Wzory 10

WZORY 10: przedziały ufności Jerzego Spławy-Neymana zbudowane dla parametrów szacowanych z użyciem estymatorów metody największej wiarogodności (MNW) oraz z użyciem innych estymatorów, ale o asymptotycznym rozkładzie normalnym

Wstęp

Jak wiadomo z teorii statystyki estymatory MNW Tn parametru θ są zgodne, co najmniej asymptotycznie nieobciążone oraz co najmniej asymptotycznie najefektywniejsze, mają asymptotyczny rozkład normalny o wartości oczekiwanej równej θ oraz wariancji D^2(Tn) spełniającej warunek Rao-Cramera:

,

co zapisujemy: estymator Tn, dla n 6 ∞, ma rozkład N[θ; D(Tn)], gdzie D(Tn) jest pierwiastkiem z wariancji D^2(Tn). Zatem

(10.a) , stąd U: N[0; 1].

Wzór ogólny przedziału ufności budowanego na podstawie standardowego rozkładu normalnego jest następujący:

(10.1) P(-uα < U < uα) = 1 - α.

Ustalając współczynnik ufności 1 - α na określonym poziomie, najczęściej z przedziału liczbowego <0,9; 1), odczytujemy z tablic standardowego rozkładu normalnego wartość uα tak, aby .

Po podstawieniu do wzoru (10.1) wzoru (10.a) otrzymujemy wzór (10.b):

(10.b) P -uα <  < uα = 1 - α.

Po przekształceniu nierówności z wzoru (10.b) otrzymujemy wzór (10.c), który jest wzorem ogólnym przedziału ufności dla każdego parametru θ szacowanego z użyciem estymatora Tn MNW:

(10.c) P[Tn - uα D(Tn) < θ < Tn + uα D(Tn)] = 1 - α.

Estymatory Tn MNW są narzędziem szacowania parametrów populacji generalnej o określonym rozkładzie. W naszym przypadku jest to rozkład normalny lub zero-jedynkowy.

Zmienne standaryzowane a parametry rozkładu normalnego jako          rozkładu asymptotycznego estymatorów metody największej wiarogodności (MNW)

Część I

Założenia I

1) Zmienna losowa X ma w populacji generalnej rozkład normalny, określony parametrami m oraz σ. Próbę prostą n-elementową tworzy ciąg niezależnych zmiennych losowych (X1, X2, X3,..., Xn) o rozkładach identycznych i jednakowych z rozkładem zmiennej losowej X w populacji generalnej.

2) Jeżeli mamy do czynienia z dwiema populacjami generalnymi, to założenie 1) dotyczy obu populacji.

(10.A) , bowiem estymator  MNW parametru m ma rozkład: N[m; ], gdzie parametr σ jest znany. Stąd U: N[0;1]. Jak wiadomo: , i = 1,..., n,

(10.B)  bowiem estymator  MNW parametru m ma dla n 6 ∞, rozkład: N[m; ], gdzie parametr σ nie jest znany. Stąd U: N[0;1]. Jak wiadomo: , , , i = 1,..., n,

(10.C) , bowiem estymator MNW  parametru m1 - m2 ma rozkład: N[m1 - m2; ], gdzie parametry σ1 i σ2 są znane. Stąd U: N[0;1]. Jak wiadomo: , i = 1,..., n1, , i = 1,..., n2.

(10.D) , bowiem estymator MNW  parametru m1 - m2 ma, dla n1 6 ∞ oraz n2 6 ∞, rozkład: N[m1 - m2; ], gdzie parametry σ1 i σ2 nie są znane. Stąd U: N[0;1]. Jak wiadomo: , i = 1,..., n1,     , i = 1,..., n2. ,              .

Część II

Założenia II

1) Zmienna losowa X ma w populacji generalnej rozkład zero-jedynkowy, określony parametrem p. Próbę prostą n-elementową tworzy ciąg niezależnych zmiennych losowych (X1, X2, X3,..., Xn) o rozkładach identycznych i jednakowych z rozkładem zmiennej losowej X w populacji generalnej.

2) Jeżeli mamy do czynienia z dwiema populacjami generalnymi, to założenie 1) dotyczy obu populacji.

(10.E) , bowiem estymator MNW  parametru p ma, dla n 6 ∞, rozkład: N[p; ]. Stąd U: N[0;1]. Jak wiadomo:  jest frakcją, a X liczbą elementów wyróżnionych w n-elementowej próbie; realizacje zmiennej losowej X w n-elementowej próbie oznaczamy literą k, a realizacje zmiennej losowej  oznaczamy literą w, gdzie , k = 0,1,2,..., n.

