O2 - Wyznaczanie ogniskowych soczewek i badanie wad soczewek grubych

Bartłomiej Durbas

1. Wstęp teoretyczny:

Odbicie - jeślii promień świetlny napotka na gładką powierzchnię to dochodzi do jego odbicia, przy czym kąt padania jest równy kątowi.

Dyspersja - rozszczepienie barwne światła białego spowodowane różną wartością współczynnika załamania dla różnych długości fali (barw) w danym ośrodku.

Soczewka - proste urządzenie optyczne składające się z jednego lub kilku sklejonych razem bloków przezroczystego materiału (zwykle szkła, ale też różnych tworzyw sztucznych, żeli, minerałów, a nawet parafiny lub kropli wody). Istotą soczewki jest to, że przynajmniej jedna z jej powierzchni roboczych jest zakrzywiona, np. jest wycinkiem sfery, innej obrotowej krzywej stożkowej jak parabola, hiperbola lub elipsa, albo walca.

Ogniskowa - odległość od środka optycznego soczewki do ogniska, czyli punktu, w którym w soczewce zbierającej wiązka promieni padających równolegle do osi głównej zostanie zebrana lub w soczewce rozpraszającej, w którym zbierają się przedłużenia promieni rozproszonych.

Powstawanie obrazu w soczewkach:

Jeżeli punkt B jest obrazem powstałym w soczewce to obraz jest rzeczywistym, jeżeli promienie załamane zbierają się w punkcie B, a urojonym jeżeli zbierają się tam przedłużenia tychże promieni.

Zdolność załamująca soczewki - jest odwrotnością ogniskowej i wyrażamy ją w dioptriach, czyli m^-1.1 dioptria to zdolność załamująca soczewki o ogniskowej równej 1m.

Soczewka skupiająca - promienie prostopadłe do osi głównej soczewki (wychodzące z dowolnego punktu A) załamują się na soczewce i zostają zebrane w innym punkcie B (obraz punktu A).

Odległości między obiektem, a soczewką, a odległością obrazu tegoż obiektu od soczewki określa równanie:

(1)

Odległość przedmiotu	Odległość obrazu	Obraz
a>2f	f<b<2f	Rzeczywisty, odwrócony, pomniejszony
a=2f	b=2f	Rzeczywisty, odwrócony, równy przedmiotowi
f<a<2f	b>2f	Rzeczywisty, odwrócony, powiększony
a<f	b<0	Urojony, prosty, powiększony

Soczewka rozpraszająca - promienie padające równolegle do osi optycznej na soczewkę rozpraszającą, po załamaniu stają się wiązką rozbieżną, biegnącą tak jak gdyby wychodziła z jednego punktu (geometrycznie jest to punkt przecięcia przedłużeń tych promieni), który nazywamy ognikiem urojonym. Do opisania własności takiej soczewki używamy również równania (1) przy czym wartość odległości obrazu od soczewki zapisujemy ze znakiem „-”. Oraz z tego typu soczewki jest zawsze urojony (prosty) i nie da się go zaobserwować na ekranie. Fakt ten jest przyczyną, dla której aby wyznaczyć eksperymentalnie ogniskową tej soczewki musimy zbudować układ zbudowany z soczewki skupiającej (o znanej ogniskowej) i badanej rozpraszającej (soczewki umieszczamy jedna przy drugiej, tak aby osie główne się pokrywały). Zdolność załamującą tego układu jest równa sumie zdolności poszczególnych soczewek.

