Część I

PRZEPISZ STARANNIE - ZWRACA NA TO UWAGE, PRZEPISZ TAK ŻEBY PRACA NIE BYŁA PODOBNA - INNI MOGĄ MIEC TAKIE SAME I CO WTEDY?

Zadanie 1 - wyprowadzenie równań równowagi płynu.

Rozważamy dowolną przestrzeń
wypełnioną płynem idealnym

- wnętrze obszaru

- powierzchnia ograniczająca obszar

ds - elementarny wycinek powierzchni dV - elementarny wycinek wnętrza obszaru

ΔFp - jednostkowa siła powierzchniowa

ΔFv - jednostkowa siła objętościowa

- wektor normalny do wycinka ds.

- gęstość sił objętościowych

- gęstość sił powierzchniowych

Siły powierzchniowe zależą od usytuowania rozpatrywanej powierzchni, nie są zatem wielkością stałą i niezależną. Niezależnie od doboru powierzchni opisywał będzie stan cieczy tensor napręzeń- charakteryzujący naprężenia w danym punkcie. Na jego wartości nie ma wpływu sposób doboru powierzchni.

- tensor naprężeń

Ze względu na równości odpowiednich naprężeń stycznych, macierz ta jest macierzą symetryczną, czyli:
, ponieważ
.

Rysunki przedstawiają elementarny wycinek obszaru Ω- czyli d Ω, oraz jego naprężenia i współrzędne wektora

Są to makroskopowe ujęcia punktu obszaru. Można spostrzec ze na jego powierzchnię działają siły powierzchniowe zależne od doboru powierzchni. Ściana powierzchni opisywana jest przez wektor

Ogólny stan naprężenia w danym punkcie przedstawia tensor naprężeń σ Siła powierzchniowa będzie zatem równa:

- jest to wektor [N/m] = [Pa]

(R³) (R^3x3) (R³)

Znalezienie siły wypadkowej wymaga scałkowania po powierzchni:

; [N]

Analizując budowę tensora σ zauważymy, że:

Tensor σ tensor kulisty tensor dewiatorowi - σ_D

Gdzie:
; oraz
- ślad macierzy σ

Tensor kulisty to

Czyli ostatecznie:

Tensor kulisty odpowiedzialny jest za opis matematyczny wszechstronnego ściskania/rozciągania. Dewiator jest wyrażeniem związanym ze zmianą postaci ciala - ścinaniem. Ponieważ przy rozpatrywaniu płynu nie możemy mowić o rozciąganiu, a σ₀ ma kierunek naprężeń rozciągających, to ma on zawsze wartość ujemna. Wartość tę nazywamy ciśnieniem.

;
;

Po uwzględnieniu założenia, że siła powierzchniowa w każdym kierunku jest jednakowa i skierowana prostopadle do powierzchni, to dla danej chwili:

Jest to całka wektoru

Rozważając kolejno siły objętościowe:

[N/m³] - gęstość siły objętościowej.

Są to siły wewnętrzne, wzajemne. Obliczamy ich wypadkową dla danej chwili:

Siła wypadkowa w całym obszarze to
:

Na mocy Twierdzenia Gaussa-Ostrogradskij-ego możemy zastąpić całkę powierzchniową całka objętosciową w poniższy sposób:

Aby zachowana była równowaga to:
dla każdego obszaru Ω czyli:

Musi tak być dla każdego obszaru Ω 0 (ponieważ równie dobrze wymagać można zachowania równowagi i tego obszaru). Zależność
= 0 nazywamy równaniem równowagi ośrodka ciągłego, lub równaniem Eulera. Obowiązuje ono dla płynu nielekkiego.

, a wtedy:

Możemy zatem napisać równanie równowagi dla płynu:

Ponieważ:
, oraz
to ostatecznie:

Dla zachowania pełnej równowagi spełnione musi być też równanie momentów.

Po przekształceniach analogicznych do tych z warunku na równowagę sił, możemy zauważyć że jeżeli siłą wypadkowa będzie równa zeru, to niezależnie od tego na jakim ramieniu będzie działała, również da moment równy zeru. A zatem warunkiem wystarczającym do spełnienia aby ośrodek był w równowadze, jest zależność:

Jest to warunek równowagi płynu doskonałego.

Zadanie 2 - cysterna

L=	9,2	[m]
D=	2,2	[m]
d=	1	[m]
ρmleka=	1300	[kg/m^3]
a=	0,3	g		Współrzędne klapy:
g=	9,81	[ms^2]		Xk=	4,6	klapa dolna
Pa=	101325	[Pa]		Yk=	0

Znajduję siły objętościowe działające na ciecz w poruszającej się cysternie:

Siła ciężkości: fg =ρ g

Sila bezwładności fb = - ρ a ( skierowane przeciwnie do przyspieszenia cysterny - czyli zgodnie z kierunkiem osi x )

[N/m³] - jest to wektor wypadkowy sił objętościowych, obliczam jego współrzędne:

fx=	3826
fy=	-12753
fz=	0

Mając współrzędne możemy usytuować wektor wypadkowy w płaszczyźnie cysterny. Wektor wskazuje kierunek najszybszego wzrostu cisnienia, po przeciwnej stronie jest kierunek spadku. W rogu, wskazywanym przez kierunek spadku ciśnienia znajduje się pęcherzyk powietrza, panuje w nim ciśnienie atmosferyczne.

