1. Obliczanie wartości średnich i odchyleń standardowych dla obciążników w postaci sześcianu i prostopadłościanu:

Średnią obliczamy ze wzoru:

(1)

Odchylenie standardowe obliczamy ze wzoru:

(2)

1. Sześcian

Długość krawędzi oznaczamy przez a.

Podstawiając dane do wzoru otrzymujemy średnią arytmetyczną długości krawędzi a:

Odchylnie standardowe obliczamy ze wzoru (2) i ma następującą wartość:

Tablica 1

Lp.	ai[cm]
1.	5,03	-0,014	0,000196
2.	5,04	-0,024	0,000576
3.	5,02	-0,004	0,000016
4.	5,00	0,016	0,000256
5.	4,99	0,026	0,000676
∑	25,08	x	0,001720

Dokładność pomiaru suwmiarką: ∆s=0,1[mm]

Całkowity błąd pomiarów obliczamy ze wzoru:

I ma wartość ma wartość:

Długość krawędzi sześcianu a ma wartość:

2. Prostopadłościan:

Długość krawędzi podstawy oznaczamy przez b, natomiast wysokość oznaczamy przez h.

Podstawiając dane do wzoru (1) otrzymujemy średnią arytmetyczną długości krawędzi i wysokości prostopadłościanu:

Odchylnie standardowe długości krawędzi b obliczamy ze wzoru:

I ma następującą wartość:

Tablica 2

Lp.	bi[cm]
1.	5,01	-0,008	0,000064
2.	5,02	-0,018	0,000324
3.	5,00	0,002	0,000004
4.	4,98	0,022	0,000484
5.	5,00	0,002	0,000004
∑	25,01	x	0,000880

Dokładność pomiaru suwmiarką: ∆s=0,1[mm]

Całkowity błąd pomiarów obliczamy ze wzoru:

I ma wartość ma wartość:

Długość krawędzi prostopadłościanu b ma wartość:

Odchylnie standardowe dla wysokości obliczamy ze wzoru:

i ma następującą wartość

Tablica 3

Lp.	hi[cm]
1.	10,00	-0,002	0,000004
2.	9,98	0,018	0,000324
3.	10,01	-0,012	0,000144
4.	10,02	-0,022	0,000484
5.	9,98	0,018	0,000324
∑	49,99	x	0,001280

Dokładność pomiaru suwmiarką: ∆s=0,1[mm]

Całkowity błąd pomiarów obliczamy ze wzoru:

I ma wartość ma wartość:

Wysokość prostopadłościanu h ma wartość:

3. Wahadło nieobciążone

Czas 10 wahnięć wahadła nieobciążonego oznaczamy jako

Średni czas 10 wahnięć obliczamy ze wzoru:

Odchylnie standardowe obliczamy ze wzoru:

Tablica 4

Lp.
1.	7,998	-0,00067	0,00000044
2.	8,000	0,001333	0,00000178
3,	7,998	-0,00067	0,00000044
∑	23,996	x	0,00000267

Dokładność pomiaru urządzenia: ∆u=0,001[s]

Całkowity błąd pomiarów obliczamy ze wzoru:

I ma wartość ma wartość:

Czas 10 wahnięć wahadła nieobciążonego
ma wartość:

4. Czas 10 wahnięć dla sześcianu

Czas 10 wahnięć dla sześcianu oznaczamy jako

Średni czas 10 wahnięć obliczamy ze wzoru:

Odchylnie standardowe obliczamy ze wzoru :

Tablica 5

Lp.
1.	10,066	0,001333	0,00000178
2.	10,065	0,00033	0,00000011
3,	10,063	-0,00167	0,00000279
∑	30,194	x	0,00000468

Dokładność pomiaru urządzenia: ∆u=0,001[s]

Całkowity błąd pomiarów obliczamy ze wzoru:

I ma wartość ma wartość:

Czas 10 wahnięć dla sześcianu
ma wartość:

5. Czas 10 wahnięć dla prostopadłościanu dla osi Z:

Czas 10 wahnięć prostopadłościanu dla osi Z oznaczamy jako

Średni czas 10 wahnięć obliczamy ze wzoru (1):

Odchylnie standardowe obliczamy ze wzoru (2):

Tablica 6

Lp.
1.	11,788	-0,00033	0,00000011
2.	11,788	-0,00033	0,00000011
3,	11,789	0,00067	0,00000045
∑	35,365	x	0,00000067

Dokładność pomiaru urządzenia: ∆u=0,001[s]

Całkowity błąd pomiarów obliczamy ze wzoru:

I ma wartość ma wartość:

Czas 10 wahnięć prostopadłościanu dla osi Z
ma wartość:

6. Czas 10 wahnięć dla prostopadłościanu dla osi Y:

Czas 10 wahnięć prostopadłościanu dla osi Y oznaczamy jako

Średni czas 10 wahnięć obliczamy ze wzoru:

Odchylnie standardowe obliczamy ze wzoru (2):

Tablica 7

Lp.
1.	15,797	0,000667	0,00000044
2.	15,796	-0,00033	0,00000011
3,	15,796	-0,00033	0,00000011
∑	47,389	x	0,00000066

Dokładność pomiaru urządzenia: ∆u=0,001[s]

Całkowity błąd pomiarów obliczamy ze wzoru:

I ma wartość ma wartość:

Czas 10 wahnięć prostopadłościanu dla osi Y
ma wartość:

7. Czas 10 wahnięć dla prostopadłościanu dla osi X:

Czas 10 wahnięć prostopadłościanu dla osi X oznaczamy jako

Średni czas 10 wahnięć obliczamy ze wzoru (1):

Odchylnie standardowe obliczamy ze wzoru (2):

Tablica 8

Lp.
1.	15,796	-0,001	0,000001
2.	15,798	0,001	0,000001
3,	15,797	0,000	0,000000
∑	47,391	x	0,000002

Dokładność pomiaru urządzenia: ∆u=0,001[s]

Całkowity błąd pomiarów obliczamy ze wzoru:

I ma wartość ma wartość:

Czas 10 wahnięć prostopadłościanu dla osi X
ma wartość:

8. Czas 10 wahnięć prostopadłościanu dla jego przekątnej:

Czas 10 wahnięć prostopadłościanu dla jego przekątnej oznaczamy jako

Średni czas 10 wahnięć obliczamy ze wzoru (1):

Odchylnie standardowe obliczamy ze wzoru (2):

Tablica 9

Lp.
1.	13,235	-0,01167	0,00014
2.	13,251	0,00433	0,00002
3,	13,254	0,00733	0,00005
∑	39,74	x	0,00021

Dokładność pomiaru urządzenia: ∆u=0,001[s]

Całkowity błąd pomiarów obliczamy ze wzoru:

I ma wartość ma wartość:

Czas 10 wahnięć prostopadłościanu dla jego przekątnej
ma wartość:

2. Obliczanie głównych momentów bezwładności:

1. Sześcian

Główny moment bezwładności sześcianu obliczamy ze wzoru:

(3)

gdzie:

m_S = 0,98 [kg] - masa sześcianu

- długość krawędzi sześcianu

Podstawiając dane do wzoru otrzymujemy:

Niepewność wyznaczenia momentu bezwładności sześcianu obliczamy po zastosowaniu metody różniczki zupełnej do wzoru (3)

- niepewność wyznaczenia krawędzi sześcianu.