Wyznaczając ogniskową soczewki, bądź też układu soczewek możemy używać dwóch metod: metody Bessela lub w oparciu o równanie soczewki. Obydwie polegają na określaniu przy użyciu ławy optycznej odległości: obiekt świecący - soczewka i soczewka - obraz na ekranie, takich że obraz jest ostry i wyraźny, a następnie podstawienia danych do wzoru (1). Istnieją jednak między nimi pewne techniczne różnice:

• Metoda Bessela - dla jednego pomiaru wyznacza się przy stałej pozycji ekranu i obiektu świecącego dwie pozycje soczewki. Jedną dla obrazu powiększonego drugą dla pomniejszonego, przy czym odległość obiekt - soczewka dla pierwszego jest równa odległości soczewka ekran drugiego i odwrotnie. Odległość miedzy soczewkami d jest równa d=a-b a między obiektem a ekranem l=a+b

• W oparciu o równanie soczewki - przy tej metodzie ruchome są zarazem soczewka i ekran. Nie jest tu ważne czy obraz jest powiększony czy pomniejszony, lecz po uzyskaniu któregokolwiek ostrego obrazu zmienia się położenie ekranu.

Wady soczewek - Obrazy uzyskane przy pomocy sferycznych soczewek są: ostre i wyraźne, jeżeli wykorzystuje się tylko środkowe partie soczewki (obiekt święcący znajduje się niedaleko soczewki) i wiązki skośne względem głównej osi optycznej mają względem niej niewielkie nachylenie. Warunki te w praktyce często są trudne do spełnienia szczególnie że nie zawsze używa się soczewek cienkich. W przeciwnym razie musimy liczyć się z błędami soczewki:

Graficzne przedstawienie wad soczewek

Aberracja sferyczna Aberracja chromatyczna

Astygmatyzm skośny wiązek

Ilustracje pochodzą z podręcznika Tadeusza Dryńskiego: „Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki. Pracownia Fizyczna”

Plan pracy

Pomiar ogniskowej soczewki skupiającej w oparciu o równanie soczewki:

1. Ustawić układ ławę optyczną w kolejności: źródło światła, obiekt, soczewka, ekran.

2. Ustawić soczewkę w pewnej odległości od źródła światła - zanotować położenie.

3. Ustawić ekran tak, aby powstał obraz ostry i powiększony, powtórzyć czynność 7 razy nie zmieniając ustawienia soczewki - zanotować położenie.

4. Obrócić soczewkę o 180^o i ponownie ustawić ekran tak, aby powstał obraz ostry i powiększony, powtórzyć czynność 7 razy, nie zmieniając ustawienia ekranu, zapisać wyniki.

Pomiar ogniskowej soczewki skupiającej przy pomocą metody Bessela

1. Ustawić układ jak wyżej

2. Ustawić soczewkę tak, aby na ekranie powstał ostry powiększony obraz przedmiotu, powtórzyć czynność 7 razy nie zmieniając ustawienia ekranu, zanotować odległości.

3. Nie zmieniając położenia ekranu ani matówki soczewkę ustawić tak, aby powstał obraz ostry i pomniejszony, powtórzyć czynność 7 razy, ustawienia zapisać.

Pomiar ogniskowej soczewki rozpraszającej (układ soczewek)

1. Ustawić układ jak wyżej.

2. W oprawce umieścić zbadaną soczewkę skupiającą i soczewkę rozpraszającą.

3. Ustawić układ soczewek tak, aby na ekranie powstał ostry i powiększony obraz przedmiotu, powtórzyć czynność 7 razy nie zmieniając ustawienia ekranu, zanotować odległości.

4. Nie zmieniając położenia ekranu ani matówki soczewkę ustawić tak, aby powstał obraz ostry i pomniejszony, powtórzyć czynność 7 razy, ustawienia zapisać.

Badanie aberracji sferycznej soczewki

1. Ustawić układ jak w 1. powyżej

2. Przed soczewką umiejscowić jedną z przesłon (przyosiową, pośrednią, brzegową).

3. Ustawić soczewkę tak, aby na ekranie powstał ostry i powiększony obraz przedmiotu, powtórzyć czynność 5 razy nie zmieniając ustawienia ekranu, zanotować odległości.

4. Nie zmieniając położenia ekranu ani matówki soczewkę ustawić tak, aby powstał obraz ostry i pomniejszony, powtórzyć czynność 5 razy, zanotować ustawienia.

