GEOMETRIA ANALITYCZNA W PRZESTRZENI

• ALGEBRA WEKTORÓW

• Definicja kartezjańskiego układu współrzędnych:

Kartezjańskim układem współrzędnych prostokątnych (układem ortogonalnym lub ortokartezjańskim) nazywamy uporządkowaną trójkę półosi regularnych wzajemnie do siebie prostopadłych o wspólnym początku i wspólnej jednej długości. Stosujemy oznaczenie OXYZ.

• Definicja:

Położenie dowolnego punktu P w przestrzeni można określić za pomocą trójki liczb nazywanych współrzędnymi punktu P, co zapisujemy: P(x_p,y_p,z_p), gdzie:

x_p - oznacza współrzędną prostokątną rzutu punktu P na oś OX

y_p - oznacza współrzędną prostokątną rzutu punktu P na oś OY

z_p - oznacza współrzędną prostokątną rzutu punktu P na oś OZ

Z

z_p

P(x_p,y_p,z_p)

y_p Y

x_p

X

• FAKT:

Weźmy punkty A(x₁,y₁,z₁) i B(x₂,y₂,z₂). Punkty te wyznaczają w układzie OXYZ odcinek
, którego długość wyraża się wzorem:

• Definicja wektora:

Parę uporządkowaną punktów A i B w przestrzeni nazywamy wektorem i oznaczamy symbolem AB lub a, zapisujemy AB=(a_x,a_y,a_z), gdzie a_x,a_y,a_z nazywamy współrzędnymi wektora AB w układzie OXYZ i obliczamy z zależności:

a_x=x₂-x₁, a_y=y₂-y₁, a_z=z₂-z­₁

• FAKT:

Długość wektora AB, oznaczamy: |AB| lub |a| wyraża się wzorem:

Przykład: Obliczyć długość wektora rozpiętego między punktami P₁(0,2,-1) i P₂(3,0,1).

• Definicja sumy wektorów:

Sumą wektorów a=[a_x,a_y,a_z] i b=[b_x,b_y,b_z] nazywamy wektor, którego współrzędne tworzymy dodając odpowiednie składowe wektorów a i b, tj. wektor postaci:

a + b = [a_x+b_x ; a_y+b_y­ ; a_z+b_z]

a

a + b

b

b

• Własności sumy wektorów:

1. 
   
   
   
   a+b=b+a (przemienność)

2. 
   
   
   
   
   
   (a+b)+c=a+(b+c) (łączność)

3. 
   
   
   
   
   a+0=0+a=a (element neutralny dodawania wektorów)

4. 
   
   
   a+(-a)=0 (wektor przeciwny)

• Definicja iloczynu wektora przez liczbę:

Iloczynem wektora (niezerowego) a przez liczbę λ
R, λ
0 nazywamy wektor λa skierowany zgodnie ze skierowaniem wektora a jeśli λ>0, a przeciwnie, jeśli λ<0, o długości równej |λa| w postaci. λa=[ λa_x, λa_y, λa_z].

Jeśli λ=0 lub a=0 to iloczyn ten jest wektorem zerowym.

• Własności iloczynu wektora przez liczbę:

1. 
   
   
   (λ+α)a=λa+αa

2. 
   
   λ(αa)=(λα)a

dla α, λ
R

• Definicja kombinacji liniowej n wektorów:

Weźmy n wektorów a₁, a₂,..., a_n oraz n liczb λ₁, λ₂,..., λ_n
R. Kombinacją liniową wektorów a₁, a₂,..., a_n nazywamy wektor postaci:

• Definicja liniowej zależności i niezależności wektorów:

Wektory a₁, a₂,..., a_n nazywamy liniowo zależnymi jeśli istnieją liczby λ₁, λ₂,..., λ_n nie wszystkie jednocześnie równe zero (tj.
) takie, że:

Jeśli wektory a₁, a₂,..., a_n nie są liniowo zależne, to są one liniowo niezależne.

