elipsoida, Politechnika śląska katowice, Zip, Semestr III, Fizyka, Lab, fizyka lab BURDEL, Fizyka lab skrypty, Fizyka, Sprawozdania, Gotowe sprawka, sprawozdania - fiz, sprawozdania - fiz


  1. Obliczanie wartości średnich i odchyleń standardowych dla obciążników w postaci sześcianu i prostopadłościanu:

Średnią obliczamy ze wzoru:

0x01 graphic
(1)

Odchylenie standardowe obliczamy ze wzoru:

0x01 graphic
(2)

  1. Sześcian

Długość krawędzi oznaczamy przez a.

Podstawiając dane do wzoru otrzymujemy średnią arytmetyczną długości krawędzi a:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Odchylnie standardowe obliczamy ze wzoru (2) i ma następującą wartość:

0x01 graphic

Tablica 1

Lp.

ai[cm]

0x01 graphic

0x01 graphic

1.

5,03

-0,014

0,000196

2.

5,04

-0,024

0,000576

3.

5,02

-0,004

0,000016

4.

5,00

0,016

0,000256

5.

4,99

0,026

0,000676

25,08

x

0,001720

0x01 graphic

0x01 graphic

Dokładność pomiaru suwmiarką: ∆s=0,1[mm]

0x01 graphic

Całkowity błąd pomiarów obliczamy ze wzoru:

0x01 graphic

I ma wartość ma wartość:

0x01 graphic

Długość krawędzi sześcianu a ma wartość:

0x01 graphic

  1. Prostopadłościan:

Długość krawędzi podstawy oznaczamy przez b, natomiast wysokość oznaczamy przez h.

Podstawiając dane do wzoru (1) otrzymujemy średnią arytmetyczną długości krawędzi i wysokości prostopadłościanu:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Odchylnie standardowe długości krawędzi b obliczamy ze wzoru:

0x01 graphic

I ma następującą wartość:

Tablica 2

Lp.

bi[cm]

0x01 graphic

0x01 graphic

1.

5,01

-0,008

0,000064

2.

5,02

-0,018

0,000324

3.

5,00

0,002

0,000004

4.

4,98

0,022

0,000484

5.

5,00

0,002

0,000004

25,01

x

0,000880

0x01 graphic

0x01 graphic

Dokładność pomiaru suwmiarką: ∆s=0,1[mm]

0x01 graphic

Całkowity błąd pomiarów obliczamy ze wzoru:

0x01 graphic

I ma wartość ma wartość:

0x01 graphic

Długość krawędzi prostopadłościanu b ma wartość:

0x01 graphic

Odchylnie standardowe dla wysokości obliczamy ze wzoru:

0x01 graphic

i ma następującą wartość

Tablica 3

Lp.

hi[cm]

0x01 graphic

0x01 graphic

1.

10,00

-0,002

0,000004

2.

9,98

0,018

0,000324

3.

10,01

-0,012

0,000144

4.

10,02

-0,022

0,000484

5.

9,98

0,018

0,000324

49,99

x

0,001280

0x01 graphic

0x01 graphic

Dokładność pomiaru suwmiarką: ∆s=0,1[mm]

0x01 graphic

Całkowity błąd pomiarów obliczamy ze wzoru:

0x01 graphic

I ma wartość ma wartość:

0x01 graphic

Wysokość prostopadłościanu h ma wartość:

0x01 graphic

  1. Wahadło nieobciążone

Czas 10 wahnięć wahadła nieobciążonego oznaczamy jako 0x01 graphic

Średni czas 10 wahnięć obliczamy ze wzoru:

0x01 graphic

0x01 graphic

Odchylnie standardowe obliczamy ze wzoru:

0x01 graphic

Tablica 4

Lp.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

1.

7,998

-0,00067

0,00000044

2.

8,000

0,001333

0,00000178

3,

7,998

-0,00067

0,00000044

23,996

x

0,00000267

0x01 graphic

Dokładność pomiaru urządzenia: ∆u=0,001[s]

Całkowity błąd pomiarów obliczamy ze wzoru:

0x01 graphic

I ma wartość ma wartość:

0x01 graphic

Czas 10 wahnięć wahadła nieobciążonego 0x01 graphic
ma wartość:

0x01 graphic

  1. Czas 10 wahnięć dla sześcianu

Czas 10 wahnięć dla sześcianu oznaczamy jako 0x01 graphic

Średni czas 10 wahnięć obliczamy ze wzoru:

0x01 graphic

0x01 graphic

Odchylnie standardowe obliczamy ze wzoru :

0x01 graphic

Tablica 5

Lp.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

1.

10,066

0,001333

0,00000178

2.

