Jednostki miar

W pomiarach geodezyjnych najczęściej wykonywane są pomiary odległości i pomiary kątowe. Stanowią one zwykle podstawę do wyznaczania innych wielkości, na przykład współrzędnych punktów terenowych w przyjętym układzie odniesienia. Aby coś zmierzyć trzeba dysponować odpowiednim systemem jednostek miar. W przypadku wyznaczania długości posługujemy się tzw. metrycznym systemem jednostek, gdzie za miarę jednostkową przyjęto jeden metr (oznaczany małą literą m). Wielokrotności i podwielokrotności 1 m wyrażone są w systemie dziesiętnym w kilometrach km, hm, dcm, cm i mm. Natomiast miara kąta płaskiego może być określona dwojako. W pierwszym przypadku (miara stopniowa) jednostkę podstawową może stanowić kąt pełny, tj. kąt środkowy (360^o), któremu odpowiada obwód okręgu. W drugim (miara łukowa) jednostką kąta może być stosunek długości odpowiadającego mu łuku okręgu, do długości jego promienia (
radianów).

Miary kątowe

W zależności od sposobu podziału kąta rozróżniamy miarę stopniową, gradową, tysięczną, czasowo-kątową i łukową.

Miara stopniowa

Miara stopniowa kąta (powszechnie stosowana ) powstaje przez podział kąta pełnego na 360 części, zwanych stopniami. Podział ten pochodzi z Babiloni, gdzie został wprowadzony 4 000 - 5 000 lat p.n.e. Stopień dzieli się na części zgodnie (ze stosowanym w Babiloni) sześćdziesiątkowym systemem liczenia.

kąta pełnego;

1 = 60 i 1 = 60.

oraz

Podwielokrotnościami stopnia mogą być jego części dziesiętne. Wówczas posługujemy się tzw. systemem mieszanym. Stopień dzieli się tu na 100 minut, a minutę na 100 sekund.

Chcąc przejść z systemu sześćdziesiątkowego na tzw. stopniowo-dziesiętny zachowujemy wartości stopni bez zmian, natomiast minuty i sekundy kątowe mnożymy przez następujące współczynniki (zamienniki):

Miara gradowa

Miara gradowa związana jest z podziałem kąta pełnego na 400 części i zastosowaniu przy dalszym podziale systemu dziesiętnego.

kąta pełnego;

i
.

Z względu na swoje cechy, miara ta zdobyła szerokie uznanie wśród geodetów.

Miara tysięczna

Tysięczna (00 -01) jest jedną sześciotysięczną częścią kąta pełnego:

Jest to podstawowa miara stosowana w artylerii.

Miara czasowo-kątowa

Miara czasowo-kątowa powstaje przez podział kąta pełnego w sposób analogiczny do podziału doby na godziny, minuty i sekundy. Mamy więc:

kąta pełnego;

i

Miara czasowo-kątowa znajduje praktyczne zastosowanie w niektórych zagadnieniach astronomii.

Miara łukowa

Marę łukową kąta, nazywa się też miarą radialną lub analityczną,. Jej główną jednostką jest radian ρ, tzn. kąt płaski, zawarty między dwoma promieniami okręgu, wycinający z tego okręgu łuk o długości równej jego promieniowi. Pomimo, że według międzynarodowego układu jednostek miar SI kąt ten określa się skrótem „rad”, w rachunku wyrównawczym będziemy stosować dla niego oznaczenie ρ. Ponieważ symbol ten jest wykorzystywany w zapisie wielu wzorów i zależności, wprowadzenie zapisu „rad” mogłoby prowadzić do powstania nieporozumień i błędów.

Według powyższej definicji miara kąta
jest wyrażona stosunkiem długości łuku
okręgi do jego promienia r:

Kątowi pełnemu odpowiada więc 2 [ρ] (radianów).

Rys.1.1. Definicja radiana.

Miara łukowa jest podstawową miarą kątową powszechnie wykorzystywaną w naukach geofizycznych.

Zamiana wartości kątów

Ze względu na konieczność korzystania z instrumentów pomiarowych posiadających różne systemy miar kątowych, w praktyce często występuje potrzeba przeliczenia wartości kątów z jednego do drugiego systemi pomiarowego. Aby przejść ze jednej miary na drugą i odwrotnie wystarczy zapamiętać podstawowe zależności:

.

Pozwalają one na łatwe wyprowadzenie wzorów przeliczających.