• Definicja:

Mówimy, że dwa wektory a i b są kolinearne jeśli są liniowo zależne, natomiast trzy wektory a, b i c koplanarne jeśli są one liniowo zależne.

• Definicja rzutu prostokątnego punktu:

Rzutem prostokątnym punktu A na oś (skierowaną) S nazywamy punkt A', w którym prostopadła poprowadzona przez punkt A do osi S przecina ją.

A S

.

A'

• Definicja rzutu prostokątnego wektora:

Rzutem prostokątnym wektora a=AB na oś (skierowaną) S nazywamy wektor a_s=A'B', którego początek A' jest rzutem początku wektora a, tj. punktu A, natomiast koniec B' jest rzutem końca wektora a, tj. punktu B.

B

a

A S

B' Oznaczmy przez a_s długość rzutu wektora a na oś S.

a_s

A'

α

• Twierdzenie:

Długość wektora a_s będącego rzutem wektora a na oś S jest równa iloczynowi długości wektora a i cosinusa kąta nachylenia wektora a i osi S, tj.: |a_s|=|a|cos(aS).

• Definicja wersora:

Wersorem (lub wektorem jednostkowym) nazywamy wektor o długości jeden.

• Definicja wersorów układu współrzędnych:

Wektory i=[1,0,0], j=[0,1,0], k=[0,0,1] nazywamy wersorami odpowiednio osi OX, OY i OZ w układzie kartezjańskim OXYZ.

k 1

j

i 1

1

• Definicja:

Współrzędnymi kartezjańskimi prostokątnymi wektora a w przyjętym układzie OXYZ, oznaczonymi przez a_x, a_y, a_z, nazywamy współrzędne tego wektora na kolejnych osiach układu.

• FAKT:

Dla dowolnego niezerowego wektora a w układzie kartezjańskim zachodzi zależność:

a=[a_x, a_y, a_z]

gdzie a_x, a_y, a_z oznaczają współrzędne prostokątne wektora w rozważanym układzie.

Piszemy również:

a=a_xi+a_yj+a_zk

lub

a=a_x[1,0,0]+a_y[0,1,0]+a_z[0,0,1]

• Definicja kątów kierunkowych:

Kątami kierunkowymi wektora a w układzie kartezjańskim OXYZ nazywamy kąty α, β, γ jakie ten wektor tworzy z kolejnymi osiami układu, tj.:

α=
(a, OX), β=
(a, OY), γ=
(a, OZ)

Cosinusy kątów kierunkowych nazywamy cosinusami kierunkowymi wektora a, przy czym:

• FAKT:

Dla dowolnego wektora niezerowego a cosinusy kierunkowe spełniają następującą zależność:

Przykład: Wyznaczyć współrzędne wektora a o długości |a|=3 i kątach kierunkowych

.

Sprawdźmy, czy istnieje wektor a i
.

ILOCZYN SKALARNY WEKTORÓW

Niech dane będą wektory niezerowe a=[a_x,a_y,a_z] i b=[b_x,b_y,b_z].

• Definicja iloczynu skalarnego:

Iloczynem skalarnym dwóch wektorów a i b nazywamy liczbę równą iloczynowi długości tych wektorów przez cosinus kąta między tymi wektorami, co zapisujemy:

a
b=|a|∙|b|∙cos
(a, b)

• FAKT:

Iloczyn skalarny wektorów a i b równy jest sumie iloczynów odpowiednich wektorów, co zapisujemy:

a
b = a_xb­_x + a_yb_y + a_zb_z

• Własności iloczynu skalarnego:

1. 
   
   
   
   a
   b=b
   a

2. 
   
   
   
   
   
   
   a
   (b+c)=a
   b+a
   c (rozdzielność względem dodawania)

3. 
   
   
   
   
   
   (αa)
   b=a
   (αb)=α(a
   b), α
   R

4. 
   
