Politechnika Częstochowska

Wydział Elektryczny

Katedra Elektrotechniki

Zakład Elektrotechniki

Laboratorium Elektrotechniki Teoretycznej

Nieliniowe obwody prądu stałego

Częstochowa 2004

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z własnościami obwodów nieliniowych i wykreślnymi metodami ich rozwiązywania.

2. Wiadomości podstawowe

2.1. Elementy nieliniowe

Element nieliniowy jest to element, którego charakterystyka prądowo-napięciowa jest nieliniowa, tj. jej wykres nie jest linią prostą. Nieliniowość tej charakterystyki jest uwarunkowana zależnością własności elementu nieliniowego od wartości i zwrotu prądu w tym elemencie lub występującego na jego zaciskach napięcia. Obwód nieliniowy to obwód zawierający choć jeden element nieliniowy.

Elementy nieliniowe można klasyfikować ze względu na wiele czynników. W zależności od występowania czynników sterujących można wyróżnić:

• nieliniowe elementy niesterowane (np. żarówka, dioda, bareter) - charakterystyka takich elementów może być przedstawiona w postaci jednej krzywej,

• nieliniowe elementy sterowane (np. tranzystor bipolarny, lampa próżniowa) - posiadają one rodzinę charakterystyk, gdyż charakterystyka toru głównego tego elementu zmienia się wskutek zmiany czynnika sterującego.

Inna klasyfikacja dotyczy wykazywania przez element nieliniowy zjawiska histerezy:

• elementy niewykazujące zjawiska histerezy (np. żarówka, dioda półprzewodnikowa) - ich charakterystyka jest wzajemnie jednoznaczna, tj. jednej wartości prądu odpowiada jedna wartość napięcia i odwrotnie,

• elementy wykazujące zjawisko histerezy (np. cewka z rdzeniem ferromagnetycznym, dioda gazowa) - dla tych elementów charakterystyka prądowo-napięciowa dla wzrastającego napięcia na elemencie jest inna od tej gdy napięcie na elemencie maleje.

Z kolei ze względu na symetrię charakterystyki rozróżnia się:

• elementy o charakterystyce symetrycznej (np. żarówka, bareter, neonówka),

• elementy o charakterystyce niesymetrycznej (np. dioda półprzewodnikowa).

Elementy mające charakterystykę typu diody półrzewodnikowej nazywamy prostownikami, ponieważ w praktyce przepuszczają one prąd tylko w jedną stronę.

Ogromna większość elementów rzeczywistych jest nieliniowa, lecz w praktyce wiele z nich uważa się za liniowe w pewnym zakresie zmian prądu i napięcia.

a)	b)	c)

Rys. 1. Charakterystyki prądowo-napięciowe wybranych elementów nieliniowych:
a) żarówka z włóknem metalowym, b) dioda półprzewodnikowa, c) neonówka

2.2. Rezystancja statyczna i dynamiczna

Do określania rezystancji elementów nieliniowych stosuje się dwa pojęcia: rezystancji statycznej i rezystancji dynamicznej. Obydwie wielkości nie są stałe, lecz zależą od punktu pracy elementu nieliniowego, tj. od prądu i napięcia. Rezystancja statyczna jest określona jako

gdzie U, I - napięcie i prąd elementu nieliniowego w punkcie pracy. Rezystancja dynamiczna zdefiniowana jest wzorem

gdzie U, I - „niewielkie” różnice napięcia i prądu w pobliżu punktu pracy.

Rezystancje te można wyznaczyć z charakterystyki prądowo-napięciowej (rys. 2). Zakładając, że m_U oznacza liczbę woltów przypadających na jednostkę długości osi poziomej, a m_I - liczbę amperów przypadającą na jednostkę długości osi pionowej, można pokazać, że

gdzie  i  - kąty pokazane na rysunku 2.

Rys. 2. Graficzna interpretacja rezystancji statycznej i dynamicznej

2.3. Łączenie elementów nieliniowych

Gdy dwa dowolne elementy (nieliniowe lub liniowe) połączymy szeregowo, to zgodnie
z II prawem Kirchhoffa napięcie całkowite jest równe sumie napięć na poszczególnych elementach, co zobrazowano na rysunku 3a. Podano tam sposób tworzenia charakterystyki zastępczej szeregowego połączenia dwóch elementów nieliniowych - charakterystyka wypadkowa powstaje poprzez zsumowanie napięć dla stałych wartości prądu.

Jeśli dwa dowolne elementy połączymy równolegle, to zgodnie z I prawem Kirchhoffa prąd całkowity jest równy sumie prądów płynących przez poszczególne elementy, co zobrazowano na rysunku 3b. Podano tam sposób tworzenia charakterystyki zastępczej równoległego połączenia dwóch elementów nieliniowych - charakterystyka wypadkowa powstaje poprzez zsumowanie prądów dla stałych wartości napięć.