Zamiana stopni na grady i odwrotnie

Jeżeli kąt α jest wyrażony w mierze stopniowej, a - jest tym samym kątem wyrażonym w mierze gradowej, to spełnione są następujące zależności:

,
,

Skąd

(
itp.)

Przykład. Przedstawić kąt = 242142 w mierze gradowej.

^g = 241,1111111^g + 211,85185^c+ 423,086 ^cc = 27,06852 ^g

Przykład.. Przedstawić kąt = 27,0685 ^g w mierze stopniowej.

α= 0,927,0685 ^g = 24,36165.

Aby wyrazić wartość kąta w układzie sześćdziesiątkowym, trzeba dokonać przeliczenia ułamka dziesiętnego, wyrażającego część ułakową stopnia (tj 0,36165), na minuty i sekundy. Wartość kąta 24,36165 zapisujemy jako 24 a resztę tj.0,36165 przeliczamy nastepująco: 0,3616560 = 21,699. Uzyskany wynik zapisujemy jako 21, a resztę tj.0,699 przedstawiamy w postaci: 0.69960= 41,94. Ostatecznie α = 242141,94.

Zamiana stopni na tysięczne i odwrotnie

W tym przypadku otrzymujemy następujące zależności:

Przykład. Przedstawić kąt = 242142 w mierze tysięcznej.

αtys = 2416.6667+210,2778+420,00463 = 04-06,0291. (400,0008+5,8338+0,19446=4.0602906)

Przykład. Przedstawić kąt = 04-06,0291 w mierze kątowej.

= 04-06,02910.06 = 24,3617 = 242142,1. (0406,0291)

Związek miary stopniowej z miarą czasową

W mierze czasowej za jednostkę miary kąta przyjmuje się dobę odpowiadającą jednemu pełnemu obrótowi Ziemi dokoła własnej osi. Części pełnego obrotu wyraża się w godzinach, minutach i sekundach, które w tym przypadku mają znaczenie kątów, a nie jednostek miary czasu. Jeżeli dobę podzielimy na 24 godziny i zgodnie z systemem sześćdziesiątkowym wprowadzimy jednostki mniejsze tj minuty i sekundy, to otrzymamy zależności

360 = 1d

1 =

Zamiana stopni na radiany i odwrotnie

Jeśli kąt
wyrażony jest w mierze łukowej, a kąt
w mierze stopniowej wówczas

,
.

Można tutaj wprowadzić wyrażenia ułamkowe:

,

,

,

które (
,
,
) noszą nazwę współczynników zamiany miary łukowej na stopniową i oznaczają liczbę stopni, minut lub sekund, mieszczących się w jednym radianie.

Zamiana gradów na tysięczne i odwrotnie

Ponieważ
, to

PRZYKŁAD 5. Przedstawić kąt = 27,0685^g w tysięcznych.

27,0685^g00-15 = 04-06,0275

PRZYKłAD 6. Wyrazić kąt 04-06,028 w mierze gradowej.

04-06,0280,0666667 ^g = 27,0685 ^g

Związek pomiędzy miarą gradową a łukową

Do zamiany miary łukowej na gradową i odwrotnie wykorzystuje się zależności:

gdzie współczynniki ρ posiadają nastepujace wartości

Zamiana tysięcznych na miarę łukową i odwrotnie

Do zamiany wykorzystuje się tutaj zależność 2 = 60-00, z której otrzymujemy:

00-01 =

Przykład. Przedstawić kąt 04-06,03 w mierze łukowej.

04-06,030,00104720 = 0,425195 rad.

Przykład. Przedstawić kąt 0,425195 rad w tysięcznych.

0,42519509-54,92 = 04-06,03.

Funkcje trygonometryczne małych kątów

Korzystając z rozwinięcia Taylora funkcje trygonometryczne
,
,
można przedstawić w postaci następujących szeregów potęgowych:

,
(I)

(II)

Kąt
, występujący po prawej stronie rozwinięć jest wyrażony w mierze łukowej.

Powyższe zależności byłyby bardzo użyteczne (np. w pracach rachunkowych), gdy można było zachować w nich minimalną liczbę wyrazów np.

,
,

Tak ucięte szeregi dają przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych, o dokładności związanej z wartościami wyrazów odrzuconych. Jeśli rozważamy kąty, których miara łukowa jest mniejsza od jedności
, to analizę dokładności można ograniczyć do pierwszych wyrazów części odrzuconych ponieważ ich wartości są o dwa rzędy większe od pozostałych. Spełniony jest tutaj warunek

,

skąd widać, że wyraz
posiada decydujące znaczenie.

