cz1.

WSZYSTKIE TEKSTY SA TAKEI SAME JAK W KAZDEJ INNEJ PRACY - TAKZ E JEŚLI PRZEPISZESZ TO ZYWCEM TO JEST 100% PRAWDOPODOBNE ZE ZACZNIE CIE PYTAC O WSZYSTKO JAK I SKAD OBLICZYLES. Staraj się żeby praca nie była podobna, zmieniaj tekst, zdania, rysunki, układ strony, ale generalnei warto cos wiedzcie jak jest to policzone bo Ci ludzie zawsze i każdego potrafią zapytac ukradkiem o jakas głupotę, im mniej człowiek wie tym go bardziej pytaja.

Zadanie 1 - wyprowadzenie równań równowagi płynu.

Rozważamy dowolną przestrzeń
wypełnioną płynem idealnym

- wnętrze obszaru

- powierzchnia ograniczająca obszar

ds - elementarny wycinek powierzchni dV - elementarny wycinek wnętrza obszaru

ΔFp - jednostkowa siła powierzchniowa

ΔFv - jednostkowa siła objętościowa

- wektor normalny do wycinka ds.

- gęstość sił objętościowych

- gęstość sił powierzchniowych

Siły powierzchniowe zależą od usytuowania rozpatrywanej powierzchni, nie są zatem wielkością stałą i niezależną. Niezależnie od doboru powierzchni opisywał będzie stan cieczy tensor napręzeń- charakteryzujący naprężenia w danym punkcie. Na jego wartości nie ma wpływu sposób doboru powierzchni.

- tensor naprężeń

Ze względu na równości odpowiednich naprężeń stycznych, macierz ta jest macierzą symetryczną, czyli:
, ponieważ
.

Rysunki przedstawiają elementarny wycinek obszaru Ω- czyli d Ω, oraz jego naprężenia i współrzędne wektora

Są to makroskopowe ujęcia punktu obszaru. Można spostrzec ze na jego powierzchnię działają siły powierzchniowe zależne od doboru powierzchni. Ściana powierzchni opisywana jest przez wektor

Ogólny stan naprężenia w danym punkcie przedstawia tensor naprężeń σ Siła powierzchniowa będzie zatem równa:

- jest to wektor [N/m] = [Pa]

(R³) (R^3x3) (R³)

Znalezienie siły wypadkowej wymaga scałkowania po powierzchni:

; [N]

Analizując budowę tensora σ zauważymy, że:

Tensor σ tensor kulisty tensor dewiatorowi - σ_D

Gdzie:
; oraz
- ślad macierzy σ

Tensor kulisty to

Czyli ostatecznie:

Tensor kulisty odpowiedzialny jest za opis matematyczny wszechstronnego ściskania/rozciągania. Dewiator jest wyrażeniem związanym ze zmianą postaci ciala - ścinaniem. Ponieważ przy rozpatrywaniu płynu nie możemy mowić o rozciąganiu, a σ₀ ma kierunek naprężeń rozciągających, to ma on zawsze wartość ujemna. Wartość tę nazywamy ciśnieniem.

;
;

Po uwzględnieniu założenia, że siła powierzchniowa w każdym kierunku jest jednakowa i skierowana prostopadle do powierzchni, to dla danej chwili:

Jest to całka wektoru

Rozważając kolejno siły objętościowe:

[N/m³] - gęstość siły objętościowej.

Są to siły wewnętrzne, wzajemne. Obliczamy ich wypadkową dla danej chwili:

Siła wypadkowa w całym obszarze to
:

Na mocy Twierdzenia Gaussa-Ostrogradskij-ego możemy zastąpić całkę powierzchniową całka objętosciową w poniższy sposób:

Aby zachowana była równowaga to:
dla każdego obszaru Ω czyli:

Musi tak być dla każdego obszaru Ω 0 (ponieważ równie dobrze wymagać można zachowania równowagi i tego obszaru). Zależność
= 0 nazywamy równaniem równowagi ośrodka ciągłego, lub równaniem Eulera. Obowiązuje ono dla płynu nielepkiego.

, a wtedy:

Możemy zatem napisać równanie równowagi dla płynu:

Ponieważ:
, oraz
to ostatecznie:

Dla zachowania pełnej równowagi spełnione musi być też równanie momentów.

Po przekształceniach analogicznych do tych z warunku na równowagę sił, możemy zauważyć że jeżeli siłą wypadkowa będzie równa zeru, to niezależnie od tego na jakim ramieniu będzie działała, również da moment równy zeru. A zatem warunkiem wystarczającym do spełnienia aby ośrodek był w równowadze, jest zależność:

Jest to warunek równowagi płynu doskonałego.