Podstawiając dane do wzoru otrzymujemy:

Główny moment bezwładności dla sześcianu wynosi:

I_S = (0,410 ± 0,002) ×10^{- 3} [kg×m²]

2. Prostopadłościanu

Moment bezwładności dla głównych osi prostopadłościanu obliczamy ze wzoru:

(4)

gdzie:

T - okres drgań wahadła obciążonego prostopadłościanem wzdłuż wybranej osi

- okres drgań wahadła nieobciążonego

- okres drgań wahadła obciążonego sześcianem

I_S = (0,410 ± 0,002) ×10^{- 3} [kg×m²] - główny moment bezwładności sześcianu

Okres drgań wahadła wzdłuż osi Z wynosi:

Okres drgań wahadła wzdłuż osi Y wynosi:

Okres drgań wahadła wzdłuż osi X wynosi:

Wzdłuż osi Z moment bezwładności ma wartość:

Wzdłuż osi Y moment bezwładności ma wartość:

Wzdłuż osi X moment bezwładności ma wartość:

Niepewność wyznaczenia momentu bezwładności otrzymujemy po zastosowaniu metody różniczki zupełnej do wzoru (4):

Niepewność wyznaczania momentu bezwładności dla osi Z:

Kolejne niepewności wyznaczania momentów bezwładności dla osi Y oraz X obliczono analogicznie a wyniki przedstawiono poniżej:

Momenty bezwładności wzdłuż głównych osi wynoszą:

Wzdłuż osi z: I_z= (0,671±0,012) × 10^-3 [kg×m²]

Wzdłuż osi y: I_y=(2,038± 0,011) × 10^-3 [kg×m²]

Wzdłuż osi x: I_x=(2,039± 0,012) × 10^-3[kg×m²]

Moment bezwładności drgań wahadła wzdłuż przekątnej prostopadłościanu obliczamy ze wzoru

gdzie:

- okres drgań wahadła obciążonego prostopadłościanem (wzdłuż przekątnej)

- okres drgań wahadła nieobciążonego

- okres drgań wahadła obciążonego sześcianem

I_S = (0,410 ± 0,002) ×10^{- 3} [kg×m²] - główny moment bezwładności sześcianu

Niepewność wyznaczania momentu bezwładności dla przekątnej

prostopadłościanu:

Moment bezwładności drgań wzdłuż przekątnej prostopadłościanu wynosi:

I­­­­­_p=(1,225± 0,008) × 10^-3[kg×m²]

Moment bezwładności prostopadłościanu względem jego przekątnej możemy obliczyć także innym sposobem który został podany poniżej:

W obliczeniach wykorzystujemy wzór:

(5)

gdzie:

- m_p = 1,962 [kg] - masa prostopadłościanu

P(x_p, y_p, z_p) - współrzędna punktu przebicia elipsoidy bezwładności z osi obrotu

Wyznaczamy równanie prostej zawierającej główną przekątną środek masy:

W (x_w; y_w; z_w)

;
;

Niepewność wyznaczenia poszczególnych współrzędnych uzyskujemy po zastosowaniu różniczki zupełnej. Wynosi ona:

Dla wszystkich współrzędnych postępujemy analogicznie.

Podstawiając dane do wzorów otrzymujemy:

Po podstawieniu danych uzyskujemy współrzędne:

z_w = 4,999[cm] =

y_w = 2,501[cm] =

x_w = 2,501 [cm] =

Równanie przekątnej na postać :

Wyznaczamy elipsoidę bezwładności:

Rozwiązujemy układ równań i wyznaczamy punkty przebicia prostej zawierającej przekątną główną z elipsoidą bezwładności :

Wyznaczamy x, y, z:

Wyznaczone zmienne x, y, z wstawiamy do równania elipsoidy bezwładności. Otrzymujemy wtedy:

Kolejne współrzędne wyznaczamy analogicznie:

gdzie:

z_w =

y_w =

x_w =

I_zz= (0,671±0,012) × 10^-3 [kg×m²] -moment bezwładności prostopadłościanu względem osi z

I_yy=(2,038± 0,011) × 10^-3 [kg×m²] moment bezwładności prostopadłościanu względem osi y