5. Powtórzyć wszystkie czynności dla pozostałych przesłon.

Badanie aberracji chromatycznej soczewki

1. Ustawić układ jak w 1. powyżej

2. Przed źródłem światła umiejscowić filtr światła czerwonego.

3. Ustawić soczewkę tak, aby na ekranie powstał ostry i powiększony obraz przedmiotu, powtórzyć czynność 6 razy nie zmieniając ustawienia ekranu, zapisać odległości.

4. Nie zmieniając położenia ekranu ani matówki soczewkę ustawić tak, aby powstał obraz ostry i pomniejszony, powtórzyć czynność 6 razy, zanotować ustawienia.

5. Powtórzyć wszystkie czynności dla filtra światła fioletowego.

Badanie astygmatyzmu soczewki

1. Ustawić układ jak wyżej z tym, że matówkę z literą zastąpić matówką z siatką prostopadłych linii.

2. Umocować soczewkę tak, aby jej płaszczyzna była prostopadła do wiązki światła, następnie ustawić soczewkę tak, aby uzyskać ostry powiększony obraz przedmiotu zanotować odległość.

3. Obrócić soczewkę na mocowaniu o 15 ^o - 20^o następnie znaleźć dwie odległości soczewki, dla których obraz zawiera tylko linie poziome lub tylko linie pionowe, wyniki zanotować.

Wyniki:

1. Pomiar ogniskowej soczewki skupiającej w oparciu o równanie soczewki:

Lp.	Położenie przedmiotu (x) [m]	Położenie soczewki (y) [m]	Położenie ekranu (s) [m]	Lp.	Położenie ekranu (s) [m] po obrocie soczewki o 180^o
1	0,060	0,520	0,849	8	0,842
2	0,060	0,520	0,852	9	0,845
3	0,060	0,520	0,845	10	0,844
4	0,060	0,520	0,847	11	0,842
5	0,060	0,520	0,843	12	0,843
6	0,060	0,520	0,855	13	0,850
7	0,060	0,520	0,852	14	0,842

- średnia arytmetyczna wszystkich zmierzonych s
, gdzie:

n - liczba pomiarów

Stosujemy równanie soczewki
(1). W tym celu obliczamy
i
. Średnią odległość przedmiotu od soczewki -
i ekranu od soczewki -
uzyskujemy ze wzorów:

_ a = y - x

_ _

b = s - y

Otrzymujemy:

[m]	[m]
0,460	0,327

Po podstawieniu danych uzyskanych w wyniku kolejnych pomiarów do wzoru:

uzyskujemy:

f= 0,190 [m]

Rachunek niepewności pomiarowej:

Wartość całkowitej niepewności pomiarowej, którą obarczone są wartości pomiaru odległość soczewka-obiekt i soczewka-obraz wyraża się wzorami:

;

Gdzie:
i
równe są jednej podziałce na ławie optycznej - 0,1cm (czyli 0,001m), a niepewność systematyczna
= 0,001m.

Niepewność statystyczną obliczamy ze wzoru na odchylenie standardowe średniej:

;

zaś:

x [m]	y [m]	[m]	[m]	f [m]
0,060 0,001	0,520 0,001	0,460 0,005	0,847 0,004	0,190 0,003

2. Pomiar ogniskowej soczewki skupiającej w oparciu o metodę Bessela:

Lp.	Położenie przedmiotu (x) [m]	Położenie ekranu (y) [m]	Położenie soczewki (b1) [m] (obraz powiększony)	Położenie soczewki (b2) [m] (obraz pomniejszony)
1	0,060	0,970	0,412	0,725
2	0,060	0,970	0,417	0,728
3	0,060	0,970	0,416	0,731
4	0,060	0,970	0,421	0,727
5	0,060	0,970	0,417	0,723
6	0,060	0,970	0,418	0,730
7	0,060	0,970	0,410	0,729

_

Uśrednione położenie soczewki b₁[m]: 0,416
0,005

_

b₂[m]: 0,728
0,004

Ogniskową soczewki będziemy liczyć ze wzoru:
(1)

Wprowadzamy nowe współrzędne, które opisują wzory:

_ _ _

d = b₂ - b₁ l = y - x

Mamy więc:

[m]	l [m]
0,312	0,910

Otrzymujemy:

f= 0,201 [m]

Rachunek niepewności pomiarowej:

gdzie:

i
równe są jednej podziałce na ławie optycznej - 0,1cm (czyli 0,001m), stąd
= 0,002 m.