(10.F) , bowiem estymator  parametru p1 - p2 ma, dla n1 6 ∞ oraz n2 6 ∞, rozkład: N[p1 - p1; ]. Stąd U: N[0;1]. Jak wiadomo:  jest frakcją, a X1 liczbą elementów wyróżnionych w n1-elementowej próbie, realizacje zmiennej losowej X1 w n1-elementowej próbie oznaczamy literą k1, a realizacje zmiennej losowej  jako , gdy k1 = 0,1,2,..., n1,  jest frakcją, a X2 liczbą elementów wyróżnionych w n2-elementowej próbie, realizacje zmiennej losowej X2 w n2-elementowej próbie oznaczamy literą k2, a realizacje zmiennej losowej  jako , gdy k2 = 0,1,2,..., n2,

Część III

Założenia I

1) Zmienna losowa X ma w populacji generalnej rozkład normalny, określony parametrami m oraz σ. Próbę prostą n-elementową tworzy ciąg niezależnych zmiennych losowych (X1, X2, X3,..., Xn) o rozkładach identycznych i jednakowych z rozkładem zmiennej losowej X w populacji generalnej.

2) Jeżeli mamy do czynienia z dwiema populacjami generalnymi, to założenie 1) dotyczy obu populacji.

(10.G) , bowiem estymator S^2 MNW parametru σ^2 ma, dla n 6 ∞, rozkład: N[σ^2; ]. Stąd U: N[0;1].

lub, upraszczając:

(10.H) , bowiem estymator S^2 MNW parametru σ^2 ma, dla n 6 ∞, na skutek tego uproszczenia rozkład: N[σ^2; ]. Stąd U: N[0;1]. Jak wiadomo: , i = 1,..., n, , i = 1,..., n.

(10.I) , bowiem estymator MNW S parametru σ ma, dla n 6 ∞, rozkład: N[σ;  ]. Stąd U: N[0;1].

lub, upraszczając:

(10.J) , bowiem estymator MNW S parametru σ ma, dla n 6 ∞, rozkład: N[σ;  ]. Stąd U: N[0;1]. Jak wiadomo: , i = 1,..., n, , , i = 1,..., n.

Zmienne standaryzowane a parametry rozkładu normalnego jako asymptotycznego                                     rozkładu estymatorów (innych niż estymatory MNW)

Część IV

Założenia I

1) Zmienna losowa X ma w populacji generalnej rozkład normalny, określony parametrami m oraz σ. Próbę prostą n-elementową tworzy ciąg niezależnych zmiennych losowych (X1, X2, X3,..., Xn) o rozkładach identycznych i jednakowych z rozkładem zmiennej losowej X w populacji generalnej.

(10.K) , bowiem estymator  parametru σ ma, dla n 6 ∞, rozkład: N[σ ; σ ]. Stąd U: N[0;1]. Odchylenie przeciętne  z n-elementowej próby prostej dane jest wzorem: , dla i = 1,..., n.

(10.L) , bowiem estymator  parametru m ma, dla n 6 ∞, rozkład: N[m;  ]. Stąd U: N[0;1]. Jak wiadomo  jest medianą z próby prostej daną wzorem:  dla n nieparzystego lub  dla n parzystego.

Przedziały ufności Jerzego Spławy-Neymana zbudowane dla parametrów            szacowanych z użyciem estymatorów metody największej wiarogodności (MNW)

Część I

(10.1) P(-uα < U < uα) = 1 - α.

Wzór (10.A) wstawiamy do wzoru (10.1):

P -uα <  < uα = 1 - α.

Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy:

(10.2) P  - uα  < m <  + uα  = 1 - α.

Losowy przedział ufności (10.2) staje się, na podstawie liczbowych wyników (x1, x2,..., xn) n-elementowej próby losowej prostej (X1, X2,..., Xn), liczbowym przedziałem ufności (10.2*)

(10.2*)  - uα  < m <  + uα

gdzie

, i = j, j = 1,..., n,

a uα odczytujemy z tablic rozkładu normalnego standardowego przy przyjętym współczynniku ufności 1 - α tak, aby .

Wzór (10.B) wstawiamy do wzoru (10.1):

P -uα <  < uα = 1 - α.

Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy:

(10.3) P  - uα  < m <  + uα  = 1 - α.

Losowy przedział ufności (10.3) staje się, na podstawie liczbowych wyników (x1, x2,..., xn) n-elementowej próby (X1, X2,..., Xn), losowej prostej, liczbowym przedziałem ufności (10.3*)

(10.3*)  - uα  < m <  + uα

gdzie

, i = j, j = 1,..., n, , i = j, j = 1,..., n, ,

a uα odczytujemy z tablic rozkładu normalnego standardowego przy przyjętym współczynniku ufności 1 - α tak, aby .

Wzór (10.C) wstawiamy do wzoru (10.1):

P -uα <  < uα = 1 - α.Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy:

(10.4) P  - uα  < m1 - m2 <  + uα  = 1 - α

Losowy przedział ufności (10.4) staje się, na podstawie liczbowych wyników (x11, x21,..., xn1) n1-elementowej próby prostej (X11, X21,..., Xn1) oraz wyników (x12, x22,..., xn2) n2-elementowej próby prostej (X12, X22,..., Xn2), liczbowym przedziałem ufności (10.4*).

(10.4*)  - uα  < m1 - m2 <  + uα

gdzie

, i = j, j = 1,..., n1, , i = j, j = 1,..., n2,

a uα odczytujemy z tablic rozkładu normalnego standardowego przy przyjętym współczynniku ufności 1 - α tak, aby .

Wzór (10.D) wstawiamy do wzoru (10.1):

P -uα <  < uα = 1 - α.

Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy:

(10.5) P  - uα  < m1 - m2 <  + uα  = 1 - α.

Losowy przedział ufności (10.5) staje się, na podstawie liczbowych wyników (x11, x21,..., xn1) n1-elementowej próby prostej (X11, X21,..., Xn1) oraz wyników (x12, x22,..., xn2) n2-elementowej próby prostej (X12, X22,..., Xn2), liczbowym przedziałem ufności (10.5*).

(10.5*)  - uα  < m1 - m2 <  + uα

gdzie

i = j, j = 1,..., n1,  i = j, j = 1,..., n2,

a uα odczytujemy z tablic rozkładu normalnego standardowego przy przyjętym współczynniku ufności 1 - α tak, aby .

Część II

Wzór (10.E) wstawiamy do wzoru (10.1):

P -uα <  < uα = 1 - α.

Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy:

(10.6) P  - uα  < p < + uα  = 1 - α.

Losowy przedział ufności (10.6) staje się, na podstawie liczbowych wyników (x1, x2,..., xn) n-elementowej próby prostej (X1, X2,..., Xn), liczbowym przedziałem ufności (10.6*).

(10.6*)

gdzie

, k = 0,1,2..., n,  gdy xi = 1 lub xi = 0 dla i = 1,..., n,

a uα odczytujemy z tablic rozkładu normalnego standardowego przy przyjętym współczynniku ufności 1 - α tak, aby .

Wzór (10.F) wstawiamy do wzoru (10.1):

P -uα <  < uα = 1 - α.Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy:

(10.7) P  - uα  <p1 - p2 <  +                                                                                     + uα   = 1 - α.

Losowy przedział ufności (10.7) staje się, na podstawie liczbowych wyników (x11, x21,..., xn1) n1-elementowej próby prostej (X11, X21,..., Xn1) oraz wyników (x12, x22,..., xn2) n2-elementowej próby prostej (X12, X22,..., Xn2), liczbowym przedziałem ufności (10.7*).

(10.7*)  - uα  <p1 - p2 <  +                                                                                                     + uα

gdzie

w1 = , k1 = 0,1,..., n1, w2 = , k2 = 0,1,..., n2,  gdy xi1 = 1 lub xi1 = 0 dla i = 1,..., n1, oraz  gdy xi2 = 1 lub xi2 = 0 dla i = 1,..., n2,

a uα odczytujemy z tablic rozkładu normalnego standardowego przy przyjętym współczynniku ufności 1 - α tak, aby .

Część III

Wzór (10.G) wstawiamy do wzoru (10.1):

P -uα <  < uα = 1 - α. czyli P -uα <  < uα = 1 - α.Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy:

(10.8) P  < σ^2<  = 1 - α, dla n > .

Losowy przedział ufności (10.8) staje się, na podstawie liczbowych wyników (x1, x2,..., xn) n-elementowej próby prostej (X1, X2,..., Xn), liczbowym przedziałem ufności (10.8*).