10,065

0,00033

0,00000011

3,

10,063

-0,00167

0,00000279

30,194

x

0,00000468

0x01 graphic

Dokładność pomiaru urządzenia: ∆u=0,001[s]

Całkowity błąd pomiarów obliczamy ze wzoru:

0x01 graphic

I ma wartość ma wartość:

0x01 graphic

Czas 10 wahnięć dla sześcianu 0x01 graphic
ma wartość:

0x01 graphic

  1. Czas 10 wahnięć dla prostopadłościanu dla osi Z:

Czas 10 wahnięć prostopadłościanu dla osi Z oznaczamy jako 0x01 graphic

Średni czas 10 wahnięć obliczamy ze wzoru (1):

0x01 graphic

0x01 graphic

Odchylnie standardowe obliczamy ze wzoru (2):

0x01 graphic

Tablica 6

Lp.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

1.

11,788

-0,00033

0,00000011

2.

11,788

-0,00033

0,00000011

3,

11,789

0,00067

0,00000045

35,365

x

0,00000067

0x01 graphic

Dokładność pomiaru urządzenia: ∆u=0,001[s]

Całkowity błąd pomiarów obliczamy ze wzoru:

0x01 graphic

I ma wartość ma wartość:

0x01 graphic

Czas 10 wahnięć prostopadłościanu dla osi Z 0x01 graphic
ma wartość:

0x01 graphic

  1. Czas 10 wahnięć dla prostopadłościanu dla osi Y:

Czas 10 wahnięć prostopadłościanu dla osi Y oznaczamy jako 0x01 graphic

Średni czas 10 wahnięć obliczamy ze wzoru:

0x01 graphic

0x01 graphic

Odchylnie standardowe obliczamy ze wzoru (2):

0x01 graphic

Tablica 7

Lp.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

1.

15,797

0,000667

0,00000044

2.

15,796

-0,00033

0,00000011

3,

15,796

-0,00033

0,00000011

47,389

x

0,00000066

0x01 graphic

Dokładność pomiaru urządzenia: ∆u=0,001[s]

Całkowity błąd pomiarów obliczamy ze wzoru:

0x01 graphic

I ma wartość ma wartość:

0x01 graphic

Czas 10 wahnięć prostopadłościanu dla osi Y 0x01 graphic
ma wartość:

0x01 graphic

  1. Czas 10 wahnięć dla prostopadłościanu dla osi X:

Czas 10 wahnięć prostopadłościanu dla osi X oznaczamy jako 0x01 graphic

Średni czas 10 wahnięć obliczamy ze wzoru (1):

0x01 graphic

0x01 graphic

Odchylnie standardowe obliczamy ze wzoru (2):

0x01 graphic

Tablica 8

Lp.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

1.

15,796

-0,001

0,000001

2.

15,798

0,001

0,000001

3,

15,797

0,000

0,000000

47,391

x

0,000002

0x01 graphic

Dokładność pomiaru urządzenia: ∆u=0,001[s]

Całkowity błąd pomiarów obliczamy ze wzoru:

0x01 graphic

I ma wartość ma wartość:

0x01 graphic

Czas 10 wahnięć prostopadłościanu dla osi X 0x01 graphic
ma wartość:

0x01 graphic

  1. Czas 10 wahnięć prostopadłościanu dla jego przekątnej:

Czas 10 wahnięć prostopadłościanu dla jego przekątnej oznaczamy jako 0x01 graphic

Średni czas 10 wahnięć obliczamy ze wzoru (1):

0x01 graphic

0x01 graphic

Odchylnie standardowe obliczamy ze wzoru (2):

0x01 graphic

Tablica 9

Lp.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

1.

13,235

-0,01167

0,00014

2.

13,251

0,00433

0,00002

3,

13,254

0,00733

0,00005

39,74

x

0,00021

0x01 graphic

Dokładność pomiaru urządzenia: ∆u=0,001[s]

Całkowity błąd pomiarów obliczamy ze wzoru:

0x01 graphic

I ma wartość ma wartość:

0x01 graphic

Czas 10 wahnięć prostopadłościanu dla jego przekątnej 0x01 graphic
ma wartość:

0x01 graphic

  1. Obliczanie głównych momentów bezwładności:

  1. Sześcian

Główny moment bezwładności sześcianu obliczamy ze wzoru:

(3)

gdzie:

mS = 0,98 [kg] - masa sześcianu

0x01 graphic
- długość krawędzi sześcianu

Podstawiając dane do wzoru otrzymujemy:

0x01 graphic

Niepewność wyznaczenia momentu bezwładności sześcianu obliczamy po zastosowaniu metody różniczki zupełnej do wzoru (3)

0x01 graphic
- niepewność wyznaczenia krawędzi sześcianu.