Wartości
definiujemy jako:

i
obliczamy jak w poprzedniej adnotacji z tym, że dla indeksu 1 uwzględniamy pomiary z obrazem powiększonym, a dla indeksu 2 pomiary z obrazem pomniejszonym a

równają się 0,001m.

x [m]	y [m]	[m]	[m]	f [m]
0,060 0,001	0,970 0,001	0,312 0,002	0,910 0,002	0,201 0,002

Gdy porównujemy wyniki otrzymane na dwa sposoby stwierdzamy że metoda Bessela jest bardziej dokładna i wyznaczona niepewność pomiaru dla tej metody jest mniejsza. Wynika to między innymi z tego, że wyznaczając ogniskową z równania soczewki nie potrafimy podać dokładnego położenia środka geometrycznego soczewki.

3. Pomiar ogniskowej soczewki rozpraszającej przy pomocy metody Bessela:

Jako ogniskową soczewki skupiającej przyjmuję się wartość wyznaczoną metodą Bessela

f_s = 0,201 [m], ∆f_s = 0,002 [m].

Lp.	Położenie przedmiotu (x) [m]		Położenie ekranu (y) [m]	Położenie soczewki (b1) [m] (obraz powiększony)	Położenie soczewki (b2) [m] (obraz pomniejszony)
1	0,060		0,970	0,318	0,802
2	0,060		0,970	0,319	0,800
3	0,060		0,970	0,318	0,803
4	0,060		0,970	0,320	0,803
5	0,060		0,970	0,319	0,804
6		0,060	0,970	0,320	0,797
7		0,060	0,970	0,322	0,800

Uśrednione położenie soczewki
[m]: 0,319
0,003

[m]:0,801
0,003

, natomiast

Mamy więc:

[m]	l [m]	fu [m]
0,482	0,910	0,163

Rachunek niepewności pomiarowej:

Dla układu soczewek:

gdzie podobnie jak w punkcie 2:

i
równe są jednej podziałce na ławie optycznej - 0,1cm (czyli 0,001m), stąd
= 0,002 m.

Wartości
definiujemy jako:

i
obliczamy jak w punkcie 2 z tym, że dla indeksu 1 uwzględniamy pomiary z obrazem powiększonym, a dla indeksu 2 pomiary z obrazem pomniejszonym a

równają się 0,001m.

x [m]	y [m]	[m]	[m]	fu [m]
0,060 0,001	0,970 0,001	0,482 0,002	0,910 0,003	0,163 0,002

Aby uzyskać wartość ogniskowej soczewki rozpraszającej korzystamy ze wzorów:
,

otrzymujemy ogniskową soczewki rozpraszającej, która wynosi: f_r = (- 0,868
0,008)m

2. Badanie aberracji sferycznej soczewki przy pomocy metody Bessela:

Pomiar 1 - przesłona przyosiowa

Lp.	Położenie przedmiotu (x) [m]	Położenie ekranu (y) [m]	Położenie soczewki (b1) [m] (obraz powiększony)	Położenie soczewki (b2) [m] (obraz pomniejszony)
1	0,060	0,970	0,517	0,608
2	0,060	0,970	0,519	0,600
3	0,060	0,970	0,520	0,597
4	0,060	0,970	0,520	0,601
5	0,060	0,970	0,514	0,612

