Obliczanie wartości średnich i odchyleń standardowych dla obciążników w postaci sześcianu i prostopadłościanu:
Średnią obliczamy ze wzoru:
(1)
Odchylenie standardowe obliczamy ze wzoru:
(2)
Sześcian
Długość krawędzi oznaczamy przez a.
Podstawiając dane do wzoru otrzymujemy średnią arytmetyczną długości krawędzi a:
Odchylnie standardowe obliczamy ze wzoru (2) i ma następującą wartość:
Tablica 1
Lp. |
ai[cm] |
|
|
1. |
5,03 |
-0,014 |
0,000196 |
2. |
5,04 |
-0,024 |
0,000576 |
3. |
5,02 |
-0,004 |
0,000016 |
4. |
5,00 |
0,016 |
0,000256 |
5. |
4,99 |
0,026 |
0,000676 |
∑ |
25,08 |
x |
0,001720 |
Dokładność pomiaru suwmiarką: ∆s=0,1[mm]
Całkowity błąd pomiarów obliczamy ze wzoru:
I ma wartość ma wartość:
Długość krawędzi sześcianu a ma wartość:
Prostopadłościan:
Długość krawędzi podstawy oznaczamy przez b, natomiast wysokość oznaczamy przez h.
Podstawiając dane do wzoru (1) otrzymujemy średnią arytmetyczną długości krawędzi i wysokości prostopadłościanu:
Odchylnie standardowe długości krawędzi b obliczamy ze wzoru:
I ma następującą wartość:
Tablica 2
Lp. |
bi[cm] |
|
|
1. |
5,01 |
-0,008 |
0,000064 |
2. |
5,02 |
-0,018 |
0,000324 |
3. |
5,00 |
0,002 |
0,000004 |
4. |
4,98 |
0,022 |
0,000484 |
5. |
5,00 |
0,002 |
0,000004 |
∑ |
25,01 |
x |
0,000880 |
Dokładność pomiaru suwmiarką: ∆s=0,1[mm]
Całkowity błąd pomiarów obliczamy ze wzoru:
I ma wartość ma wartość:
Długość krawędzi prostopadłościanu b ma wartość:
Odchylnie standardowe dla wysokości obliczamy ze wzoru:
i ma następującą wartość
Tablica 3
Lp. |
hi[cm] |
|
|
1. |
10,00 |
-0,002 |
0,000004 |
2. |
9,98 |
0,018 |
0,000324 |
3. |
10,01 |
-0,012 |
0,000144 |
4. |
10,02 |
-0,022 |
0,000484 |
5. |
9,98 |
0,018 |
0,000324 |
∑ |
49,99 |
x |
0,001280 |
Dokładność pomiaru suwmiarką: ∆s=0,1[mm]
Całkowity błąd pomiarów obliczamy ze wzoru:
I ma wartość ma wartość:
Wysokość prostopadłościanu h ma wartość:
Wahadło nieobciążone
Czas 10 wahnięć wahadła nieobciążonego oznaczamy jako
Średni czas 10 wahnięć obliczamy ze wzoru:
Odchylnie standardowe obliczamy ze wzoru:
Tablica 4
Lp. |
|
|
|
1. |
7,998 |
-0,00067 |
0,00000044 |
2. |
8,000 |
0,001333 |
0,00000178 |
3, |
7,998 |
-0,00067 |
0,00000044 |
∑ |
23,996 |
x |
0,00000267 |
Dokładność pomiaru urządzenia: ∆u=0,001[s]
Całkowity błąd pomiarów obliczamy ze wzoru:
I ma wartość ma wartość:
Czas 10 wahnięć wahadła nieobciążonego
ma wartość:
Czas 10 wahnięć dla sześcianu
Czas 10 wahnięć dla sześcianu oznaczamy jako
Średni czas 10 wahnięć obliczamy ze wzoru:
Odchylnie standardowe obliczamy ze wzoru :
Tablica 5
Lp. |
|
|
|
1. |
10,066 |
0,001333 |
0,00000178 |
2. |
10,065 |
0,00033 |
0,00000011 |
3, |
10,063 |
-0,00167 |
0,00000279 |
∑ |
30,194 |
x |