Linie prostopadłe do wektora wypadkowego to izobary - linie stałego ciśnienia.

Wiemy, że:
- równanie równowagi dla płynu

natomiast
czyli z tego wynika, że:

A zatem możemy napisać korzystając z różniczki zupełnej:

ale ponieważ
to w każdym otoczeniu punktow o współrzędnych x,y,z pochodne cząstkowe są stałę i możemy zastąpić:
,

i napisać równanie ciśnień w postaci:

I wtedy: p(x,y,z) =

p(x,y,z) =

3826

x +

-12753

y +

0

z + c

C - obliczamy z warunku brzegowego na ciśnienie atmosferyczne w punkcie gdzie znajduje się pęcherzyk powietrza.

Współrzędne punktu pęcherzyka to:

Xp=	0
Yp=	2,2

Czyli p( x_p, y_p) = 101325 =3826 x_p - 12753 y_p + c

Po obliczeniu:

c=

129382

[Pa]

Równanie ciśnienia ma następującą postać:

p(x,y,z) =	3826	x +	-12753	y +	129382

Aby znaleźć siłę naporu mleka na klapę należy obliczyc ciśnienie w punkcie środka ciężkości tej klapy, a następnie pomnożyc je przez pole powierzchni tej klapy:

Współrzędne klapy:
Xk=	4,6	klapa dolna	p(xk, yk)=	146981	[Pa]
Yk=	0
Aklapy=πd^2/4=		0,79	[m^2]
F=A*p(xk, yk)=		114645	[N]	-odpowiedź

Zadanie 2 - pława

H0=	1,35	[m]
m0=	210	[kg]
δ=	0,003	[m]
ρstali=	7400	[kg/m3]
ρwody=	1000	[kg/m3]
g=	9,81	[m/s2]

Najpierw obliczam objętość zanurzoną, masę i siłę wyporu pontonu, i zestawu pontonów:

(Promieniem zaokrągenia jest wartość a, ponton jest zanurzony do polowy swojej wysokosci)

V_z = 6 V_z1 = 6,66a³

M = 4 M₁ = 1638 a²

65335 a³

Równanie równowagi układu:

65335	a^3	=	16069	a^2+	2060
65335	a^3	-	16069	a^2-	2060	=0

Za pomocą Excela obliczam wartości dla kolejnych wartości parametru a i znajduję pierwsze dodatnie rozwiązanie. Wartość dokładna rozwiązania to 0,418 m, przyjmuję do dalszych obliczeń wartość a = 0,42 [m]. Następnie trzeba obliczyc polozenie środka ciężkości pontonów, zestawu pontonów i pławy oraz srodka wyporu. Pontony nie są symetryczne względem płaszczyzny poziomej.

Ponton:

-0,164

Srodek ciężkości całego pontonu jest zlozeniem srodkow ciężkości wszystkich ścian pontonu.

xc pont=	-0,164	[m]
M=	289	[kg]
xc plawy=Ho=	1,35	[m]
m0=	210	[kg]

xc=

0,473

[m]

Środek wyporu pontonu obliczam jako środek ciężkości objętości zanurzonej pontonu, przy czym zgodnie z założeniem, ponton przyjmuję zanurzony do polowy swojej wysokości.

-0,3 [m]

Odległość pomiędzy środkiem wyporu i środkiem ciężkości:

lm=|xcxw|=

0,77

[m]

Obliczam momenty bezwładności przekroju względem jego głównych centralnych osi bezwładności. Przekrój zanurzeniowy pontonu jest prostokątem o bokach a i 2,73 a (ponieważ ponton jest ostrosłupem o podstawie trapezu zanurzonym do polowy wysokości -w sposób jak na rysunku w tresci zadania)

- pole powierzchni przekroju zanurzeniowego

0,0526[m⁴]

0,0072 [m⁴]

Obliczam momenty bezwładności układu pontonów względem głownej centralnej osi bezwładności (ze względu na symetrię promienista układu momenty względem innych osi przechodzących przez środek symetrii będą takie same)

Przyjmuję promień rozstawu pław r = 2 m

Moment pontonu obróconego i odsuniętego od osi X obliczam następująco;

e = r sin 60^o = 1,73 [m]

A = 2,73 a² = 0,48 [m²]

- pole powierzchni przekroju zanurzeniowego

I_X1 = I_cxc cos² 60^o + I_cyc sin² 60^o = 0,0185 [m⁴]

I_X = I_y1 + Ae² = 0,0185 + 0,48 *1,73 ² = 1,45 [m⁴]

Moment całego zestawu pontonów:

I_cX = 2 I_cxc + 4 I _X = 5,8 [1m⁴]

Momenty względem pozostałych osi będą równe,

Więc jest to zarazem jedyny i najmniejszy moment

bezwładności tej pławy.

Możemy teraz obliczyć wysokość metacentryczną:

= 5,81 [m⁴] / 6,66a³ - 0,77 [m] = 11,78m - 0,77 m = 11,01m >>2[m]

- warunek stateczności pławy postawiony w zadaniu jest spełniony.

1

---