W przypadku połączenia mieszanego charakterystykę zastępczą wyznacza się redukując kolejno połączenia szeregowe i równoległe.

a)	b)

Rys. 3. Wyznaczanie charakterystyki zastępczej połączenia szeregowego (a) i równoległego (b)

2.4. Metody rozwiązywania obwodów nieliniowych

Analiza obwodów nieliniowych jest znacznie trudniejsza niż analiza obwodów liniowych. Wynika to stąd, że prawo Ohma U = RI jest w przypadku elementu nieliniowego mało użyteczne, gdyż rezystancja R nie jest stała, lecz zależy od prądu lub napięcia. Powoduje to, że wszelkie metody wykorzystujące zasadę superpozycji są bezużyteczne (np. metoda superpozycji, metoda prądów oczkowych, metoda wielkości proporcjonalnych). Stosuje się m. in. następujące metody rozwiązywania obwodów nieliniowych:

• metoda charakterystyk zastępczych, mająca zastosowanie w przypadku, gdy w obwodzie znajduje się tylko jedno źródło prądu lub napięcia; polega ona na wyznaczeniu charakterystyki zastępczej dwójnika widzianego z zacisków źródła (rys. 3),

• metoda przecięcia charakterystyk, mająca zastosowanie w przypadku, gdy w obwodzie znajduje się jedno źródło prądu lub napięcia; dla najprostszych przypadków zobrazowano ją na rysunku 4,

• metoda analityczna, stosowana, gdy charakterystyki elementów nieliniowych podane są w postaci wzorów; polega na ułożeniu równań i ich rozwiązaniu analitycznym lub numerycznym,

• metoda linearyzacji, polegająca na przybliżeniu charakterystyk elementów nieliniowych zależnościami liniowymi, czyli na sprowadzeniu obwodu nieliniowego do liniowego; stosowana, gdy można w przybliżeniu określić punkty pracy elementów nieliniowych, a charakterystyki elementów nieliniowych w pobliżu punktów pracy nie wykazują gwałtownych zmian,

• metoda zastępczego źródła, stosowana, gdy w obwodzie znajduje się tylko jeden element nieliniowy; polega ona na wykorzystaniu twierdzenia Thevenina i zastąpieniu reszty obwodu
  (w stosunku do elementu nieliniowego) równoważnym dwójnikiem. Pozwala to następnie stosować metody dla obwodów nierozgałęzionych (np. metodę przecięcia charakterystyk).

a)	b)

Rys. 4. Wyznaczanie punktu pracy metodą przecięcia charakterystyk:
a) dla szeregowej gałęzi RN zasilanej napięciem stałym U,
b) dla równoległej gałęzi RN zasilanej prądem stałym I

2.5. Mostek nieliniowy

Napięcie na przekątnej symetrycznego mostka nieliniowego (rys. 5a) można łatwo wyznaczyć graficznie, jeśli znane są charakterystyki obydwu elementów nieliniowych. Ponieważ obydwie gałęzie zawierają takie same elementy, to w obydwu gałęziach płyną takie same prądy I. Dzięki temu napięcia na obydwu rezystorach są jednakowe i podobnie napięcia na obydwu elementach nieliniowych również są jednakowe. Zatem napięcie U₂ jest równe

co zobrazowano na rysunku 5b. Z rysunku tego można też łatwo odczytać napięcie zasilania U, dla którego napięcie U₂ przyjmuje zadaną wartość, np. 0 lub maksimum.

a)	b)

Rys. 5. Symetryczny mostek nieliniowy (a) i wyznaczanie jego charakterystyki U₂(U) (b)

Na rysunku 6b przedstawiono graficzny sposób wyznaczania charakterystyki U₂ = f(U) dowolnego mostka nieliniowego (rys. 6a). Rysujemy charakterystyki prądowo-napięciowe elementów nieliniowych, przy czym charakterystykę drugiego elementu rysujemy jako ujemną. Następnie dla kilku-kilkunastu różnych napięć zasilania U wyznaczamy punkty pracy poszczególnych gałęzi. Różnica U_N1 - U_N2 jest poszukiwanym napięciem U₂. Wyznaczoną charakterystykę U₂ = f(U) pokazano na rysunku 6b.

a)	b)

Rys. 6. Mostek nieliniowy (a) i wyznaczanie jego charakterystyki U₂(U) (b)

3. Przebieg ćwiczenia

3.1. Wyznaczanie charakterystyk elementów i ich szeregowego połączenia

• Zestawić układ pomiary wg schematu z rysunku 7 (w miarę możliwości na żarówce i rezystorze zastosować woltomierze wielozakresowe),

Rys. 7.

• Zmieniając napięcie zasilania w zakresie podanym przez prowadzącego (zwykle od 0 do 9 V
  co 1 V), notować wskazania mierników (tabela 1).