(10.8*)  < σ^2< , dla n > .

gdzie

, i = j, j = 1,..., n, , i = j, j = 1,..., n,

a uα odczytujemy z tablic rozkładu normalnego standardowego przy przyjętym współczynniku ufności 1 - α tak, aby .

Wzór (10.H) wstawiamy do wzoru (10.1):

= 1 - α.

Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy:

(10.9) P  - uα  < σ^2 < S^2 + uα  = 1 - α.

Losowy przedział ufności (10.9) staje się, na podstawie liczbowych wyników (x1, x2,..., xn) n-elementowej próby prostej (X1, X2,..., Xn), liczbowym przedziałem ufności (10.9*).

(10.9*)  - uα  < σ^2 < s^2 + uα

gdzie

, i = j, j = 1,..., n, , i = j, j = 1,..., n,

a uα odczytujemy z tablic rozkładu normalnego standardowego przy przyjętym współczynniku ufności 1 - α tak, aby .Wzór (10.I) wstawiamy do wzoru (10.1):

P -uα <  < uα = 1 - α. czyli    P -uα <  < uα = 1 - α.

Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy:

(10.10) P  < σ <  = 1 - α, dla n > .

Losowy przedział ufności (10.10) staje się, na podstawie liczbowych wyników (x1, x2,..., xn) n-elementowej próby prostej (X1, X2,..., Xn), liczbowym przedziałem ufności (10.10*).

(10.10*)  < σ < , dla n > .

gdzie

, i = j, j = 1,..., n, , i = j, j = 1,..., n, ,

a uα odczytujemy z tablic rozkładu normalnego standardowego przy przyjętym współczynniku ufności 1 - α tak, aby .

Wzór (10.J) wstawiamy do wzoru (10.1):

P -uα <  < uα = 1 - α.

Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy:

(10.11) P S - uα  < σ < S + uα  = 1 - α.

Losowy przedział ufności (10.11) staje się, na podstawie liczbowych wyników (x1, x2,..., xn) n-elementowej próby prostej (X1, X2,..., Xn), liczbowym przedziałem ufności (10.11*).

(10.11*) s - uα  < σ < s + uα   gdzie

, i = j, j = 1,..., n, , i = j, j = 1,..., n, ,

a uα odczytujemy z tablic rozkładu normalnego standardowego przy przyjętym współczynniku ufności 1 - α tak, aby .

Przedziały ufności Jerzego Spławy-Neymana zbudowane dla parametrów              szacowanych z użyciem estymatorów o rozkładzie asymptotycznym normalnym

Część IV

Wzór (10.K) wstawiamy do wzoru (10.1):

P -uα <  < uα = 1 - α.

Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy:

P -uα <  < uα = 1 - α,

a stąd

(10.12) P  < σ < , dla n > .

Losowy przedział ufności (10.12) staje się, na podstawie liczbowych wyników (x1, x2,..., xn) n-elementowej próby prostej (X1, X2,..., Xn), liczbowym przedziałem ufności (10.12*).

(10.12*)  < σ < , dla n > .

gdzie

, i = j, j = 1,..., n, , i = j, j = 1,..., n, Π jest liczbą niewymierną, o wartości bliskiej 3,14;

a uα odczytujemy z tablic rozkładu normalnego standardowego przy przyjętym współczynniku ufności 1 - α tak, aby .

Wzór (10.L) wstawiamy do wzoru (10.1):

P -uα <  < uα = 1 - α.

Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy:

(10.13) P  - uα  < m <  + uα = 1 - α.

Losowy przedział ufności (10.13) staje się, na podstawie liczbowych wyników (x1, x2,..., xn) n-elementowej próby prostej (X1, X2,..., Xn), liczbowym przedziałem ufności (10.13*).

(10.13*)  - uα  < m <  + uα

gdzie

Π jest liczbą niewymierną, o wartości bliskiej 3,14; me =  dla n nieparzystego lub me =  dla n parzystego.

a uα odczytujemy z tablic rozkładu normalnego standardowego przy przyjętym współczynniku ufności 1 - α tak, aby .

Źródło: Zestawienie własne na podstawie podręczników: M. Fisz: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 1969; J. Greń: Statystyka matematyczna, podręcznik programowany, PWN, Warszawa 1987; J. Jóźwiak, J. Podgórski: Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 1998 oraz P. Kuszewski, J. Podgórski: Statystyka, wzory i tablice, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1998.

---