Przykład. Jeśli kat
ma
(0.1745329 rad) , to

.

Jeśli uzyjemy rozwinięcia, to

.

Popełniamy, więc błąd 0.0017941.

Gdybyśmy przyjeli, że

, to
(błąd 0,0000219)

Wniosek. Ponieważ wartość porawki
jest równa
to odpowiada ona praktycznie wartości popełnianego błędu w przypadku uzycia rozwinięcia
.

Przykład. Stosując rozwinięcie funkcji
w szereg chcemy wyznaczyć wartość wyrażenia

,

gdzie d=150 m jest średnią długością odcinka zmierzonego taśmą z błędem ± 1 cm, tak aby błąd popełniany w wyniku uproszczonego obliczania funkcji trygonometrycznej
, nie wpłynął na obliczenie
w stopniu większym niż błąd pomiaru taśmą.

Mamy, więc

.

Jeśli w powyższym rozwinięciu
pozostawimy tylko jeden wyraz to

.

Przy czym zgodnie z warunkami zadania powinien być spełniony warunek aby pierwszego odrzucony wyraz wyrażenia dla l był mniejszy od 1 cm, tj.:

Uwzględniając ujednolicenie jednostek otrzymujemy

lub

,

(wartość kąta wyrażamy w minutach)

Ostatecznie

.

Otrzymany wynik oznacza, że warunek polegający na nieprzekroczeniu jednocentymetrowego błędu pomiaru odległości d, związany z użyciem przybliżenia
, jest spełniony dla kątów mniejszych niż 321.

Ogólnie przyjmuje się, że wartości funkcji trygonometrycznych dla małych wartości kątów, nie większych niż
, można obliczać stosując wzory przybliżone:

,
,
,
(III)

Powyższe wzory można przedstawić graficznie

Rys. 1.2. Jeśli
jest długością łuku okręgu jednostkowego (r =1) , który odpowiada małemu kątowi środkowemu
to
. Uwaga kąt
narysowano z dużą przesadą.

Z rysunku widać, że:

,
,

Przykład. Wyznaczyć wartość sin 146?

Zgodnie z wzorami (I i III) mamy

,

a ponieważ 146 = 106, więc

sin (146)
=0,0308

Przykład. Obliczyć wartość kąta x, jeżeli tan(x) = 0,0444?

Zgodnie z wzorem (III) mamy

x = tan(x) ,

czyli

x = 0,04443438 = 152,6=232,6.

Przykład. Obliczyć wartość cos(245)?

Stosująć rozwinięcie funkcji
w szereg (I)

Przykład. Obliczyć wartość kąta , jeżeli cot() = 37,5?

Na podstawie (III)

= 131,8.

(Inne ujęcie)

Jednostki

W rachunkach geodezyjnych mamy do czynienia z liczbami przybliżonymi. Wyjątki stanowią, wynikające z zależności matematycznych, stałe. Tak np. w zależności

gdzie kąt
zawarty między bokami a i b, liczba 1/2 nie jest oczywiście liczbą przybliżoną wynika ona z zależności matematycznych. Przybliżonymi liczbami będą w tym wzorze zmierzone, czyli, jak to się mówi w języku geodezyjnym, zaobserwowane wielkości
, a i b. Wielkości te, bowiem są zaobserwowane ze skończoną dokładnością. Wynik realizacji rachunkowej przytoczonego wzoru powinien być podany z taką dokładnością, aby był liczbą przybli­żoną realnie odzwierciedlającą dokładność pomiaru. Tylko w wyjątkowych przypadkach obliczenia wykonuje się dokładniej, niż uprzed­nio wykonany pomiar. Uczeni rosyjscy Kryłow i Bradis podali reguły rachunkowe, które bardzo usprawniają obliczenia techniczne.

Reguły Kryłowa - Bradisa (wersja uproszczona).

1. Przy dodawaniu lub odejmowaniu liczb przybliżonych, z których liczba o najmniejszej ilości znaków dziesiętnych ma k znaków należy:

a) zaokrąglić wszystkie występujące w rachunku liczby do k +1 znaków oraz

b) zachować w ostatecznym wyniku k znaków dziesiętnych.

