji zysku)

Wyznaczyć taki wektor nakładów x aby p(y)=y-<v(x),x)max przy ograniczeniach y=f(x) x≥Θ

T: Statyczne modele równowagi. Prosty model wymiany.

Zał

1. Poniżej sformułujemy matematyczny model rynku, na którym wielu handlowców stara się zmaksymalizować swoją funkcję użyteczności w drodze wymiany towarów (bez udziału pieniędzy)

2. Na rynku znajduje się i jest dostępnych n doskonale podzielnych towarów

3. W wymianie bierze udział m handlowców

4. Każdy z handlowców posiada pewien koszyk towarów (koszyk początkowy-a k=(a1k, a2k,...a m k)≥0) k=1,...m j koszyk ten może być skonsumowany przez handlowca lub wymieniony na inny koszyk

5. Nie ma przymusu zawierania transakcji

6. Żadnemu z handlowców nie można zabronić dokonania korzystnej dla niego wymiany

7. Każdy z handlowców zachowuje się racjonalnie czyli godzi się na wymianę wtedy gdy nowy koszyk jest niegorszy od tego którego posiada

8. Każdy z handlowców posiada pełną informację na temat preferencji i początkowych zasobów koszyków wszystkich innych handlowców.

Gdyby:

Relacja słabej preferencji k-tego handlowca (k=1,...n)

Definicja

Alokacją dopuszczalną nazywamy każdy n°m wymiarowy wektor x=(x¹, x², ..., x^m) spełniający warunek:

F(a)-zbiór wszystkich alokacji dopuszczalnych odpowiadających alokacji początkowej

Każda alokacja dopuszczalna jest redystrybucją (wtórnym podziałem)koszyków początkowych.

Definicja

Alokację x∈F(a) nazywamy lokowaną przez koalicję S⊂{1,2,...,m} jeżeli isnieje alokacja y∈F(a) y=(y¹, y², ...y ^m) taka że:

1. suma po k∈S

2)

3)

Przykład

Alokacja

W której wszystkie koszyki należą do pierwszego handlowca jest blokowana przez koalicję utworzoną z S={2,3,...,m} pozostałych handlowców y∈F(a) y=a=(a¹, a²,...,a ^k)

Wykład8

Alokacje, które mogą być blokowane przez jakąś koalicję nie mają szans na dowolną realizację. Zrealizowane mogą być tylko takie alokacje, które nie mogą być blokowane przez żadną koalicję- alokacje nieblokowane.

Definicja

Alokację x∈F(a) nazywamy optymalną w sensie Pareto (Pareto-optymalną) jeżeli nie istnieje alokacja x∈F(a) taka, że:

(k=1,2,...m)

Interpretacja:

Alokacja x=(x1,...x^m) ∈F(a) jest zatem optymalna w sensie Pareto jeżeli nie istnieje alokacja y=(y ^I,...y^m) ∈F(a), która dla każdego z handlowców jest nie gorsza od x a przynajmniej dla jednego jest lepsza od x.

Zbiór wszystkich alokacji Pareto- optymalnych P(a)

Można dowieść, że dla każdej alokacji początkowej a=(a¹,....a ^m) zachodzą następujące inkluzje

C(a)⊂P(a)⊂F(a)

T:Prostokąt Edgewortha (PE) (Edgeworth's box)

Załóżmy że na rynku wymienia towary dwóch handlowców (m=2) liczba towarów też równa jest 2 (n=2)

A¹₁+a₁²

A₁² 0²

2-gi towar

a₂¹

0¹ 1-szy towar a¹₁

Przyjmijmy że krzywe obojętności każdego z handlowców są silnie wypukłe

0¹

0¹

Przez każdy punkt PE przechodzi dokładnie jedna krzywa obojętności każdego z handlowców

Zbiór punktów PE(zbiór alokacji dopuszczalnych) w których krzywe obojętności pierwszego handlowca są styczne do krzywych obojętności drugiego handlowca nazywamy krzywą kontraktów (krzywa kontraktowa) Krzywa kontraktów jest zbiorem alokacji optymalnych w sensie Pareto.