I_xx=(2,039± 0,012) × 10^-3[kg×m²] moment bezwładności prostopadłościanu względem osi x

m=1,962[kg]- masa prostopadłościanu

Po podstawieniu danych otrzymujemy:

Pozostałe współrzędne wyznaczamy analogicznie. Wyniki zapisano poniżej:

y=

x=

z=

Niepewność wyznaczenia współrzędnych wyznaczamy za pomocą różniczki zupełnej:

Gdzie:

z_w =

y_w =

x_w =

I_zz= (0,671±0,012) × 10^-3 [kg×m²] -moment bezwładności prostopadłościanu względem osi z

I_yy=(2,038± 0,011) × 10^-3 [kg×m²] moment bezwładności prostopadłościanu względem osi y

I_xx=(2,039± 0,012) × 10^-3[kg×m²] moment bezwładności prostopadłościanu względem osi x

m=1,962[kg]- masa prostopadłościanu

Po podstawieniu danych otrzymamy:

Pozostałe podstawienia wykonujemy analogicznie. Wyniki przedstawiono poniżej:

y=

x=

z=

Obliczamy moment bezwładności względem głównej przekątnej ze wzoru:

Gdzie:

y=

x=

z=

m=1,962[kg]- masa prostopadłościanu

Otrzymane wcześniej wyniki podstawiamy do wzoru:

Niepewność wyznaczenia momentu bezwładności względem przekątnej. Stosujemy metodę różniczkowania logarytmicznego:

Podstawiając dane otrzymujemy:

Moment bezwładności względem przekątnej otrzymany drugim sposobem wynosi:

Błąd względny obliczamy ze wzoru :

Gdzie:

- I­­_p1=(1,222± 0,008) × 10^-3[kg×m²]

-

Po podstawieniu do wzoru otrzymano błąd względny wynoszący  = 18%.

3. Wnioski:

Główny moment bezwładności dla sześcianu I_s­­ ma wartość:

I_S = (0,410 ± 0,002) ×10^{- 3} [kg×m²]

Momenty bezwładności wzdłuż głównych osi wynoszą:

Wzdłuż osi z: I_z= (0,671±0,012) × 10^-3 [kg×m²]

Wzdłuż osi y: I_y=(2,038± 0,011) × 10^-3 [kg×m²]

Wzdłuż osi x: I_x=(2,039± 0,012) × 10^-3[kg×m²]

Natomiast moment bezwładności prostopadłościanu wzdłuż jego przekątnej można obliczyć dwoma metodami tak więc moment bezwładności wyznaczony pierwszą metodą I­­­­­_p1 ma wartość:

I­­­­­_p1=(1,222± 0,008) × 10^-3[kg×m²]

Zaś wynik otrzymany drugą metodą I_p2 ma wartość:

Porównując momenty bezwładności prostopadłościanu wzdłuż jego przekątnej uzyskano błąd względny wynoszący  = 18 %. Błąd ten jest spowodowany niepewnościami w pomiarach czasów wahnień wahadła.

Wyznaczając elipsoidę bezwładności ciała sztywnego można z dużą dokładnością obliczyć momenty bezwładności względem dowolnej osi obrotu przechodzącej przez środek masy.

Moment bezwładności prostopadłościanu I_z względem osi z jest ponad dwukrotnie mniejszy od momentów I_y i I_x. Wynika to z faktu, że masa jest bardziej skupiona wokół osi obrotu.

Rozkład masy względem osi obrotu ma decydujący wpływ na wielkość momentu bezwładności ciała. Taki wniosek można uzyskać z porównania momentów bezwładności prostopadłościanu względem różnych osi.

Katowice, 18 marca 2010

Politechnika Śląska

Wydział Transportu

Sprawozdanie 2

Wyznaczanie elipsoidy bezwładności

ciała sztywnego.

Wydział Transportu

T16

Sekcja I

Przemysław Giera

Damian Zniszczoł