Zadanie 2 - cysterna

α%=	13	%		α=	7,4	°
L=	7,6	[m]
D=	2,1	[m]
d=	1	[m]
ρcieczy=	1000	[kg/m^3]
a=	0,28	g		Współrzędne klapy:
g=	9,81	[ms^2]		Xk=	7,6	klapa tylna
Pa=	101325	[Pa]		Yk=	1,05

Znajduję siły objętościowe działające na ciecz w poruszającej się cysternie:

Siła ciężkości: fg =ρ g - skierowana zgodnie z kierunkiem wektora grawitacji

Sila bezwładności fb = - ρa skierowane zawsze przeciwnie do przyspieszenia cysterny - czyli zgodnie z kierunkiem osi x

[N/m³]- jest to wektor wypadkowy sił objętościowych w układzie (x,y,z), obliczam jego współrzędne:

fx=	4011
fy=	-9728
fz=	0

Mając współrzędne możemy usytuować wektor wypadkowy w płaszczyźnie cysterny. Wektor wskazuje kierunek najszybszego wzrostu cisnienia, po przeciwnej stronie jest kierunek spadku. W rogu, wskazywanym przez kierunek spadku ciśnienia znajduje się pęcherzyk powietrza, panuje w nim ciśnienie atmosferyczne.

Linie prostopadłe do wektora wypadkowego to izobary - linie stałego ciśnienia.

Wiemy, że:
- równanie równowagi dla płynu

natomiast
czyli z tego wynika, że:

A zatem możemy napisać korzystając z różniczki zupełnej:

ale ponieważ
to w każdym otoczeniu punktow o współrzędnych x,y,z pochodne cząstkowe są stałe i możemy zastąpić:
,

i napisać równanie ciśnień w postaci:

I wtedy: p(x,y,z) =

p(x,y,z) =

4011

x +

-9728

y +

0

z + c

C - obliczamy z warunku brzegowego na ciśnienie atmosferyczne w punkcie gdzie znajduje się pęcherzyk powietrza.

Współrzędne punktu pęcherzyka to:

Xp=	0
Yp=	2,1

Czyli p( x_p, y_p) = 101325 =4011 x_p - 9728 y_p + c

Po obliczeniu:

c=

121754

[Pa]

Równanie ciśnienia ma następującą postać:

p(x,y,z) =

4011

x +

-9728

y +

121754

Aby znaleźć siłę naporu wody na klapę należy obliczyć ciśnienie w punkcie środka ciężkości tej klapy, a następnie pomnożyć je przez pole powierzchni tej klapy:

Współrzędne klapy:
Xk=	7,6	klapa tylna	p(xk, yk)=	142027	[Pa]
Yk=	1,05
Aklapy=πd^2/4=		0,79	[m^2]
F=A*p(xk, yk)=		110781	[N]	-odpowiedź

Zadanie 2 - pława

H0=	1,4	[m]
m0=	205	[kg]
δ=	0,003	[m]
ρstali=	7400	[kg/m^3]
ρwody=	1000	[kg/m^3]
g=	9,81	[m/s^2]

Najpierw obliczam objętość zanurzoną, masę i siłę wyporu pontonu, i zestawu pontonów:

Równanie równowagi układu:

22073	a^3	=	7063	a^2+	2011
22073	a^3	-	7063	a^2-	2011	=0

Za pomocą Excela obliczam wartości dla kolejnych wartości parametru a i znajduję pierwsze dodatnie rozwiązanie. Wartość dokładna rozwiązania to 0,589 m, przyjmuję do dalszych obliczeń wartość a = 0,6 [m]

Następnie trzeba obliczyc polozenie środka ciężkości pontonów, zestawu pontonów i pławy oraz srodka wyporu. Pontony nie są symetryczne względem płaszczyzny poziomej. Polozenie srodka ciężkości ściany pontonu w kształcie trapezu obliczam wedlug schematu:

Srodek ciężkości jest zlozeniem srodkow ciężkości wszystkich ścian pontonu:

xc pont=	-0,26	[m]
M=	259	[kg]
xc plawy=Ho=	1,4	[m]
m0=	205	[kg]

xc=

0,47

[m]

Środek wyporu pontonu obliczam jako środek ciężkości objętości zanurzonej pontonu, przy czym zgodnie z zalozeniem ponton przyjmuję zanurzony do polowy swojej wysokości.

Odległość pomiędzy środkiem wyporu i środkiem ciężkości:

lm=|xcxw|=

0,8

[m]

Obliczam momenty bezwładności przekroju względem jego głównych centralnych osi bezwładności. Przekrój zanurzeniowy pontonu jest prostokątem o bokach a i 2a

Obliczam momenty bezwładności układu pontonów względem głownej centralnej osi bezwładności Przyjmuję promień rozstawu pław A=4m, B=3m

Pionowa glowna centralna oś bezwladnosci jest osią symetrii

Poziomą znaduję w następujący sposób:

(Xc jest współrzędna położenia osi centralnej licząc

od punktu przecięcia się zaznaczonych oci charakterystycznych.

Osiami wywrotu będą osie glowne centralne.

Obliczam oba momenty bezwładności-względem

obu osi żeby wiedziec względem której pława

jest mniej stateczna.

P - pole powierzchni przekroju.

,

Mniejszy jest moment bezwładności względem osi X, i to jego wartość przyjmujemy do dalszych obliczeń.

Możemy teraz obliczyć wysokość metacentryczną:

= 4,58 [m⁴] /2,25a³ - 0,8[m] = 9,42 m - 0,8 m = 8,62 m >>2[m] - warunek stateczności pławy postawiony w zadaniu jest spełniony.

1

---