   
   
   
   
   
   
   
   a
   a =|a|² dla a
   0 a
   a=0 dla a=0

Przykład: Obliczyć kąt między wektorami:

a=[-1,2,-3] b=[2,0,-1]

a
b=|a|∙|b|∙cos
(a, b)
cos
(a, b)=

a
b=(-1)∙2+2∙0+(-3)∙(-1)=-2+3=1

cos
(a, b)=


(a, b)=arccos

• Definicja:

Mówimy, że dwa wektory niezerowe a i b są ortogonalne (prostopadłe), jeśli a
b=0.

WNIOSEK: Dwa wektory niezerowe są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:

a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=0 warunek prostopadłości

natomiast są równoległe, gdy istnieje taka liczba λ
R, λ
0, że:

warunek równoległości

• Definicja:

Przyjmujemy oznaczenie a
a=a². Liczbę a² nazywamy kwadratem skalarnym wektora. Ponadto a²=|a|².

Dowód:

a
a=|a|∙|a|∙cos
(a,a)

a²=|a|²

Przykład: Obliczyć długość wektora p=4a+2b wiedząc, że |a|=3, |b|=2 oraz
(a, b)=
.

|p|²=p²=p
p=(4a+2b)
(4a+2b)=4a
4a+4a
2b+2b
4a+2b
2b=16a
a+8a
b+8b
a+4b
b=

=16|a|²+16a
b+4|b|²=16∙3²+16∙3∙2∙cos
+4∙2²=16∙9+16∙3+16=13∙16=
.

ORIENTACJA UKŁADU WSPÓŁRZĘDNYCH

• Definicja orientacji układu OXY

Mówimy, że układ ortokartezjański OXY ma orientację dodatnią (orientację w prawo), jeśli przy obrocie przeciwnym do ruchu wskazówek zegara następuje pokrycie osi OY z osią OX, natomiast orientację ujemną (orientację w lewo), jeśli pokrycie to następuje przy obrocie zgodnym z ruchem wskazówek zegara.

Y X

X Y

• Definicja orientacji układu OXYZ

Mówimy, że układ ortokartezjański OXYZ jest zorientowany dodatnio (ma orientację w prawo), jeśli dla patrzącego kierunku osi OZ układ OXY jest zorientowany dodatnio, a ujemnie (ma orientację ujemną), jeśli patrzący z osi OZ widzi układ OXY zorientowany ujemnie.

Z Z

Y X

X Y

• Definicja:

Układ o orientacji dodatniej nazywamy układem prawym, natomiast układ o orientacji ujemnej nazywamy układem lewym.

• Definicja przestrzeni zorientowanej:

Przestrzeń mającą orientację nazywamy przestrzenią zorientowaną.

• Definicja:

Mówimy, że trójka wektorów a, b i c (niekoplanarnych) zaczepionych w jednym punkcie jest zorientowana zgodnie z orientacją przestrzeni (układu ortokartezjańskiego), jeżeli patrząc z końca wektora c obrót wektora a do porycia z wektorem b następuje w tym samym kierunku jak obrót osi OX do pokrycia z osią OY.

Z Z

c

c

b

b

a

a Y c X

c

X Y a

a

b

b

• FAKT:

Niech a=[a_x,a_y,a_z], b=[b_x,b_y,b_z] i c=[c_x,c_y,c_z] będą wektorami w przestrzeni. Wektory te tworzą układ w orientacji zgodnej z orientacją układu współrzędnych, jeśli:

W przypadku, kiedy podany wyznacznik jest ujemny, mówimy, że orientacja układu wektorów a, b i c jest przeciwna do orientacji układu współrzędnych.

ILOCZYN WEKTOROWY WEKTORÓW

• Definicja iloczyny wektorowego:

Iloczynem wektorowym pary niezerowych i nierównoległych wektorów a i b nazywamy wektor, ozn. axb, o następujących właściwościach:

1. 
   