Krzywe obojętności przechodzące przez punkt a (alok. Początkowa) dzielą PE na dwie części. Obszar na zewnątrz widocznej na rys.”soczewki” i obszar złożony z punktów tej „soczewki” (razem z brzegiem). Każda alokacja położona na zewnątrz „soczewki” (nawet alok. Optymalna w sensie Pareto) będzie zawsze blokowana przez jednego z handlowców.

Zbiór wszystkich alokacji, które nie są blokowane (czyli jądro wymiany C(a)) jest częścią wspólną „soczewki” oraz krzywej kontraktów P(a)

T: Model równowagi rynkowej Arrowa-Hurwicza

Model opisuje zachowanie się grupy handlowców (m handlowców) którzy przybywają z towarami na rynek, aby je sprzedać i za uzyskane w ten sposób pieniądze kupić inne potrzebne im towary.

Zakładamy, że ceny towarów są jednolite na całym rynku.

Problem:

Czy można tak ustalić ceny towarów na rynku aby:

1) Każdy z handlowców mógł kupić koszyk towarów, który maksymalizuje jego funkcję użyteczności (w ramach budżetu tylko uzyskanego ze sprzedaży koszyka)

2. popyt na towary był równy ich podaży

m handlowców

n towarów

-koszyk początkowy k-tego handlowca

-koszyk towarów, który k-ty handlowiec chciałby nabyć

p=(p1, p2,....,p n) ≥Θ

wektor cen

Wybierając koszyki handlowcy kierują się indywidualnymi preferencjami odzwierciedlanymi przez funkcje użyteczności:

Założenie:

Każdy handlowiec zna wszystkie pary (a ^k, u ^k) k=1,...,m

Zadanie1

U^k(x)max

Przy ograniczeniach <p,x>=I^k x≥Θ

Z poznanych twierdzeń wynika że jeśli każda z funkcji użyteczności u k jest silnie wklęsła, rosnąca i dwukrotnie różniczkowalna to optymalny koszyk dla tego handlowca czyli koszyk x^k jest ciągła funkcją wektora cen p oraz budżetu I^k

ϕ^k -funkcja popytu k-tego handlowca (konsumenta)

Ponieważ

I^k=<p, a^k>

Gdzie a ^k∈Rⁿ₊ jest ustalone

Definicja

Wektorem nadmiernego popytu na towary nazywamy wektor

Ponieważ

Interpretacja:

Z(p)= (z₁(p), z₂(p),...z_n(p))∈R_n

Wtedy z _i (p)>0- nadwyżka popytu nad podażą i-tego towaru

Kiedy z _i (p)<0-nadmierna podaż i-tego towaru (przy cenach p=(p₁,...p _n)

Kiedy z _i (p)=0 na rynku jest równowaga cząstkowa

Definicje

Mówimy że rynek jest w równowadze gdy ustaliły się na nim ceny

Przy których

Wektor cen p (z daszkiem) spełniający powyższy warunek nazywamy wektorem cen równowagi walrasowskiej (ogólnej)

Definicja równowagi walrasowskiej nazywa się wektor

Utworzony z optymalnych koszyków wszystkich handlowców

Zakupionych po cenach równowagi

W(a) zbiór wszystkich alokacji równowagi walrasowskiej

Twierdzenie

Dla przyjętych założeń o funkcjach użyteczności u^k oraz dla dowolnej alokacji początkowej a zachodzą inkluzje W(a)⊂C(a) ⊂P(a) [⊂F(a)]

Twierdzenie

Założenie

1)Funkcje popytu f k (k=1,...m) są różniczkowalne w zbiorze Rⁿ₊\{Θ}

2)

3)dla każdego wektora p należącego do zbioru:

oraz każdego wektora

gdzie

macierz Jacobiego funkcji

z(p)=(z(p),...z_n(p))

spełnia warunek λ I(p) λ^T<0

Teza:

W modelu równowagi rynkowej Arrowa-Hurwicza istnieje dokładnie jeden wektor cen równowagi

Określony z dokładnością do mnożenia przez stałą

Macierz Jacobiego

Z(p)= (z₁(p),..., z _n(p))

Jest to macierz

Wyznacznik Jacobiego I(p) nazywa się jakobianem funkcji z w punkcie p.