Uśrednione położenie soczewki
[m]: 0,518
0,004

[m]: 0,604
0,007

Pomiar 2 - przesłona pośrednia

Lp.	Położenie przedmiotu (x) [m]	Położenie ekranu (y) [m]	Położenie soczewki (b1) [m] (obraz powiększony)	Położenie soczewki (b2) [m] (obraz pomniejszony)
1	0,060	0,970	0,498	0,623
2	0,060	0,970	0,499	0,625
3	0,060	0,970	0,500	0,617
4	0,060	0,970	0,499	0,619
5	0,060	0,970	0,497	0,621

Pomiar 3 - przesłona brzegowa

Lp.	Położenie przedmiotu (x) [m]	Położenie ekranu (y) [m]	Położenie soczewki (b1) [m] (obraz powiększony)	Położenie soczewki (b2) [m] (obraz pomniejszony)
1	0,060	0,970	0,427	0,722
2	0,060	0,970	0,431	0,727
3	0,060	0,970	0,430	0,725
4	0,060	0,970	0,428	0,728
5	0,060	0,970	0,433	0,718

Uśrednione położenie soczewki
[m]: 0,430
0,003

[m]: 0,724
0,004

Korzystamy ze wzorów:
(1)

Mamy więc:

Przesłona	[m]	l [m]
przyosiowa	0,086	0,910
brzegowa	0,294	0,910

Po podstawieniu do wzoru (1) otrzymujemy:

f_przyosiowa= 0,225 [m]

f_brzegowa= 0,203 [m]

Rachunek niepewności pomiarowej:

Zarówno dla pierwszego jak i drugiego pomiaru niepewność wyznaczenia ogniskowej soczewki będziemy liczyć ze wzoru:

składowe niepewności oblicza się w sposób następujący:

i
równe są jednej podziałce na ławie optycznej - 0,1cm (czyli 0,001m), stąd
= 0,002 m.

Wartości
definiujemy jako:

i
obliczamy jak w punkcie 2 z tym, że dla indeksu 1 uwzględniamy pomiary z obrazem powiększonym, a dla indeksu 2 pomiary z obrazem pomniejszonym a

równają się 0,001m.

Dla przesłony przyosiowej mamy:

x [m]	y [m]	[m]	[m]	f [m]
0,060 0,001	0,970 0,001	0,086 0,001	0,910 0,002	0,225 0,001

Dla przesłony brzegowej mamy:

x [m]	y [m]	[m]	[m]	f [m]
0,060 0,001	0,970 0,001	0,294 0,001	0,910 0,002	0,203 0,001

Miarę aberracji sferycznej A_sf określa różnica ogniskowych dla promieni przyosiowych (f_p) i promieni brzegowych (f_b) :

A_s = f_p - f_b

A_s = 0,022 [m]

Natomiast niepewność pomiarową ∆A_s obliczamy ze wzoru:

∆A_s = ∆f_p + ∆f_b = 0,002 [m]

I zapisując ostatecznie: A_s = 0,022
0,002 [m]

Badanie aberracji chromatycznej soczewki za pomocą metody Bessela:

filtr czerwony

Lp.	Położenie przedmiotu (x) [m]	Położenie ekranu (y) [m]	Położenie soczewki (b1) [m] (obraz powiększony)	Położenie soczewki (b2) [m] (obraz pomniejszony)
1	0,060	0,970	0,519	0,623
2	0,060	0,970	0,504	0,631
3	0,060	0,970	0,500	0,630
4	0,060	0,970	0,496	0,626
5	0,060	0,970	0,497	0,627

Uśrednione położenie soczewki
[m]: 0,508
0,009

[m]: 0,627
0,004

filtr niebieski

Lp.	Położenie przedmiotu (x) [m]	Położenie ekranu (y) [m]	Położenie soczewki (b1) [m] (obraz powiększony)	Położenie soczewki (b2) [m] (obraz pomniejszony)
6	0,060	0,970	0,513	0,620
7	0,060	0,970	0,510	0,624
8	0,060	0,970	0,496	0,626
9	0,060	0,970	0,506	0,621
10	0,060	0,970	0,500	0,613