   
   
   
   
   długość wektora axb, ozn. |axb|, jest równa iloczynowi długości wektorów a i b oraz sinusa kąta między tymi wektorami, tj.:

|axb|=|a|∙|b|∙sin
(a,b)

2. 
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   wektor axb jest prostopadły do wektorów a i b, tj. axb_|_a i axb_|_b, skierowany w ten sposób, że orientacja trójki wektorów a, b i axb jest zgodna z orientacją w przestrzeni, w której się znajdują.

Jeżeli wektory a i b są równoległe lub przynajmniej jeden z nich jest wektorem zerowym to ich iloczyn wektorowy określany jest jako wektor zerowy.

Z

axb

. b

Y

a

X

• WŁASNOŚCI ILOCZYNU WEKTOROWEGO:

1. 
   
   
   
   axb=-(bxa) (antyprzemienność)

2. 
   
   
   
   
   
   
   ax(b+c)=axb+axc (rozdzielność względem dodawania)

3. 
   
   
   
   
   
   (αa)xb=ax(αb)=α(axb), α
   R

4. 
   
   
   
   
   
   
   
   
   Jeśli a
   0 i b
   0, to axb=0 wtedy i tylko wtedy, gdy a || b.

• FAKT:

W układzie ortokartezjańskim OXYZ iloczyn wektorowy wektorów a=[a_x,a_y,a_z] i b=[b_x,b_y,b_z] wyraża się wzorem:

axb=

lub:

axb=

axb=[a_yb_z-a_zb_y, a_zb_x-a_xb_z, b_xb_y-a_yb_x]

Przykład: Dane są wektory a=i+2j i b=3k-5j. Obliczyć axb i bxa.

a=[1,2,0]

b=[0,-5,3]

axb=

bxa =

• FAKT: Pole równoległoboku:

Pole równoległoboku zbudowanego na wektorach a i b jest równe długości ich iloczynu wektorowego, tj.:

P_{równoległoboku­} =|axb|

• FAKT: Pole trójkąta:

Pole trójkąta zbudowanego na wektorach a i b jest równe połowie długości ich iloczynu wektorowego, tj.:

P_Δ=
|axb|

Przykład: Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach w punktach A(1,2,1), B(2,1,-1) i C(0,1,2).

C

AB=[1,-1,-2]

P_ΔABC AC=[-1,-1,1]

A

B

ABxAC=

P_ΔABC=
|ABxAC|

P_ΔABC=

• Definicja iloczynu mieszanego:

Iloczynem mieszanym uporządkowanej trójki wektorów a, b i c, ozn. symbolem abc, nazywamy liczbę równą iloczynowi skalarnemu wektora a przez wektor równy iloczynowi wektorowemu bxc, tj.:

a
(bxc)

• FAKT:

W ustalonym układzie ortokartezjańskim OXYZ iloczyn mieszany wektorów a=[a_x,a_y,a_z], b=[b_x,b_y,b_z] i c=[c_x,c_y,c_z] wyraża się wzorem:

a
(bxc)=

• Własności iloczynu mieszanego:

1. 
   
   
   
   
   
   
   
   
   a
   (bxc)=b
   (cxa)=c
   (axb) (przemienność cykliczna)

2. 
   
   
   
   
   
   a
   (bxc)=-c
   (bxa)

• Twierdzenie:

Trzy wektory niezerowe a, b i c są koplanarne wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn mieszany jest równy zero, tj.: a
(bxc)=0, co zapisujemy za pomocą warunku:

=0

• FAKT: Objętość równoległościanu:

Objętość równoległościanu rozpiętego na trzech wektorach a, b i c jest równa wartości bezwzględnej z iloczynu mieszanego tych wektorów, tj.:

V_równol.=|abc|

c

a

b

• FAKT: Objętość czworościanu:

Objętość czworościanu rozpiętego na wektorach a, b i c jest równa jednej szóstej wartości bezwzględnej z iloczynu tych wektorów, tj.:

V_czwor.=
|abc|

c

a

b

Przykład: Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach A(1,2,1), B(0,2,-2), C(2,1,0) i O(0,0,0).