Wykład9

Temat: Równania różniczkowe zwyczajne

Pod koniec XVIIw powstała teoria równań różniczkowych. Izaak Newton, G.W. Leibniz

Definicja

Równanie różniczkowe zwyczajne jest to równanie w którym występują pochodne y^I,y^II, ...y ⁽ⁿ⁾ pewnej nieznanej funkcji y=y(t)

t- zmienna niezależna

y- zmienna zależna

W równaniu różniczkowym może też wystąpić szukana funkcja y=y(t) oraz zmienna niezależna t

Założenie

F(t, y, y^I, y^II,... y⁽ⁿ⁾ )=0 (1)

F:Rⁿ⁺¹ R (n≥1)

F- jest ciągła w otwartym zbiorze U⊂Rⁿ⁺²

Najczęściej t∈(-∞,∞) lub t∈<0, ∞)

Istnieją jeszcze równania cząstkowe, w których poszukiwana funkcja jest funkcją wielu zmiennych.

Równanie (1) jest równaniem różniczkowym n-tego rzędu, bo występują w niej pochodna szukanej funkcji y⁽ⁿ⁾

Y ⁽ⁿ⁾ =f(t, y, y ^I,... y^(n-1) ) (2)

Przykład 1

Y ^I =a (a∈R)

Równanie różniczkowe rzędu pierwszego, normalne

Y(t)=at+c c∈R

Przykład 2

Ty^I +y ^II -e^t y² =0 t∈(-∞,∞)

Równanie nieliniowe

Y ^II= e^ty²-ty^I

Przykład 3

Załóżmy że są dane funkcja popytu i podaży na dane dobro

D=D(p) funkcja popytu

S=S(p) funkcja podaży p=p(t)

Jeżeli przyjmiemy że prędkość zmian cen jest proporcjonalna do nadmiernego popytu na rozpatrywany towar

E(p)- nadmierny popyt

To otrzymamy równanie różniczkowe

Równanie różniczkowe zwyczajne można podzielić na dwie obszerne klasy:

• Liniowe

• Nieliniowe

Definicja

Równanie n-tego rzędu nazywamy liniowym, jeżeli daje się przedstawić w postaci:

Których współczynniki a₀, a₁ , ...,a_n , g są samymi funkcjami zmiennej niezależnej t∈I

Uwagi

1) Jeśli współczynniki a₀, a₁, ...a_n nie zależą od zmiennej t to równanie liniowe jest o stałych współczynnikach

3. Gdy funkcja g jest identycznie równa 0 dla t∈I to równanie (3) nazywamy równaniem jednorodnym a jeżeli nie jest identyczne to nazywamy równaniem niejednorodnym

Przykład 4

5y^III + (sint)y^II- e^t y=0 równanie liniowe III rzędu jednorodne

Definicja

Rozwiązaniem równania różniczkowego (1) nazywamy każdą funkcję y=y(t) posiadającą dla t∈I pochodne aż do n-tego rzędu włącznie i taką że

Wykres każdej funkcji y=y(t) będącej rozwiązaniem równania (1) nazywamy krzywą całkową tego równania

Przykład5

Łatwo sprawdzić, że każda funkcja postaci

C₁, c₂ ∈R

Jest tzw. Rozwiązaniem ogólnym równanie różniczkowego y^II +y^I+1,25y=2,5

Przyjmując np.

C₁=-0,5 c₂=1,55

Otrzymujemy jedną z nieskończenie wielu tzw. Rozwiązań szczególnych powyższego równania różniczkowego

2

T: Interpretacja geometryczne rozw. Równania różniczkowego. Pole kierunków

Y I= f(t,y) (*)

Niech y=y(t) jest rozwiązaniem równania (*) dla t∈I

Fakt że funkcja y jest rozwiązaniem rów (*) oznacza, że przy zadanym prostokątnym układzie współrzędnych styczną do krzywej całkowej y=y(t) ma w każdym leżącym na tej krzywej punkcie P(t,y) współczynnik kierunkowy k=f(t,y)

A zatem rozwiązanie równania różniczkowego (*) sprowadza się do następującego zadania.