Tabela 1

U [V]
I, A
UR, V
UŻ, V

3.2. Wyznaczanie charakterystyk elementów i ich równoległego połączenia

• Zestawić układ pomiary wg schematu z rysunku 8,

Rys. 8.

• Zmieniając napięcie zasilania w zakresie podanym przez prowadzącego (zwykle od 0 do 4,5 V co 0,5 V), notować wskazania mierników (tabela 2).

Tabela 2

U [V]
I, A
IR, mA
IŻ, mA

3.3. Wyznaczanie charakterystyki zastępczej połączenia mieszanego

• Zestawić układ pomiary wg schematu z rysunku 9,

Rys. 9.

• Zmieniając napięcie zasilania w zakresie podanym przez prowadzącego (zwykle od 0 do 4 V
  co 0,5 V i potem od 5 do 9 V co 1 V), notować wskazania mierników (tabela 3).

Tabela 3

U, V

I, A

3.4. Wyznaczanie napięcia na przekątnej mostka nieliniowego

• Zestawić układ pomiarowy wg schematu z rysunku 10 (mostek symetryczny - zastosować jednakowe rezystory i żarówki lub mostek niesymetryczny - zastosować różne rezystory lub różne żarówki)

Rys. 10.

• Zmieniając napięcie zasilania w zakresie podanym przez prowadzącego (zwykle od 0 do 5 V
  co 0,5 V) notować wskazania mierników (tabela 4), w miarę możliwości doprowadzić do wyzerowania napięcia U₂.

Tabela 4

U, V
U2, V

4. Opracowanie sprawozdania

1. Cel ćwiczenia.

2. Schematy pomiarowe i tabele wyników.

3. Parametry i dane znamionowe zastosowanych przyrządów.

4. Na podstawie tabeli 1 wykreślić charakterystyki poszczególnych elementów oraz charakterystykę łączną; na tym samym wykresie zaznaczyć charakterystykę wynikającą z teorii (połączenie szeregowe).

5. Na podstawie tabeli 2 wykreślić charakterystyki poszczególnych elementów oraz charakterystykę łączną; na tym samym wykresie zaznaczyć charakterystykę wynikającą z teorii (połączenie równoległe).

6. Na podstawie tabeli 3 wykreślić charakterystykę połączenia mieszanego; na tym samym wykresie zbudować graficznie charakterystykę tego połączenia wynikającą z teorii (w tym celu wykorzystać charakterystyki elementów wyznaczone w tabelach 1 i 2).

7. Dla układu szeregowego wyznaczyć metodą przecięcia charakterystyk prąd oraz napięcia na poszczególnych elementach, jeśli napięcie zasilania U = 6 V; otrzymane wyniki porównać ze zmierzonymi (tabela 1).

8. Dla wyznaczonego wyżej punktu pracy znaleźć rezystancję statyczną i dynamiczną żarówki.

9. Dla układu równoległego wyznaczyć metodą przecięcia charakterystyk napięcie i prądy poszczególnych elementów, jeśli prąd całkowity wynosi 150 mA; otrzymane wyniki porównać ze zmierzonymi (tabela 2).

10. Dla mostka narysować charakterystykę U₂ w funkcji U oraz wyznaczyć napięcie zasilania U_r, dla którego mostek znajduje się w równowadze (U₂ = 0).

11. Znaleźć napięcie U_r wg punktu 2.5; wynik porównać ze zmierzonym.

12. Wnioski.

5. Pytania sprawdzające

1. Co to jest element nieliniowy i obwód nieliniowy?

2. Podać przykłady elementów nieliniowych i narysować ich charakterystyki prądowo-
   -napięciowe.

3. Jaki element nazywamy krótko prostownikiem?

4. Wyjaśnić pojęcia rezystancji statycznej i dynamicznej?

5. Jak znajduje się charakterystykę zastępczą elementów nieliniowych połączonych szeregowo
   i równolegle?

6. W czym tkwi trudność analizy obwodów nieliniowych?

7. Omówić krótko metody analizy obwodów nieliniowych.

8. Na czym polega metoda przecięcia charakterystyk?

9. Jak można wyznaczyć graficznie napięcie zerowania nieliniowego mostka symetrycznego?

Literatura

[1] Bolkowski S.: Elektrotechnika teoretyczna, tom I - teoria obwodów elektrycznych, WNT,
W-wa 1986, ss. 481-485.

[2] Krakowski M.: Elektrotechnika teoretyczna, tom I - obwody liniowe i nieliniowe, PWN, W-wa 1991, ss. 596-601.

[3] Kurdziel R.: Podstawy elektrotechniki, WNT, W-wa 1972, ss. 135-150.

[4] Lubelski K.: Podstawy elektrotechniki, część 1, skrypt Politechniki Częstochowskiej, Cz-wa 1973, ss. 213-231.

Nieliniowe obwody prądu stałego

2

Politechnika Częstochowska, Wydział Elektryczny, Katedra Elektrotechniki

---