C

OA=[1,2,1]

B OB=[0,2,-2]

OC=[2,1,0]

O

A

OA
(OBxOC)=

V_czwor.=

• PŁASZCZYZNA W PRZESTRZENI

Niech dana będzie płaszczyzna π w układzie ortokartezjańskim OXYZ. Niech punkt P₀(x₀,y₀,z₀) będzie dowolnym punktem płaszczyzny π oraz wektor N=[A,B,C] będzie do niej prostopadły.

Z

N=[A,B,C]

P₀(x₀,y₀,z₀)

π Y

X

• Definicja wektora normalnego:

Wektor prostopadły do płaszczyzny nazywamy wektorem normalnym tej płaszczyzny.

Z

N=[A,B,C]

P₀(x₀,y₀,z₀)

π P(x,y,z) Y

X

P₀P
N=0 , P₀P(x-x₀, y-y₀, z-z₀)

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

Ax-Ax­₀+By-By₀+Cz-Cz₀=0

Ax+By+Cz+(-Ax₀-By₀-Cz₀)=0

D

• FAKT: Równanie normalne i ogólne płaszczyzny:

Równanie płaszczyzny π przechodzącej przez punkt P₀(x₀,y₀,z₀) i prostopadłej do wektora N=[A,B,C] ma postać:

π: A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

Równanie to nazywamy równaniem normalnym płaszczyzny.

Wprowadzając oznaczenie D=-Ax₀-By₀-Cz₀ otrzymujemy równanie płaszczyzny w postaci:

π: Ax+By+Cz+D=0

nazywane równaniem ogólnym płaszczyzny.

Przykład: Wyznaczyć równanie płaszczyzny π przechodzące przez punkt P₀(2,1,-3) i równoległej do płaszczyzny π₁:2x-3y+z-2=0.

N

P₀

π π₁ || π
N=N₁ , N­₁=[2.-3,1] - z równania płaszczyzny

N=[2-3,1]

N₁ π: 2(x-2)-3(y-1)+1(z+3)=0

π₁ 2x-3y+z-4+3+3=0

π: 2x-3y+z+2=0

• FAKT:

Każde równanie postaci Ax+By+Cz+D=0, gdzie A, B i C są jednocześnie równe zeru, tzn. A²+B²+C²>0, przedstawia płaszczyznę. Płaszczyzna ta przecina oś OZ w punkcie z=
, o ile C
0.

Zał. A, B, C, D
0

Ax+By+Cz+D=0

Ax+By+Cz=-D/:(-D)

ozn.:

• FAKT: Równanie odcinkowe płaszczyzny:

Równanie płaszczyzny π odcinającej na osiach OX, OY i OZ układu współrzędnych odpowiednio odcinki a, b, c
0 ma postać:

Powyższe równanie nazywamy równaniem odcinkowym płaszczyzny.

Z

(0,0,c)

(0,b,0) Y

(a,0,0)

X

Weźmy trzy punkty P₁(x₁,y₁,z₁), P₂(x₂,y₂,z₂), P₃(x₃,y₃,z₃) leżące na jednej płaszczyźnie,

tj. P₁, P₂, P₃
π

P₁ P₂ P₁P=[x-x₁,y-y₁,z-z₁]

P₁P₂=[x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁]

π P(x,y,z) P₃ P₁P₃=[x₃-x₁,y₃-y₁,z₃-z₁]

Z warunku koplanarności wektorów: P₁P
(P₁P₂xP₁P₃)=0 wynika:

• FAKT:

Równanie płaszczyzny π przechodzącej przez trzy punkty niewspółliniowe P_i(x_i,y_i,z_i), gdzie 1<i<3 przyjmuje postać:

lub:

Przykład: Wyznaczyć równanie płaszczyzny π przechodzącej przez punkty A(1,2,0), B(0,2,-1) i C(1,1,1).