Wiedząc, że każdemu punktowi o współrzędnych (f,y) z pewnego obszaru jest przyporządkowany pewien kierunek K=f(t,y) (kiedy zadanie jest tzw. Pole kierunków) Trzeba znaleźć wszystkie krzywe, które w każdym swoim punkcie P mają styczną o współczynniku kier. Wyznaczonym przez powyższe pole kierunków

Przykład 6

Y^I=y² równanie rzędu pierwszego nieliniowe autonomiczne

Y² ⇒f(t,y)

K=f(t,y)=y ²

Rozwiązaniem ogólnym jest funkcja

Rozwiązanie osobliwe y(t)=0

Rozwiązanie ogólne i szczególne równań różniczkowych

Rozwiązanie osobliwe

Def.

Rozwiązanie równania różniczkowego-tego rzędu nazywamy rozw. Ogólnym jeżeli w rozw. Tym wyst n różnych stalych

Y=y(t, c₁,... c _n) c₁...c _n∈R

Każde rozwiązanie które otrzymuje się z rozw. Ogólnego wstawiając za wspomniane stałe ustalone wartości liczbowe nazywamy rozw. Szczególnym równanie różniczkowego

Rozw rów różniczkowego które nie może być otrzymane z rów ogólnego w wyżej opisany sposób nazywamy rozw. Osobliwym

Równanie roż może (ale nie musi) posiadać rozw. Osobliwego

Przykład7

Y II +y=0 (*)

Y(t)=c₁ cost +c₂ sint (c₁, c₂∈R)

Rozw nie posiada rozw różniczkowego

Przykład8

(y ^I)³-y=0

y(t)≡0 rozw osobliwe

T: Warunki początkowe i brzegowe . Problem Cauchiego

Chcąc wyznaczyć stała c1,...cn wyst w rozw ogólnym rów n-tego rzędu musimy narzucić na rozw ogólne pewne warunki. Liczba tych warunków musi być równa rzędowi równania n

Warunki odnoszące się do jednegoo punktu t₀∈I nazywamy warunkami początkowymi. Warunki odnoszące się do więcej niż jednego punktu I nazywamy warunkami brzegowymi.

Przykład9

Problem Cauchiego

Równanie różniczkowe wraz z narzuconymi warunkami początkowymi tworzą tzw. Problem Cauchiego

Przykład10(przykład problemu brzegowego)

Rozwiązanie

Problem Cauchiego

Znaleźć rozw y=y(t) równania róż

Spełniające warunki początkowe

Twierdzenie (o istnieniu jednoznaczności rozw problemu Cauchiego)

Jeżeli wyst w rów (*) funkcja f traktowana jako funkcja n+1 zmiennych t, y, y^I...y^n-1

Jest ciągłą i ma ograniczone pochodne cząstkowe

W pewnym obszarze D⊂R ⁿ⁺¹ zawierającym punkt (t ₀, y₀, t¹₀,..y ^n-1₀) to istnieje przedział (a,b) oraz określana dla t∈(a,b) dokładnie jedna n-krotnie różniczkowalna w sposób ciągły funkcja y=y(t) spełniająca równanie (*) i warunki początkowe tego równania

Wykład 10

T: Równania różniczkowe pierwszego rzędu

Równania o zmiennych rozdzielonych

Jeżeli funkcję f daje się przedstawić w postaci ilorazu

To daje się przedstawić w postaci

Można je także zapisać w postaci:

P(t,y)dt+Q(t,y)dy=0 (2) postać różniczkowa

Definicja

Równanie różniczkowe I-ego rzędu nazywamy równaniem o zmiennych rozdzielonych jeżeli ma poniższą postać różniczkową P(t)dt+Q(y)dy=0 (3)

UWAGA

Równanie postaci

M(t)N(y)dt+P(t)Q(y)dy=0 (4) równanie o zmiennych separowanych

Można łatwo sprowadzić do postaci (3) dzieląc je stronami przez iloczyn N(y)P(t)

Aby znaleźć rozwiązanie ogólne równania (3) wystarczy scałkować to równanie stronami

Równanie (5) daje uwikłany związek między zmiennymi y i t, czyli związek postaci

φ(t,y,c)=0 (6)

Równanie (6) jest to całka ogólna równanie (3)