Uwaga. Znakami dziesiętnymi liczby nazywamy te jej cyfry, które położone są na prawo od przecinka dziesiętnego.

2. Przy mnożeniu lub dzieleniu liczb przybliżonych, z których liczba o najmniejszej ilości cyfr znaczących ma k cyfr znaczących należy

a) zaokrąglić przed rachunkiem wszystkie występujące w rachunku liczby od k +1 cyfr znaczących oraz

b) zachować w ostatecznym wyniku k cyfr znaczących.

Uwaga. Cyframi znaczącymi liczby nazywamy wszystkie jej cyfry z wyjątkiem zer położonych na lewo od pierwszej różnej od zera cyfry.

3. Przy potęgowaniu lub pierwiastkowaniu liczb przybliżonych należy w wyniku zachować tyle cyfr znaczących, ile ich zawiera podstawa potęgi lub liczba podpierwiastkowa.

Uwaga. Ostatnia cyfra pierwiastka jest zawsze pewniejsza od ostatniej liczby podpierwiastkowej, zaś ostatnia cyfra potęgi jest mniej pewna od ostatniej cyfry potęgowanej liczby.

Zasada zaokrąglania liczby 5 w rachunkach geodezyjnych przyjęto, że liczby przybliżone zakończone na 5 zaokrąglamy zawsze do parzystej, np. 15785
15780, 254,435
254,44, 0,895
0,90.

Przykład. Wykonać działanie:

Rachunek bez zaokrągleni	Rachunek według reguł:
1248,57425 +754,23 2002,80425 = 2002,80	1248,574 +754,230 2002,804 = 2002,80

Przykład. Obliczyć sumę S z dokładnością do setnych części (dwóch znaków dziesiętnych).

.

Rozwiązanie Rachunek według reguł:

Rachunek według reguł	Rachunek do pięciu znaków:
0,333 0,125 0,100 1,732 3,142 5,432 = 5,43	0,33333 0,12500 0,10000 1,73205 3,14159 5,43197 5,43

Jak widać, zwiększenie ilości znaków dziesiętnych w rachunku w tym przykładzie nie było potrzebne. Stosując pierwszą regułę rachunkową, otrzymano zupełnie pewny wynik.

Przykład. Obliczyć sumę S z dokładnością jednego znaku dziesiętnego.

.

Rozwiązanie:

(Wynik obliczeń 624,5067599 przy zachowaniu 7 znaków po przecinku.)

Przykład. Wykonać mnożenie:

Rozwiązanie.
.

Przykład. Wykonać dzielenie:

Rozwiązanie
.

Przykład. Wykonać dzielenie: 85,427 : 0,8

Rozwiązanie. 85 : 0,8 = 110.

Przykład. Wykonać działanie: 254,78².

Rozwiązanie. 254,78² = 64912,8484
64913.

Przykład.. Wyciągnąć pierwiastek: 1/64913.

Rozwiązanie: 64913 = 254,7802
254,78.

Jak widać z przykładów, reguły Kryłowa - Bradisa znacznie usprawniają rachunki na liczbach przybliżonych.

Miary kątowe

Aby wyrażać wielkości kątowe w jakichś jednostkach, dzielono kąt pełny na pewną liczbę części, które następnie umawiano się uważać za jednostki. Tak powstało, przedstawionych poniżej, kilka systemów miar kątowych (podziałów).

Miara łukowa kąta

Kąty można wyrazić w mierze łukowej na podstawie zależności:

przy czym R - promień łuku, zaś
- długość łuku odpowiadająca kątowi
(rys. a2).

Jednostką w mierze łukowej jest radian (rys.a1), czyli kąt, którego długość łuku równa jest promieniowi, jakim zatoczono ten łuk.

Podział stopniowy

W tym podziale za jednostkę przyjęto 1/360 kąta pełnego. Jednostka ta to stopień, dzielony z kolei na 60 minut, a każda minuta na 60 sekund. Tak, więc

rad = 360°; 1° = 60'; 1' - 60",

czyli

rad = 360° = 21 600' = 1 296 000",

Podział stopniowy jest współmierny z miarą czasu, za którą przyjęto obrót Ziemi dookoła swej osi;

1 doba = 24 h (24 godziny),

1 h = 60 min (60 minut czasowych),

1 min a 60 s (60 sekund czasowych),

a więc

1 doba odpowiada 360°,

1 h ,, 15°,

1 min ,, 15'

1 s ,, 15''.