0,00000468 |
Dokładność pomiaru urządzenia: ∆u=0,001[s]
Całkowity błąd pomiarów obliczamy ze wzoru:
I ma wartość ma wartość:
Czas 10 wahnięć dla sześcianu
ma wartość:
Czas 10 wahnięć dla prostopadłościanu dla osi Z:
Czas 10 wahnięć prostopadłościanu dla osi Z oznaczamy jako
Średni czas 10 wahnięć obliczamy ze wzoru (1):
Odchylnie standardowe obliczamy ze wzoru (2):
Tablica 6
Lp. |
|
|
|
1. |
11,788 |
-0,00033 |
0,00000011 |
2. |
11,788 |
-0,00033 |
0,00000011 |
3, |
11,789 |
0,00067 |
0,00000045 |
∑ |
35,365 |
x |
0,00000067 |
Dokładność pomiaru urządzenia: ∆u=0,001[s]
Całkowity błąd pomiarów obliczamy ze wzoru:
I ma wartość ma wartość:
Czas 10 wahnięć prostopadłościanu dla osi Z
ma wartość:
Czas 10 wahnięć dla prostopadłościanu dla osi Y:
Czas 10 wahnięć prostopadłościanu dla osi Y oznaczamy jako
Średni czas 10 wahnięć obliczamy ze wzoru:
Odchylnie standardowe obliczamy ze wzoru (2):
Tablica 7
Lp. |
|
|
|
1. |
15,797 |
0,000667 |
0,00000044 |
2. |
15,796 |
-0,00033 |
0,00000011 |
3, |
15,796 |
-0,00033 |
0,00000011 |
∑ |
47,389 |
x |
0,00000066 |
Dokładność pomiaru urządzenia: ∆u=0,001[s]
Całkowity błąd pomiarów obliczamy ze wzoru:
I ma wartość ma wartość:
Czas 10 wahnięć prostopadłościanu dla osi Y
ma wartość:
Czas 10 wahnięć dla prostopadłościanu dla osi X:
Czas 10 wahnięć prostopadłościanu dla osi X oznaczamy jako
Średni czas 10 wahnięć obliczamy ze wzoru (1):
Odchylnie standardowe obliczamy ze wzoru (2):
Tablica 8
Lp. |
|
|
|
1. |
15,796 |
-0,001 |
0,000001 |
2. |
15,798 |
0,001 |
0,000001 |
3, |
15,797 |
0,000 |
0,000000 |
∑ |
47,391 |
x |
0,000002 |
Dokładność pomiaru urządzenia: ∆u=0,001[s]
Całkowity błąd pomiarów obliczamy ze wzoru:
I ma wartość ma wartość:
Czas 10 wahnięć prostopadłościanu dla osi X
ma wartość:
Czas 10 wahnięć prostopadłościanu dla jego przekątnej:
Czas 10 wahnięć prostopadłościanu dla jego przekątnej oznaczamy jako
Średni czas 10 wahnięć obliczamy ze wzoru (1):
Odchylnie standardowe obliczamy ze wzoru (2):
Tablica 9
Lp. |
|
|
|
1. |
13,235 |
-0,01167 |
0,00014 |
2. |
13,251 |
0,00433 |
0,00002 |
3, |
13,254 |
0,00733 |
0,00005 |
∑ |
39,74 |
x |
0,00021 |
Dokładność pomiaru urządzenia: ∆u=0,001[s]
Całkowity błąd pomiarów obliczamy ze wzoru:
I ma wartość ma wartość:
Czas 10 wahnięć prostopadłościanu dla jego przekątnej
ma wartość:
Obliczanie głównych momentów bezwładności:
Sześcian
Główny moment bezwładności sześcianu obliczamy ze wzoru:
(3)
gdzie:
mS = 0,98 [kg] - masa sześcianu
- długość krawędzi sześcianu
Podstawiając dane do wzoru otrzymujemy:
Niepewność wyznaczenia momentu bezwładności sześcianu obliczamy po zastosowaniu metody różniczki zupełnej do wzoru (3)
- niepewność wyznaczenia krawędzi sześcianu.