Jeżeli potrafimy z równania (6) wyznaczyć y jako funkcje zmiennej niezależnej t, to otrzymujemy rozwiązanie ogólne równania (3)

Y=y(t, c₁)

Przykład1

Rozw ogólne równania (*)

Równanie (*) ma też rozwiązanie osobliwe y(t)≡0

Wiele równań różniczkowych I-rzędu daje się za pomocą różnego rodzaju przedstawień, przekształceń sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych np. równanie jednorodne i Bernoulliego

• Jednorodne

Y^I=f(t,y) w których funkcja f jest funkcja jednorodną

Przykład2

• 
  Bernoulliego

Y^I + P(t)y=Q(t)yⁿ

Np.

Y^I-ty= -ty³

• Liniowe równanie różniczkowe I-go rzędu

A₁ (t)y ^I+ a₀ (t) y=y(t) (7)

Jeśli dla t∈I a₁(t)≠0

To równanie (7) przedstwić można w postaci

Rozwiązanie

Całkując stronami otrzymamy rozwiązanie ogólne równania jednorodnego (8^I)

c∈R (9)

Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego (8) otrzymujemy stosując tzw. Metodę uzmienniania stałych

Poszukujemy rozwiązywania równania (8) wstając do niego funkcję

Otrzymujemy

Podstawiając powyższą funkcję do wzoru (9) otrzymujemy wzór na rozwiązanie ogólne niejednorodnego równania różniczkowego postaci I-go rzędu postaci (8)

Ze wzoru (10) widać, że rozwiązanie ogólne równanie (8) jest sumą:

-rozwiązania ogólnego równania jednorodnego (8^I)

-rozwiązania szczególnego równania równoważnego niejednorodnego (8) (po wstawieniu c₁=0)

• Liniowe równania różniczkowe wyższych rzędów

Uproszczenieoperator-funkcjom przyporządkowuje funkcje

Postać operatora

L[y]=y(t) (11^I)

Twierdzenie

Jeżeli funkcje y1=y1(t),...y n=y n(t) są rozwiązaniem równania jednorodnego

L[y]=0 (12)

To każda ich kombinacja liniowa

Też jest rozwiązaniem tego równania

Definicja

Funkcje y1,...,yn nazywamy liniowo niezależnymi w przedziale I jeżeli

Przykład3

1. {1,t,t2} liniowo niezależne w I=(-∞,∞)

2. {1,t,0} nie są liniowo niezależne w I=(-∞,∞)

3. Wrońskian od J.M.Hoene-Wroński 1776-1853

Zał

Y₁, y₂,...y_n funkcje n-1 krotnie różniczkowalne w I

Definicja

Twierdzenie

Niech funkcje y₁=y₁(t),...,y_n =y_n(t) (t∈I) będą rozwiązaniami równania

L[y]=0

Wkw ma to by funkcje te były liniowo niezależne w przedziale I jest aby istniał punkt t₀∈I taki że W(y₁, y₂,...,y_n) ≠0

Twierdzenie

Jeżeli y₁=y₁(t),...,y_n =y_n(t) są liniowo niezależnymi rozwiązaniami równania L[y]=0 dla t∈I oraz c1,...c n są dowolnymi stałymi to funkcje

Jest rozwiązaniem tego równania

Twierdzenie

Jeżeli funkcja

Jest rozwiązaniem ogólnym równania jednorodnego L[y]=0 oraz funkcja

Jest jakimkolwiek rozwiązaniem szczególnym równania niejednorodnego L[y]=g(t) to funkcja

Jest rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego

Rozwiązywanie równań

I Tworzymy
tzw. Równanie charakterystyczne dla równania (*)

II Rozwiązujemy równanie(**)

• Równanie charakterystyczne może mieć wyłącznie pierwiastki rzeczywiste

-różne

-wielokrotne

Równanie może mieć pierwiastki i rzeczywiste i zespolone

-jednorodne

-wielokrotne

Przykład4

1)Niech r₁, r₂, ...r _n będą rzeczywistymi i różnymi pierwiastkami charakterystycznego równania (**)

Rozwiązanie ogólne równania (*) ma wtedy postać:

Np.