Dzięki tej współmierności z miarą czasu podział stopniowy jest używany przez geodetów-astronomów.

Podział gradowy

Kąt pełny podzielono na 400 części, które nazwano gradami. Dalszy podział jest dziesiętny, a więc grad dzieli się na 100 minut gradowych (centy gradów), a każda minuta gradowa na 100 sekund gradowych:

rad = 400^g; 1^g = 100^c; 1^c - 100^cc,

czyli

rad = 400^g = 40 000 ^c = 4 000 000^cc.

Podział dziesiętny jest wygodny w rachunku sumowym. Jest on obecnie stosowany równie często, jak podział stopniowy.

Rys. a1, a2, a3.

Podział na tysięczne

W wojsku przyjęto tzw. tysięczną jako jednostkę kątową. Tysięczna jest to kąt, pod jakim widać łuk o długości 1 m z odległości 1 km (rys. a3). Jest to, więc 1/6283 kąta pełnego. Taka tysięczna nazywa się „rzeczywistą". Dla prostoty przyjmuje się, że tysięczna równa się 1/6000 lub 1/6400 kąta pełnego.

U nas przyjęto, że
rad = 6000^t. Sposób zapisu jest następujący:

rad = 60-00

rad = 30-00

rad = 15-00

rad = 7-50

= 00-17

.

Zamiana miar kątowych

Związek między miarą łukową a miarami stopniową lub gradową

Wartość 1 rad wyrażonego w podziale stopniowym lub gradowym oznaczamy przez
, wówczas:
= 57°,2958 = 3437', 7 = 206 265",

,

,

.

W przeliczeniu na podział gradowy:

ρ^g = 63^g,66,

ρ^c= 6 366°,

ρ^cc= 636 620^cc.

Z rys. 1.2 widać, że

Zatem kąt wyrażony w mierze łukowej

Natomiast kąt w podziale stopniowym lub gradowym

Zamiana podziału stopniowego na gradowy i odwrotnie.

Wiadomo, że 360° odpowiada 400^g, czyli

,

,

,

Ogólnie, aby przejść z podziału stopniowego na gradowy lub odwrotnie, stosujemy wzór:

lub

.

Przy zamianie stopni na grady lub odwrotnie gradów na stopnie, należy przede wszystkim wyrazić przeliczany kąt w jednostkach najdrobniejszych (sekundy) lub w najgrubszych (stopnie, grady), a następnie zastosować odpowiedni współczynnik zamiany.

We wszystkich następujących przykładach zamiany miar kątowych wyrażono kąt: a) w jednostkach najdrobniejszych, b) w jednostkach najgrubszych.

Przykład. Zamienić na grady: 24°21'42''.

Rozwiązanie

a) 24 ∙ 3600'' =86 400'' 21 ∙ 60'' =1 260'' 42'' 87 702'' 24°21'42'' = 27^g 0685

b) 24° 21 : 60 =0°,35000 42 : 3600 =0°,01167 24°36167 24°21'42'' = 27^g 0685

Przykład. Zamienić na stopnie: 27^g,0685. Rozwiązanie

a) 270 685^cc = 270.685 ∙ 324" = 87 702'' 87 702 : 3600 = 24° 7200 15702 14400 1302 : 60 = 21' 120 102 60 42'' 27^g ,0685 = 24°21'42''

b) 24°36165 0,36165 ∙ 60' = 21',699 0,699 ∙ 60'' =41'',9 42'' 27^g,0685" = 24^021^/42''

Uwaga. Przed zamianą na inne jednostki wygodnie jest zredukować kąt do pierwszej ćwiartki (gdyż 90° = 100^g, 180° a 200 ^g) l dalej przeliczać kąt zredukowany, np.:

.

Dla usprawnienia zamiany miar kątowych ułożono specjalne tablice zamiany. Korzysta się z nich w ten sposób, że odszukuje się poszczególne wartości równoważne dla stopni (gradów), minut i se­kund, po czym sumuje się te wartości. Tablice zamiany miar kątowych załączono do wydawanych przez Główny Urząd Geodezji i Kartografii i Państwowe Przedsiębiorstwo Wydawnictw Kartograficznych - pięciocyfrowych tablic naturalnych wartości funkcji trygonometrycznych, dla podziałów 360° i 400^g.

Przykłady zamiany miar kątowych za pomocą tablic.

Przykład.. Zamienić na stopnie: 218^g,2418.

