1. a) Podaj wzór jednomianu stopnia drugiego, wiedząc, że do jego wykresu należy punkt 
.
PRZYGOTOWANIE DO SPRAWDZIANU - FUNKCJA KWADRATOWA ( I )
POZIOM ROZSZERZONY
DOPUSZCZAJĄCY
1. a) Podaj wzór jednomianu stopnia drugiego, wiedząc, że do jego wykresu należy punkt
.
b) Sprawdź, czy punkt 
należy do wykresu funkcji 
.
2. a) Podaj postać kanoniczną funkcji kwadratowej, której wykres otrzymamy przesuwając równolegle
wykres jednomianu stopnia drugiego 
o wektor 
.
b) Podaj wzór jednomianu kwadratowego oraz współrzędne wektora, o jaki należy przesunąć
wykres tego jednomianu, aby otrzymać wykres funkcji 
.
3. a) Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli o równaniu 
.
b) Oblicz sumę obu współrzędnych wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej
.
4. a) Odczytaj współczynniki a, b, c funkcji kwadratowej dane w postaci ogólnej 
.
Wiedząc, że 
podaj postać ogólną funkcji kwadratowej.
5. a) Zbadaj, ile miejsc zerowych ma funkcja kwadratowa 
.
b) Na podstawie postaci iloczynowej funkcji kwadratowej 
, podaj jej miejsca
zerowe.
c) Znając współczynnik a oraz miejsce zerowe funkcji kwadratowej, podaj jej
postać iloczynową : 
.
6. Przedstaw w postaci iloczynowej funkcję kwadratową daną w postaci ogólnej 
(o ile to możliwe). Podaj miejsca zerowe funkcji (o ile istnieją).
7. Sprowadź do postaci ogólnej funkcję kwadratową daną w postaci kanonicznej 
.
8. Rozwiąż równania : 
, 
.
9. Rozwiąż nierówności : 
, 
, 
.
10. Naszkicuj wykres funkcji a) 
b) 
c) 
Na jego podstawie omów własności tej funkcji.
DOSTATECZNY
1. Dana jest funkcja w postaci iloczynowej 
.
Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli oraz zbiór wartości funkcji f.
Podaj postać kanoniczną tej funkcji oraz równanie osi symetri wykresu funkcji f.
2. Dana jest funkcja w postaci iloczynowej 
. Podaj jej postać ogólną.
3. Dana jest postać ogólna funkcji kwadratowej 
. Sprowadź ją do postaci
kanonicznej, a następnie do postaci iloczynowej.
4. Wyznacz maksymalny przedział, w którym funkcja kwadratowa 
jest rosnąca.
5. Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej 
są liczby 1 oraz 
.
Oblicz 
.
6. Wyznacz c, wiedząc, że zbiorem wartości funkcji kwadratowej 
jest przedział
.
7. Wyznacz wartość największą i najmniejszą funkcji : a) 
w przedziale 
b) 
w przedziale 
8. Rozwiąż równania : a) 
b) 
c) 
9. Rozwiąż nierówności : a) 
b) 
c) 
.
10. Naszkicuj wykres funkcji : a) 
b) 
c) 
Na jego podstawie omów własności tej funkcji.
11. Funkcja kwadratowa f(x) = ax2 + bx + 2, gdzie a
, przyjmuje wartość (-1) dla argumentu 1.
Jednym z jej miejsc zerowych jest liczba 
.
a) Wyznacz wzór tej funkcji. b) Oblicz drugie miejsce zerowe tej funkcji.
c) Dla znalezionych wartości a oraz b rozwiąż nierówność : 8 - 5x ≥ f(x).
12. Funkcja f określona jest wzorem f(x) = -
x2 + bx + 1, x∈R.
a) Dla b = 0 rozwiąż nierówność f(x) ≥ x + 1.
b) Wyznacz wartość współczynnika b, tak aby osią symetrii wykresu funkcji była prosta
o równaniu x = 6.
13. Suma kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych jest równa 194. Wyznacz te liczby.
14. W roku 1952 na uroczystości urodzin spytał ktoś jubilata, ile on ma lat, na co jubilat
odpowiedział : „Gdy swój wiek sprzed 20 lat pomnożę przez swój wiek za 20 lat,
to otrzymam rok swego urodzenia”. Ile lat miał wówczas jubilat ?
DOBRY
1. Napisz wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że :
do jej wykresu należą punkty 
.
do jej wykresu należą punkt 
i wykres jest styczny do osi OX w punkcie 
.
2. Wyznacz postać ogólną i iloczynową funkcji kwadratowej, o której wiadomo, że dla argumentu 3
osiąga wartość najmniejszą (- 8), a jednym z jej miejsc zerowych jest liczba 5.
3. Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej f.
Napisz wzór funkcji f w postaci kanonicznej i ogólnej.
Oblicz miejsca zerowe funkcji f.
Naszkicuj wykres funkcji g określonej wzorem 
.
4. Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji kwadratowej f, określonej w R.
a) Wyznacz wzór funkcji f w postaci ogólnej.
b) Wyznacz argumenty, dla których wartość funkcji wynosi 8.
5. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, jeśli jednym z miejsc zerowych jest
liczba (- 4), osią symetrii wykresu jest prosta o równaniu 
, a najmniejsza wartość funkcji f
w przedziale 
wynosi (- 2).
6. Rozwiąż równania : a) 
b) 
c) 
7. Rozwiąż nierówność : 
.
8. Wyznacz a, wiedząc, że zbiorem rozwiązań nierówności 
jest przedział
.
9. Funkcja kwadratowa 
jest malejąca w przedziale 
i rosnąca w przedziale
. Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji f należy do prostej k : 
.
Wyznacz współczynniki b i c we wzorze funkcji f.
Oblicz miejsca zerowe funkcji f.
Rozwiąż nierówność 
.
10. Liczbę 50 przedstaw w postaci sumy dwóch składników tak, aby suma ich kwadratów była
najmniejsza ?
11. Który z prostokątów o obwodzie 20 ma największe pole ?
12. Liczbę osób, które odwiedziły wystawę n-tego dnia od momentu jej otwarcia opisuje wzór
W(n) = - 6n2 + 60n - 50 , gdzie n ∈ N+ i 1 ≤ n ≤ 9.
a) W którym dniu wystawę odwiedziło najwięcej osób, i ile ich było ?
b) Ile osób odwiedziło wystawę podczas jej trwania ?
13. W trójkącie rónoramiennym ABC, |AC| = |BC|, długość wysokości poprowadzonej z wierzchołka C
wynosi 4 cm oraz |AC| = |AB| - 1. Oblicz pole tego trójkąta.
14. W trójkącie prostokątnym ABC kąt przy wierzchołku C jest prosty. Wysokość CD dzieli
przeciwprostokątną AB na odcinki AD i DB tak, że |DB| = 3 |AD| + 2. Wiedząc dodatkowo,
że |CD| = |AD| + 2, oblicz pole trójkąta ABC oraz promień koła wpisanego w ten trójkąt.
15. W trójkącie ABC długości boków spełniają warunek |BC| = |AB| + 2. Najdłuższy bok AC
ma długość 9 cm. Cosinus największego kąta w tym trójkącie jest równy (- 0,1).
Wyznacz długości boków tego trójkąta.
BARDZO DOBRY
1. Dana jest funkcja 
. Wykaż na podstawie definicji, że funkcja jest malejąca
w zbiorze 
.
2. Napisz wzór funkcji kwadratowej wiedząc, że do jej wykresu należą punkty 
,
a wartością największą jest liczba 9.
3. Wyznacz równanie krzywej ,jaką opisuje wierzchołek paraboli o równaniu 
.
4. Wykaż, że jeśli b i c są liczbami rzeczywistymi, gdzie 
oraz funkcje kwadratowe
i 
mają wspólne miejsce zerowe, to 
.
5. Rozwiąż równania : a) 
b) 
c) 
6. Rozwiąż nierówność : 
.
7. Okno ma kształt prostokąta zakończonego na górze trójkątem równobocznym. Obwód okna wynosi
2 m. Jaka powinna być długość podstawy prostokąta, aby przy obwodzie równym 2 m powierzchnia
okna była największa ?
8. Liczbę 8 przedstaw w postaci sumy dwóch składników tak, aby suma ich sześcianów była
najmniejsza ?
9. Hurtownik sprzedaje grille żeliwne po 50 zł za sztukę, o ile zamówienie jest mniejsze niż
10 sztuk. Jeśli zamówienie jest niemniejsze niż 10 sztuk, ale nie większe niż 130 sztuk, to wówczas
cena jednego grilla spada o 0,2 zł pomnożone przez liczbę zamówionych sztuk.
a) Napisz wzór funkcji opisującej przychód hurtownika w zależności od liczby sprzedanych sztuk.
b) Jaka wielkość zamówienia zmaksymalizuje przychód hurtownika? Ile wyniesie maksymalny
przychód ?
10. Suma długości dwóch boków trójkąta wynosi 12 cm, a miara kąta pomiędzy tymi bokami
jest równa 
. Oblicz, jaką najmniejszą wartość może mieć obwód tego trójkąta.