N

AB=[-1,0,-1]

AC=[0,-1,1] B C

.

π A

N=ABxAC
ABxAC=
=[-1,1,1]

N=[-1,1,1] , A(1,2,0)

π: -1(x-1)+1(y-2)+1(z-0)=0

π: -x+y+z-1=0

• PROSTA W PRZESTRZENI

Niech dana będzie prosta l w układzie ortokartezjańskim OXYZ przechodząca przez punkt P₀(x₀,y₀,z₀) i równoległa do danego wektora niezerowego n=[a,b,c].

• Definicja wektora kierunkowego prostej:

Wektor równoległy do prostej nazywamy wektorem kierunkowym prostej.

Z

n=[a,b]c P₀P=[x-x₀,y-y₀,z-z₀]

P₀(x₀,y₀,z₀) P₀P||n

P(x,y,z)

Y

X

• FAKT: Równanie parametryczne prostej:

Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P₀(x₀,y₀,z₀) i równoległej do wektora n=[a,b,c] przyjmuje postać:

, gdzie t
R

nazywaną równaniem parametrycznym prostej.

• FAKT: Równanie kanoniczne prostej:

Równanie prostej l przechodzącej przez punkt P₀(x₀,y₀,z₀) i równoległej do wektora n=[a,b,c] postaci:

nazywamy postacią kanoniczną równania prostej.

Przykład: Wyznaczyć równanie prostej l przechodzącej przez punkt P₀(2,1,-1) i prostopadłej do płaszczyzny π: 2x-y+z-5=0.

l

n P₀ l_|_π
n || N

n=N , N=[2,-1,1]

N n=[2,-1,1] , P₀[2,1,-1]

π

Weźmy dwa dowolne punkty P₁(x₁,y₁,z₁) i P₂(x₂,y₂,z₂) leżące na prostej l, tj. P₁, P₂
l.

P₁P₂ || P₁P

P₂(x₂,y₂,z₂) P₁P₂=[x₂-x₁,y₂-y₁,z₂-z₁]

P₁P=[x-x₁,y-y₁,z-z₁]

P₁(x₁,y₁,z₁)

P(x,y,z)

• FAKT:

Równanie prostej l przechodzącej przez dwa punkty P_i(x_i,y_i,z_i), gdzie 1<i<2, w postaci parametrycznej przedstawia się zależnością:

, gdzie t
R,

natomiast w postaci kanonicznej równaniem:

Przykład: Wyznaczyć równanie prostej l przechodzącej przez punkty P₁(1,2,3) i P₂(3,1,-1).

n=P₁P₂

n P₂ n=[2,-1,-4]

P₁ P₁(1,2,3)

• FAKT: Równanie krawędziowe prostej:

Prostą l, która jest częścią wspólną dwóch nierównoległych płaszczyzn π₁: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 i π₂: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 zapisujemy w postaci:

nazywanej równaniem krawędziowym prostej.

N₁

N₂

n

π₂

l π₁

Przykład: Przedstawić prostą
w postaci kanonicznej i parametrycznej.

N₁=[6,2,-1]

N₂=[3,2,2]

N=N₁xN₂=

P₀=

x=0

3x=-3

z=1

2y=10
y=5

równanie parametryczne:

równanie kanoniczne:

• PĘK PŁASZCZYZN

• Definicja pęku płaszczyzn:

Pękiem płaszczyzn nazywamy zbiór wszystkich płaszczyzn przecinających się wzdłuż jednej prostej.

Weźmy dwie płaszczyzny π₁ i π₂:

π₁: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

π₂: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

Jeżeli wektory normalne tych płaszczyzn nie są kolinearne, to płaszczyzny te przecinają się wzdłuż pewnej prostej l i wyznaczają pewien pęk płaszczyzn.