Podstawiając dane do wzoru otrzymujemy:

0x01 graphic

Główny moment bezwładności dla sześcianu wynosi:

IS = (0,410 ± 0,002) ×10- 3 [kg×m2]

  1. Prostopadłościanu

Moment bezwładności dla głównych osi prostopadłościanu obliczamy ze wzoru:

(4)

gdzie:

T - okres drgań wahadła obciążonego prostopadłościanem wzdłuż wybranej osi

0x01 graphic
- okres drgań wahadła nieobciążonego

0x01 graphic
- okres drgań wahadła obciążonego sześcianem

IS = (0,410 ± 0,002) ×10- 3 [kg×m2] - główny moment bezwładności sześcianu

Okres drgań wahadła wzdłuż osi Z wynosi:

0x01 graphic

Okres drgań wahadła wzdłuż osi Y wynosi:

0x01 graphic

Okres drgań wahadła wzdłuż osi X wynosi:

0x01 graphic

Wzdłuż osi Z moment bezwładności ma wartość:

0x01 graphic

Wzdłuż osi Y moment bezwładności ma wartość:

0x01 graphic

Wzdłuż osi X moment bezwładności ma wartość:

0x01 graphic

Niepewność wyznaczenia momentu bezwładności otrzymujemy po zastosowaniu metody różniczki zupełnej do wzoru (4):

0x01 graphic

Niepewność wyznaczania momentu bezwładności dla osi Z:

0x01 graphic

Kolejne niepewności wyznaczania momentów bezwładności dla osi Y oraz X obliczono analogicznie a wyniki przedstawiono poniżej:

Momenty bezwładności wzdłuż głównych osi wynoszą:

Wzdłuż osi z: Iz= (0,671±0,012) × 10-3 [kg×m2]

Wzdłuż osi y: Iy=(2,038± 0,011) × 10-3 [kg×m2]

Wzdłuż osi x: Ix=(2,039± 0,012) × 10-3[kg×m2]

Moment bezwładności drgań wahadła wzdłuż przekątnej prostopadłościanu obliczamy ze wzoru

0x01 graphic

gdzie:

0x01 graphic
- okres drgań wahadła obciążonego prostopadłościanem (wzdłuż przekątnej)

0x01 graphic
- okres drgań wahadła nieobciążonego

0x01 graphic
- okres drgań wahadła obciążonego sześcianem

IS = (0,410 ± 0,002) ×10- 3 [kg×m2] - główny moment bezwładności sześcianu

0x01 graphic

Niepewność wyznaczania momentu bezwładności dla przekątnej

prostopadłościanu:

0x01 graphic

0x01 graphic

Moment bezwładności drgań wzdłuż przekątnej prostopadłościanu wynosi:

I­­­­­p=(1,225± 0,008) × 10-3[kg×m2]

Moment bezwładności prostopadłościanu względem jego przekątnej możemy obliczyć także innym sposobem który został podany poniżej:

W obliczeniach wykorzystujemy wzór:

0x01 graphic
(5)

gdzie:

- mp = 1,962 [kg] - masa prostopadłościanu

P(xp, yp, zp) - współrzędna punktu przebicia elipsoidy bezwładności z osi obrotu

Wyznaczamy równanie prostej zawierającej główną przekątną środek masy:

W (xw; yw; zw)

0x01 graphic
; 0x01 graphic
; 0x01 graphic

Niepewność wyznaczenia poszczególnych współrzędnych uzyskujemy po zastosowaniu różniczki zupełnej. Wynosi ona:

0x01 graphic

Dla wszystkich współrzędnych postępujemy analogicznie.

Podstawiając dane do wzorów otrzymujemy:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Po podstawieniu danych uzyskujemy współrzędne:

zw = 4,999[cm] =0x01 graphic

yw = 2,501[cm] =0x01 graphic

xw = 2,501 [cm] =0x01 graphic

Równanie przekątnej na postać :

0x01 graphic

Wyznaczamy elipsoidę bezwładności:

0x01 graphic

Rozwiązujemy układ równań i wyznaczamy punkty przebicia prostej zawierającej przekątną główną z elipsoidą bezwładności :

0x01 graphic

Wyznaczamy x, y, z:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Wyznaczone zmienne x, y, z wstawiamy do równania elipsoidy bezwładności. Otrzymujemy wtedy:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Kolejne współrzędne wyznaczamy analogicznie:

0x01 graphic

0x01 graphic

gdzie:

zw = 0x01 graphic

yw = 0x01 graphic

xw = 0x01 graphic

Izz= (0,671±0,012) × 10-3 [kg×m2] -moment bezwładności prostopadłościanu względem osi z

Iyy=(2,038± 0,011) × 10-3 [kg×m2] moment bezwładności prostopadłościanu względem osi y

Ixx=(2,039± 0,012) × 10-3[kg×m2] moment bezwładności prostopadłościanu względem osi x

m=1,962[kg]- masa prostopadłościanu

Po podstawieniu danych otrzymujemy:

0x01 graphic

0x01 graphic

Pozostałe współrzędne wyznaczamy analogicznie. Wyniki zapisano poniżej:

y=0x01 graphic

x=0x01 graphic

z=0x01 graphic

Niepewność wyznaczenia współrzędnych wyznaczamy za pomocą różniczki zupełnej:

0x01 graphic

0x01 graphic

Gdzie:

zw = 0x01 graphic

yw = 0x01 graphic

xw = 0x01 graphic

Izz= (0,671±0,012) × 10-3 [kg×m2] -moment bezwładności prostopadłościanu względem osi z

Iyy=(2,038± 0,011) × 10-3 [kg×m2] moment bezwładności prostopadłościanu względem osi y

Ixx=(2,039± 0,012) × 10-3[kg×m2] moment bezwładności prostopadłościanu względem osi x

m=1,962[kg]- masa prostopadłościanu

Po podstawieniu danych otrzymamy:

0x01 graphic

Pozostałe podstawienia wykonujemy analogicznie. Wyniki przedstawiono poniżej:

y=0x01 graphic

x=0x01 graphic

z=0x01 graphic

Obliczamy moment bezwładności względem głównej przekątnej ze wzoru:

0x01 graphic

Gdzie:

y=0x01 graphic

x=0x01 graphic

z=0x01 graphic

m=1,962[kg]- masa prostopadłościanu

Otrzymane wcześniej wyniki podstawiamy do wzoru:

0x01 graphic

Niepewność wyznaczenia momentu bezwładności względem przekątnej. Stosujemy metodę różniczkowania logarytmicznego:

0x01 graphic

Podstawiając dane otrzymujemy:

0x01 graphic

Moment bezwładności względem przekątnej otrzymany drugim sposobem wynosi:

0x01 graphic

Błąd względny obliczamy ze wzoru :

0x01 graphic

Gdzie:

- I­­p1=(1,222± 0,008) × 10-3[kg×m2]

- 0x01 graphic

0x01 graphic

Po podstawieniu do wzoru otrzymano błąd względny wynoszący  = 18%.

  1. Wnioski:

Główny moment bezwładności dla sześcianu Is­­ ma wartość:

IS = (0,410 ± 0,002) ×10- 3 [kg×m2]

Momenty bezwładności wzdłuż głównych osi wynoszą:

Wzdłuż osi z: Iz= (0,671±0,012) × 10-3 [kg×m2]

Wzdłuż osi y: Iy=(2,038± 0,011) × 10-3 [kg×m2]

Wzdłuż osi x: Ix=(2,039± 0,012) × 10-3[kg×m2]

Natomiast moment bezwładności prostopadłościanu wzdłuż jego przekątnej można obliczyć dwoma metodami tak więc moment bezwładności wyznaczony pierwszą metodą I­­­­­p1 ma wartość:

I­­­­­p1=(1,222± 0,008) × 10-3[kg×m2]

Zaś wynik otrzymany drugą metodą Ip2 ma wartość:

0x01 graphic

Porównując momenty bezwładności prostopadłościanu wzdłuż jego przekątnej uzyskano błąd względny wynoszący  = 18 %. Błąd ten jest spowodowany niepewnościami w pomiarach czasów wahnień wahadła.

Wyznaczając elipsoidę bezwładności ciała sztywnego można z dużą dokładnością obliczyć momenty bezwładności względem dowolnej osi obrotu przechodzącej przez środek masy.

Moment bezwładności prostopadłościanu Iz względem osi z jest ponad dwukrotnie mniejszy od momentów Iy i Ix. Wynika to z faktu, że masa jest bardziej skupiona wokół osi obrotu.

Rozkład masy względem osi obrotu ma decydujący wpływ na wielkość momentu bezwładności ciała. Taki wniosek można uzyskać z porównania momentów bezwładności prostopadłościanu względem różnych osi.

Katowice, 18 marca 2010

Politechnika Śląska

Wydział Transportu

Sprawozdanie 2

Wyznaczanie elipsoidy bezwładności

ciała sztywnego.

Wydział Transportu

T16

Sekcja I

Przemysław Giera

Damian Zniszczoł



Wyszukiwarka