Podstawiając dane do wzoru otrzymujemy:
Główny moment bezwładności dla sześcianu wynosi:
IS = (0,410 ± 0,002) ×10- 3 [kg×m2]
Prostopadłościanu
Moment bezwładności dla głównych osi prostopadłościanu obliczamy ze wzoru:
(4)
gdzie:
T - okres drgań wahadła obciążonego prostopadłościanem wzdłuż wybranej osi
- okres drgań wahadła nieobciążonego
- okres drgań wahadła obciążonego sześcianem
IS = (0,410 ± 0,002) ×10- 3 [kg×m2] - główny moment bezwładności sześcianu
Okres drgań wahadła wzdłuż osi Z wynosi:
Okres drgań wahadła wzdłuż osi Y wynosi:
Okres drgań wahadła wzdłuż osi X wynosi:
Wzdłuż osi Z moment bezwładności ma wartość:
Wzdłuż osi Y moment bezwładności ma wartość:
Wzdłuż osi X moment bezwładności ma wartość:
Niepewność wyznaczenia momentu bezwładności otrzymujemy po zastosowaniu metody różniczki zupełnej do wzoru (4):
Niepewność wyznaczania momentu bezwładności dla osi Z:
Kolejne niepewności wyznaczania momentów bezwładności dla osi Y oraz X obliczono analogicznie a wyniki przedstawiono poniżej:
Momenty bezwładności wzdłuż głównych osi wynoszą:
Wzdłuż osi z: Iz= (0,671±0,012) × 10-3 [kg×m2]
Wzdłuż osi y: Iy=(2,038± 0,011) × 10-3 [kg×m2]
Wzdłuż osi x: Ix=(2,039± 0,012) × 10-3[kg×m2]
Moment bezwładności drgań wahadła wzdłuż przekątnej prostopadłościanu obliczamy ze wzoru
gdzie:
- okres drgań wahadła obciążonego prostopadłościanem (wzdłuż przekątnej)
- okres drgań wahadła nieobciążonego
- okres drgań wahadła obciążonego sześcianem
IS = (0,410 ± 0,002) ×10- 3 [kg×m2] - główny moment bezwładności sześcianu
Niepewność wyznaczania momentu bezwładności dla przekątnej
prostopadłościanu:
Moment bezwładności drgań wzdłuż przekątnej prostopadłościanu wynosi:
Ip=(1,225± 0,008) × 10-3[kg×m2]
Moment bezwładności prostopadłościanu względem jego przekątnej możemy obliczyć także innym sposobem który został podany poniżej:
W obliczeniach wykorzystujemy wzór:
(5)
gdzie:
- mp = 1,962 [kg] - masa prostopadłościanu
P(xp, yp, zp) - współrzędna punktu przebicia elipsoidy bezwładności z osi obrotu
Wyznaczamy równanie prostej zawierającej główną przekątną środek masy:
W (xw; yw; zw)
;
;
Niepewność wyznaczenia poszczególnych współrzędnych uzyskujemy po zastosowaniu różniczki zupełnej. Wynosi ona:
Dla wszystkich współrzędnych postępujemy analogicznie.