Pierwiastki

R₁= -1 r₂= 1 r₃=2

Wykład11

I Pierwiastki rzeczywiste wielokrotne

Twierdzenie

Jeżeli r jest k-krotnym (k≥1) pierwiastki równania charakterystycznego dla równania różniczkowego L[y]=0 to funkcja postaci: e^{r t}, te^{r t}, ...t ^k-1e^{r t} są liniowo niezależnymi rozw równania różniczkowego L[y]=0

Przykład1

Y⁽⁷⁾ +y⁽⁶⁾ -6y⁽⁵⁾ -6y⁽⁴⁾ +9y^III +9y^III -4y^I - 4y=0

Y⁽⁷⁾ +y⁽⁶⁾ -6y⁽⁵⁾ -6y⁽⁴⁾ +9y^III +9y^III -4y^I - 4yL[y]

R⁷ +r⁶ +6r⁵ -6r⁴ +9r² -4r -4 =0

R₁= -2 R₂= 2 r₃=r₄=r₅= -1 r₆=r₇=1

Y₁(t)=e ^-2t y₆(t)=e ^t

Y₂(t)= e ^2t y₇(t)=te ^t

Y₃(t)=e ^-t

Y₄(t)= t e ^-t

Y₅(t)=t2 e ^-t

Rozwiązanie ogólne:

Y(t)=c₁y₁(t)+...+c₇y₇(t)=c₁e ^-2t+...+c₇te^t

II Pierwiastki zespolone różne

Twierdzenie

Jeżeli równanie charakterystyczne (rów kwadratowe) ma dwa różne pierwiastki zespolone

R₁= a +b_i ∧ r₂=a-b_i

To rozw ogólne L[y]=0 ma postać

Przykład2

Y^III - 3y^II +9y^I +13y=0

R³-3r²+9r+13=0

R₁= -1 y1(t)= e ^-t

R₂=2 +3i y2(t)=e^2tcos 3t

R₃=2-3i y3(t)=e^2tsin3t

Rozwiązanie ogólne:

III Wielokrotne pierwiastki zespolone

Przypuśćmy, że liczby r=a±bc są k-krotnymi zespolonymi pierwiastkami dla równanie L[y]=0. Pierwiastkom tym (a jest ich 2k)odpowiada 2k liniowo niezależnych rozwiązań równania L[y}=0 Rozwiązania te mają postać

Y₁(t)=e^{a t} cosbt y₂(t)=e^{a t} sinbt

Y₃(t)=te^{a t} cosbt y₄(t)=te^{a t} sinbt

Y₅(t)=t²e^{a t} cosbt y₆(t)=t²e^{a t} sinbt

............................. ............................

y_2k-1(t)=t^k-1 e^{a t} cosbt y_2k(t)=t ^k-1 e^{a t} sinbt

Przykład3

Y⁽⁶⁾ - 5y⁽⁵⁾ +32y^III- 84y^II+ 92y^I -48y=0

R⁶-5r⁵+32r³-84r²+92r-48=0

R₁= -3 y₁(t)=e ^-3t

R₂=4 y₂(t)=e ^4t

R₃=r₄=1-i y₃(t)=e^t sint ∧ y₄(t)=te^t sint

R₅=r₆=1+i y₅(t)=e^t cost ∧ y₆(t)=te^t cost

Ogólne rozwiązanie

IV Rozwiązanie ogólne równania L[y]=g(t) (*)

Twierdzenie

Jeżeli funkcje y₁=y₁(t),...y _n= y_n(t) są liniowo niezależnymi rozwiązaniami L[y]=0 to rozwiązanie szczególne równania

Ma postać

Gdzie W(t) jest wrońskianem funkcji y₁....y _n natomiast

Przykład4

Y ^III- y ^II - y ^I +y= e ^t (*)

Ogólnym rozwiązaniem równania jednorodnego jest funkcja

Y^III- y ^II- y^I +y= e^t

Ogólnym rozwiązaniem równania jednorodnego jest funkcja

Po scałkowaniu i pominięciu stałej całkowej

Rozwiązanie szczególne

Odp:

Więc szczególne rozwiązanie równania różniczkowego (*) ma postać

A(a¹,a²)

X=(x¹,x²)

A¹₂

A² ₂

Wzrost użyt

Wzrost użyt

a

C(a)

---