Uśrednione położenie soczewki
[m]: 0,505
0,007

[m]: 0,620
0,007

Korzystamy ze wzorów:
(1)

Mamy więc:

Numer pomiaru	[m]	l [m]
Filtra czerwony	0,119	0,910
Filtr niebieski	0,115	0,910

Rachunek niepewności pomiarowej:

Zarówno dla pierwszego jak i drugiego pomiaru niepewność wyznaczenia ogniskowej soczewki będziemy liczyć ze wzoru:

składowe niepewności oblicza się w sposób następujący:

i
równe są jednej podziałce na ławie optycznej - 0,1cm (czyli 0,001m), stąd
= 0,002 m.

Wartości
definiujemy jako:

i
obliczamy jak w punkcie 2 z tym, że dla indeksu 1 uwzględniamy pomiary z obrazem powiększonym, a dla indeksu 2 pomiary z obrazem pomniejszonym a

równają się 0,001m

Dla pomiaru z filtrem czerwonym:

x [m]	y [m]	[m]	[m]	f [m]
0,060 0,001	0,970 0,001	0,119 0,003	0,828 0,002	0,223 0,002

Dla pomiaru z filtrem niebieskim:

x [m]	y [m]	[m]	[m]	f [m]
0,060 0,001	0,970 0,001	0,115 0,003	0,828 0,002	0,223 0,002

Wyznaczanie miary aberracji chromatycznej:

A_ch = f_c - f_n

A_ch = 0,223 - 0,223 = 0,000 [m]

Natomiast niepewność pomiarową ∆A_s obliczamy ze wzoru:

∆A_ch= ∆f_n + ∆f_c = 0,004 [m]

I ostatecznie: A_ch = 0,000
0,004 [m]

4. Dyskusja wyników:

Dokonane pomiary ogniskowych nie są, niestety pozbawione błędów wynikających z przyczyn różnego pochodzenia. Wykonywanie ludzkim okiem wszelakiego rodzaju pomiarów jest obarczone dużym błędem, toteż ustalenie dokładnej pozycji ogniska soczewki nie jest rzeczą łatwą. Ostro widziany obraz w danej pozycji dla jednej osoby może być zamazany dla drugiej. Użycie podziałki milimetrowej znajdującej się na szynie, po której przesuwane były obiekty, również nie umożliwia dokładnego odczytania odległości.

Uzyskane eksperymentalnie wyniki jednoznacznie potwierdziły rozważania teoretyczne np. istnienie wad soczewek grubych. Wątpliwości może jednak budzić fakt, że wartość ogniskowej dla tej samej cienkiej soczewki skupiającej jest różna w zależności od użytej metody. Jest ona związana z niedoskonałością odczytu danych oraz z trudnym do ustalenia środkiem geometrycznym sanek i soczewki.

Błędy pomiarowe układu soczewek: skupiającej i rozpraszającej spowodowane są w znacznym stopniu przez fakt, iż między soczewkami znajduje się pusta przestrzeń, którą zaniedbujemy, chociaż wpływa ona na wartość pomiaru.

Dla badanej soczewki grubej różnica wartości ogniskowych dla promieni brzegowych i przyosiowych jest znaczna. Na podstawie tego faktu możemy wnioskować, że aberracja sferyczna w przypadku tej soczewki jest duża i może w znaczący sposób wpłynąć na deformację obrazu i na kłopoty z jego ostrością. Natomiast różnica miedzy ogniskowymi dla skrajnych barw fioletowej i czerwonej jest mała ( ok. 1,5% wartości ogniskowej soczewki dla światła białego) i mieści się w zakresie niepewności pomiarowej. Nie jest to więc wielka wada. Z drugiej strony, biorąc pod uwagę, że aberracja chromatyczna należy do najbardziej dokuczliwych wad soczewek, nawet tak niewielka wartość może oznaczać poważne kłopoty jeżeli chodzi o możliwość zastosowania takiej soczewki.

---