Podstawiając dane do wzorów otrzymujemy:
Po podstawieniu danych uzyskujemy współrzędne:
zw = 4,999[cm] =
yw = 2,501[cm] =
xw = 2,501 [cm] =
Równanie przekątnej na postać :
Wyznaczamy elipsoidę bezwładności:
Rozwiązujemy układ równań i wyznaczamy punkty przebicia prostej zawierającej przekątną główną z elipsoidą bezwładności :
Wyznaczamy x, y, z:
Wyznaczone zmienne x, y, z wstawiamy do równania elipsoidy bezwładności. Otrzymujemy wtedy:
Kolejne współrzędne wyznaczamy analogicznie:
gdzie:
zw =
yw =
xw =
Izz= (0,671±0,012) × 10-3 [kg×m2] -moment bezwładności prostopadłościanu względem osi z
Iyy=(2,038± 0,011) × 10-3 [kg×m2] moment bezwładności prostopadłościanu względem osi y
Ixx=(2,039± 0,012) × 10-3[kg×m2] moment bezwładności prostopadłościanu względem osi x
m=1,962[kg]- masa prostopadłościanu
Po podstawieniu danych otrzymujemy:
Pozostałe współrzędne wyznaczamy analogicznie. Wyniki zapisano poniżej:
y=
x=
z=
Niepewność wyznaczenia współrzędnych wyznaczamy za pomocą różniczki zupełnej:
Gdzie:
zw =
yw =
xw =
Izz= (0,671±0,012) × 10-3 [kg×m2] -moment bezwładności prostopadłościanu względem osi z
Iyy=(2,038± 0,011) × 10-3 [kg×m2] moment bezwładności prostopadłościanu względem osi y
Ixx=(2,039± 0,012) × 10-3[kg×m2] moment bezwładności prostopadłościanu względem osi x
m=1,962[kg]- masa prostopadłościanu
Po podstawieniu danych otrzymamy:
Pozostałe podstawienia wykonujemy analogicznie. Wyniki przedstawiono poniżej:
y=
x=
z=
Obliczamy moment bezwładności względem głównej przekątnej ze wzoru:
Gdzie:
y=
x=
z=
m=1,962[kg]- masa prostopadłościanu
Otrzymane wcześniej wyniki podstawiamy do wzoru:
Niepewność wyznaczenia momentu bezwładności względem przekątnej. Stosujemy metodę różniczkowania logarytmicznego:
Podstawiając dane otrzymujemy:
Moment bezwładności względem przekątnej otrzymany drugim sposobem wynosi:
Błąd względny obliczamy ze wzoru :
Gdzie:
- Ip1=(1,222± 0,008) × 10-3[kg×m2]
-
Po podstawieniu do wzoru otrzymano błąd względny wynoszący = 18%.
Wnioski:
Główny moment bezwładności dla sześcianu Is ma wartość:
IS = (0,410 ± 0,002) ×10- 3 [kg×m2]
Momenty bezwładności wzdłuż głównych osi wynoszą:
Wzdłuż osi z: Iz= (0,671±0,012) × 10-3 [kg×m2]
Wzdłuż osi y: Iy=(2,038± 0,011) × 10-3 [kg×m2]
Wzdłuż osi x: Ix=(2,039± 0,012) × 10-3[kg×m2]
Natomiast moment bezwładności prostopadłościanu wzdłuż jego przekątnej można obliczyć dwoma metodami tak więc moment bezwładności wyznaczony pierwszą metodą Ip1 ma wartość:
Ip1=(1,222± 0,008) × 10-3[kg×m2]
Zaś wynik otrzymany drugą metodą Ip2 ma wartość:
Porównując momenty bezwładności prostopadłościanu wzdłuż jego przekątnej uzyskano błąd względny wynoszący = 18 %. Błąd ten jest spowodowany niepewnościami w pomiarach czasów wahnień wahadła.
Wyznaczając elipsoidę bezwładności ciała sztywnego można z dużą dokładnością obliczyć momenty bezwładności względem dowolnej osi obrotu przechodzącej przez środek masy.
Moment bezwładności prostopadłościanu Iz względem osi z jest ponad dwukrotnie mniejszy od momentów Iy i Ix. Wynika to z faktu, że masa jest bardziej skupiona wokół osi obrotu.
Rozkład masy względem osi obrotu ma decydujący wpływ na wielkość momentu bezwładności ciała. Taki wniosek można uzyskać z porównania momentów bezwładności prostopadłościanu względem różnych osi.
Katowice, 18 marca 2010
Politechnika Śląska
Wydział Transportu
Sprawozdanie 2
Wyznaczanie elipsoidy bezwładności
ciała sztywnego.
Wydział Transportu
T16
Sekcja I
Przemysław Giera
Damian Zniszczoł