Rozwiązanie

200^g = 180°

18 ^g = 16°12' ( z tablic)

24^c = 12'57",6 ( z tablic)

18 ^cc = 5",8 ( z tablic)

196°25'03",4

Przykład.. Zamienić na grady: 127°54'12".

Rozwiązanie

90° = 180°

37° = 41^g11111 ( z tablic)

54' = 1^g00000 ( z tablic)

12" = 0^g00370 ( z tablic)

142^g11481

Zamiana miary łukowej kąta na stopnie lub grady i odwrotnie. Przy rozwiązywaniu poniższych przykładów należy zwrócić uwagę na zastosowanie reguł Kryłowa-Bradisa.

Przykład. Zamienić na radiany: 171^o 1; 338°14'; 190^o33'21''; 142^g; 192 ^g,73; 375 ^g 8195.

Rozwiązanie. 171° - 2,98 (171° : 57°,30 = 2,984);

338°14' = 5,9033 (338°14' = 20 294'; 20 294' : 3437',75 = 5,90328);

190⁰33'21'' = 3,32583 (190⁰33^/21'' = 686 001"; 686 001" : 206 264'',8 = 3,325827);

142^g = 2,23 (142 ^g : 63 ^g,66 = 2,231);

192 ^g,73 = 3,0274 (192 ^g,73 : 63 ^g,6620 = 3,02739);

.375 ^g,8195 = 5,903359 (375 ^g, 8195 : 63 ^g,661977 = 5,9033589).

Przykład. Zamienić radiany na stopnie i grady: 4,0; 3,2485; 0,785341.

Rozwiązanie

4,0 = 230° (4,0 ∙ 57°,3 = 229°);

4,0 = 255^g (4,0 ∙ 63 ^g,7 = 255 ^g);

3,2485 = 186°08' (3,2485 ∙ 3437',75 = 11167',5 = 186°07',5);

3,2485 = 206^g,81 (3,2485 ∙ 63 ^g,6620 = 206 ^g,806);

0,785341 » 44^o59^/48'^/ (0,785341 • 206 264",8 = 161 988",2

0,785341 = 49^e,9964 (0,785341 • 63⁹,66198 = 49^g9636).

Funkcje małych kątów

W geodezji często mamy do czynienia z małymi wartościami kątów, szczególnie wtedy, gdy dokonujemy wstępnych analiz dokładnościowych. Wygodnie jest posługiwać się wtedy miarą łukową kąta, zamiast funkcjami sinus lub tangens. Znana jest w trygonometrii następująca nierówność (rys. 1.4):

gdzie
- kąt wyrażony w mierze łukowej. Nierówność ta dąży do równości przy zmniejszaniu się kąta
. Wobec tego dla małych kątów bardzo często wystarczy posługiwanie się miarą łukową, bez użycia tablic funkcji trygonometrycznych.

Rozpatrzmy, czemu równają się w przybliżeniu sinus i tangens 1°, 1' i l".

Wiemy już, że:

zatem łuk odpowiadający jednemu stopniowi przy R = 1 wyniesie

czyli w przybliżeniu

Analogicznie będziemy mieli;

,

,

W poniższej tablicy podano, jakich błędów należy oczekiwać, jeśli za­stępuje się funkcje sin(α) i tan (α) przez miarę łukową kąta α.

Dokładność zastąpienia sin(α) i tan(α) przez α.

Kąt α, w ^o	Kąt α, w mierze łukowej	sin(α)	α -sin(α)	Błąd względny	Błąd wzgl. %	tan(α)	α -tan(α)	Błąd względny	Błąd wzgl.. %
1^o	0,0174533	0,0174724	+0,0000009	1/20000	0,005%	0,0174551	-0,0000018	1/9500	0,01%
2^o	0,03491	0,03490	0,00001	1/3500	0,03%	0,03492	-0,00001	1/3500	0,03%
5^o	0,08727	0,08716	0,00011	1/800	0,12%	0,08749	-0,00022	1/400	0,25%
10^o	0,17453	0,17365	0,00088	1/200	0,5%	0,17633	-0,00180	1/100	1%
20^o	0,34906	0,34202	0,00704	1/50	2%	0,36397	-0,01491	1/24	4%
30^o	0,5 2360	0,50000	0,02360	1/20	5%	0,57735	-0,05375	1/10	10%
45^o	0,78540	0,70711	0,07829	1/10	10%	1,00000	-0.21460	1/5	20%

Jak widać z tablicy funkcja i tan (α), szybciej oddala się od miary łukowej ze wzrostem kąta α, niż funkcja sin(α), co zresztą można było przewidzieć, patrząc na rys. 2. Ogólnie można powie­dzieć, że jeśli chcemy otrzymać dokładny wynik dwucyfrowy, to może­my za małe uważać kąty mniejsze od 10° (dla sin(α)) lub mniejsze od 5° (dla tan(α)). Dla takich kątów możemy w rachunkach dwu lub trzy­cyfrowych nie używać tablic funkcji sin i tan.