• Twierdzenie:

Płaszczyzna π należy do pęku płaszczyzn wyznaczonego przez dwie przecinające się płaszczyzny π₁ i π₂ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby rzeczywiste λ₁ i λ₂, nierówne jednocześnie zero, tj.: λ₁²+λ₂²>0, takie, że równanie taj płaszczyzny przedstawia się w postaci:

λ₁(A₁x+B₁y+C₁z+D₁)+λ₂(A₂x+B₂y+C₂z+D₂)=0

Powyższe równanie nazywamy równaniem pęku płaszczyzn.

Przykład: Wyznaczyć równanie płaszczyzny π przechodzącej przez krawędź przecięcia płaszczyzn

π₁:-x+2y+z-1=0 i π₂: 2x-y+z=0 oraz punkt P₀(1,2,-1).

Równanie pęku płaszczyzn wyznaczonych przez π₁ i π₂:

λ₁(-x+2y+z-1)+λ₂(2x-y+z)=0

λ₁(-1+4-1-1)+λ₂(2-2+2)=0

λ₁+2λ₂=0

niech λ₂=1
λ₁=-2

-2(-x+2y+z-1)+1(2x-y+z)=0

π: 4x-5y-2z+4=0

• WZAJEMNE POŁOŻENIE PUNKTÓW, PROSTYCH I PŁASZCZYZN

• Definicja rzutu punktu na płaszczyznę i na prostą:

Rzutem prostokątnym punktu P na płaszczyznę π nazywamy punkt P' tej płaszczyzny spełniający warunek:

PP' _|_ π

Analogicznie rzutem prostokątnym punktu P na prostą l nazywamy punkt P' tej prostej spełniający warunek:

PP' _|_ l

Przykład: Znaleźć rzut prostokątny punktu P(3,-2,1) na płaszczyznę π: 2x-y+3z=0

N

P

1º l_|_π
P
l

n=N
n=[2,-1,3]

P' P(3,-2,1)

π

2º P':

2(3+2t)-(2-t)+3(1+3t)=0

6+4t+2+t+3+9t=0

14t=-11

t=

Przykład: Znaleźć rzut prostokątny punktu P(2,-1,4) na prostą

n

P

P' 1º l_|_ π
P
π
N=n , N=[1,-1,-3]

π: 1(x-2)-1(y+1)-3(z-4)=0

π π: x-y-3z+9=0

l

2º P':

t+t+9t+9=0

11t=-9

t=

UWAGA: Odległość punktu P od płaszczyzny π jest równa długości odcinka PP', gdzie P' jest rzutem prostokątnym punktu P na płaszczyznę π. Analogicznie, odległość punktu P od prostej l jest równa długości odcinka PP', gdzie P' jest rzutem prostokątnym punktu P na prostą l.

• FAKT: Odległość punktu od płaszczyzny:

Odległość punktu P₀(x₀,y₀z₀) od płaszczyzny π: Ax+By+Cz+D=0, wyraża się wzorem:

• FAKT: Odległość płaszczyzn równoległych:

Odległość między płaszczyznami równoległymi π₁ i π₂ o równaniach π₁: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 i

π₂: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 wyraża się wzorem:

• FAKT: Wzajemne położenie płaszczyzn:

Niech dane będą dwie płaszczyzny o równaniach:

π₁: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

π₂: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

Mówimy, że:

1. płaszczyzny π₁ i π₂ są równoległe, tj.: π₁ || π₂, wtedy i tylko wtedy, gdy:

2. płaszczyzny π₁ i π₂ pokrywają się wtedy i tylko wtedy, gdy:

3. płaszczyzny π₁ i π₂ są prostopadłe, tj.: π₁ _|_ π₂, wtedy i tylko wtedy, gdy:

A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0

4. płaszczyzny π₁ i π₂ przecinają się pod dowolnym kątem różnym od
   , jeśli nie zachodzi żaden z wyżej wymienionych przypadków. Wówczas układ:

podaje równanie prostej będącej krawędzią przecięcia tych płaszczyzn.

α - kąt, pod jakim przecinają się płaszczyzny π₁ i π₂

---