Zadanie. Promień koła R = 100,00 m, długość Łuku τ = 40,00 m. Obliczyć kąt środkowy α odpowiadający temu łukowi z dokładnością do minut.

,

Zadanie. Promień łuku R = 200 m, kąt środkowy α = 50°. Obli­czyć długość łuku τ z dokładnością do metrów.

Zadanie. Jaka długość łuku południka odpowiada jednej minu­cie szerokości geograficznej? Przyjąć, że Ziemia jest kulą o pro­mieniu R = 6370 km,

W rzeczywistości wielkość ta, zwana milą morska, wynosi 1853,181 m.

Zadanie. Jaka jest wysokość x drzewa, które widać z odległości D = 1 km pod kątem
=1°.

;

.

Zadanie. Pod jakim kątem x widać wieżę o wysokości h = 20 m z odległości D = 15 km. Wynik podać w minutach i centygramach.

,
.

Zadanie. Niedoświadczony geodeta, stojąc w punkcie A, tyczył linię prostą między punktami A i B. Polecił przy tym ustawiać tyczki, zaczynając od najbliższej siebie, którą kazał ustawić w odległości 30 m od punktu A. Pod jakim kątem widać było najbliższą tyczkę? (tyczki miernicze mają średnicę d = 3 cm). Jaki błąd poprzeczny ustawie­nia tyczki mógł popełnić geodeta na odległość 200 m od punktu A z po­wodu zasłaniania pola widzenia przez tę najbliższą tyczkę?

Rozwiązanie.

,

Zadanie. Szpilki używane przy pomiarze odległości 20-metrową taśmą stalową mają długość 40 cm. W terenie pochyłym staramy się trzymać taśmę poziomo i jeden jej ko­niec rzutować pionowo na ziemię. Do jakiego kąta pochylenia terenu wysta­rczy do tego poziomowania i pionowa­nia szpilka, niepotrzebny zaś będzie pion.

Rozwiązanie

.

Zadanie. Błąd celowania wynosi w pewnym teodolicie +30". Ja­kiego wychylenia poprzecznego x należy oczekiwać na odległości D = 300 m, jeżeli tym teodolitem wystawimy półprostą (tzw. celową)? Rozwiązanie.

Zadanie. Przyrząd do budowania kątów prostych, tzw. węgielnica daje błąd kątowy α = ±7'. Jakiej długości prostopadłej d nie należy przekroczyć, aby wychylenie poprze­czne tej prostopadłej nie przekroczyło ± 0,20 cm. Rozwiązanie.

Zadanie. Obliczyć wychylenie poprzeczne wierzchołka 3-metrowej tyczki mierniczej odchylonej od pionu o 3°. Rozwiązanie

Zadanie. W poligonie mierzymy boki taśmą z dokładnością 1/3000. Jakiej dokładności teodolitu należy użyć do pomiaru kątów w tym poligonie, aby dokładności linii i kątów były w przybliżeniu jednakowe?

Rozwiązanie. Błąd kąta liczony w mierze łukowej powinien być rzędu 1/3000, czyli

, stąd
.

Do pomiaru kątów w tym poligonie należy użyć teodolitu o dokładności 1', co w praktyce jest stosowane.

Dokonanie pomiaru danej wielkości fizycznej można określić jako porównywanie jej z przyjętą jednostką miary.

11

sin(α)

ctg()

tan()



c

(x,y)

r=1

sin()

(x,y)

cos()



r

ct

r



t

r=1

s

α

τ

α

R =100 m

tan(α)

τ

Rys. 2

R =100 m

τ=40 m=

Rys. 3

α =?

α=1^o

D =1 km

x

α

l =200 m

x

α

l =20 m

h=40 cm

szpilka

α=30'

D =300 m

x

α=7'

D =?

x = 0,20 cm

∙

α

h =3 m

x

---